POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW

przestrzeń unormowana nad K,

Definicja

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu

pierwszego

(liczymy pochodne zgodnie z kierunkiem składania).

Zakładamy, że określiliśmy pochodne cząstkowe rzędu k–1 -szego. Wtedy definiujemy

pochodne

cząstkowe rzędu k-tego

:

Oznaczenia

Twierdzenie

(

o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej

)

Zał: - istnieje k-ta różniczka funkcji f w punkcie

Teza: pochodne cząstkowe funkcji f rzędu k w punkcie

wartość różniczki

k-tego rzędu w

punkcie dla
wektorów bazowych

1









,

Y

,

Top

n

U

K



.

,

:

0

U

x

Y

U

f





 





},

,...,

1

{

,...,

gdzie

,

,...,

...

oraz

1

0

0

1

0

1

n

i

i

e

e

f

d

x

x

x

f

x

k

i

i

k

x

i

i

k

k

k













.

kanoniczna

baza

,...,

1

n

n

e

e

K



,

Niech

n

X

K



 

 

0

.

0

...

x

x

f

x

x

x

f

k

i

k

ozn

razy

k

i

i

k





















0

x

f

d

k

x

0



0

x

 

 

n

j

k

x

x

f

x

x

x

x

f

k

j

k

j

,...,

1

,

gdzie

,

:

0

0

2















































 

 

}

,...,

1

{

,...,

,

gdzie

,

...

:

...

2

1

0

1

0

2

1

1

n

i

i

i

x

x

x

f

x

x

x

x

f

k

i

i

k

i

i

i

k

k

k



















































 

 

0

...

.

0

1

1

1

...

x

f

x

x

x

f

i

k

i

k

i

k

x

x

x

ozn

i

i

k











Twierdzenie

(

o istnieniu k-tej różniczki

)

Zał:

oraz
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe k-tego rzędu funkcji f w U.

Teza: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f są ciągłe na zbiorze U, to

tzn. funkcja posiada ciągłą pochodną rzędu k oraz wartość k-tej różniczki w punkcie x jest równa
sumie pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie współrzędne kolejnych
wektorów z .

Twierdzenie

(

o równości pochodnych mieszanych

)

Zał:

Teza:
1° Jeśli funkcja f ma k-tą różniczkę w punkcie x

0

, to k-te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie

nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.

2° Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f istnieją i są ciągłe w punkcie x

0

, to

czyli również w tym przypadku możemy zmieniać kolejność liczenia pochodnych cząstkowych
względem ustalonych zmiennych, a pochodne te nie zmieniają się.

Uwaga

Pochodne występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy

pochodnymi mieszanymi

.

2

.

,

:

0

U

x

U

f



 R

n

R

R



U

f :

0

x

,

Top

n

U

R



 

 

 

 

0

0

...

...

:

elementowa

permutacja

,

1

1

0

x

x

x

f

x

x

x

f

k

P

P

f

d

k

P

P

k

i

i

k

i

i

k

k

x

























 

 

 

 

0

0

...

...

:

elementowa

permutacja

,

1

1

x

x

x

f

x

x

x

f

k

P

P

k

P

P

k

i

i

k

i

i

k





















,

Top

n

U

R







 

,

gdzie

,

...

...

,...,

oraz

1

,...,

2

1

1

1

2

1

1

U

x

h

h

h

x

x

x

f

h

h

f

d

C

f

k

i

n

i

i

i

i

i

i

k

k

k

x

k

k

k

k





























,

,...,

1

dla

,...,

1

k

j

h

h

h

n

j

n

j

j







R

Przykład

Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji

Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=2

3

=8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji f są ciągłe, zatem pochodne mieszane są

równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:

bo

Przykład

Liczba pochodnych cząstkowych rzędu m funkcji dwóch zmiennych wynosi , jednakże jeśli
pochodne te są ciągłe, to wystarczy wyznaczyć tylko m+1 spośród nich.

Uwaga

Jeśli funkcja nie jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie

, to pochodne mieszne

drugiego rzędu nie muszą być równe.

Przykład

Obliczyć pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu funkcji

w punkcie (0,0).

3

y

f

x

f

f

f

xxx

xxy

xyy

yyy

12

12

6

0









.

yxx

xyx

xxy

yyx

yxy

xyy

f

f

f

f

f

f









 



  

   

 



  

   

   

 























 























2

2

2

4

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

4

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

0

0

0

0

0

0

0

0

4

2

3

,

4

2

3

,

:

y

otrzymujem

0

0

dla

Natomiast

0

0

lim

0

lim

0

,

0

,

0

lim

0

,

0

0

,

0

lim

0

,

0

0

0

lim

0

lim

0

,

0

0

,

lim

0

,

0

0

,

0

lim

0

,

0

y

x

y

y

x

x

x

y

x

y

x

xy

y

x

xy

x

y

x

y

f

y

x

y

y

x

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

y

x

x

f

,

x,y

t

t

f

t

f

t

f

t

f

y

f

t

t

f

t

f

t

f

t

f

x

f

t

t

t

t

t

t

t

t























































































































 

.

1

3

2

,

2

3







xy

y

x

y

x

f

 

0

2

0

,

x

D

f

x



 























),

0

,

0

(

)

,

(

dla

0

),

0

,

0

(

)

,

(

dla

,

2

2

2

2

y

x

y

x

y

x

y

x

xy

y

x

f

m

2

http://notatek.pl/pochodne-czastkowe-wyzszych-rzedow?notatka