http://chomikuj.pl/aligatorro
36
Rozdział III
Kwaterniony jako macierze
§ 1.
Wprowadzenie, działanie dodawania
W tej części pracy będziemy pisać
d
c
b
a
, zamiast używać postaci
macierzy
d
c
b
a
, dla dowolnych
d
c
b
a
,
,
,
.
Definicja 14.
[8]
Niech
( )
∈
−
=
C
t
z
z
t
t
z
C
M
,
:
2
.
Przyjmujemy,
ż
e w zbiorze
( )
C
M
2
spełnione s
ą
równo
ś
ci:
(
VII
)
−
=
−
u
v
v
u
z
t
t
z
wtedy i tylko wtedy, gdy
u
z =
,
v
t =
;
(
VIII
)
(
)
+
+
+
−
+
=
−
+
−
u
z
v
t
v
t
u
z
u
v
v
u
z
t
t
z
;
(
IX
)
(
)
−
+
+
−
−
=
−
−
v
t
zu
u
t
zv
u
t
zv
v
t
zu
u
v
v
u
z
t
t
z
dla
( )
C
M
u
v
v
u
z
t
t
z
2
,
∈
−
−
.
Twierdzenie 68.
[8]
W zbiorze
)
(
2
C
M
działanie + jest przemienne.
http://chomikuj.pl/aligatorro
37
Dowód.
We
ź
my
( )
C
M
u
v
v
u
z
t
t
z
2
,
∈
−
−
.
Na mocy twierdzenia 4
(
)
=
+
+
+
−
+
=
−
+
−
u
z
v
t
v
t
u
z
u
v
v
u
z
t
t
z
(
)
−
+
−
=
+
+
+
−
+
=
z
t
t
z
u
v
v
u
z
u
t
v
t
v
z
u
.
Twierdzenie 69.
[8]
W zbiorze
)
(
2
C
M
działanie + jest ł
ą
czne.
Dowód.
We
ź
my
( )
C
M
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
2
,
,
∈
−
−
−
.
(
)
=
−
+
+
+
+
−
+
=
−
+
−
+
−
p
r
r
p
u
z
v
t
v
t
u
z
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
+
+
+
+
+
−
+
+
=
+
+
+
+
−
+
−
+
+
=
p
u
z
r
v
t
r
v
t
p
u
z
p
u
z
r
v
t
r
v
t
p
u
z
(
)
(
)
(
)
=
+
+
+
−
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
−
+
+
=
p
u
r
v
r
v
p
u
z
t
t
z
p
u
z
r
v
t
r
v
t
p
u
z
−
+
−
+
−
=
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
38
Twierdzenie 70.
[8]
Macierz postaci
)
(
0
0
0
0
2
C
M
∈
jest elementem neutralnym dodawania
w zbiorze
)
(
2
C
M
.
Dowód.
−
=
+
+
+
−
+
=
+
−
z
t
t
z
z
t
t
z
z
t
t
z
0
0
0
0
0
0
0
0
.
Twierdzenie 71.
[8]
Macierz postaci
)
(
2
C
M
z
t
t
z
∈
−
−
−
jest elementem przeciwnym do
macierzy
−
z
t
t
z
w zbiorze
)
(
2
C
M
.
Dowód.
=
+
−
−
+
−
−
=
−
−
−
+
−
0
0
0
0
z
z
t
t
t
t
z
z
z
t
t
z
z
t
t
z
.
Definicja 15.
[8]
Macierz
)
(
2
C
M
z
t
t
z
∈
−
−
−
b
ę
dziemy nazywa
ć
elementem
przeciwnym do macierzy
)
(
2
C
M
z
t
t
z
∈
−
i b
ę
dziemy oznacza
ć
przez
−
−
z
t
t
z
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
39
Wniosek 72.
[8]
Zbiór
)
(
2
C
M
z działaniem + jest grup
ą
przemienn
ą
.
§ 2.
Mnożenie
Twierdzenie 73.
