Ÿ

10

.

Li zb

y

k

ardynalne

Li zb

y

k

ardynalne

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

10

A

Mno»enie

i

do

da

w

anie

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

10

C

Li zb

y

ω

α

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

10

E

‚

wi zenia

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

10

F

Zadania

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

10

G

Li zb

y

k

ardynalne

☛

Li zba

p

orz¡dk

o

w

a

α

jest

li zb¡

kar

dynaln¡

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

nie

jest

ró

wnoli zna

z

»adn¡

mniejsz¡

o

d

siebie

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡.

☛

Li zbami

k

ardynaln

ymi

s¡

m.in.

wszystkie

li zb

y

naturalne

i

ω

;

niesk

o« zone

li zb

y

k

ardynalne

m

usz¡

b

y¢

li zbami

grani zn

ymi.

☛

Je»eli

α

i

β

s¡

li zbami

k

ardynaln

ymi,

to

α

rl

β

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

α = β

;

α

≤ β

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

istnieje

injek

ja

f : α → β

(suriek

ja

f : β → α

).

☛

Przyjm

ujem

y

,

»e

je»eli

α

jest

li zb¡

k

ardynaln¡,

to

α

+

jest

na

jmniejsz¡

li zb¡

k

ardynaln¡

wiksz¡

o

d

α

;

mo»na

wyk

aza¢,

»e

α

+

= {β : |β|

≤ α}

.

☛

Mo

¡

zbioru

u

,

ozna zan¡

sym

b

olem

|u|

,

nazyw

a¢

b

dziem

y

t

jedyn¡

li zb



k

ardynaln¡

α

,

która

jest

ró

wnoli zna

z

u

.

☛

P

opra

wno±¢

p

o

wy»szej

deni ji

wynik

a

z

t

wierdzenia

Zermello

i

wªasno± i

li zb

k

ardynaln

y

h;

je»eli

α

i

β

s¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi,

to

|α|

≤ α

i

α

≤ β ⇒ |α| ≤ |β|

.

☛

Zbiory

li zb

wymiern

y

h,

aªk

o

wit

y

h

i

naturaln

y

h

ma

j¡

iden

t

y zn¡

mo

,

ró

wn¡

ω

;

mo

zbioru

li zb

rze zywist

y

h,

ozna zana

sym

b

olem

c

(

ontinuum

),

jest

ró

wna

|P(ω)|

.

Ÿ

10

.

Li zb

y

k

ardynalne

10

A

Li zb

y

k

ardynalne

(2)

Nie

h

α

i

β

b



d¡

li zb

ami

p

orz¡dkowymi.

Nastpuj¡

e

warunki

s¡

r

ównowa»ne:

(1)

li zb

a

p

orz¡dkowa

α

jest

li zb

¡

kar

dynaln¡;

(2)

d

la

ka»de

go

β < α

za ho

dzi

β < |α|

;

(3)

d

la

ka»de

go

β < α

za ho

dzi

|β| < |α|

;

(4)

d

la

ka»de

go

β < α

za ho

dzi

|β|

6= |α|

.

Do

w

ó

d.

(1) ⇒ (2)

Gdyb

y

β

≥ |α|

dla

p

ewnego

β < α

,

to

li zb

y

α

i

β

sp

eªniaªyb

y

zaªo»enia

t

wierdzenia

Can

tora-Bernsteina

i

m

usiaªyb

y

b

y¢

ró

wnoli zne

na

jego

mo

y



sprze zno±¢.

(2) ⇒ (3)

O zywiste,

b

o

|β|

≤ β

.

(3) ⇒ (4)

O zywiste.

(4) ⇒ (1)

Gdyb

y

α

rl

β

dla

p

ewnego

β < α

,

to

|α| = |β|



sprze zno±¢.

2

Ÿ

10

.

Li zb

y

k

ardynalne

10

B

Mno»enie

i

do

da

w

anie

☛

Ilo

zynem

(

sum¡

)

li zb

k

ardynaln

y

h

α

,

β

nazyw

a¢

b

dziem

y

li zb



k

ardynaln¡

α

⊗β

df

= |α

·β|

(

α

⊕β

df

=

|α + β|

).

☛

Je»eli

n

i

m

s¡

li zbami

naturaln

ymi,

to

n

⊕ m = n + m

i

n

⊗ m = n · m

;

je»eli

wiksza

z

li zb

k

ardynaln

y

h

α

,

β

jest

niesk

o« zona,

to

α

⊕ β = α ⊗ β =

max

{α, β}

.

