Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 13 czerwca 2002

1. Dwie korektorki, Anna i Beata, czytają niezależnie od siebie ten sam tekst. Anna znalazła w nim 64

błędy, Beata — 82, przy czym błędów znalezionych przez obie było 42. Jak wytłumaczyć fakt, że zostały
zwolnione z pracy?

2. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Cauchy’ego, czyli o gęstości g(x) =

1

π(1+x

2

)

. Znaleźć

rozkład zmiennej losowej

1

X

.

3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na

przedziale [0, 1].

a) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = XY . Znaleźć rozkład Z.
b) Znaleźć Cov(max(X, Y ), X + Y ).
4. Pokazać, że jeli X

1

, X

2

, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, przy

czym X

1

≥ 0 i EX

1

=

∞, to

P

lim

n→∞

X

1

+ . . . + X

n

n

=

∞



= 1.

5. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Obliczyć

E



(X + Y )

3

|X



.

6. Na 120 studentów 48 wybrało wykład dra Adama Z., a pozostałych 72 — dr hab. Zofii A.
Adam twierdzi, że odchylenie od równego podziału jest nieistotne i zostało spowodowane czynnikami

losowymi, natomiast Zofia uważa za oczywiste, że studenci wolą jej wykład.

a) Czyje stwierdzenie jest bardziej wiarygodne?
b) Przypuśćmy, że jest 600 studentów, którzy podzielili się w takiej samej proporcji, tj. 240:360. Czy

zmienia to wynik uzyskany w punkcie a?