Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 5
1
Zadanie 1
Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają równania Cauchy’ego - Riemanna:
a) f (z) = cos z b) f (z) =
1
z
c) f (z) = ¯
z
Zadanie 2
A. Sprawdzić, czy podane funkcje są holomorficzne w swojej dziedzinie:
a) f (z) =
1
z
b) f (x + iy) = (x
2
− y
2
) + 2xyi
c) f (z) = ¯
z
d) f (x + iy) = e
y
2
−x
2
cos 2xy − ie
y
2
−x
2
sin 2xy
B. Wyznaczyć punkty (obszary) w których podane funkcje są holomorficzne:
a) f (z) = e
z
b) f (z) =
1
z
2
c) f (z) = (Rez)
2
Zadanie 3
Znaleźć pochodną funkcji f w punktach w których ta pochodna istnieje, jeśli:
a) f (z) =
z
|e
z
|
b) f (z) = |z|
2
e
Rez
c) f (z) = Rez · Imz
W jakich punktach podane funkcje są holomorficzne?
Zadanie 4
Sprawdzić, że funkcja f : C → C, f (x + iy) =
q
|xy| spełnia w punkcie z
0
= 0 równania Cauchy’ego-
Riemanna, ale nie jest różniczkowalna w tym punkcie.
Zadanie 5
Sprawdzić, że podane funkcje są harmoniczne
1
i znaleźć funkcję holomorficzną f = u + iv, jeśli:
a) u(x, y) = xy
b) u(x, y) = e
−y
sin x
c) u(x, y) = 2xy + y, f (−2) = i
d) v(x, y) = e
x
sin y + 2y, f (0) = 5
1
Dla chętnych.
Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 5
2
Zadanie 6
Wykazać, że jeżeli część rzeczywista funkcji holomorficznej f (z) jest w obszarze D stała, to funkcja
f też jest stała.
Zadanie 7
Wykazać, że jeżeli |f (z)| = const w obszarze D i funkcja f jest holomorficzna w tym obszarze, to
jest stała.
Zadanie 8
Pokazać, że jeżeli f : C → C, f (x + iy) = ax + by + i(cx + dy), a, b, c, d ∈ R jest holomorficzna, to
istnieje takie A ∈ C, że f (z) = Az.
Zadanie 9
Wykazać, że jeżeli funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y) jest holomorficzna na obszarze D, to funkcje
h
1
(z) = zf (z) i h
2
(z) = f
2
(z) są holomorficzne na tym obszarze..
Zadanie 10
2
Napisać równania analogiczne do równań Cauchy’ego-Riemanna dla funkcji f (z) = U (r, θ) +
iV (r, θ), gdzie r = |z|, θ = arg z. Wyrazić pochodną f
0
(z) za pomocą pochodnych cząstkowych
funkcji U i V .
Odpowiedzi: 5. a) f (x + iy) = xy + i
y
2
− x
2
2
+ C
!
, C ∈ R, b)f (x + iy) = e
−y
sin x + i(−e
−y
cos x +
C), C ∈ R, c) f (x + iy) = 2xy + y + i(y
2
− x
2
− x + 3), d) f (x + iy) = e
x
cos y + 2x + 4 + i(e
x
sin y + 2y);
10.
∂U
∂r
=
1
r
∂V
∂θ
∂U
∂θ
= −r
∂V
∂r
, f
0
(z) = e
−iθ
∂U
∂r
+ i
∂V
∂r
.
2
Dla chętnych