Fizyka Ciała Stałego II
opracowanie zagadnień
1. Ciepło właściwe wg Debye’a.
Ciepło właściwe, powtórka:
Gaz doskonały, jednoatomowy:
ciepło właściwe przy stałej objętości
R
c
V
2
3
=
ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
R
c
p
2
5
=
- wyniki, które chcemy wyprowadzić.
Dla 1 mola gazu:
R
T
pV
=
Rozważmy gaz w sześciennym pudle o krawędzi l . Możemy rozpatrywać oddzielnie każdą cząstkę.
Jeśli prędkość danej cząstki w jednym kierunku, np. w kierunku y , wynosi
y
v
, to
czas między kolejnymi uderzeniami o ściankę:
y
v
l
t
2
=
.
Zmiana pędu w jednorazowym akcie zderzenia:
y
mv
p
2
=
∆
Siła:
dt
p
d
dt
v
d
m
a
m
F
=
=
=
, stąd siła działająca na ścianki:
l
mv
v
l
mv
t
p
F
y
y
y
2
2
2
=
=
∆
=
Ciśnienie, jakie wywiera jedna cząsteczka na ścianki naczynia:
V
mv
l
mv
l
F
p
y
y
2
3
2
2
=
=
=
Gdy weźmiemy dużo cząstek:
ś
rednia prędkość:
2
2
2
2
z
y
x
ś
r
v
v
v
v
+
+
=
z
y
x
v
v
v
=
=
→
2
2
2
2
3
1
ś
r
z
y
x
v
v
v
v
=
=
=
Ciśnienie całkowite jednego mola:
V
mv
N
p
A
cał
3
2
=
2
3
1
mv
N
V
p
A
cał
=
1
2
2
k
E
mv
=
- energia kinetyczna 1 cząsteczki
U
E
E
N
V
p
cał
k
k
A
cał
3
2
3
2
3
2
,
1
=
=
=
Ze wzoru
R
T
pV
=
→
RT
pV
=
RT
U
=
3
2
→
RT
U
2
3
=
Ciepło właściwe to ilość energii, jaką musimy dostarczyć, aby ogrzać ciało o 1°C:
R
T
U
V
2
3
=
∂
∂
A co będzie, jeśli zmienimy objętość, np. przesuwając tłok o powierzchni S o x
∆
?
Praca wykonana podczas przesuwania tłoka:
V
p
x
S
p
x
F
W
∆
⋅
=
∆
⋅
⋅
=
∆
⋅
=
p
RT
V
=
p
RT
V
1
1
=
p
RT
V
2
2
=
→
(
)
T
R
T
T
p
R
p
V
p
W
∆
⋅
=
−
=
∆
⋅
=
1
2
Stąd dodatkowa praca wykonana kosztem dostarczonego ciepła na rozprężenie gazu:
R
T
W
=
∆
∆
R
R
R
T
U
p
2
5
2
3
=
+
=
∂
∂
Ciepło właściwe dla ciał stałych (prawo Doulonge’a – Petitte’a) :
R
T
U
V
3
=
∂
∂
Zależność ciepła właściwego od temperatury jest jak
3
T . Próbował to wyjaśnić najpierw Einstein, który
założył, że drgania sieci są skwantowane. Jego teoria dobrze sprawdzała się w pewnym zakresie
temperatur, jednak uwzględniała tylko drgania optyczne, podczas gdy w niskich temperaturach
dominują drgania akustyczne.
W pełni wyjaśnił tą zależność Debye, który założył liniową zależność częstości od wektora falowego.
Rozważmy wielkość zależną od temperatury. Temperatura wynika z drgań fononów o częstości
ω
od 0 do
max
ω
:
ω
ω
ω
ω
ω
d
Z
f
A
T
A
⋅
⋅
⋅
=
∫
)
(
)
(
)
(
)
(
| |
prawdopodobieństwo gęstość
obsadzenia stanu
o danej częstości
N
d
Z
3
)
(
max
0
=
⋅
∫
ω
ω
ω
- ilość drgań zależnych od wektora falowego dla fononów
Oznaczenie wektora falowego: elektrony -
k
, fonony - q
π
π
8
1
)
2
(
1
)
(
3
=
=
q
Z
- podobnie jak dla elektronów, tylko 2 razy mniej, bo bez spinów (dla
1
=
V
)
Fala stojąca w ciele stałym jest skwantowana
(mamy skończoną ilość możliwych długości fali)
– długość fali jest ograniczona od góry przez
rozmiary kryształu, a od dołu przez odległość
między atomami.
ω
ω
π
d
Z
dq
q
q
Z
dN
⋅
=
⋅
=
)
(
4
)
(
1
2
1
(dla jednej gałęzi drgań)
ω
π
ω
π
π
ω
d
dq
q
d
dq
q
Z
2
2
3
2
1
2
8
4
)
(
=
=
Debye założył, że częstość jest zależna liniowo od
wektora falowego, a współczynnikiem
proporcjonalności jest prędkość dźwięku.
