Wykład 2

Kinematyka

Kinematyka

Wrocław University of Technology

8-X-2011

Ruch

Kinematyka podaje opis ruchu bez uwzgl

ę

dniania przyczyn i

warunków, w jakich dany ruch powstaje.

Ruch ciała – zmiana poło

ż

enia w stosunku do innych ciał, które

uwa

ż

amy za nieruchome. Ciała takie nazywa si

ę

układem

odniesienia.

Poruszaj

ą

ce si

ę

ciało jest cz

ą

stk

ą

(np. elektron) albo porusza si

ę

jak

cz

ą

stka (punkt materialny).

Punkt materialny to ciało modelowe, obdarzone pewn

ą

mas

ą

o

rozmiarach takich,

ż

e podczas rozwa

ż

ania danego ruchu mo

ż

na

zaniedba

ć

(rozmiar zero wymiarowy).

Ruch

Podczas ruchu punkt materialny zmienia swoje poło

ż

enie w

przestrzeni. Zbiór punktów po których porusza si

ę

stanowi tor

ruchu.

RUCH

PROSTOLINIOWY

KRZYWOLINIOWY

-

Płaski

-

Przestrzenny

Długo

ść

przebytego odcinka toru stanowi drog

ę

ciała.

Poło

ż

enie i przemieszczenie

Poło

ż

enie ciała, czyli współrz

ę

dn

ą

punktu, wyznacza si

ę

wzgl

ę

dem

pewnego punktu odniesienia, najcz

ęś

ciej pocz

ą

tku osi.

POCZ

Ą

TEK

KIERUNEK DODATNI

KIERUNEK UJEMNY

Zmian

ę

poło

ż

enia od punktu x

1

do innego punktu x

2

nazywa si

ę

przemieszczeniem

∆

x:

∆

x = x

1

– x

2

Przemieszczenie jest wektorem (posiada kierunek i warto

ść

!)

Pochodne funkcji elementarnych

0

)

x

(

'

f

=

Funkcja stała:

const

)

x

(

f

=

Funkcja potęgowa:

n

x

)

x

(

f

=

1

n

x

n

)

x

(

'

f

−

⋅

=

x

)

x

(

f

=

x

2

1

)

x

(

'

f

=

x

)

x

(

f

=

1

)

x

(

'

f

=

x

1

)

x

(

f

=

2

x

1

)

x

(

'

f

−

=

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja wykładnicza:

x

e

)

x

(

f

=

x

e

)

x

(

'

f

=

x

1

)

x

(

'

f

=

Funkcja logarytmiczna:

x

ln

)

x

(

f

=

Funkcje trygonometryczne:

x

sin

)

x

(

f

=

x

cos

)

x

(

'

f

=

x

cos

)

x

(

f

=

x

sin

)

x

(

'

f

−

=

tgx

)

x

(

f

=

x

tg

1

x

cos

1

)

x

(

'

f

2

2

+

=

=

ctgx

)

x

(

f

=

)

x

ctg

1

(

x

sin

1

)

x

(

'

f

2

2

+

−

=

−

=

Pr

ę

dko

ść

1

2

x

x

x

−

=

∆

1

2

t

t

t

−

=

∆

Pr

ę

dko

ść ś

rednia

START

STOP

t

x

t

t

x

x

v

ś

r

∆

∆

=

−

−

=

1

2

1

2

Pr

ę

dko

ść

Graficzna interpretacja pochodnej

nachylenie krzywej

Na

ch

yl

en

ie

=

p

r

ę

dk

o

ść

ś

re

dn

ia

Pr

ę

dko

ść

Szybko

ść ś

rednia

Pr

ę

dko

ść

chwilowa

t

droga

cała

s

ś

r

∆

=

dt

dx

t

t

x

t

t

x

t

x

v

t

t

x

=

∆

−

∆

+

=

∆

∆

=

→

∆

→

∆

)

(

)

(

lim

lim

0

0

Pr

ę

dko

ść

chwilowa

Przyspieszenie

t

v

t

t

t

v

t

v

a

ś

r

∆

∆

=

−

−

=

1

2

1

2

)

(

)

(

• Przyspieszenie

ś

rednie w okre

ś

lonym przedziale

czasu definiuje si

ę

jako zmian

ę

pr

ę

dko

ś

ci podzielon

ą

przez zmian

ę

czasu.