Działanie mno
ż
enia jest ł
ą
czne w zbiorze
)
(
2
C
M
.
Dowód.
We
ź
my
( )
C
M
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
2
,
,
∈
−
−
−
.
(
)
=
−
−
+
+
−
−
=
−
−
−
p
r
r
p
v
t
zu
u
t
zv
u
t
zv
v
t
zu
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+
−
−
+
+
−
+
−
−
−
+
−
−
r
u
t
zv
p
v
t
zu
p
u
t
zv
r
v
t
zu
p
u
t
zv
r
v
t
zu
r
u
t
zv
p
v
t
zu
=
−
−
−
+
+
−
−
−
+
−
−
−
−
=
r
u
t
r
zv
p
v
t
zup
p
u
t
p
zv
r
v
t
zur
p
u
t
p
zv
r
v
t
zur
r
u
t
r
zv
p
v
t
zup
;
(
)
=
−
+
+
−
−
−
=
−
−
−
r
v
up
p
v
ur
p
v
ur
r
v
up
z
t
t
z
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
−
−
−
+
+
−
−
+
−
+
−
−
=
p
v
ur
t
r
v
up
z
r
v
up
t
p
v
ur
z
r
v
up
t
p
v
ur
z
p
v
ur
t
r
v
up
z
−
−
−
−
+
+
+
−
−
−
−
−
−
p
v
t
r
u
t
r
zv
zup
r
v
t
p
u
t
p
zv
zur
r
v
t
p
u
t
p
zv
zur
p
v
t
r
u
t
r
zv
zup
.
Wobec przemienno
ś
ci mno
ż
enia i dodawania liczb zespolonych
−
−
−
=
−
−
−
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
40
Twierdzenie 74.
[8]
Macierz postaci
)
(
1
0
0
1
2
C
M
∈
jest elementem neutralnym mno
ż
enia.
Dowód.
Niech
)
(
1
0
0
1
,
2
C
M
z
t
t
z
∈
−
.
−
=
+
+
−
−
=
−
z
t
t
z
z
t
z
t
t
z
t
z
z
t
t
z
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
o
o
o
o
o
o
o
o
;
(
)
(
)
−
=
+
−
+
+
−
+
=
−
z
t
t
z
z
t
t
z
z
t
t
z
z
t
t
z
o
o
o
o
o
o
o
o
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
.
Twierdzenie 75.
Elementem odwrotnym w sensie działania mno
ż
enia do elementu
≠
−
0
0
0
0
z
t
t
z
jest
+
+
−
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
t
z
z
t
z
t
t
z
t
t
z
z
.
Dowód.
=
+
+
−
+
+
−
2
2
2
2
2
2
2
2
t
z
z
t
z
t
t
z
t
t
z
z
z
t
t
z
+
+
+
+
−
+
+
−
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
z
z
t
z
t
t
z
t
z
t
z
t
z
t
z
zt
zt
t
z
t
t
z
z
=
1
0
0
1
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
41
Twierdzenie 76.
[8]
Działanie mno
ż
enia nie jest przemienne w zbiorze
)
(
2
C
M
.
Dowód.
Niech
)
(
,
2
C
M
u
v
v
u
z
t
t
z
∈
−
−
.
=
−
−
u
v
v
u
z
t
t
z
(
)
−
+
+
−
−
=
v
t
zu
u
t
zv
u
t
zv
v
t
zu
=
+
−
+
−
−
−
≠
z
u
t
v
t
u
z
v
z
v
ut
t
v
uz
(
)
−
−
=
−
+
−
−
−
=
z
t
t
z
u
v
v
u
t
v
uz
ut
z
v
z
v
ut
t
v
uz
.
Wniosek 77.
Zbiór
)
(
2
C
M
z mno
ż
eniem jest grup
ą
nieprzemienn
ą
.
Twierdzenie 78.
[8]
Działanie mno
ż
enia jest rozdzielne wzgl
ę
dem dodawania w zbiorze
)
(
2
C
M
.