q
u
⋅
=
ω
→
u
d
dq
1
=
ω
,
2
2
2
u
q
ω
=
, stąd:
3
2
2
1
2
)
(
u
Z
π
ω
ω
=
Powyższy wynik dotyczy jednej gałęzi. A więc całkowita gęstość:
3
2
2
1
2
3
)
(
3
)
(
u
Z
Z
π
ω
ω
ω
=
⋅
=
N
d
Z
3
)
(
max
0
=
⋅
∫
ω
ω
ω
→
A
N
u
d
u
3
2
2
3
3
2
3
max
0
3
2
2
max
=
=
⋅
∫
π
ω
ω
π
ω
ω
- wstawiamy tu liczbę Avogadro
(liczymy ciepło molowe)
A
N
u
3
2
3
max
6
π
ω
=
→
u
N
A
⋅
=
3
2
max
6
π
ω
∫
⋅
−
⋅
=
max
0
3
2
2
2
3
1
1
)
(
)
(
ω
ω
ω
π
ω
ω
d
u
e
A
T
A
kT
h
|
statystyka Bosego-Einsteina (fonony są bozonami)
Bierzemy zmienną do całkowania:
kT
ω
h
−
⋅
=
∫
kT
d
kT
e
A
kT
u
T
A
kT
kT
ω
ω
ω
π
ω
ω
h
h
h
h
h
0
2
3
3
2
1
1
)
(
2
3
)
(
Debye zauważył, że
k
ω
h
ma wymiar temperatury (bo
kT
ω
h
jest bezwymiarowe)
stąd:
Θ
=
k
max
ω
h
- tzw. temperatura Debye’a
max
ω
zależy od prędkości dźwięku:
u
N
A
⋅
=
3
2
max
6
π
ω
z kolei
m
u
α
~
, gdzie
α
- stała sprężystości
A
N
u
2
3
max
3
6
π
ω
=
- wstawiamy to do wyrażenia przed całką:
3
3
max
3
3
max
2
2
9
9
2
6
3
Θ
=
=
⋅
T
N
kT
N
kT
N
A
A
A
h
h
ω
ω
π
π
, a stąd:
x
d
e
x
A
T
N
T
A
T
x
A
∫
Θ
−
⋅
Θ
=
0
2
3
1
)
(
9
)
(
ω
- jest to wzór odnoszący się do wszystkich materiałów
Możemy policzyć średnią energię:
energia 1 fononu:
ω
ω
h
=
)
(
A
ś
rednia energia:
x
d
e
x
A
T
N
U
T
A
T
x
A
∫
Θ
−
⋅
Θ
=
=
0
2
3
1
)
(
9
)
(
ω
ω
h
zauważamy, że:
kTx
kT
kT
=
=
ω
ω
h
h
x
d
e
x
T
kN
U
T
x
A
∫
Θ
−
⋅
Θ
=
0
3
3
4
1
9
,
R
kN
A
=
Ostatecznie:
x
d
e
x
T
R
U
T
x
∫
Θ
−
⋅
Θ
=
0
3
3
4
1
9
Rozwiązanie analityczne:
1° wysokie temperatury:
Θ
>>
T
,
1
<<
x
,
1
max
<<
x
,
x
x
e
x
=
−
+
≈
−
1
1
1
RT
T
T
R
x
d
x
T
R
U
T
3
9
9
3
3
3
4
0
2
3
4
=
Θ
⋅
Θ
=
⋅
Θ
=
∫
Θ
,
R
T
U
c
V
3
=
∂
∂
=
2° niskie temperatury:
Θ
<<
T
→
∞
→
Θ
T
,
const
x
d
e
x
x
=
=
−
∫
∞
15
chyba
1
2
0
3
π
Θ
≅
4
5
3 RT
U
,
3
~ T
T
U
c
V
∂
∂
=
- pojawia się zależność, którą wcześniej otrzymano
Dla elektronów w metalach:
T
c
V
~
.
2. Równanie kinetyczne Boltzmanna i czas relaksacji.
Rozwiązując równanie Schrödingera, Boltzmann uwzględnił oddziaływania z defektami. Stworzył
klasyczne równanie transportu.
Rozład równowagowy z poziomem Fermiego:
1
1
)
(
0
−
=
−
kT
E
E
F
e
E
f
Modyfikujemy funkcję rozkładu:
)
(
)
(
)
(
1
0
E
f
E
f
E
f
+
=
, gdzie
)
(
)
(
1
0
E
f
E
f
>>
Zakłada się, że ta nowa funkcja będzie stacjonarna.
Energia w zależności od wektora falowego:
(
)
*
2
2
2
2
*
2
2
2
2
m
k
k
k
m
k
E
z
y
x
+
+
=
=
h
h
Po przyłożeniu zewnętrznego pola elektr. zmienia się rozkład – następuje przesunięcie kuli Fermiego.
Zmiana funkcji rozkładu w czasie:
zd
dryf
dt
df
dt
df
dt
df
+
=
|
|
człon dryfowy człon zderzeniowy
Aby opisać klasycznie cząstkę, trzeba podać jej położenia i prędkości:
z
y
x
k
k
k
z
y
x
,
,
,
,
,
- współrzędne
w 6-wymiarowej przestrzeni fazowej. Dryf odbywa się w przestrzeni fazowej. Możemy z niej wydzielić
jedną komórkę i rozważyć przepływ cząstek. Po czasie t
∆
do komórki wpłyną cząstki, które były przed
nią, stąd przed wyrażeniem
t
v
∆
⋅
stawiamy minus:
(
)
z
y
x
z
z
y
y
x
x
z
y
x
k
k
k
z
y
x
f
t
k
k
t
k
k
t
k
k
t
v
z
t
v
y
t
v
x
f
f
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
−
∆
−
∆
−
∆
−
∆
−
∆
−
∆
−
=
∆
•
•
•
wartość funkcji w czasie
t
t
∆
+
Obliczamy pochodną z definicji:
dryf
k
r
t
dt
df
f
k
f
r
dt
dx
x
f
t
f
dt
df
=
∇
−
∇
−
=
+
∂
∂
−
=
∆
∆
=
•
•
→
∆
....
lim
0
To był człon dryfowy, teraz człon zderzeniowy:
(
) (
)
'
'
k
k
b
k
k
a
dt
df
zd
→
−
→
=
,
gdzie
b
a,
- całki zderzeniowe
|
|
zderzenia, które przejścia
ze stanów
'
k
w odwrotnym
przeprowadzają kierunku
do stanów
k
Stąd:
b
a
dt
df
dt
df
dryf
−
+
=
Boltzmann założył, że zmiany są wolne w czasie – ustala się stan stacjonarny: człon dryfowy zrównuje
się ze zderzeniowym i pochodna się zeruje.
Stąd równanie Boltzmanna ma postać:
b
a
f
k
f
r
k
r
−
+
∇
−
∇
−
=
•
•
0
Przybliżenie czasu relaksacji:
( ) ( ) ( )
( )
(
)
∫
−
=
SB
k
d
k
f
k
f
k
k
k
w
a
'
'
1
'
'
,
'
3
ρ
|
|
|
|
prawdopodobień- gęstość stan stan
stwo przejścia stanów zajęty wolny
ze stanu
'
k
do
k
Podobnie:
( ) ( ) ( )
( )
(
)
∫
−
=
SB
k
d
k
f
k
f
k
k
k
w
b
3
1
'
,
ρ
Całka
a
zwiększa obsadzenie stanu
k
, z kolei całka b zmniejsza. SB – strefa Brillouina.