• W układzie SI jednostk

ą

przyspieszenia jest m/s

2

.

Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe wyst

ę

puje wtedy gdy

∆

t => 0

2

2

0

)

(

)

(

"

)

(

)

(

'

)

(

)

(

lim

dt

t

x

d

t

x

dt

t

dv

t

v

t

t

v

t

t

v

a

t

x

=

=

=

=

∆

−

∆

+

=

→

∆

Nachylenie prostej p

1

p

2

=

przyspieszenie

ś

rednie

nachylenie w punkcie p

1

= przyspieszenie chwilowe w p

1

Ruch jednostajnie przyspieszony

0

0

−

−

=

∆

∆

=

t

x

x

t

x

v

ś

r

2

0

x

x

ś

r

v

v

v

+

=

t

a

v

v

x

x

x

⋅

+

=

0

(

)

t

a

v

t

a

v

v

v

x

x

x

x

x

ś

r

⋅

+

=

⋅

+

+

=

2

1

2

1

0

0

0

t

x

x

t

a

v

x

x

0

0

2

1

−

=

⋅

+

2

0

0

2

1

t

a

t

v

x

x

x

x

+

+

=

→

t

v

v

a

x

x

x

0

−

=

→

Ruch jednostajnie przyspieszony

Zale

ż

no

ść

pomi

ę

dzy przemieszczeniem ciała poruszaj

ą

cego si

ę

ze stałym przyspieszeniem a pr

ę

dko

ś

ci

ą

:

2

0

0

2

1

t

a

t

v

x

x

x

x

+

+

=

t

a

v

v

x

x

x

⋅

+

=

0

x

x

x

a

v

v

t

0

−

=

2

0

0

0

0

2

1













−

+













−

+

=

x

x

x

x

x

x

x

x

a

v

v

a

a

v

v

v

x

x

)

(

2

0

2

0

2

x

x

a

v

v

x

x

x

−

+

=

→

→

Ruch w przestrzeni - poło

ż

enie

Poło

ż

enie punktu w przestrzeni jest okre

ś

lone przez współrz

ę

dne.

W układzie kartezja

ń

skim współrz

ę

dne punktu A to (x

1

, y

1

, z

1

).

Z

Y

X

A

0

z

1

x

1

y

1

r

r = [x

1

, y

1

, z

1

]

r

Ruch w przestrzeni - przemieszczenie

Przemieszczenie

∆

r z punktu B =

(x

2

, y

2

, z

2

) do punktu

A = (x

1

, y

1

, z

1

):

∆

r = (x

1

-x

2

, y

1

-y

2

, z

1

-z

2

)

Z

Y

X

A

0

z

1

x

1

y

1

B

z

2

x

2

y

2

∆r

Ruch w przestrzeni - pr

ę

dko

ść

t

r

t

t

r

r

v

ś

r

∆

∆

=

−

−

=

v

v

v

v

1

2

1

2

Pr

ę

dko

ść ś

rednia:

Pr

ę

dko

ść

chwilowa:

dt

r

d

t

t

r

t

t

r

t

r

v

t

t

v

v

v

v

v

=

∆

−

∆

+

=

∆

∆

=

→

∆

→

∆

)

(

)

(

lim

lim

0

0

dt

dz

v

dt

dy

v

dt

dx

v

z

y

x

=

=

=

,

,

k

dt

dz

j

dt

dy

i

dt

dx

dt

r

d

v

ˆ

ˆ

ˆ

+

+

=

=

v

v

]