Dowód.
We
ź
my
( )
C
M
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
2
,
,
∈
−
−
−
.
(
)
=
−
+
+
+
−
+
=
−
−
+
−
p
r
r
p
u
z
v
t
v
t
u
z
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
+
+
−
+
+
+
+
−
+
−
+
−
+
=
p
u
z
r
v
t
r
u
z
p
v
t
p
v
t
r
u
z
r
v
t
p
u
z
http://chomikuj.pl/aligatorro
42
+
+
−
−
+
+
+
−
−
−
−
−
−
+
=
p
u
p
z
r
v
r
t
r
u
r
z
p
v
p
t
p
v
p
t
ur
zr
r
v
r
t
up
zp
;
=
−
−
+
−
−
p
r
r
p
u
v
v
u
p
r
r
p
z
t
t
z
=
+
−
+
−
−
−
+
+
−
+
−
−
−
=
p
u
r
v
r
u
p
v
p
v
ur
r
v
up
p
z
r
t
r
z
p
t
p
t
zr
r
t
zp
=
+
−
+
−
+
+
+
−
−
−
−
−
+
−
=
p
u
r
v
p
z
r
t
r
u
p
v
r
z
p
t
p
v
ur
p
t
zr
r
v
up
r
t
zp
+
+
−
−
+
+
+
−
−
−
−
−
−
+
=
p
u
p
z
r
v
r
t
r
u
r
z
p
v
p
t
p
v
p
t
ur
zr
r
v
r
t
up
zp
.
Z powy
ż
szego wynika natychmiast,
ż
e
−
−
+
−
−
=
−
−
+
−
p
r
r
p
u
v
v
u
p
r
r
p
z
t
t
z
p
r
r
p
u
v
v
u
z
t
t
z
.
Wniosek 79.
Układ
+
1
0
0
1
,
0
0
0
0
,
,
),
(
2
o
C
M
jest ciałem nieprzemiennym.
§ 3.
Definicja macierzy kwaternionu
Niech
(
)
H
t
z
q
∈
=
,
,
)
(
2
C
M
z
t
t
z
∈
−
. Okre
ś
lmy odwzorowanie
(
X
)
)
(
:
2
C
M
H
f
→
,
−
=
z
t
t
z
q
f
)
(
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
43
Definicja 16.
[8]
Wyra
ż
enie postaci
)
(
2
C
M
z
t
t
z
∈
−
b
ę
dziemy nazywa
ć
macierz
ą
kwaternionu
(
)
H
t
z
q
∈
=
,
.
Definicja 17.
[8]
Ciało H kwaternionów i ciało macierzy kwaternionów
)
(
2
C
M
s
ą
izomorficzne. Izomorfizmem jest odwzorowanie (
X
).
Dowód.
Niech
H
v
u
q
t
z
q
∈
=
=
)
,
(
),
,
(
2
1
.
(
)
(
)
(
)
=
+
+
=
+
=
+
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
v
t
u
z
f
v
u
t
z
f
q
q
f
(
)
=
+
+
+
−
+
u
z
v
t
v
t
u
z
(
)
(
)
( )
( )
2
1
)
,
(
)
,
(
q
f
q
f
v
u
f
t
z
f
u
v
v
u
z
t
t
z
+
=
+
=
−
+
−
=
;
(
)
(
)
(
)
=
−
+
+
−
−
=
+
−
=
v
t
zu
u
t
zv
u
t
zv
v
t
zu
u
t
zv
v
t
zu
f
q
q
f
,
2
1
( ) ( )
2
1
q
f
q
f
u
v
v
u
z
t
t
z
u
z
v
t
u
t
v
z
u
t
zv
v
t
zu
=
−
−
=
+
+
−
−
−
=
;
( )
(
)
=
=
1
0
0
1
)
0
,
1
(
1
f
f
;
( )
(
)
=
=
0
0
0
0
)
0
,
0
(
0
f
f
.