W mechanice kwantowej prawdopodobieństwo przejścia w jedną stronę jest równe
prawdopodobieństwu przejścia w drugą stronę:
(
) ( )
'
ˆ
ˆ
'
2
~
'
,
,
'
k
H
k
k
H
k
k
k
w
k
k
w
zb
zb
h
π
=
Stąd:
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
∫
−
=
−
SB
k
d
k
f
k
f
k
k
k
w
b
a
'
'
'
,
'
3
ρ
( ) ( ) ( )
k
f
k
f
k
f
1
0
+
=
↑ wpływ sił zewnętrznych
Przybliżenie:
( ) ( ) (
)
'
,
'
,
k
k
k
k
k
w
−
Θ
=
δ
ϑ
,
gdzie
ϑ
- kąt między osią a tworzącą stożka
Zakładamy, że prawdopodobieństwo nie zależy
od energii (przy pojedyńczym procesie przejścia
energia zmienia się tak nieznacznie, że możemy
tą zmianę zaniedbać).
*
2
2
2m
k
E
h
=
(
) (
) ( ) ( )
(
)
∫ ∫
∫
∞
→
−
−
Θ
=
−
π
π
ϑ
ϑ
δ
ϑ
ϕ
π
0
0
2
2
0
3
sin
'
'
'
,
'
4
1
k
k
d
d
k
k
f
k
f
k
k
k
d
b
a
(
) ( ) ( )
(
)
∫
−
Θ
=
−
π
ϑ
ϑ
ϑ
π
0
2
2
sin
'
'
,
'
2
1
d
k
k
f
k
f
k
b
a
Rozbijamy funkcję w szereg Maclaurina i bierzemy pierwszy wyraz:
( )
)
(
1
E
V
k
f
χ
=
(
)
( ) ( )
(
)
∫
−
Θ
=
−
π
ϑ
ϑ
ϑ
χ
π
0
2
2
sin
'
,
)
(
2
1
d
k
k
V
k
V
k
E
b
a
( ) ( ) ( )
(
)
1
cos
'
−
=
−
ϑ
k
V
k
V
k
V
- zostają tylko rzuty na kierunek
k
(po wycałkowaniu znikną prędkości
prostopadłe)
( )
(
)(
)
∫
−
Θ
−
=
−
π
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
π
χ
0
2
2
sin
cos
1
,
2
)
(
d
k
k
E
k
V
b
a
↑
( )
k
f
1
Możemy powyższe równanie zapisać w postaci:
( )
τ
k
f
b
a
1
−
=
−
, gdzie
(
)(
)
∫
−
Θ
=
π
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
π
τ
0
2
2
sin
cos
1
,
2
1
1
d
k
k
τ
jest czasem relaksacji.
Rówanie Boltzmanna przyjmuje postać:
( )
0
1
=
−
∇
−
∇
−
•
•
τ
k
f
f
k
f
r
k
r
, gdzie
1
0
f
f
f
+
=
Gdy wyłączamy pole zewnętrzne, pozostaje nam tylko człon zderzeniowy:
τ
1
f
dt
df
−
=
→
τ
1
1
f
dt
df
−
=
→
τ
dt
f
df
−
=
1
1
→
τ
t
e
f
t
f
−
⋅
=
0
1
1
)
(
Czas relaksacji zależy od energii (liczonej od dna pasma):
2
1
)
(
−
⋅
=
p
E
A
E
τ
- fonony akustyczne:
0
=
p
- fonony optyczne:
1
=
p
- domieszki neutralne:
2
1
=
p
- domieszki zjonizowane:
2
=
p
Ś
rednia droga swobodna między zderzeniami:
v
l
τ
=
;
2
1
~ E
v
→
p
AE
l
=
Widać, że dla fononów akustycznych średnia droga między zderzeniami nie zależy od energii.
Ruchliwość:
ε
µ
v
=
, gdzie
v
- prędkość unoszenia,
ε
- pole elektryczne
Istnieją materiały, które w temperaturach ciekłego helu mają
V
cm
10
3
7
=
µ
. W metalach
µ
jest rzędu
V
cm
10
3
1
- to dlatego, że metale są substancjami polikrystalicznymi – występuje rozpraszanie na
granicach krystalitów. Z kolei półprzewodniki można wytworzyć w postaci dużych monokryształów.
W pomiarach bardzo często uzyskuje się czas relaksacji rzędu
7
10
−
, co oznacza, że między zderzeniami
elektron pokonuje tysiące stałych sieciowych. Wynika to z niepoprawności klasycznego opisu kryształu.
3.
Prawo Ohma.
Klasyczne prawo Ohma: stosunek napięcia do natężenia prądu jest stały i równy oporowi elektrycznemu
I
U
R
=
gęstość prądu:
S
I
j
=
=
ε
σ
l
U
⋅
=
ε
→
S
I
l
U
=
σ
R
I
U
S
l
=
=
σ
1
→
S
l
R
ρ
=
, gdzie
σ
ρ
1
=
- opór właściwy
Prawo Ohma półkwantowo:
wychodzimy od
( )
0
1
=
−
∇
−
∇
−
•
•
τ
k
f
f
k
f
r
k
r
Zakładamy, że nie ma gradientu przestrzennego:
0
=
∇
r
;
0
=
∇
−
•
f
r
r
h
h
h
F
k
k
=
=
•
•
1
0
1
=
+
∇
τ
f
f
F
k
h
E
E
f
E
E
f
E
E
f
f
k
k
k
k
∇
∂
∂
+
∇
∂
∂
=
∇
∂
∂
=
∇
1
0
robimy pierwsze przybliżenie:
0
1
=
∇
∂
∂
E
E
f
k
V
E
f
E
E
f
E
E
f
f
k
k
k
∂
∂
=
∇
∂
∂
=
∇
∂
∂
=
∇
0
0
0
1
h
h
h
Wstawiamy to do
0
1
=
+
∇
τ
f
f
F
k
h
:
0
1
0
=
+
∂
∂
τ
f
V
E
f
F
ε
q
F
=
(siła elektrostatyczna)
0
1
0
=
+
∂
∂
τ
ε
f
V
E
f
q
Podobnie jak poprzednio:
( )
)
(
1
E
V
k
f
χ
=
0
)
(
0
=
+
∂
∂
V
E
E
f
q
τ
χ
ε
Stąd:
ε
τ
χ
∂
∂
−
=
E
f
q
E
0
)
(
ε
τ
V
E
f
q
f
∂
∂
−
=
0
1
- znaleźliśmy funkcję określającą odchylenie od położenia równowagi
Funkcja ta zależy od czasu relaksacji.
