1. Wprowadzenie.doc, 1/21
WPROWADZENIE
1
Pojęcia ogólne
• sygnał: proces zmian w czasie pewnej wielkości fizycznej lub stanu fizycznego pewnego
obiektu; służący do przedstawienia, rejestracji lub przekazywania informacji (jest jej
nośnikiem), wynik pomiaru dokonanego na obiekcie, nie każdy sygnał niesie informację
• informacja: wiedza otrzymana przez odbiór wiadomości, która pozwala odbiorcy
zrealizować lub ulepszyć jego działanie (rozprasza niepewność odbiorcy, eliminuje jego
niewiedzę), zatem informacja ma charakter:
- potencjalny – można lub nie wykorzystać ją do aktualnego działania jej odbiorcy
- względny – dla jednego odbiorcy wartościowa informacja, dla innego zakłócenie
• w połowie XX wieku pojęcie informacji zobiektywizował i podał metody jej pomiaru
C.E. Shannon
• aby sygnał mógł być obiektem badań teoretycznych należy ustalić sposób jego
matematycznego opisu, czyli utworzyć jego model matematyczny, inaczej funkcyjną
zależność, której argumentem na ogół jest czas (cecha sygnałów rzeczywistych)
• model matematyczny pozwala abstrahować od fizycznej natury źródła sygnału (ten sam
model równie dobrze może opisywać prąd, napięcie itp.)
• model matematyczny pozwala na opis obiektywnie najważniejszych cech sygnału,
z pominięciem cech drugorzędnych (wybór modelu jest więc procesem twórczym)
1
opracowano na podstawie [1-5], wersja z dnia 26.09.2014
materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi
jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład
1. Wprowadzenie.doc, 2/21
WPROWADZENIE
Pojęcia ogólne (cd)
• funkcje opisujące sygnały mogą przybierać wartości rzeczywiste lub zespolone, dlatego
mówimy o rzeczywistych i zespolonych modelach sygnałów (rzeczywista lub zespolona
funkcja czasu
• modele matematyczne umożliwiają porównanie sygnałów (przeprowadzenie klasyfikacji)
• model matematyczny powinien być intuicyjny (zgodny z odczuciem pojęcia sygnału),
ogólny (opis szerokiej klasy sygnałów) oraz zapewniać łatwość analizy matematycznej
przedmiotem dalszych rozważań jest model matematyczny, a nie sygnał fizyczny
Klasyfikacja sygnałów
• sygnał jednowymiarowy – opisywany pojedynczą funkcją czasu
• sygnał wielowymiarowy – uporządkowany zbiór sygnałów jednowymiarowych,
opisywany wektorem o postaci
( )
( ) ( )
( )
[
]
t
x
t
x
t
x
t
N
...,
,
,
2
1
=
x
,
gdzie
N
– wymiar sygnału
(często sygnał będący funkcją wielu zmiennych, np. czas, współrzędne przestrzenne)
• sygnał o nieskończonym czasie trwania (przybiera wartości różne od zera
w przedziale nieskończonym)
• sygnał o skończonym czasie trwania (inaczej impulsowy) – przebieg określony
w skończonym przedziale czasu
2
1
,t
t
1. Wprowadzenie.doc, 3/21
WPROWADZENIE
Klasyfikacja sygnałów (cd)
• sygnał deterministyczny – model matematyczny sygnału pozwala określić wartość
sygnału w dowolnej chwili czasu zarówno w przeszłości jak i w przyszłości (nie istnieją
w rzeczywistym świecie)
• sygnał stochastyczny (losowy) - model matematyczny sygnału nie pozwala
przewidywać wartość sygnału w dowolnej chwili czasu
• sygnał ciągły w czasie
( )
t
x
(krótko sygnał ciągły) – wartość sygnału określona
w nieograniczonym lub ograniczonym zbiorze ciągłym osi czasu
• sygnał dyskretny w czasie
( )
n
t
x
– wartość sygnału określona tylko w dyskretnym
(skończonym lub przeliczalnym) zbiorze punktów na osi czasu
{
}
...
