Całka nieoznaczona

Funkcja pierwotna

Dana jest funkcja f określona dla

D

x



. Funkcję F

nazywamy funkcją pierwotną funkcji f gdy

)

(

)

(

'

x

f

x

F



dla

D

x



.

Przykład 1. Niech

2

)

(

x

x

f



. Funkcja

3

3

1

)

(

x

x

F



jest

funkcją pierwotną funkcji f gdyż

2

2

'

3

3

3

1

3

1

)

(

'

x

x

x

x

F





















Funkcja

23

3

1

)

(

3





x

x

G

też jest funkcją pierwotną

funkcji f gdyż

2

2

'

3

0

3

3

1

23

3

1

)

(

'

x

x

x

x

G

























Zauważmy, że każda funkcja o wzorze

C

x



3

3

1

, gdzie

.

const

C



jest funkcją pierwotną funkcji f.

Całka nieoznaczona funkcji f jest to zbiór funkcji
pierwotnych tej funkcji.

Symbol:



dx

x

f

)

(

np.:

C

x

dx

x







3

2

3

1

Wzory podstawowe wynikają z odpowiednich wzorów z
rachunku pochodnych:

C

kx

dx

k







C

x

xdx







2

2

1

C

x

dx

x







3

2

3

1

C

x

dx

x







4

3

4

1

…………………………

)

1

(

1

1

1















n

C

x

n

dx

x

n

n

C

e

dx

e

x

x







C

x

dx

x









cos

sin

C

x

dx

x







sin

cos

C

x

dx

x







|

|

ln

1

Ostatni z tych wzorów wymaga uzasadnienia. Pamiętamy,

że

x

x

1

'

)

(ln



. Problemem są dziedziny tych funkcji:

dziedziną funkcji

x

1

są wszystkie liczby z wyjątkiem zera,

zaś dziedziną funkcji

x

ln

są tylko liczby dodatnie.

Zauważmy, że dziedziny funkcji

x

1

oraz

|

|

ln x

są

identyczne

)

0

(



x

, pozostaje pokazać, że

x

x

1

'

|)

|

(ln



:





























'

0

)

ln(

0

ln

'

|)

|

(ln

x

dla

x

x

dla

x

x

x

x

dla

x

x

x

dla

x

1

0

1

)

1

(

1

0

1



























Przykład 2.

C

x

dx

x







8

7

8

1

Przykład 3.

C

x

C

x

dx

x

dx

x























3

3

4

4

3

1

3

1

1

Przykład 4.

C

x

C

x

dx

x

dx

x















3

2

/

3

2

/

1

3

2

3

2

Własności całki nieoznaczonej

Poniższe dwie własności wynikają z analogicznych
własności dla pochodnych:











dx

x

f

k

dx

x

f

k

)

(

)

(













dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

)]

(

)

(

[

Przykład 5.

























dx

dx

x

dx

x

dx

x

x

7

4

3

)

7

4

3

(

2

5

2

5

C

x

x

x

C

x

x

x





















7

3

4

2

1

7

3

1

4

6

1

3

3

6

3

6

Przykład 6.

C

x

x

dx

x

dx

x

dx

x

x



























sin

5

cos

2

cos

5

sin

2

)

cos

5

sin

2

(

Wzór na całkowanie przez części















dx

x

v

x

u

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

))

(

)

(

'

(

)

(

)

(

))

(

'

)

(

(

Przykład 7.



























x

x

v

x

u

x

x

v

x

x

u

dx

x

x

sin

)

(

1

)

(

'

cos

)

(

'

)

(

cos













C

x

x

x

dx

x

x

x

cos

sin

sin

sin

Przykład 8.































x

x

x

e

x

v

x

x

u

e

x

v

x

x

u

dx

e

x

)

(

2

)

(

'

)

(

'

)

(

2

2



































x

x

x

x

e

x

v

x

u

e

x

v

x

x

u

dx

xe

e

x

)

(

2

)

(

'

)

(

'

2

)

(

2

2





C

e

xe

e

x

dx

e

xe

e

x

x

x

x

x

x

x

















2

2

2

2

2

2

Całkowanie przez podstawianie

Ta metoda obliczania całek polega na podstawieniu do
wyrażenia podcałkowego nowej zmiennej (w miejsce
pewnego wyrażenia). Przebieg obliczeń wyjaśnimy na
przykładach.

Przykład 9.









































dt

dx

dt

dx

poch

obl

t

x

podst

dx

x

3

1

1

3

:

.

.

2

3

:

.

)

2

3

(

5

C

x

C

t

dt

t



















6

6

5

)

2

3

(

18

1

6

1

3

1

3

1

Przykład 10.









































dt

dx

dt

dx

poch

obl

t

x

podst

dx

x

2

1

1

2

:

.

.

5

2

:

.

5

2

C

x

C

t

C

t

dt

t

dt

t































3

)

5

2

(

3

3

2

2

1

2

1

2

1

3

3

2

/

3

2

/

1

Przykład 11.























dt

xdx

poch

obl

t

x

podst

dx

x

x

cos

:

.

.

sin

:

.

cos

sin

2

C

x

C

t

dt

t













3

3

2

sin

3

1

3

1

Wzór do zapamiętania:







C

x

f

dx

x

f

x

f

)

(

ln

)

(

)

(

'

Przykład 12.











dx

x

x

x

5

1

2

2

{licznik jest pochodną

mianownika}

C

x

x









5

ln

2

Przykład 13.







dx

x 1

2

3

{pochodna mianownika jest

równa 2}

C

x

dx

x













1

2

ln

2

3

1

2

2

2

3

Przykład 14.









dx

x

x

dx

x

tg

cos

sin

{pochodna

mianownika jest równa

x

sin



}=

C

x

dx

x

x















cos

ln

cos

sin

Przykład 15.









dx

x

x

x

)

2

)(

1

(

1

5

Przekształcimy wzór funkcji podcałkowej. Spróbujemy ją
zapisać jako sumę dwóch ułamków, łatwiejszych do
całkowania. Te ułamki powinny mieć mianowniki:

1



x

oraz

2



x

. Wyznaczymy ich liczniki, które tymczasowo

oznaczymy:

A

oraz B . Zatem: szukamy takich

A

oraz B ,

aby:

2

1

)

2

)(

1

(

1

5















x

B

x

A

x

x

x

Ponieważ

)

2

)(

1

(

)

1

(

)

2

(

2

1



















x

x

x

B

x

A

x

B

x

A

więc:

)

1

(

)

2

(

1

5











x

B

x

A

x

B

Bx

A

Ax

x











2

1

5

B

A

B

A

x

x











2

)

(

1

5















1

2

5

B

A

B

A

Dodajemy stronami:

6

3



A

, stąd:

2



A

Z pierwszego równania:

3

,

5

2







B

B

Zatem:

2

3

1

2

)

2

)(

1

(

1

5















x

x

x

x

x

Wracamy do całki:

































dx

x

x

dx

x

x

x

2

3

1

2

)

2

)(

1

(

1

5















dx

x

dx

x

2

1

3

1

1

2

C

x

x









2

ln

3

1

ln

2

.

Zaprezentowaną w tym przykładzie metodę obliczania
całek funkcji wymiernych nazywamy metodą rozkładu na
ułamki proste.