Gęstość prądu: suma po wszystkich nośnikach:
(
)
=
+
=
=
=
∫
∫
∑
=
SB
SB
N
i
k
d
f
f
V
q
k
d
k
f
k
q
V
q
V
q
j
3
1
0
3
3
1
4
1
)
(
)
(
π
∫
∫
+
=
SB
SB
k
d
f
V
q
k
d
f
V
q
3
1
3
3
0
3
4
1
4
1
π
π
0
4
1
3
0
3
=
∫
SB
k
d
f
V
q
π
(równowaga termodynamiczna – prąd nie płynie)
Pozostaje tylko całka
∫
SB
k
d
f
V
q
3
1
3
4
1
π
, do której
wstawiamy
ε
τ
V
E
f
q
f
∂
∂
−
=
0
1
:
∫
∂
∂
−
=
SB
k
d
V
E
f
q
j
3
2
0
3
2
4
ε
τ
π
Przyjmujemy kierunek pola elektrycznego z i rzutujemy
wektor prędkości na dwa kierunki – równoległy i
prostopadły.
(
)
∫ ∫∫
∞
⊥
∂
∂
−
+
=
π π
ϑ
ϕ
ϑ
ϑ
ε
τ
π
2
0 0 0
3
2
0
||
3
2
sin
cos
4
k
d
d
d
k
v
E
f
v
v
e
j
⊥
v
- zmiana prędkości niezależna od pola (równe prawdopodobieństwo skierowania się w obie strony,
stąd całka = 0)
||
v
- zmiana prędkości wymuszona polem,
ϑ
cos
||
v
v
=
∫∫
∞
∂
∂
−
=
π
ϑ
ϑ
ϑ
τ
π
ε
0 0
3
2
2
2
0
2
2
sin
cos
2
k
d
d
k
v
E
f
e
j
3
2
sin
cos
0
2
=
∫
π
ϑ
ϑ
ϑ
d
(podstawienie:
dx
d
x
=
−
=
ϑ
ϑ
ϑ
sin
cos
,...)
∫
∞
∂
∂
−
=
0
3
2
2
0
2
2
3
k
d
k
v
E
f
e
j
τ
π
ε
k
v
m
h
=
*
→
*
m
k
v
h
=
;
( )
dk
k
m
dk
k
v
4
2
*
2
2
2
h
=
Chcemy całkować po
dE
:
*
2
2
2m
k
E
h
=
→
*
2
m
k
dk
dE
h
=
→
dE
k
m
dk
2
*
h
=
( )
( )
dE
m
k
dE
k
m
k
m
dk
k
m
*
3
2
*
4
2
*
2
4
2
*
2
=
=
h
h
h
∫
∞
∂
∂
−
=
0
3
0
*
2
2
3
dE
k
E
f
m
e
j
τ
ε
π
Niech
∫
∞
∂
∂
−
=
0
3
0
2
)
(
3
1
dE
k
E
f
E
X
X
π
będzie średnią statystyczną z pewną wagą
Podstawiamy 1:
=
+
=
+
−
=
∂
∂
−
=
∫
∫
∫
∞
∞
+∞
∞
0
2
2
0
0
2
0
2
0
2
3
0
0
3
0
2
0
3
3
1
3
3
1
1
dk
k
f
dE
dE
dk
k
f
k
f
dE
k
E
f
π
π
π
π
n
k
d
k
f
dk
k
f
=
=
=
∫
∫
∞
∞
0
3
0
0
3
2
0
)
(
4
4
ρ
π
π
- liczba wszystkich nośników
| |
prawdopodobieństwo gęstość
obsadzenia (z poziomem
Fermiego)
dE
E
k
E
f
E
)
(
)
(
3
1
0
3
0
2
∫
∞
∂
∂
−
=
τ
π
τ
(wstawiając
1
=
τ
otrzymamy liczbę nośników)
Stąd:
ε
τ
*
2
m
e
j
=
Jednocześnie
ε
σ
=
j
A więc przewodność właściwa:
*
2
m
e
τ
σ
=
Na podstawie pomiarów można wyciągnąć wnioski co do zmian czasu relaksacji.
4. Efekt Holla.
Na poruszający się ładunek w polu
magnetycznym działa siła Lorenza:
B
V
q
F
×
=
Nośniki ładunku, zarówno dodatnie, jak
i ujemne, są odchylane w tą samą stronę
(bo wędrują w przeciwnych kierunkach).
Na podstawie ładunku, jaki zgromadzi
się na boku płytki można
wywnioskować, jakie cząstki przewodzą
prąd.
siła pola magnetycznego:
evB
F
B
±
=
siła pola elektrycznego, powstającego w wyniku efektu Holla:
H
e
F
H
ε
ε
=
Korzystamy ze wzoru
nev
j
=
, gdzie
u
v
v
≡
- prędkość unoszenia
neS
I
ne
j
v
=
=
,
gdzie
ad
S
=
Stąd:
neda
IB
neS
IB
H
=
=
ε
Napięcie hollowskie:
d
U
H
H
ε
=
neda
IB
d
U
H
=
→
nea
IB
U
H
=
(często pisze się:
IB
nea
U
H
1
±
=
- znak zależy od ładunku nośników)
Okazuje się, że w pewnych strukturach zachodzi tzw. kwantowy
efekt Holla (QHE).