,

,

[

z

y

x

v

v

v

v

=

v

2

2

2

z

y

x

v

v

v

v

v

+

+

=

=

v

Ruch w przestrzeni - przyspieszenie

t

v

t

t

v

v

a

ś

r

∆

∆

=

−

−

=

v

v

v

v

1

2

1

2

Przyspieszenie

ś

rednie:

Przyspieszenie chwilowe:

dt

v

d

t

t

v

t

t

v

t

v

a

t

t

v

v

v

v

v

=

∆

−

∆

+

=

∆

∆

=

→

∆

→

∆

)

(

)

(

lim

lim

0

0

2

2

2

2

2

2

,

,

dt

z

d

dt

dv

a

dt

y

d

dt

dv

a

dt

x

d

dt

dv

a

z

z

y

y

x

x

=

=

=

=

=

=

k

dt

z

d

j

dt

y

d

i

dt

x

d

k

dt

dv

j

dt

dv

i

dt

dv

dt

v

d

a

z

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

2

2

2

2

+

+

=

+

+

=

=

v

v

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

=

v

Spadek swobodny

Spadek swobodny to ruch ciała wyłącznie pod wpływem siły ciężkości.

W chwili początkowej ciało spoczywa i następnie puszczone porusza się
ruchem jednostajnie przyspieszonym pod wpływem siły grawitacyjnego
oddziaływania Ziemi i tego ciała.

Przyśpieszenie z jakim spada swobodnie ciało jest stałe i wynosi g = 9,81 m/ s

2

.

Kierunek ruchu jest pionowy, więc drogę w spadku swobodnym zaznaczamy
symbolem h.

Wzór na drogę dla spadku swobodnego przyjmuje postać:
v

0

= 0 m/s

s = h
a = g

2

t

g

h

2

⋅

=

Rzut poziomy

v

0

x

y

Rzut poziomy

x

y

g

a

a

y

x

=

=

0

t

v

x

x

v

v

x

x

x

0

0

0

+

=

=

w kierunku osi x:

w kierunku osi y:

2

0

0

0

2

1

gt

t

v

y

y

gt

v

v

y

y

y

+

+

=

+

=

Rzut poziomy – tor ruchu

x = v

0

t

y = h + ½ g t

2

Eliminując czas t

t = x/v

0

y = h + ½ g (x/v

0

)

2

y

x

h

Parabola

v

01

v

02

> v

01

2

2

0

2

1

x

v

g

h

y













+

=

Równanie toru ruchu:

Rzut poziomy – czas ruchu

g

h

t

2

=

y = h + ½ g t

2

Ruch będzie trwał do momentu
gdy y = 0

y

x

h

t

p

=0

t

k

= t

c

Całkowity czas zależy tylko od
wysokości początkowej h!

t

c

= t

k

- t

p

2

2

1

0

c

gt

h

+

=

Rzut uko

ś

ny

v

i

x

y

α

v

ix

v

iy

Prędkość początkowa: v

i

= v

i

[α]

Składowe prędkości:

Kierunek x:

v

ix

= v

i

cos α

Kierunek y:

v

iy

= v

i

sin α

Położenie początkowe: x = 0, y = 0

Rzut poziomy – tor ruchu

x

y

•

Ruch jest przyspieszony (a = g = 9.81m/s

2

)

•

Składowa pozioma prędkości jest stała

•

Ruch w pionie i poziomie są niezależne.

9.81m/s

2

Rzut poziomy – równania ruchu

PRZYSPIESZENIE

PR

Ę

DKO

ŚĆ

POŁO

ś

ENIE

0

=

x

a

2

81

.

