Zestaw 2

Kaskady rzeczywistych funkcji
ciągłych

2.1. (Z) Wykaż, że założenie zwartości przedziału I w twierdzeniach 2. i 3. z wykładu 2. jest

istotne. W tym celu znajdź przykłady takich funkcji ciągłych f : I → I, że I nie jest przedziałem
zwartym i funkcja f spełnia pozostałe założenia odpowiedniego twierdzenia, ale F ix(f ) = ∅. W
szczególności znajdź takie przykłady, gdy I jest ograniczonym przedziałem otwartym oraz gdy
I = R.

2.2. (Z) Znajdź wszystkie punkty okresowe kaskad generowanych przez funkcje:

a) f (x) =

1

2

x, x ∈ R,

b) f (x) = x, x ∈ R,

c) f (x) = 2x, x ∈ R,

a następnie dla każdej kaskady wyznacz zbiory stabilne punktów okresowych i zbiór W

s

(∞).

2.3. (Z) Niech g(x) = |x − 1|, x ∈ R.

a) Znajdź zbiory W

s

(0) i W

s

(1).

b) Znajdź zbiór W

s

(

1
2

).

c) Znajdź zbiór W

s

(x) dla każdego punktu okresowego kaskady g różnego od 0, 1 i

1
2

.

2.4. Załóźmy, że p

1

i p

2

są różnymi punktami należącymi do tej samej orbity okresowej kaskady

generowanej przez funkcję ciągłą f : R → R. Jaka jest zależność pomiędzy zbiorami W

s

(p

1

) i

W

s

(p

1

)?

2.5. (Z) Wykaż, że kaskada generowana przez przez funkcję f (x) = 1 − |2x − 1|, x ∈ R, ma punkty

okresowe o wszystkich naturalnych okresach podstawowych.

2.6. Wykaż, że twierdzenia Li-Yorke’a i Szarkowskiego są prawdziwe dla każdej funkcji f : I → I,

gdzie I ⊂ R jest dowolnym zwartym przedziałem niezdegenerowanym.

2.7. Wykaż, że kaskada generowana przez funkcję g(x) = −

4

π

arctg x, x ∈ R, nie ma punktu

okresowego o okresie podstawowym 32. (Wskazówka: Narysuj wykresy kilku początkowych iteracji
kaskady g.)