Później dostrzeżono również ułamkowy kwantowy efekt Holla
(FQHE) – kwantowanie pojawiało się w niskich temperaturach
dla trzykrotnie wyższych B:
0
=
dt
df
0
1
=
+
∇
τ
f
f
F
k
h
1
0
f
f
f
+
=
1
0
f
f
f
k
k
k
∇
+
∇
=
∇
Jeżeli weźmiemy tylko pole elektryczne,
możemy dla tego przypadku pominąć
1
f
k
∇
:
E
E
f
f
f
k
k
k
∇
∂
∂
=
∇
≈
∇
0
0
/
h
ε
q
⋅
=
∇
≈
∇
0
f
q
f
q
k
k
h
h
ε
ε
ε
ε
q
E
f
V
E
E
f
q
k
∂
∂
=
∇
∂
∂
=
0
0
h
0
)
(
0
=
+
∂
∂
τ
χ
ε
V
E
V
E
f
q
, gdzie
ε
τ
χ
∂
∂
−
=
E
f
q
E
0
)
(
Wprowadzamy siłę:
(
)
B
V
q
F
×
+
=
ε
Korzystając z
0
f
f
k
k
∇
≈
∇
dostaniemy:
(
)
B
V
V
E
f
q
f
×
+
∂
∂
−
=
ε
τ
0
1
Z definicji
,
B
V
V
×
⊥
stąd
0
=
×
⋅
B
V
V
, co oznacza, że nie możemy sobie pozwolić na to przybliżenie
i musimy uwzględnić całość:
1
0
f
f
f
k
k
k
∇
+
∇
=
∇
Jest to skomplikowane i w ogólnym przypadku nie da się tego rozwiązać. Stosujemy inne przybliżenie:
)
(
)
(
0
E
S
E
χ
χ
=
, gdzie S - tensor,
ε
τ
χ
∂
∂
−
=
E
f
q
E
0
0
)
(
Pole magnetyczne zmienia funkcję
)
(E
χ
w tensor:
ε
τ
χ
∂
∂
−
=
E
f
S
q
E
0
)
(
Również przewodnictwo będzie tensorem:
*
2
m
S
e
τ
σ
=
dE
k
E
f
m
k
∫
∂
∂
−
=
0
3
0
2
3
1
τ
π
τ
, stąd:
dE
k
E
f
S
S
m
k
∫
∂
∂
−
=
0
3
0
2
3
1
τ
π
τ
Dokładna postać tensora nie jest znana, wiemy tylko co nieco o pewnych wyróżnionych kierunkach, np.
(
)
0
,
0
,
x
x
ε
ε
ε
=
=
;
(
)
z
z
B
B
B
,
0
,
0
=
=
Wówczas po skomplikowanych wyprowadzeniach:
+
+
−
+
+
=
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
2
2
2
2
S
S
S
S
S
S
S
;
τ
ω
C
S
=
, gdzie
Τ
=
=
π
ω
2
*
m
eB
C
- częstość ruchu po okręgu elektronów
Przechodzimy do współrzędnych tensora:
ij
σ
σ
→
2
*
2
22
11
1 S
m
e
+
=
=
τ
σ
σ
;
2
*
2
21
12
1 S
S
m
e
+
=
−
=
τ
σ
σ
;
τ
σ
*
2
33
m
e
=
Pozostałe:
0
=
ij
σ
Gęstość prądu:
j
ij
i
j
ε
σ
=
y
x
x
j
ε
σ
ε
σ
12
11
+
=
0
22
21
=
+
=
y
x
y
j
ε
σ
ε
σ
- w kierunku y prąd nie płynie
Stąd:
y
y
y
x
ε
σ
σ
ε
σ
σ
ε
σ
σ
ε
12
11
12
22
21
22
=
=
−
=
y
y
y
x
j
ε
σ
σ
σ
ε
σ
ε
σ
σ
12
2
12
2
11
12
12
2
11
+
=
+
=
2
*
2
22
11
1
S
m
e
+
=
=
τ
σ
σ
;
2
*
2
21
12
1
S
S
m
e
+
=
−
=
τ
σ
σ
;
τ
π
τ
τ
ω
Τ
=
=
=
2
*
m
eB
S
C
τ
- czas rozpraszania (krótki, rzędu
10
10
~
−
s)
Im wyższe pole tym większa
C
ω
i tym krótszy okres T. W słabych polach T
τ
>>
i wówczas
1
<<
S
-
możemy je pominąć i wtedy
τ
σ
*
2
11
m
e
≈
Podobnie:
( )
2
2
*
3
*
2
12
τ
τ
σ
m
B
e
S
m
e
=
≈
( )
( )
2
2
2
2
*
3
2
2
*
4
12
2
11
12
2
12
2
11
τ
τ
τ
τ
σ
σ
σ
σ
σ
B
e
m
B
e
m
e
=
=
≈
+
Stąd:
y
x
B
e
j
ε
τ
τ
2
2
=
→
B
j
e
x
y
2
2
τ
τ
ε
=
Napięcie hollowskie:
y
y
H
d
U
U
ε
=
=
;
d
U
H
y
=
ε
;
ad
I
j
x
x
=
- wstawiamy to do wzoru:
B
I
ade
d
U
x
H
1
2
2
τ
τ
=
,
ostatecznie:
B
I
ae
U
x
H
1
2
2
τ
τ
=
Stosujemy przejście:
1
1
1
2
2
2
2
⋅
=
τ
τ
τ
τ
, pamiętając, że
n
=
1
to koncentracja nośników
Stąd:
B
I
nae
U
x
H
1
1
2
2
τ
τ
=
,
gdzie wyrażenie
r
=
2
2
1
τ
τ
to tzw. współczynnik hollowski
Przewodnictwo typu n i p:
(
)
2
2
p
e
p
n
c
µ
µ
σ
+
=
, gdzie
τ
µ
~
*
m
e
=
- ruchliwość
Mierząc napięcie hollowskie nie możemy od razu obliczyć koncentracji nośników, bo jest zafałszowana
przez czynnik hollowski, który na ogół 1
≠
. Dodatkowo, gdy przewodzą nośniki dwojakiego rodzaju,
należy uwzględnić powyższy wzór. Wówczas współczynnik hollowski może zmianiać znak ze względu
na różną ruchliwość elektronów i dziur (dziury mają większą bezwładność).
