Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 5

1

Zadanie 1
Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają równania Cauchy’ego - Riemanna:

a) f (z) = cos z b) f (z) =

1

z

c) f (z) = ¯

z

Zadanie 2
A. Sprawdzić, czy podane funkcje są holomorficzne w swojej dziedzinie:

a) f (z) =

1

z

b) f (x + iy) = (x

2

− y

2

) + 2xyi

c) f (z) = ¯

z

d) f (x + iy) = e

y

2

−x

2

cos 2xy − ie

y

2

−x

2

sin 2xy

B. Wyznaczyć punkty (obszary) w których podane funkcje są holomorficzne:

a) f (z) = e

z

b) f (z) =

1

z

2

c) f (z) = (Rez)

2

Zadanie 3
Znaleźć pochodną funkcji f w punktach w których ta pochodna istnieje, jeśli:

a) f (z) =

z

|e

z

|

b) f (z) = |z|

2

e

Rez

c) f (z) = Rez · Imz

W jakich punktach podane funkcje są holomorficzne?

Zadanie 4
Sprawdzić, że funkcja f : C → C, f (x + iy) =

q

|xy| spełnia w punkcie z

0

= 0 równania Cauchy’ego-

Riemanna, ale nie jest różniczkowalna w tym punkcie.

Zadanie 5
Sprawdzić, że podane funkcje są harmoniczne

1

i znaleźć funkcję holomorficzną f = u + iv, jeśli:

a) u(x, y) = xy

b) u(x, y) = e

−y

sin x

c) u(x, y) = 2xy + y, f (−2) = i

d) v(x, y) = e

x

sin y + 2y, f (0) = 5

1

Dla chętnych.

Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 5

2

Zadanie 6
Wykazać, że jeżeli część rzeczywista funkcji holomorficznej f (z) jest w obszarze D stała, to funkcja
f też jest stała.

Zadanie 7
Wykazać, że jeżeli |f (z)| = const w obszarze D i funkcja f jest holomorficzna w tym obszarze, to
jest stała.

Zadanie 8
Pokazać, że jeżeli f : C → C, f (x + iy) = ax + by + i(cx + dy), a, b, c, d ∈ R jest holomorficzna, to
istnieje takie A ∈ C, że f (z) = Az.

Zadanie 9
Wykazać, że jeżeli funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y) jest holomorficzna na obszarze D, to funkcje
h

1

(z) = zf (z) i h

2

(z) = f

2

(z) są holomorficzne na tym obszarze..

Zadanie 10

2

Napisać równania analogiczne do równań Cauchy’ego-Riemanna dla funkcji f (z) = U (r, θ) +
iV (r, θ), gdzie r = |z|, θ = arg z. Wyrazić pochodną f

0

(z) za pomocą pochodnych cząstkowych

funkcji U i V .

Odpowiedzi: 5. a) f (x + iy) = xy + i

 

y

2

− x

2

2

+ C

!

, C ∈ R, b)f (x + iy) = e

−y

sin x + i(−e

−y

cos x +

C), C ∈ R, c) f (x + iy) = 2xy + y + i(y

2

− x

2

− x + 3), d) f (x + iy) = e

x

cos y + 2x + 4 + i(e

x

sin y + 2y);

10.



















∂U

∂r

=

1

r

∂V

∂θ

∂U

∂θ

= −r

∂V

∂r

, f

0

(z) = e

−iθ



∂U

∂r

+ i

∂V

∂r



.

2

Dla chętnych