POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW
przestrzeń unormowana nad K,
Definicja
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu
pierwszego
(liczymy pochodne zgodnie z kierunkiem składania).
Zakładamy, że określiliśmy pochodne cząstkowe rzędu k–1 -szego. Wtedy definiujemy
pochodne
cząstkowe rzędu k-tego
:
Oznaczenia
Twierdzenie
(
o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej
)
Zał: - istnieje k-ta różniczka funkcji f w punkcie
Teza: pochodne cząstkowe funkcji f rzędu k w punkcie
wartość różniczki
k-tego rzędu w
punkcie dla
wektorów bazowych
1
,
Y
,
Top
n
U
K
.
,
:
0
U
x
Y
U
f
},
,...,
1
{
,...,
gdzie
,
,...,
...
oraz
1
0
0
1
0
1
n
i
i
e
e
f
d
x
x
x
f
x
k
i
i
k
x
i
i
k
k
k
.
kanoniczna
baza
,...,
1
n
n
e
e
K
,
Niech
n
X
K
0
.
0
...
x
x
f
x
x
x
f
k
i
k
ozn
razy
k
i
i
k
0
x
f
d
k
x
0
0
x
n
j
k
x
x
f
x
x
x
x
f
k
j
k
j
,...,
1
,
gdzie
,
:
0
0
2
}
,...,
1
{
,...,
,
gdzie
,
...
:
...
2
1
0
1
0
2
1
1
n
i
i
i
x
x
x
f
x
x
x
x
f
k
i
i
k
i
i
i
k
k
k
0
...
.
0
1
1
1
...
x
f
x
x
x
f
i
k
i
k
i
k
x
x
x
ozn
i
i
k
Twierdzenie
(
o istnieniu k-tej różniczki
)
Zał:
oraz
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe k-tego rzędu funkcji f w U.
Teza: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f są ciągłe na zbiorze U, to
tzn. funkcja posiada ciągłą pochodną rzędu k oraz wartość k-tej różniczki w punkcie x jest równa
sumie pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie współrzędne kolejnych
wektorów z .
Twierdzenie
(
o równości pochodnych mieszanych
)
Zał:
Teza:
1° Jeśli funkcja f ma k-tą różniczkę w punkcie x
0
, to k-te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie
nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.
2° Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f istnieją i są ciągłe w punkcie x
0
, to
czyli również w tym przypadku możemy zmieniać kolejność liczenia pochodnych cząstkowych
względem ustalonych zmiennych, a pochodne te nie zmieniają się.
Uwaga
Pochodne występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy
pochodnymi mieszanymi
.
2
.
,
:
0
U
x
U
f
R
n
R
R
U
f :
0
x
,
Top
n
U
R
0
0
...
...
:
elementowa
permutacja
,
1
1
0
x
x
x
f
x
x
x
f
k
P
P
f
d
k
P
P
k
i
i
k
i
i
k
k
x
0
0
...
...
:
elementowa
permutacja
,
1
1
x
x
x
f
x
x
x
f
k
P
P
k
P
P
k
i
i
k
i
i
k
,
Top
n
U
R
,
gdzie
,
...
...
,...,
oraz
1
,...,
2
1
1
1
2
1
1
U
x
h
h
h
x
x
x
f
h
h
f
d
C
f
k
i
n
i
i
i
i
i
i
k
k
k
x
k
k
k
k
,
,...,
1
dla
,...,
1
k
j
h
h
h
n
j
n
j
j
R
Przykład
Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=2
3
=8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji f są ciągłe, zatem pochodne mieszane są
równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:
bo
Przykład
Liczba pochodnych cząstkowych rzędu m funkcji dwóch zmiennych wynosi , jednakże jeśli
pochodne te są ciągłe, to wystarczy wyznaczyć tylko m+1 spośród nich.
Uwaga
Jeśli funkcja nie jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
, to pochodne mieszne
drugiego rzędu nie muszą być równe.
Przykład
Obliczyć pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu funkcji
w punkcie (0,0).
3
y
f
x
f
f
f
xxx
xxy
xyy
yyy
12
12
6
0
.
yxx
xyx
xxy
yyx
yxy
xyy
f
f
f
f
f
f
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
0
0
0
0
0
0
0
0
4
2
3
,
4
2
3
,
:
y
otrzymujem
0
0
dla
Natomiast
0
0
lim
0
lim
0
,
0
,
0
lim
0
,
0
0
,
0
lim
0
,
0
0
0
lim
0
lim
0
,
0
0
,
lim
0
,
0
0
,
0
lim
0
,
0
y
x
y
y
x
x
x
y
x
y
x
xy
y
x
xy
x
y
x
y
f
y
x
y
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
x
f
,
x,y
t
t
f
t
f
t
f
t
f
y
f
t
t
f
t
f
t
f
t
f
x
f
t
t
t
t
t
t
t
t
.
1
3
2
,
2
3
xy
y
x
y
x
f
0
2
0
,
x
D
f
x
),
0
,
0
(
)
,
(
dla
0
),
0
,
0
(
)
,
(
dla
,
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
f
m
2
http://notatek.pl/pochodne-czastkowe-wyzszych-rzedow?notatka