5.
Poziomy Landaua.
Metoda masy efektywnej:
( )
( )
r
E
r
m
ψ
ψ
=
∇
−
2
*
2
h
;
r
k
i
e
=
ψ
Bez potencjału elektron w krysztale porusza się jak elektron swobodny z masą efektywną. W masie
efektywnej zawarta jest informacja o funkcji
( )
r
u
k
.
Landau zapisał równanie Schrödingera w postaci:
( )
( )
r
E
r
m
p
ψ
ψ
=
*
2
2
ˆ
, gdzie
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∇
−
=
z
y
x
i
i
p
h
h
ˆ
;
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
⋅
=
2
2
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
p
p
p
h
Mechanika klasyczna wprowadza pęd uogólniony:
p
→
A
c
e
p
+
, gdzie
A - potencjał wektorowy dla pola elektromagnetycznego
Potencjał wektorowy jest tylko zabiegiem matematycznym, nie istnieje jako wielkość fizyczna.
Wstawiamy pęd uogólniony do
( )
( )
r
E
r
m
p
ψ
ψ
=
*
2
2
ˆ
Pole magnetyczne traktujemy jako rotację potencjału wektorowego:
A
B
rot
=
(
)
0
,
0
,
yB
A
−
=
(
)
B
B
,
0
,
0
=
(skalowanie landauowskie)
( )
( )
r
E
r
A
c
e
p
m
ψ
ψ
=
+
2
*
ˆ
ˆ
2
1
( )
( )
r
E
r
z
y
By
c
e
x
i
m
ψ
ψ
=
∂
∂
−
∂
∂
−
−
∂
∂
−
2
2
2
2
2
2
2
*
2
1
h
h
h
Rozwiązanie:
( ) ( )
z
ik
x
ik
z
x
e
r
r
+
=
ϕ
ψ
Rozpisujemy i wstawiamy:
( )
( )
z
ik
x
ik
z
ik
x
ik
z
x
z
x
e
r
E
e
r
z
y
y
B
c
e
x
By
c
e
i
x
m
+
+
=
∂
∂
−
∂
∂
−
+
∂
∂
+
∂
∂
−
ϕ
ϕ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
*
2
2
1
h
h
h
h
( )
( )
y
E
y
m
k
y
y
B
c
m
e
By
cm
e
k
m
k
z
x
x
ϕ
ϕ
=
+
∂
∂
−
+
−
−
*
2
2
2
2
2
2
2
2
*
2
*
*
2
2
2
2
2
h
h
h
h
Częstość cyklotronowa:
w układzie SI:
*
m
eB
C
=
ω
;
w układzie jednostek Gaussa:
c
m
eB
C
*
=
ω
( )
( )
r
E
r
m
x
m
ψ
ψ
ω
=
+
∂
∂
2
2
2
*
2
1
2
1
- równanie Schrödingera dla oscylatora harmonicznego
Energia drgań jest skwantowana:
+
=
2
1
n
E
ω
h
Wyłączamy przed nawias:
2
*
2
2
2
2
*
2
2
*
2
*
2
2
2
1
c
m
B
e
c
m
B
e
m
m
C
=
=
ω
( )
( )
y
m
k
E
y
m
k
B
e
c
m
By
cm
e
k
B
e
c
m
y
c
m
B
e
y
m
z
x
x
ϕ
ϕ
−
=
+
−
+
∂
∂
−
*
2
2
*
2
2
2
2
*
*
2
2
2
*
2
2
*
2
2
2
2
*
2
2
2
2
2
2
2
h
h
h
h
( )
( )
y
m
k
E
y
eB
c
k
y
eB
c
k
y
m
y
m
z
x
x
C
ϕ
ϕ
ω
−
=
+
−
+
∂
∂
−
*
2
2
2
2
2
*
2
2
*
2
2
2
2
1
2
h
h
h
h
Podstawiamy:
eB
c
k
y
x
h
−
=
η
;
y
∂
∂
=
∂
∂
η
Ostatecznie:
( )
( )
η
ϕ
η
ϕ
η
ω
η
−
=
+
∂
∂
−
*
2
2
2
2
*
2
2
*
2
2
2
1
2
m
k
E
m
m
z
C
h
h
Interpretacja:
elektron swobodny miał energię:
(
)
*
2
2
2
2
2m
k
k
k
E
z
y
x
+
+
=
h
Gdy wprowadzamy pole magnetyczne, energia ulega
skwantowaniu w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku tego
pola.
+
→
+
2
1
2
2
n
k
k
y
x
ω
h
*
2
2
2
2
1
m
k
n
E
z
C
h
h
+
+
=
ω
W kierunku równoległym do kierunku pola nie ma
kwantowania.
Efekty kwantowe w polu magnetycznym:
Metodą epitaksji uzyskuje się bardzo cienkie
warstwy półprzewodnika o zadanym składzie, np:
Ga
1-x
Al
x
As | GaAs | Ga
1-x
Al
x
As | GaAs ...
W ten sposób otrzymuje się studnię kwantową.
Przerwa energetyczna pomiędzy Ga
1-x
Al
x
As a
GaAs rozkłada się równo między pasmo
przewodnictwa a pasmo walencyjne.
Możemy ten układ potraktować jako
nieskończoną studnię potencjału o szerokości L
i rozwiązać równanie Schrödingera dla jednego
kierunku:
)
(
)
(
2
2
2
2
x
E
x
dx
d
m
ψ
ψ
=
−
h
m
k
E
2
2
2
h
=
Z warunków brzegowych:
π
n
kL
kL
=
→
=
0
sin
;
L
n
k
n
π
=
;
2
2
2
2
2
n
mL
E
n
π
h
=
W studni potencjału elektron zachowuje się jak fala stojąca. Jego energia jest skwantowana. W realnym
przypadku mamy studnię w paśmie przewodnictwa i paśmie walencyjnym, ale tylko w kierunku wzrostu
kryształu ( z ). Energia elektronu w rzeczywistej studni:
(
)
*
2
2
2
2m
k
k
E
E
y
x
n
+
+
=
h
Wprowadzając domieszkę (domieszkowanie modulacyjne) uzyskujemy dodatkowy elektron, który
wpada do studni i uzyskuje ogromną ruchliwość
V
cm
10
7
≈
µ
. Niestety utrzymuje się ona tylko w
niskich temperaturach (w wysokich fonony utrudniają ruch).
