Politechnika Świętokrzyska
Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn
Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN
Zakład Informatyki i Robotyki
Przedmiot: Podstawy automatyzacji – laboratorium, rok III, sem II.

Ćwiczenie nr 2

Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych – symulacja komputerowa

1. Transmitancja widmowa

Charakterystyka częstotliwościowa pokazuje, jak składowa sygnału o określonej

częstotliwości f jest przenoszona na wyjście układu. Obejmuje zachowanie się układu dla

wszystkich wielkości pulsacji ω sygnału wejściowego. Jeżeli na wejście układu liniowego

zostanie podane wymuszenie sinusoidalne o stałej pulsacji ω, to na wyjściu układu po

pewnym stanie nieustalonym, ustali się również sygnał sinusoidalny o tej samej pulsacji ω.

Sygnał wyjściowy najogólniej posiadać będzie inną amplitudę A i będzie przesunięty w fazie

φ

względem sygnału wejściowego. Z przesunięciem fazowym wiąże się opóźnienie φ < 0 lub

przyspieszenie dla φ > 0.

Transmitancja widmowa

)

(

)

(

s

G

j

G

=

ϖ

,

(1)

gdzie:

ϖ

j

s

=

,

jest stosunkiem wartości zespolonej odpowiedzi układu, wywołanej wymuszeniem

sinusoidalnym do wartości tego wymuszenia w stanie ustalonym.

2. Wymuszenie sinusoidalne

Sygnał sinusoidalny definiujemy w następujący sposób:

)

sin(

ϕ

ϖ

+

⋅

⋅

t

A

,

(2)

gdzie:

A – amplituda sygnału,

ω

– częstotliwośc własna sygnału,

φ

– przesuniecie fazowe sygnału,

t – czas (zmienna niezależna).

Rys.2.1. Przebieg sygnału sinusoidalnego (2)

Na rysunku 2.1 zaznaczono okres drgań T, który jest związany z każdym sygnałem

sinusoidalnym.

3. Charakterystyka amplitudowo – fazowa

Wykres G(jω) nazywa się

charakterystyką

amplitudowo-fazową. Charakterystyka ta

bazuje na pojęciu transmitancji widmowej, która jest funkcją zespoloną pulsacji

ω

i parametrów układu automatyki. Jest on miejscem geometrycznym końców wektorów,

których d

ł

ugość

reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia, a kąt

przesunięcie fazowe między odpowiedzią

a wymuszeniem. Można powiedzieć, że

charakterystykę amplitudowo-fazową (wykres Nyquista) otrzymuje się przechodząc z układu

biegunowego (amplituda A(ω) i faza φ(ω)) na układ prostokątny (część rzeczywista P(ω)

i urojona Q(ω)). Punkty o wspó

ł

rzędnych (P(ω) i Q(ω)) można uważać

za koniec wektora

G(jω

1

)

o długości A(ω

1

) i kącie nachylenia względem dodatniego kierunku osi rzeczywistej

φ

(ω

1

). Jeśli pulsacja ω ulegnie zmianie, wówczas wektor G(jω) zmienia swoją

wartość

bezwzględną

i obraca się, gdyż

jego argument φ(ω

1

) także zależy od pulsacji.

Charakterystyka Nyquista jest hodografem wektora G(jω). Pulsacja ω jest parametrem

charakterystyki amplitudowo-fazowej, dlatego podaje się

jej rozk

ł

ad wzdłuż

charakterystyki

przez wpisanie wartości w ważniejszych punktach. Charakterystyki amplitudowo-fazowe

uk

ł

adów rzeczywistych, dla których stopień

wielomianu licznika transmitancji jest niższy od

stopnia wielomianu mianownika, dążą

do początku uk

ł

adu wspó

ł

rzędnych:

G(jω) → 0 , przy ω → ∞.

4. Charakterystyki logarytmiczne

Zależność

argumentu transmitancji widmowej φ(ω) wykreślona w logarytmicznej

skali pulsacji ω nazywa się

charakterystyką

logarytmiczną

fazową, a zależność

20log

10

|

G(jω)| wykreślona w logarytmicznej skali pulsacji ω

nazywa się logarytmiczną

charakterystyką

amplitudową. Zasadniczą

zaletą

charakterystyk logarytmicznych jest łatwość

określania charakterystyki wypadkowej układów, których transmitancje stanowią

iloczyn

transmitancji członów składowych. Umożliwia to zastąpienie mnożenia transmitancji

łatwiejsza

operacją

matematyczna

– sumowaniem. Charakterystyki logarytmiczne są

określane w literaturze jako charakterystyki Bode'go.

5. Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych

Przykład 1

Wyznaczanie charakterystyki Nyquista.

Dana jest transmitancja operatorowa układu

)

4

)(

3

(

1

)

(

+

+

=

s

s

s

G

,

(3)

wykreśl charakterystykę amplitudowo-fazową.

12

7

1

)

(

)

(

2

+

+

−

=

=

=

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

j

s

G

j

G

j

s

(4)













+

−

−

+













+

−

−

=

2

2

2

2

2

2

2

49

)

12

(

7

49

)

12

(

12

)

(

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

j

j

G

(5)

Po przejściu na transmitancje widmową (4), wyznaczamy część rzeczywistą P(ω)

i urojoną Q(ω) (5) następnie wyliczamy kilka punktów (patrz tab. 5.1).

ω

( )

ϖ

P

( )

ϖ

Q

0

0.0833333

0

0.1

0.0831195

-0.00485268

0.2

0.0824818

-0.00965507

1

0.0647059

-0.0411765

2

0.0307692

-0.0538462

12

0

-0.0412393

10

-0.00695982

-0.00553622

20

-0.00228042

-0.000822832

∞

+

0

0

Tabela 5.1 Przykładowe punkty charakterystyki

Przy wykreślaniu koniecznie trzeba obliczyć punkty dla ω równe 0 i +∞. Poniżej na

rysunku 5.2 przedstawiono wykres charakterystyki amplitudowej układu (3).

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Re

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

Im

Rys. 5.1. Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej przykładu (3)

Przykład 2

Wyznaczanie charakterystyki Nyquista za pomocą programu MatLab.

>> [Re,im] = nyquist(G(s));
>> nyquist(G(s),[wybrane punkty]);

Przykład 3

Wyznaczanie charakterystyki Bodego za pomocą programu SciLab.

>> [amp,faza] = bode(G(s));
>> bode(G(s),{przedział warto

ś

ci});

6. Przebieg ćwiczenia

1.

Naszkicuj dowolną charakterystykę Nyquista w sposób podany w przykładzie 1.

(Przedstaw pełny tok obliczeń.)

2.

Naszkicuj charakterystyki Nyquista i Bode’go (przykłady 2 i 3) dla czterech

wybranych podstawowych bloków automatyki. Podaj przyjęte wartości parametrów

k i T

x

.

3.

Opisz jedną charakterystykę Bode’go. Wskaż zmiany w amplitudzie i fazie sygnału

wyjściowego w zależności od częstotliwości sygnału wejściowego.