☛

Je»eli

α

jest

niesk

o« zon¡

li zb¡

k

ardynaln¡,

a

u

tak

¡

ro

dzin¡

zbioró

w,

»e

|u|

≤ α

oraz

dla

k

a»dego

x

∈ u

mam

y

|x|

≤ α

,

to

|

S

u|

≤ α

.

Je»eli

α

jest

niesko« zon¡

li zb

¡

kar

dynaln¡,

to

α

⊗ α = α

.

Do

w

ó

d.

Przypu±¢m

y

,

»e

tak

nie

jest,

tzn.

istnieje

tak

a

niesk

o« zona

li zba

k

ardynalna

α

,

»e

α

⊗ α 6= α

.

Bez

strat

y

ogólno± i

mo»em

y

zaªo»y¢,

»e

α

jest

na

jmniejsz¡

li zb¡

o

tej

wªasno± i.

Wó

w

zas

|β

× β| =

|β|

⊗ |β| < α

dla

k

a»dego

β < α

,

b

o

je»eli

β

jest

sk

o« zone,

to

|β|

⊗ |β|

jest

sk

o« zone,

a

je»eli

β

jest

niesk

o« zone,

to

|β|

⊗ |β| = |β| < α

.

Nie

h

≤

R

⊆ (α × α) × (α × α)

b

dzie

rela j¡

dan¡

wzorem

(β

1

, γ

1

)

≤

R

(β

2

, γ

2

) ⇔ (

max

{β

1

, γ

1

} <

max

{β

2

, γ

2

}) ∨ ((

max

{β

1

, γ

1

} =

max

{β

2

, γ

2

})

∧ ((β

1

< β

2

∨ (β

1

= β

2

∧ γ

1

≤ γ

2

))))

.

Ÿ

10

.

Li zb

y

k

ardynalne

10

C

Mno»enie

i

do

da

w

anie

(2)

Nietrudno

jest

zau

w

a»y¢,

»e

≤

R

jest

rela j¡

dobrego

p

orz¡dku

w

zbiorze

α

×α

.

Co

wi ej,

wprost

z

deni ji

tej

rela ji

wynik

a,

»e

je»eli

β < α

i

γ < α

,

to

pred

(α

× α, (β, γ), ≤

R

)

⊆ (

max

{β, γ} + 1)

× (

max

{β, γ} + 1)

.

St¡d

|

pred

(α

× α, (β, γ), ≤

R

)|

≤ |(

max

{β, γ} + 1)

× (

max

{β, γ} + 1)| = |(

max

{β, γ} + 1)|

⊗ |(

max

{β, γ} + 1)| =

|(

max

{β, γ} + 1)| < α

,

b

o

α

jest

grani zn¡

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡

(a

wi

z

tego,

»e

β < α

i

γ < α

wynik

a,

»e

max

{β, γ} + 1 < α

).

Mo»liw

e

s¡

t

ylk

o

dwie

sytua je:

(1)

hα × α, ≤

R

i > α

.

Wó

w

zas

w

α

× α

m

usi

b

y¢

za

w

art

y

o

d inek

p

o

z¡tk

o

wy

,

którego

t

yp

em

p

o-

rz¡dk

o

wym

jest

α



sprze zno±¢,

b

o

wszystkie

o

d inki

p

o

z¡tk

o

w

e

w

t

ym

zbiorze

ma

j¡

mo

mniejsz¡

o

d

α

.

(2)

hα × α, ≤

R

i ≤ α

.

Wó

w

zas

α

≤ |α × α| = |hα × α, ≤

R

i| ≤ α



sprze zno±¢

z

deni j¡

li zb

y

α

.

2

Ÿ

10

.

Li zb

y

k

ardynalne

10

D

Li zb

y

ω

α

☛

Dla

k

a»dej

li zb

y

p

orz¡dk

o

w

ej

α

istnieje

dokªadnie

jeden

taki

i¡

g

p

ozask

o« zon

y

(ω(α))

β<α

,

»e

ω(α)(β) =



















ω

gdy

β = 0

,

ω(α)(γ)

+

gdy

β = S(γ)

,

[

γ<β

ω(α)(γ)

w

p

ozostaªy

h

przypadk

a

h.

☛

Dla

k

a»dej

li zb

y

k

ardynalnej

β

istnieje

tak

a

li zba

p

orz¡dk

o

w

a

α

,

»e

β = ω(S(α))(α)

.

☛

Przyjm

ujem

y

,

»e

ω

α

df

= ω(S(α))(α)

.

ω

α

jest

li zb¡

k

ardynaln¡

dla

k

a»dej

li zb

y

p

orz¡dk

o

w

ej

α

;

ω

0

= ω

.

Je»eli

α < β

,

to

ω

α

< ω

β

.

Ÿ

10

.

Li zb

y

k

ardynalne

10

E