PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

ĆWICZENIE NR 2

Częstotliwość próbkowania, aliasing

1. Teoria

W dziedzinie cyfrowego przetwarzania sygnałów bardzo częsta spotykamy się z

próbkowaniem równomiernym, czyli procesem reprezentowania sygnału o czasie

rzeczywistym za pomocą ciągu próbek pobieranych w dyskretnych chwilach czasu. W

praktyce próbkowanie przeprowadza się poprzez podanie sygnału ciągłego na wejście

przetwornika analogowo cyfrowego(A/C), którego sygnał wejściowy jest ciągiem wartości

cyfrowych. Jednym z podstawowych parametrów procesu próbkowania jest częstotliwość

próbkowania (fpr), która informuje nas o liczbie próbek sygnału pobieranych w jednostce

czasu. Częstotliwość próbkowania wynika z wartości odstępu czasu między kolejnymi

próbkami, czyli odstęp próbkowania (∆t).

fpr=1/∆t

Ilustrację graficzną tego zagadnienia przedstawiono na rysunku 1.

Rys 1 Częstotliwość i odstęp próbkowania

Za jednostkę częstotliwości próbkowania przyjęto liczbę próbek (S- ang. sample) pobieranych

w czasie jednej sekundy (s)

[S/s]

Próbkowanie sygnału możemy prowadzić z dowolną częstotliwością ograniczoną

możliwościami posiadanego przez nas sprzętu. Powstaje jednak pytanie, jaką szybkością musi

być próbkowany dany sygnał, aby dokładnie została odwzorowana zawarta w nim informacja.

W dziedzinie częstotliwości istnieje niejednoznaczność związana z próbkami sygnału o czasie

dyskretnym, która nie istnieje w świecie sygnałów ciągłych. Zagadnienie to można

zilustrować następującym przykładem. Posiadamy ciąg wartości liczbowych x(1)=0, x(2)=

0,866, x(3)=0, 866 x(4)=0, x(5)=-0,866, x(6)=0, o którym wiadomo, że reprezentuje pewien

przebieg sinusoidalny ( rys. 2a). Jeżeli będziemy chcieli narysować teraz narysować ten

przebieg to okaże się, że możemy to zrobić na wiele różnych sposobów używając sinusoid o

różnych częstotliwościach (rys. 2b). W przypadku wyników próbkowania taki zbiór punktów

interpretowalibyśmy jako sinusoidą o najniższej możliwej częstotliwości.

Rys 2 Niejednoznaczność cyfrowego przedstawienia sygnału

Z przedstawionego wyżej przykładu wynika, że próbkowanie ze zbyt niską częstotliwością

prowadzi do mylnej interpretacji częstotliwości sygnału odtworzonego jako niższa niż

rzeczywista. To „ukrywanie” się sygnału za „pseudonimem” (alias) nazywamy aliasingiem.

Zgodnie z twierdzeniem Shanona, w celu uniknięcia aliasingu, sygnał musi być próbkowany z

częstotliwością większą niż dwukrotność najwyższej częstotliwości występującej w sygnale.

Rys. 3. Przykład aliasingu

Maksymalna częstotliwość sygnału, która może być właściwie (bez aliasingu)

zinterpretowana przy określonej częstotliwości próbkowania nosi nazwę częstotliwości

Nyquista i jest równa połowie częstotliwości próbkowania. Sygnały o częstotliwości wyższej

ukażą się zniekształcone w postaci „aliasów” o częstotliwościach pomiędzy 0 a

częstotliwością Nyquista. Tę zniekształconą częstotliwość można wyznaczyć jako wartość

bezwzględną różnicy między rzeczywistą częstotliwością sygnału, a najbliższą

wielokrotnością częstotliwości próbkowania. Przykłady pokazano na rysunku 3. W celu

uniknięcia aliasingu, należy zastosować częstotliwość próbkowania, co najmniej dwukrotnie

wyższą, niż najwyższa interesująca nas częstotliwość występująca w sygnale. Co zrobić

jednak, gdy w sygnale występują (lub mogą występować) składowe o wyższych

częstotliwościach? Należy zastosować filtr dolnoprzepustowy, eliminujący składowe o

wyższych częstotliwościach niż tzw. częstotliwość odcięcia filtru. Mówiąc ściśle, tak

moglibyśmy postąpić dysponując filtrem idealnym, który odcina dokładnie wszystkie

składowe „od razu”. Filtry rzeczywiste jednak mają pewne pasmo przejściowe, w którym

osłabienie sygnału rośnie wraz z oddalaniem się od częstotliwości odcięcia. Szybkość tego

osłabiania zależy od zastosowanego filtru. Żeby tymczasem nie wnikać w szczegóły

powiedzmy tyko dla uproszczenia, że jako ogólne zalecenie można przyjąć częstotliwość

próbkowania 4-krotnie wyższą niż najwyższa interesująca nas częstotliwość, a częstotliwość

odcięcia filtru dolnoprzepustowego równą maksymalnej interesującej nas częstotliwości.