,
,
,
,
,
...,
2
1
0
1
2
t
t
t
t
t
−
−
sygnały dyskretne mogą występować w sposób naturalny lub być efektem próbkowania
sygnałów analogowych (najczęściej równomiernego, w chwilach
s
n
nT
t =
, gdzie
s
T
-
przedział dyskretyzacji, inaczej okres próbkowania)
używa się także unormowanego (bezwymiarowego) argumentu
s
n
T
t
n =
, stąd
( )
n
x
• sygnał ciągły w amplitudzie – zbiór możliwych wartości sygnału jest zbiorem ciągłym
• sygnał dyskretny w amplitudzie – zbiór możliwych wartości sygnału jest zbiorem
dyskretnym (skończonym lub przeliczalnym)
• sygnał ciągły w amplitudzie – zbiór możliwych wartości sygnału jest zbiorem ciągłym
• sygnał dyskretny w amplitudzie – zbiór możliwych wartości sygnału jest zbiorem
dyskretnym (skończonym lub przeliczalnym)
1. Wprowadzenie.doc, 4/21
WPROWADZENIE
Klasyfikacja sygnałów (cd)
• zatem, ze względu na czasową i amplitudową strukturę, sygnały dzielimy na:
- sygnały ciągłe z czasem ciągłym (sygnały analogowe)
- sygnały dyskretne z czasem ciągłym
- sygnały ciągłe z czasem dyskretnym
- sygnały dyskretne z czasem dyskretnym
0
x(t)
0
x(n)
0
0
x(n)
n
t
n
t
x(t)
1. Wprowadzenie.doc, 5/21
WPROWADZENIE
Deterministyczny model sygnału
• model deterministyczny stosowany jest w sytuacjach, w których sygnał traktowany jest
jako nośnik energii (teoria obwodów, teoria układów elektronicznych)
• model stochastyczny stosowany jest w sytuacjach, w których dominują zagadnienia
przesyłania informacji (zagadnienia telekomunikacyjne, technika pomiarowa)
• sygnały deterministyczne nie przenoszą informacji, stąd ich ograniczone zastosowanie
w telekomunikacji i radiokomunikacji, jednak umiejętność ich opisu stanowi podstawę do
zrozumienia problematyki sygnałów stochastycznych
• sygnałem deterministycznym jest dowolna rzeczywista lub zespolona funkcja czasu lub
też dystrybucja czasu (funkcja uogólniona)
• nie wszystkie funkcje i dystrybucje są sensownymi modelami sygnałów fizycznych,
spośród wszystkich klas sygnałów wyróżnia się dwie, które stosunkowo najlepiej opisują
rzeczywistość fizyczną: klasa sygnałów o ograniczonej energii (sygnały energii) oraz
klasa sygnałów o ograniczonej mocy (sygnały mocy)
1. Wprowadzenie.doc, 6/21
WPROWADZENIE
Deterministyczny model sygnału (cd)
• zespolony model sygnału (umożliwia uproszczenie analizy)
- postać algebraiczna sygnału
( )
( )
( )
t
jy
t
x
t
z
+
=
gdzie:
( )
( )
t
z
t
x
Re
=
oraz
( )
( )
t
z
t
y
Im
=
- sygnały rzeczywiste
- biegunowa (wykładnicza) postać sygnału
( )
( )
( )
t
j
e
t
z
t
z
ϕ
=
gdzie:
( )
( )
( )
t
y
t
x
t
z
2
2
+
=
- moduł sygnału
( )
( ) ( )
[
]
t
x
t
y
t
arctg
=
ϕ
- argument sygnału
- sygnał sprzężony z sygnałem
( )
t
z
( )
( )
( )
( )
( )
t
j
e
t
z
t
jy
t
x
t
z
ϕ
−
=
−
=
*
- zespolony sygnał harmoniczny