Zamiast tego dostajemy półprzewodnik o ściśle określonej liczbie nośników prądu.
Gdy wprowadzimy układ w pole magnetyczne, kwantowanie pojawi się również na kierunkach
x
i y .
A więc energia elektronu zostanie całkowicie
skwantowana:
+
+
=
2
1
)
,
(
B
C
n
B
z
n
E
n
n
E
z
ω
h
;
gęstość stanów:
h
eB
B
=
ρ
- rośnie wraz z polem magnetycznym
Poziomy są dosyć oddalone:
*
m
eB
C
=
ω
, i na każdym
poziomie, jeśli B jest duże, pojawia się dużo stanów.
W wysokich B wszystkie elektrony siedzą na
najniższym poziomie Landaua. Gdy zmniejszamy pole,
część elektronów będzie mogła wskoczyć na wyższe
poziomy. Stąd kwantowy efekt Holla. Warto zauważyć,
ż
e jest on w zasadzie kwantowaniem oporu elektr.
6. Zespolony współczynnik załamania / zespolone przewodnictwo, częstość plazmowa.
Pole elektromagnetyczne należy traktować jako szybko zmienne pole elektryczne.
W polu wolnozmiennym dryf i zderzenia się równoważą:
const
f
f
f
=
+
=
1
0
;
0
1
=
−
=
+
=
τ
f
dt
df
dt
df
dt
df
dt
df
dryf
zd
dryf
→
τ
1
f
dt
df
dryf
=
W polu szybkozmiennym jest zupełnie inaczej:
Weźmy równanie fali EM, np.
(
)
r
k
t
i
e
t
±
=
ω
ε
ε
0
)
(
, wówczas:
t
i
e
f
f
ω
0
1
1
=
0
1
≠
−
=
τ
f
dt
df
dt
df
dryf
;
dt
df
f
dt
df
dryf
+
=
τ
1
dt
df
dt
df
dt
df
1
0
+
=
;
const
f
=
0
;
0
0
=
dt
df
→
1
0
1
1
f
i
e
f
i
dt
df
dt
df
t
i
ω
ω
ω
=
=
=
+
=
ω
τ
i
f
dt
df
dryf
1
1
Dla pola wolnozmiennego wyprowadziliśmy:
*
2
m
e
τ
σ
=
W polu EM zamiast
τ
mamy
ωτ
τ
ω
τ
i
i
+
=
+
−
1
1
1
2
1
2
2
*
2
2
2
*
2
*
2
1
1
1
*
σ
σ
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ωτ
τ
σ
i
m
e
i
m
e
i
m
e
+
=
+
−
+
=
+
=
- zespolone przewodnictwo
__________________________
równania Maxwella:
- prawo Faraday’a:
t
B
E
c
∂
∂
−
=
rot
- prawo Gaussa:
ρ
=
D
div
- prawo, które mówi, że nie ma monopoli magnetycznych:
0
div
=
B
- prawo Ampera:
j
t
D
H
c
π
4
rot
−
∂
∂
=
|
|
prąd przesunięcia normalny prąd
_____________________________
Korzystając z czwartego równania Maxwella możemy dokonać interpretacji wyniku:
ε
πα
ε
ε
4
+
=
+
=
p
D
(układ jednostek Gaussa)
|
|
pole elektr.
polaryzowalność
H
B
µ
=
;
ε
σ
=
j
Podstawiamy to do
j
t
D
H
c
π
4
rot
−
∂
∂
=
:
ε
πσ
ε
πα
ε
4
4
rot
+
∂
∂
+
∂
∂
=
t
t
H
c
;
t
i
e
ω
ε
ε
0
=
Stąd:
(
)
ωα
σ
π
ε
i
t
H
c
+
+
∂
∂
=
4
rot
gdzie
2
2
*
2
1
*
τ
ω
τ
σ
+
=
m
e
- to co mierzymy eksperymentalnie jako przewodnictwo
2
2
2
*
2
1
τ
ω
τ
α
+
−
=
m
e
- część urojona, opisuje nam polaryzowalność ośrodka
Jeśli
12
10
~
−
τ
s, a
50
~
ω
Hz, możemy przyjąć, że
τ
σ
*
2
m
e
≈
, jednak dla fal EM (już od
podczerwieni) musimy uwzględnić
1
1
2
2
≠
+
τ
ω
.
Wyprowadzenie równania falowego:
H
B
µ
=
;
1
=
µ
→
H
B
=
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
j
t
D
t
H
c
t
π
4
rot
;
ε
πα
ε
4
+
=
D
t
t
t
c
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
ε
πσ
ε
πα
ε
ε
4
4
rot
rot
2
2
2
2
2
t
t
t
c
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
ε
πσ
ε
πα
ε
ε
4
4
2
2
2
2
2
2
- równanie falowe Maxwella
Rozwiązując to równanie całkiem klasycznie odkrywamy, że pole elektromagnetyczne może być falą
(przypomina falę mechaniczną).