9

s

m

g

a

y

=

=

α

cos

i

x

v

v

=

gt

v

v

i

y

+

=

α

sin

α

cos

t

v

x

i

=

2

2

1

sin

gt

t

v

y

i

+

=

α

X

ruch jednostajny

Y

ruch przyspieszony

Rzut poziomy – tor ruchu

Eliminując czas t

y

x

- równanie paraboli

2

2

2

2

2

2

cos

2

tan

cos

2

cos

sin

x

v

g

x

y

v

gx

v

x

v

y

i

i

i

i

α

α

α

α

α

+

=

+

=

y =

b

x +

a

x

2

2

2

1

sin

cos

gt

t

v

y

t

v

x

i

i

+

=

=

α

α

α

cos

i

v

x

t

=

Rzut poziomy – czas trwania ruchu

y

x

Wysokość końcowa wynosi y= 0 po
upływie czasu ∆t

t = 0

∆

t

g

v

t

i

α

sin

2

=

∆

t

g

v

i

∆

+

=

2

1

sin

0

α

2

2

1

sin

gt

t

v

y

i

+

=

α

2

)

(

2

1

sin

0

t

g

t

v

i

∆

+

∆

=

α

Rzut poziomy – zasi

ę

g rzutu

Gdy ciało spadnie oznacza to, że y = 0.
Stanie się to w czasie trwania rzutu ∆t.

Z

y

α

cos

t

v

x

i

=

α

cos

t

v

Z

i

∆

=

g

v

t

i

α

sin

2

=

∆

( )

α

α

α

cos

sin

2

2

sin

=

g

v

Z

i

α

α

cos

sin

2

2

=

g

v

Z

i

)

2

sin(

2

α

=

Rzut poziomy – zasi

ę

g ruchu

0.50

75

0.00

0

0

90

0.87

60

1.00

45

0.87

30

0.50

15

sin (2 α)

α

(deg)

• Największy zasięg jest dla kąta
wyrzutu 45

0

• Zasięgi są takie same dla kątów

α

and (90

0

– α)

g

v

Z

i

)

2

sin(

2

α

=

Rzut poziomy – rozkład pr

ę

dko

ś

ci

prędkość końcowa = prędkości początkowej (zasada zachowania energii)

Z

Rzut poziomy – tor ruchu

g

v

t

i

g

α

sin

=

Na maksymalnej wysokości v

y

= 0

2

2

1

sin

gt

t

v

y

i

+

=

α

gt

v

v

i

y

+

=

α

sin

2

t

t

g

∆

=

g

i

gt

v

+

=

α

sin

0

2

2

1

sin

g

g

i

gt

t

v

H

+

=

α

2

2

2

2

2

2

sin

)

(

sin

g

gv

g

v

H

i

i

α

α

+

−

=

2

2

2

2

sin

g

gv

H

i

α

=

Przyspieszenie styczne

Przyspieszenie styczne charakteryzuje szybkość zmiany
liczbowej wartości prędkości ruchu.

dt

dv

a

s

=

v

gdy

to ruch nazywa się jednostajnym;

gdy

to jest to ruch jednostajnie zmienny.

0

=

s

a

v

0

≠

=

const

a

s

v

Przyspieszenie normalne

Przyspieszenie styczne charakteryzuje szybkość zmiany
kierunku prędkości ruchu.

R

v

a

n

2

=

v

W ruchu prostoliniowym:

0

=

n

a

v

n

s

a

a

a

v

v

v

+

=

Przyspieszenie całkowite:

Ruch po okr

ę

gu

n

s

a

a

v

v

⊥

W ruchu po okręgu przyspieszenie normalne a

n

nazywa

przyspieszenie dośrodkowym a

d

.

R

a

d

a

s

Zawsze spełniony jest
warunek, że

Ruchem jednostajnym po
okręgu nazywa się ruch w
którym

R

v

a

a

d

s

2

0

=

=

v

v

Ruch po okr

ę

gu

dt

d

α

ω

≡

Prędkość kątowa

(pseudowektor)

Parametry ruchu po okręgu:

• okres ruchu

• częstotliwość obiegu

Związki między wielkościami kątowymi i liniowymi w ruchu po okręgu

Przyspieszenie kątowe

(pseudowektor)

dt

d

ω

ε

≡

ω

π

2

=

T

π

ω

2

1

=

≡

T

f

R

v

v

v

v

×

=

ω

R

a

s

v

v

v

×

=

ε