( )
t
j
t
e
t
z
t
j
0
0
sin
cos
0
ω
+
ω
=
=
ω
, gdzie
0
0
2
T
π
=
ω
• sygnał okresowy
( )
(
)
( )
(
)
...,
,
2
,
1
,
,
0
0
±
±
=
+
=
+
=
k
kN
n
x
n
x
kT
t
x
t
x
1. Wprowadzenie.doc, 7/21
WPROWADZENIE
Deterministyczny model sygnału - parametry
• najprostszymi charakterystykami sygnałów są ich parametry
• wartość średnia sygnału impulsowego odpowiednio:
( )
t
x
w przedziale
2
1
,t
t
oraz
( )
n
x
w przedziale
2
1
,n
n
( )
∫
−
>=
<
2
1
1
2
1
t
t
dt
t
x
t
t
x
,
( )
∑
=
+
−
>=
<
2
1
1
1
1
2
n
n
n
n
x
n
n
x
wartość średnia dla sygnałów o nieskończonym czasie trwania
( )
∫
τ
τ
−
∞
→
τ
τ
>=
<
dt
t
x
x
2
1
lim
,
( )
∑
−
=
∞
→
+
>=
<
N
N
n
N
n
x
N
x
1
2
1
lim
wartość średnia dla sygnałów okresowych o okresie odpowiednio
0
T
oraz
0
N
( )
∫
+
>=
<
0
0
0
0
1
T
t
t
dt
t
x
T
x
,
( )
∑
−
+
=
>=
<
1
0
0
0
0
1
N
n
n
n
n
x
N
x
gdzie
0
t
oraz
0
n
- dowolne wartości odpowiednio rzeczywiste i całkowite
1. Wprowadzenie.doc, 8/21
WPROWADZENIE
Deterministyczny model sygnału – parametry (cd)
• całka sygnału
( )
t
x
[ ]
( )
∫
∞
∞
−
∞
<
<
∞
−
=
t
dt
t
x
x
dla
definicja ma sens jedynie w odniesieniu do takich sygnałów, dla których istnieje
skończona wartość całki
• energia sygnału rzeczywistego odpowiednio
( )
t
x
oraz
( )
n
x
[ ]
( )
∫
∞
∞
−
=
=
dt
t
x
x
E
x
2
2
,
( )
∑
∞
∞
=
=
n
x
n
x
E
2
dla sygnałów zespolonych
[ ]
( )
∫
∞
∞
−
=
=
dt
t
x
x
E
x
2
2
,
( )
∑
∞
∞
=
=
n
x
n
x
E
2
1. Wprowadzenie.doc, 9/21
WPROWADZENIE
Deterministyczny model sygnału – parametry (cd)
• moc średnia sygnału impulsowego odpowiednio:
( )
t
x
w przedziale
2
1
,t
t
oraz
( )
n
x
w przedziale
2
1
,n
n
(
)
( )
∫
−
>=
=<
2
1
2
1
2
2
2
1
1
,
t
t
x
dt
t
x
t
t
x
t
t
P
,
(
)
( )
∑
=
+
−
>=
=<
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
,
n
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
P
moc średnia dla sygnałów o nieskończonym czasie trwania
( )
∫
τ
τ
−
∞
→
τ
τ
>=
=<
dt
t
x
x
P
x
2
2
2
1
lim
,
( )
∑
−
=
∞
→
+
=
N
N
n
N
x
n
x
N
P
2
1
2
1
lim
moc średnia dla sygnałów okresowych o okresie odpowiednio
0
T
oraz
0
N
( )
( )
∫
+
>=
=<
0
0
0
2
0
2
1
T
t
t
x
dt
t
x
T
x
T
P
,
( )
∑
−
+
=
=
1
2
0
0
0
0
1
N
n
n
n
x
n
x
N
P
gdzie
0
t
oraz
0
n
- dowolne wartości odpowiednio rzeczywiste i całkowite
dla sygnałów zespolonych w powyższych wyrażeniach wystąpi odpowiednio
( )
2
t
x
oraz
( )
2
n
x
1. Wprowadzenie.doc, 10/21
WPROWADZENIE
Deterministyczny model sygnału – parametry (cd)
• dla wielu sygnałów o nieskończonym czasie trwania, w tym sygnałów okresowych,
energia jest nieskończona, ale skończona jest moc średnia
• wartość skuteczna sygnału
( )
t
x
oraz
( )
n
x
x
sk
P
x
=
• jeśli
∞
<
<
x
E
0
wówczas
( )
t
x
i odpowiednio
( )
n
x
nazywamy sygnałami
o ograniczonej energii lub sygnałami energii (np. sygnały impulsowe o ograniczonej
