Politechnika Świętokrzyska
Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn
Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN
Zakład Informatyki i Robotyki
Przedmiot: Podstawy automatyzacji – laboratorium, rok III, sem II.
Ćwiczenie nr 2
Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych – symulacja komputerowa
1. Transmitancja widmowa
Charakterystyka częstotliwościowa pokazuje, jak składowa sygnału o określonej
częstotliwości f jest przenoszona na wyjście układu. Obejmuje zachowanie się układu dla
wszystkich wielkości pulsacji ω sygnału wejściowego. JeŜeli na wejście układu liniowego
zostanie podane wymuszenie sinusoidalne o stałej pulsacji ω, to na wyjściu układu po
pewnym stanie nieustalonym, ustali się równieŜ sygnał sinusoidalny o tej samej pulsacji ω.
Sygnał wyjściowy najogólniej posiadać będzie inną amplitudę A i będzie przesunięty w fazie
φ
względem sygnału wejściowego. Z przesunięciem fazowym wiąŜe się opóźnienie φ < 0 lub
przyspieszenie dla φ > 0.
Transmitancja widmowa
)
(
)
(
s
G
j
G
=
ϖ
,
(1)
gdzie:
ϖ
j
s
=
,
jest stosunkiem wartości zespolonej odpowiedzi układu, wywołanej wymuszeniem
sinusoidalnym do wartości tego wymuszenia w stanie ustalonym.
2. Wymuszenie sinusoidalne
Sygnał sinusoidalny definiujemy w następujący sposób:
)
sin(
ϕ
ϖ
+
⋅
⋅
t
A
,
(2)
gdzie:
A – amplituda sygnału,
ω
– częstotliwośc własna sygnału,
φ
– przesuniecie fazowe sygnału,
t – czas (zmienna niezaleŜna).
Rys.2.1. Przebieg sygnału sinusoidalnego (2)
Na rysunku 2.1 zaznaczono okres drgań T, który jest związany z kaŜdym sygnałem
sinusoidalnym.
3. Charakterystyka amplitudowo – fazowa
Wykres G(jω) nazywa się
charakterystyką
amplitudowo-fazową. Charakterystyka ta
bazuje na pojęciu transmitancji widmowej, która jest funkcją zespoloną pulsacji
ω
i parametrów układu automatyki. Jest on miejscem geometrycznym końców wektorów,
których d
ł
ugość
reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia, a kąt
przesunięcie fazowe między odpowiedzią
a wymuszeniem. MoŜna powiedzieć, Ŝe
charakterystykę amplitudowo-fazową (wykres Nyquista) otrzymuje się przechodząc z układu
biegunowego (amplituda A(ω) i faza φ(ω)) na układ prostokątny (część rzeczywista P(ω)
i urojona Q(ω)). Punkty o wspó
ł
rzędnych (P(ω) i Q(ω)) moŜna uwaŜać
za koniec wektora
G(jω
1
)
o długości A(ω
1
) i kącie nachylenia względem dodatniego kierunku osi rzeczywistej
φ
(ω
1
). Jeśli pulsacja ω ulegnie zmianie, wówczas wektor G(jω) zmienia swoją
wartość
bezwzględną
i obraca się, gdyŜ
jego argument φ(ω
1
) takŜe zaleŜy od pulsacji.
Charakterystyka Nyquista jest hodografem wektora G(jω). Pulsacja ω jest parametrem
charakterystyki amplitudowo-fazowej, dlatego podaje się
jej rozk
ł
ad wzdłuŜ
charakterystyki
przez wpisanie wartości w waŜniejszych punktach. Charakterystyki amplitudowo-fazowe
uk
ł
adów rzeczywistych, dla których stopień
wielomianu licznika transmitancji jest niŜszy od
stopnia wielomianu mianownika, dąŜą
do początku uk
ł
adu wspó
ł
rzędnych:
G(jω) → 0 , przy ω → ∞.
4. Charakterystyki logarytmiczne
ZaleŜność
argumentu transmitancji widmowej φ(ω) wykreślona w logarytmicznej
skali pulsacji ω nazywa się
charakterystyką
logarytmiczną
fazową, a zaleŜność
20log
10
|
G(jω)| wykreślona w logarytmicznej skali pulsacji ω
nazywa się logarytmiczną
charakterystyką
amplitudową. Zasadniczą
zaletą
charakterystyk logarytmicznych jest łatwość
określania charakterystyki wypadkowej układów, których transmitancje stanowią
iloczyn
transmitancji członów składowych. UmoŜliwia to zastąpienie mnoŜenia transmitancji
łatwiejsza
operacją
matematyczna
– sumowaniem. Charakterystyki logarytmiczne są
określane w literaturze jako charakterystyki Bode'go.
5. Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych
Przykład 1
Wyznaczanie charakterystyki Nyquista.
Dana jest transmitancja operatorowa układu
)
4
)(
3
(
1
)
(
+
+
=
s
s
s
G
,
(3)
wykreśl charakterystykę amplitudowo-fazową.
12
7
1
)
(
)
(
2
+
+
−
=
=
=
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
j
s
G
j
G
j
s
(4)
+
−
−
+
+
−
−
=
2
2
2
2
2
2
2
49
)
12
(
7
49
)
12
(
12
)
(
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
j
j
G
(5)
Po przejściu na transmitancje widmową (4), wyznaczamy część rzeczywistą P(ω)
i urojoną Q(ω) (5) następnie wyliczamy kilka punktów (patrz tab. 5.1).
ω
( )
ϖ
P
( )
ϖ
Q
0
0.0833333
0
0.1
0.0831195
-0.00485268
0.2
0.0824818
-0.00965507
1
0.0647059
-0.0411765
2
0.0307692
-0.0538462
12
0
-0.0412393
10
-0.00695982
-0.00553622
20
-0.00228042
-0.000822832
∞
+
0
0
Tabela 5.1 Przykładowe punkty charakterystyki
Przy wykreślaniu koniecznie trzeba obliczyć punkty dla ω równe 0 i +∞. PoniŜej na
rysunku 5.2 przedstawiono wykres charakterystyki amplitudowej układu (3).
-0.04
-0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Re
-0.06
-0.04
-0.02
0.02
0.04
Im
Rys. 5.1. Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej przykładu (3)
Przykład 2
Wyznaczanie charakterystyki Nyquista za pomocą programu MatLab.
>> [Re,im] = nyquist(G(s));
>> nyquist(G(s),[wybrane punkty]);
Przykład 3
Wyznaczanie charakterystyki Bodego za pomocą programu SciLab.
>> [amp,faza] = bode(G(s));
>> bode(G(s),{przedział warto
ś
ci});
6. Przebieg ćwiczenia
1.
Naszkicuj dowolną charakterystykę Nyquista w sposób podany w przykładzie 1.
(Przedstaw pełny tok obliczeń.)
2.
Naszkicuj charakterystyki Nyquista i Bode’go (przykłady 2 i 3) dla czterech
wybranych podstawowych bloków automatyki. Podaj przyjęte wartości parametrów
k i T
x
.
3.
Opisz jedną charakterystykę Bode’go. WskaŜ zmiany w amplitudzie i fazie sygnału
wyjściowego w zaleŜności od częstotliwości sygnału wejściowego.