Całka nieoznaczona
Funkcja pierwotna
Dana jest funkcja f określona dla
D
x
. Funkcję F
nazywamy funkcją pierwotną funkcji f gdy
)
(
)
(
'
x
f
x
F
dla
D
x
.
Przykład 1. Niech
2
)
(
x
x
f
. Funkcja
3
3
1
)
(
x
x
F
jest
funkcją pierwotną funkcji f gdyż
2
2
'
3
3
3
1
3
1
)
(
'
x
x
x
x
F
Funkcja
23
3
1
)
(
3
x
x
G
też jest funkcją pierwotną
funkcji f gdyż
2
2
'
3
0
3
3
1
23
3
1
)
(
'
x
x
x
x
G
Zauważmy, że każda funkcja o wzorze
C
x
3
3
1
, gdzie
.
const
C
jest funkcją pierwotną funkcji f.
Całka nieoznaczona funkcji f jest to zbiór funkcji
pierwotnych tej funkcji.
Symbol:
dx
x
f
)
(
np.:
C
x
dx
x
3
2
3
1
Wzory podstawowe wynikają z odpowiednich wzorów z
rachunku pochodnych:
C
kx
dx
k
C
x
xdx
2
2
1
C
x
dx
x
3
2
3
1
C
x
dx
x
4
3
4
1
…………………………
)
1
(
1
1
1
n
C
x
n
dx
x
n
n
C
e
dx
e
x
x
C
x
dx
x
cos
sin
C
x
dx
x
sin
cos
C
x
dx
x
|
|
ln
1
Ostatni z tych wzorów wymaga uzasadnienia. Pamiętamy,
że
x
x
1
'
)
(ln
. Problemem są dziedziny tych funkcji:
dziedziną funkcji
x
1
są wszystkie liczby z wyjątkiem zera,
zaś dziedziną funkcji
x
ln
są tylko liczby dodatnie.
Zauważmy, że dziedziny funkcji
x
1
oraz
|
|
ln x
są
identyczne
)
0
(
x
, pozostaje pokazać, że
x
x
1
'
|)
|
(ln
:
'
0
)
ln(
0
ln
'
|)
|
(ln
x
dla
x
x
dla
x
x
x
x
dla
x
x
x
dla
x
1
0
1
)
1
(
1
0
1
Przykład 2.
C
x
dx
x
8
7
8
1
Przykład 3.
C
x
C
x
dx
x
dx
x
3
3
4
4
3
1
3
1
1
Przykład 4.
C
x
C
x
dx
x
dx
x
3
2
/
3
2
/
1
3
2
3
2
Własności całki nieoznaczonej
Poniższe dwie własności wynikają z analogicznych
własności dla pochodnych:
dx
x
f
k
dx
x
f
k
)
(
)
(
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
Przykład 5.
dx
dx
x
dx
x
dx
x
x
7
4
3
)
7
4
3
(
2
5
2
5
C
x
x
x
C
x
x
x
7
3
4
2
1
7
3
1
4
6
1
3
3
6
3
6
Przykład 6.
C
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
sin
5
cos
2
cos
5
sin
2
)
cos
5
sin
2
(
Wzór na całkowanie przez części
dx
x
v
x
u
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
))
(
)
(
'
(
)
(
)
(
))
(
'
)
(
(
Przykład 7.
x
x
v
x
u
x
x
v
x
x
u
dx
x
x
sin
)
(
1
)
(
'
cos
)
(
'
)
(
cos
C
x
x
x
dx
x
x
x
cos
sin
sin
sin
Przykład 8.
x
x
x
e
x
v
x
x
u
e
x
v
x
x
u
dx
e
x
)
(
2
)
(
'
)
(
'
)
(
2
2
x
x
x
x
e
x
v
x
u
e
x
v
x
x
u
dx
xe
e
x
)
(
2
)
(
'
)
(
'
2
)
(
2
2
C
e
xe
e
x
dx
e
xe
e
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
Całkowanie przez podstawianie
Ta metoda obliczania całek polega na podstawieniu do
wyrażenia podcałkowego nowej zmiennej (w miejsce
pewnego wyrażenia). Przebieg obliczeń wyjaśnimy na
przykładach.
Wzór do zapamiętania:
C
x
f
dx
x
f
x
f
)
(
ln
)
(
)
(
'
Przykład 12.
dx
x
x
x
5
1
2
2
{licznik jest pochodną
mianownika}
C
x
x
5
ln
2
Przykład 13.
dx
x 1
2
3
{pochodna mianownika jest
równa 2}
C
x
dx
x
1
2
ln
2
3
1
2
2
2
3
Przykład 14.
dx
x
x
dx
x
tg
cos
sin
{pochodna
mianownika jest równa
x
sin
}=
C
x
dx
x
x
cos
ln
cos
sin
Przykład 15.
dx
x
x
x
)
2
)(
1
(
1
5
Przekształcimy wzór funkcji podcałkowej. Spróbujemy ją
zapisać jako sumę dwóch ułamków, łatwiejszych do
całkowania. Te ułamki powinny mieć mianowniki:
1
x
oraz
2
x
. Wyznaczymy ich liczniki, które tymczasowo
oznaczymy:
A
oraz B . Zatem: szukamy takich
A
oraz B ,
aby:
2
1
)
2
)(
1
(
1
5
x
B
x
A
x
x
x
Ponieważ
)
2
)(
1
(
)
1
(
)
2
(
2
1
x
x
x
B
x
A
x
B
x
A
więc:
)
1
(
)
2
(
1
5
x
B
x
A
x
B
Bx
A
Ax
x
2
1
5
B
A
B
A
x
x
2
)
(
1
5
1
2
5
B
A
B
A
Dodajemy stronami:
6
3
A
, stąd:
2
A
Z pierwszego równania:
3
,
5
2
B
B
Zatem:
2
3
1
2
)
2
)(
1
(
1
5
x
x
x
x
x
Wracamy do całki:
dx
x
x
dx
x
x
x
2
3
1
2
)
2
)(
1
(
1
5
dx
x
dx
x
2
1
3
1
1
2
C
x
x
2
ln
3
1
ln
2
.
Zaprezentowaną w tym przykładzie metodę obliczania
całek funkcji wymiernych nazywamy metodą rozkładu na
ułamki proste.