amplitudzie, sygnały o nieskończonym czasie trwania ale o dostatecznie szybko
malejącej amplitudzie)
• jeśli
∞
<
<
x
P
0
wówczas
( )
t
x
i odpowiednio
( )
n
x
nazywamy sygnałem
o ograniczonej mocy lub sygnałem mocy (sygnały o nieskończonym czasie trwania
i ograniczone w amplitudzie, sygnały okresowe)
• moc sygnałów o ograniczonej energii jest równa zeru; energia sygnałów o ograniczonej
mocy jest nieskończona
1. Wprowadzenie.doc, 11/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych
Analogowe sygnały impulsowe o ograniczonej energii
• jednostkowa funkcja prostokątna
( )
t
Π
( )
( )
<
=
>
=
Π
=
2
1
1
2
1
2
1
2
1
0
t
t
t
t
t
x
dla
dla
dla
[ ]
1
1
1
=
=
=
x
E
x
x
• impuls trójkątny
( )
t
Λ
( )
( )
≤
−
>
=
Λ
=
1
1
1
0
t
t
t
t
t
x
dla
dla
[ ]
3
2
2
1
1
=
=
=
x
E
x
x
0
1
t
1/2
x(t)
-1/2
0
1
t
1
x(t)
-1
1. Wprowadzenie.doc, 12/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych (cd)
Analogowe sygnały o ograniczonej energii i nieskończonym czasie trwania
• sygnał wykładniczy malejący
( )
0
0
0
0
2
0
0
0
>
α
<
=
>
=
α
−
t
t
X
t
e
X
t
x
t
dla
dla
dla
[ ]
α
=
=
α
=
2
0
2
0
0
X
E
x
X
x
x
• sygnał
Sa
( )
=
≠
ω
ω
=
ω
=
0
1
0
sin
Sa
0
0
0
t
t
t
t
t
t
x
dla
dla
[ ]
0
0
0
ω
π
=
=
ω
π
=
x
E
x
x
2π/ω
0
π/ω
0
-π/ω
0
0
1
x(t)
t
0
X
0
t
x(t)
1. Wprowadzenie.doc, 13/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych (cd)
• sygnał gaussowski
( )
2
t
e
t
x
π
−
=
[ ]
2
1
0
1
=
=
=
x
E
x
x
Analogowe sygnały nieokresowe o ograniczonej mocy średniej
• sygnał stały
( )
∞
<
<
∞
−
=
t
t
x
dla
1
1
1
=
=
x
P
x
0
1
t
x(t)
0
1
t
x(t)
1. Wprowadzenie.doc, 14/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych (cd)
• skok jednostkowy
( )
t
1
( ) ( )
<
=
>
=
=
0
0
0
2
1
0
1
t
t
t
t
t
x
dla
dla
dla
1
2
1
2
1
=
=
x
P
x
• skok jednostkowy przesunięty w czasie
(
)
τ
−
t
1
( )
(
)
τ
<
τ
=
τ
>
=
τ
−
=
t
t
X
t
X
t
X
t
x
0
2
0
0
0
dla
dla
dla
1
2
2
2
0
0
X
P
X
x
x
=
=
0
1
t
x(t)
τ
0
X
0
t
x(t)
1. Wprowadzenie.doc, 15/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych (cd)
przykłady wykorzystania
( )
( ) (
) (
)
[
]
τ
−
τ
−
−
τ
=
t
t
t
t
X
t
x
1
1
0
( )
( )
(
)
[
]
τ
−
−
τ
=
t
t
t
t
X
t
x
1
1
0
sygnał wykładniczy narastający
( )
(
)
( )
0
,
1
>
α
−
=
α
−
t
e
t
x
t
1
2
1
2
1
=
=
x
P
x
τ
0
X
0
t
x(t)
τ
0
X
0
t
x(t)
0
t
1
x(t)
1. Wprowadzenie.doc, 16/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych (cd)
• sygnał
( )
t
sgn
( )
( )
<
−
=
>
=
=
0
1
0
0
0
1
sgn
t
t
t
t
t
x
dla
dla
dla
1
0
=
=
x
P
x
Sygnały okresowe o ograniczonej mocy średniej
• sygnał harmoniczny
( )
(
)
∞
<
<
∞
−
ϕ
+
ω
=
t
t
X
t
x
,
sin
0
0
0
2
0
2
1
0
X
P
x
x
=
=
1
t
0
x(t)
-1
ϕ
0
-X
0
X
0
t
x(t)
0
1. Wprowadzenie.doc, 17/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych (cd)