Znacznie lepiej jest jednak zbadać charakterystykę wykorzystywanego filtru. Znaleźć

rzeczywistą częstotliwość odcięcia

i rzeczywistą częstotliwość zaporową (o wymaganym

stopniu tłumienia)

. Charakterystykę filtru (przykładowy przebieg zaznaczono grubą różową

linią na rysunku 4) można uzyskać podając sygnał o stałej amplitudzie i rejestrując osłabienie

sygnału dla zadawanych kolejno częstotliwości. Zakres badanych częstotliwości długość

kroku zmian częstotliwości należy dobrać w zależności od zakładanej częstotliwości odcięcia

i stopniu osłabienia wymaganego dla częstotliwości zaporowej.

Rys. 4. Filtr antyaliasingowy

Zasadę stosowania filtru antyaliasingowego zobrazowano na rysunku 4.

2. Wykorzystywany sprzęt

Do rejestracji sygnału wykorzystano kartę pomiarową Keithley KPCI – 3108 (rys. 5),

zainstalowaną w komputerze klasy PC, o następujących parametrach:

- maksymalna częstotliwość próbkowania - 100 kS/s

- rozdzielczości - 16-Bit

- wejścia analogowe - 16

- wyjścia analogowe - 2.

Rys. 5. Karta pomiarowa Keithley KPCI – 3108.

Karta ta połączona jest specjalnym przewodem ze skrzynką połączeń przedstawioną na

rysunku 6. Do generacji sygnałów wykorzystano standardową kartę dźwiękową komputera

PC. Wyjście karty dźwiękowej należy połączyć z wejściem skrzynki połączeń oznaczonym

00 (tło napisu w kolorze żółtym)

Rys. 6. Skrzynka połączeń.

Do filtrowania sygnału użyto filtru, który przedstawiono na rysunku 7. Filtr należy włączyć w

tor pomiarowy podając sygnał z karty dźwiękowej na wejście filtru oznaczone 1 (dolne

złącze) a sygnał wyjściowy z filtru oznaczony 4 (górne złącze) podać na używane wcześniej

wejście skrzynki połączeń. Czerwone przełączniki znajdujące się pomiędzy złączami BNC

należy ustawić w pozycji ON. Teoretyczną częstotliwość odcięcia filtru ustawiamy na

potencjometrze o zakresie 50-5000Hz

Rys. 7. Filtr analogowy

3. Opisy programów

Oprogramowanie użyte w ćwiczeniu powstało w ZSiN w oparciu o środowisko LabView 7.0.

3.1 Program do generowania sygnału

Na rysunku 7 przedstawiono panel sterowania generatora sygnału. Umożliwia on

generowania sygnału o częstotliwości 8 kS/s składającego się z dwóch nałożonych na siebie

sinusoid oraz losowego szumu. Włączenie każdej ze składowych SINUSOIDA 1 i

SINUSOIDA 2 do generowanego sygnału odbywa się poprzez wciśnięcie przycisku

widocznego na panelu jako OFF i przełączenie go w stan ON odpowiednio dla każdej

składowej. Częstotliwości sinusoid określamy przy pomocy potencjometrów. Włączenie do

sygnału szumu następuje po wciśnięciu przycisku SZUM. Generowany sygnał prezentowany

jest na wykresie. Przedział czasowy generowanego sygnału prezentowanego na wykresie

wybieramy z menu OKNO.

Rys. 7. Panel generatora sygnałów

Zakończenie pracy programu następuje po wciśnięciu przycisku KONIEC.

2.2 Program do próbkowania sygnału

Na rysunku 8 przedstawiono panel sterowania generatora sygnału Program ten umożliwia

próbkowanie sygnału z częstotliwością nastawianą potencjometrem CZĘSTOTLIWOŚĆ

PRÓBKOWANIA. Do rozpoczęcia próbkowania służy przycisk START a do jego

zakończenia przycisk STOP. Rejestrowany sygnał prezentowany jest na wykresie

PRZEBIEG SYGNAŁU a jego widmo na wykresie FFT. Przedział czasowy rejestrowanego

sygnału prezentowanego na wykresie wybieramy z menu OKNO. Przyciskiem ZAPIS

PRZEBIEGU możemy zapisać zarejestrowany sygnał a przyciskiem ZAPIS FFT jego

widmo do pliku. Zapis możliwy jest jedynie po zakończeniu próbkowania

Rys. 8. panel sterowania rejestratora sygnałów

Zakończenie pracy programu następuje po wciśnięciu przycisku KONIEC.

3 Przebieg ćwiczenia

o Wygenerować sygnał złożony z dwóch częstotliwości około 80Hz i 850Hz

o Zarejestrować wygenerowany sygnał z częstotliwościami około 500Hz i 1000Hz

o Dołączyć do generowanego sygnału szum

o Zarejestrować wygenerowany sygnał z częstotliwościami około 500Hz i 1000Hz

o Przebiegi sygnałów oraz ich widma zapisać w postaci pliku RTX.

o Zarejestrować wygenerowany sygnał według zasad opisanych w części teoretycznej

przyjmując, że interesującą nas częścią widma jest przedział od 0-100Hz.

Wykorzystać filtr analogowy, zbadać jego charakterystykę.

Stopień tłumienia

dla

częstotliwości zaporowej przyjąć

20

.

o Sporządzić protokół z przeprowadzonych prac (zamieścić w nim wszystkie otrzymane

wykresy, opisać wszystkie wykonane czynności, zamieścić wnioski dotyczące

przeprowadzonych doświadczeń jak i wykorzystywanego oprogramowania, sprzętu)