5 Iloczyn mieszany wektorów

Iloczyn mieszanym wektorów







w

,

v

,

u

okre

œlamy wzorem









































w

v

u

w

,

v

,

u



Je

œli





z

y

x

u

,

u

,

u

u 



,





z

y

x

v

,

v

,

v

v 



,





z

y

x

w

,

w

,

w

w 



to iloczyn wektorowy mo

¿emy

wyliczy

ã ze wzoru

z

y

x

z

y

x

z

y

x

w

w

w

v

v

v

u

u

u

w

,

v

,

u





















Nale

¿y pamiêtaã, ¿e iloczyn mieszany

jest

liczb¹

.

............................................................................................

PRZYK£AD

Wyznaczy

ã iloczyn mieszany wektorów







c

,

b

,

a

je

œli

i

















2

3 j

k

a

,

















j

k

i

b

2

,















i

k

j

c

2

2

.

Rozwi

¹zanie

Z powy

¿szego wzoru mamy

15

1

2

2

2

1

1

1

3

2



































c

,

b

,

a

.

............................................................................................

Wùasnoœci iloczynu mieszanego

Niech









r

,

w

,

v

,

u

b

êd¹ dowolnymi wektorami,



dowoln

¹ liczb¹.

Wtedy:

1.



























































v

,

u

,

w

u

,

w

,

v

w

,

v

,

u

2.









































w

,

u

,

v

w

,

v

,

u

3.































































w

,

v

,

r

w

,

v

,

u

w

,

v

,

r

u

4.







































w

,

v

,

u

w

,

v

,

u





5.

wektory







w

,

v

,

u

le

¿¹

w jednej p

ùaszczyênie wtedy i tylko wtedy gdy

0





















w

,

v

,

u

iloczyn
mieszany

id5293625 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

(st

¹d

wynika jeszcze jedna w

ùasnoœã

- je

¿eli w iloczynie mieszanym powtórz

y si

ê

jaki

œ wektor

, to iloczyn b

êdzie równy zero,

czyli np.

0





















w

,

v

,

u

)

6.

warto

œã bezwzglêdna iloczynu mieszanego wektorów jest równa objêtoœci

r

ównolegùoœcianu rozpiêtego na wektorach







w

,

v

,

u

czyli





















w

,

v

,

u

V

............................................................................................

PRZYK£AD

Wyznaczy

ã

obj

êtoœã równolegùoœcianu rozpiêtego na wektorach







c

,

b

,

a

je

œli





2

1

2









,

,

a

,

















k

j

i

b

3

,















i

k

j

c

2

2

.

Rozwi

¹zanie

Najpierw wyznaczamy iloczyn mieszany wektor

ów







c

,

b

,

a

czyli

11

1

2

2

3

1

1

2

1

2

































c

,

b

,

a

St

¹d

11

11 

























c

,

b

,

a

V

.

............................................................................................

PRZYK£AD

Wyznaczy

ã objêtoœã równolegùoœcianu rozpiêtego na wektorach







c

,

b

,

a

je

œli











r

p

a

3

,











q

p

b

4

2

,











q

r

c

2

,

3





















r

,

q

,

p

.

Rozwi

¹zanie

W tym przypadku iloczyn mieszany wektor

ów musimy wyliczyã bezpoœrednio z definicji

korzystaj

¹c z wùasnoœci iloczynu skalarnego, wektorowego i mieszanego.

u



v



w





u

H

w



v

u

P











24

3

8

8

12

4

12

4

24

12

8

12

6

4

2

12

6

4

2

2

4

2

3

0

0

0

0

0











































































































































































































































































































































r

,

q

,

p

r

,

q

,

p

r

,

q

,

p

q

,

p

,

r

r

,

q

,

p

q

q

r

q

p

r

q

q

p

r

q

r

r

p

r

r

q

p

q

r

q

r

p

r

q

p

p

p

q

r

q

p

r

p

c

b

a



















































St

¹d

24























r

,

q

,

p

V

.

............................................................................................

PRZYK£AD

Wyznaczy

ã dùugoœã dowolnej wysokoœci równolegùoœcianu rozpiêtego na wektorach







w

,

v

,

u

je

œli





3

1

2 ,

,

u 



,





3

2

1 ,

,

v







,





1

3

2









,

,

w

.

Rozwi

¹zanie

Obj

êtoœã równole

g

ùoœcianu

mo

¿emy wyznaczyã z dwóch wzorów





















w

,

v

,

u

V

i

H

P

V

pod



.

Najpierw wyznaczamy

16

1

3

2

3

2

1

3

1

2































w

,

v

,

u

V

.

Nast

êpnie

pole podstawy czyli pole r

ównolegùoboku rozpiêtego na wektorach





v

,

u

.

Poniewa

¿





5

9

3

3

2

1

3

1

2

,

,

k

j

i

v

u























, to

115











v

u

P

.

Pozosta

ùo

nam wyznaczy

ã dùugoœã wysokoœci

115

16





pod

P

V

H

............................................................................................