Sygnały dystrybucyjne
• dystrybucja
( )
t
δ
(delta Diraca)
( )
=
∞
≠
=
δ
0
0
0
t
t
t
dla
dla
( )
1
=
δ
∫
∞
∞
−
dt
t
• dystrybucja sza (dystrybucja grzebieniowa) - okresowy ciąg impulsów Diraca
o wadze 1 i okresie 1
( )
(
)
∑
∞
−∞
=
−
δ
=
ΙΙΙ
n
n
t
t
1δ(t)
t
0
δ(t)
t
0
0
1δ(t-t
0
)
t
δ(t-t
0
)
1δ(t)
III(t)
0
2
t
1
3
4
5
-4
-5
-3
-2
-1
1. Wprowadzenie.doc, 18/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych (cd)
• właściwości dystrybucji
( )
t
δ
- właściwość próbkowania
( ) (
)
( ) (
)
0
0
0
t
t
t
x
t
t
t
x
−
δ
=
−
δ
efektem mnożenia sygnału
( )
t
x
przez impuls Diraca jest impuls Diraca o wadze
równej wartości tego sygnału w chwili występowania dystrybucji
( )
t
δ
- właściwość filtracji
( ) (
)
( )
0
0
t
x
dt
t
t
t
x
=
−
δ
∫
∞
∞
−
- związek ze skokiem jednostkowym (różniczkowanie i całkowanie w sensie
dystrybucyjnym)
( )
( )
t
dt
t
t
1
=
δ
∫
∞
−
'
'
oraz
( ) ( )
t
t
dt
d
δ
=
1
- właściwość splotu (właściwość powtarzania, delta Diraca jest elementem
identycznościowym operacji splotu)
( ) ( )
( )
t
x
t
t
x
=
δ
∗
oraz
( ) (
)
(
)
0
0
t
t
x
t
t
t
x
−
=
−
δ
∗
1. Wprowadzenie.doc, 19/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych (cd)
Dyskretne sygnały impulsowe o ograniczonej energii
• impuls (delta) Kroneckera
( )
n
δ
( ) ( )
≠
=
=
δ
=
0
0
0
1
n
n
n
n
x
dla
dla
1
1
=
=
x
E
x
( ) (
)
≠
=
=
−
δ
=
0
0
0
0
1
n
n
n
n
n
n
n
x
dla
dla
• impuls prostokątny
( )
>
≤
=
N
n
N
n
n
x
0
1
dla
dla
1
2
1
+
=
=
N
E
x
x
0
n
δ(n)
1
4
3
2
1
-4
0
1
n
x(n)
N=4
n
0
0
n
δ(n-n
0
)
1
1. Wprowadzenie.doc, 20/21
WPROWADZENIE
Przykłady sygnałów elementarnych (cd)
Sygnały o ograniczonej mocy
• sygnał stały
( )
∞
<
<
∞
=
n
n
x
-
1
dla
1
1
=
=
x
P
x
• skok jednostkowy
( ) ( )
<
≥
=
=
0
0
0
1
n
n
n
n
x
dla
dla
1
2
1
2
1
=
=
x
P
x
• sygnał
N
-okresowy
próbkowanie analogowego sygnału okresowego nie zawsze daje w wyniku sygnał
okresowy; jeśli analogowy sygnał okresowy
( )
t
x
o okresie
T
jest próbkowany
z okresem
s
T
takim, że
0
T
NT
s
=
, to otrzymany sygnał dyskretny jest okresowy
z okresem
N
(dla unormowanego czasu) nazywany inaczej sygnałem
N
-okresowym
0
1
n
x(n)
0
1
n
x(n)
1. Wprowadzenie.doc, 21/21
BIBLIOGRAFIA
1. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów. Kompendium wiedzy na temat
sygnałów i metod ich przetwarzania, Helion, Gliwice, 2006
2. Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności,
Warszawa, 1982.
3. Szabatin J.: Przetwarzanie sygnałów. Materiały dydaktyczne Politechniki Warszawskiej,
2003,
www.ise.pw.pl/~szabatin
.
4. Baskakow S.I.: Sygnały i układy radiotechniczne. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 1991.
5. Ozimek E.: Podstawy teoretyczne analizy widmowej sygnałów. Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa-Poznań, 1985.