Najprostsza fala:
(
)
r
k
t
i
e
−
=
ω
ε
ε
0
;
Τ
=
π
ω
2
;
λ
π
2
=
k
(
)
−
=
−
ω
ω
ω
r
k
t
i
r
k
t
i
;
V
k
1
=
Τ
=
λ
ω
, gdzie
n
c
V
=
- prędkość fali w ośrodku
n
- współczynnik załamania;
u
N
n
=
, u - wektor jednostkowy
−
=
−
c
r
u
N
t
i
r
k
t
i
ω
ω
ω
−
=
c
r
u
N
t
i
e
ω
ε
ε
0
1) w próżni:
0
=
α
,
0
=
σ
:
2
2
2
2
2
ω
ω
−
=
−
c
c
N
;
1
2
=
N
;
1
=
N
;
1
=
n
2) w ośrodkach nieprzewodzących (dielektrykach, np. szkłach):
0
≠
α
,
0
=
σ
:
2
2
2
2
2
2
4
παω
ω
ω
−
−
=
−
c
c
N
;
πα
4
1
2
+
=
N
;
0
4
1
ε
πα
=
+
=
N
- stała dielektryczna
3) w ośrodkach przewodzących:
0
≠
α
,
0
≠
σ
:
ω
πσ
παω
ω
ω
i
c
c
N
4
4
2
2
2
2
2
2
+
−
−
=
−
;
σ
ω
π
πα
i
N
4
4
1
2
−
+
=
ik
n
N
−
=
*
- zespolony współczynnik załamania ( k - tzw. współczynnik ekstynkcji)
( )
nik
k
n
N
2
*
2
2
2
−
−
=
Ostatecznie mamy więc:
0
2
2
ε
=
−
k
n
ω
πσ
4
2
=
nk
Natężenie promieniowania jest proporcjonalne do kwadratu natężenia pola EM:
2
~
ε
I
Przechodzimy na jedną współrzędną:
z
r
→
( )
−
−
=
z
c
ik
n
t
i
e
z
ω
ε
ε
2
2
0
2
;
( )
z
c
k
z
c
n
t
i
e
e
z
ω
ω
ε
ε
2
2
2
0
2
−
=
Stąd znane prawo:
z
e
I
I
η
−
=
0
,
gdzie
η
- współczynnik absorbcji
c
k
ω
η
2
=
;
Τ
=
π
ω
2
→
λ
π
η
k
4
=
Część urojona współczynnika załamania światła jest odpowiedzialna za pochłanianie energii wiązki
ś
wiatła, czyli za absorpcję.
Jeśli
1
≈
k
i weźmiemy
6
10
−
=
λ
m ( = 1µm, światło widzialne: 0,4–0,8µm), to
η
będzie rzędu
6
10
m
1
−
W ciałach stałych przy przejściach prostych
k
rzeczywiście jest rzędu
n
. Widzimy, że
σ
~
k
- stąd w
materiałach przewodzących mamy bardzo silne pochłanianie.
Przy dużych częstościach (
∞
→
ω
) wartość
nk
dąży do 0. Są dwie możliwości:
I.
0
→
k
, wówczas
0
2
2
2
ε
=
≈
−
n
k
n
;
0
ε
=
n
II.
0
→
n
, wtedy
0
2
ε
=
−
k
;
0
ε
−
=
k
- to oznacza, że stała dielektryczna musi być ujemna
Czy taki przypadek jest możliwy?
Mamy:
πα
ε
4
1
0
2
2
+
=
=
−
k
n
Jeśli uwzględnimy polaryzowalność sieciową, za 1 musimy wstawić
S
ε
:
πα
ε
4
2
2
+
=
−
S
k
n
;
ω
πσ
2
=
nk
Wstawiamy:
2
2
*
2
1
*
τ
ω
τ
σ
+
=
m
e
;
2
2
2
*
2
1
τ
ω
τ
α
+
−
=
m
e
;
2
2
2
*
2
2
2
1
4
τ
ω
τ
π
ε
+
−
=
−
m
e
k
n
S
;
2
2
*
2
1
2
τ
ω
ω
τ
π
+
=
m
e
nk
k
może być dużo większe niż
n
- stała dielektryczna może być ujemna. Elektrony przeciwdziałają
przyłożonej zmianie pola (reguła samoindukcji Lenza).
Przyjmijmy, że mamy
e
N nośników, np. elektronów w metalu:
2
2
2
*
2
2
2
2
*
2
2
2
1
4
1
4
τ
ω
τ
π
ε
τ
ω
τ
π
ε
+
⋅
−
=
+
−
=
−
e
S
S
N
m
e
m
e
k
n
2
2
*
2
2
2
*
2
1
2
1
2
τ
ω
ω
τ
π
τ
ω
ω
τ
π
+
⋅
=
+
=
e
N
m
e
m
e
nk
ponieważ
S
p
m
e
ε
π
ω
*
2
2
4
=
, otrzymujemy:
+
−
=
−
2
2
2
2
2
2
1
1
τ
ω
τ
ω
ε
p
S
k
n
;
+
=
2
2
2
1
2
τ
ω
ω
τ
ω
ε
p
S
nk
;
gdzie
p
ω
- częstość plazmowa
Wzory te są dobre, jeśli ciało stałe może być opisane statystyką Boltzmanna.
τ
- czas relaksacji, rzędu
12
10
−
s (jest to czas pomiędzy zderzeniami elektronów z siecią)
γ
τ
=
1
- współczynnik tłumienia (opór stawiany elektronom podczas ich wędrówki przez sieć)
Częstość plazmowa: w metalach o
3
23
cm
1
10
≈
e
N
jest rzędu
s
1
10
16
, a więc
γ
ω
>>
p
.
Gdy
γ
ω
ω
>>
>>
p
(np. dla światła widzialnego
s
1
10
14
≈
ω
), rozważajac oddziaływanie
promieniowania z nośnikami ładunku możemy uprościć wcześniejsze wyrażenia:
−
≈
+
−
=
−
2
2
2
2
2
2
2
1
1
ω
ω
ε
ω
γ
ω
ε
p
S
p
S
k
n
;
3
2
2
2
2
2
ω
γ
ω
ε
ω
γ
γ
ω
ω
ε
p
S
p
S
nk
≈
+
⋅
=
Wynika z tego tzw. metaliczne odbicie.
Wzory Frenera na współczynnik odbicia:
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
k
n
k
n
R
+
+
+
−
=
,
gdzie:
k
- współczynnik ekstynkcji;
n
- zwykły współczynnik odbicia
Jeśli
0
2
→
nk
, to albo
0
→
k
,
0
→
n
. Widzimy, że to
0
→
n
, bo
ω
ω
>>
p
, stąd
0
2
2
<<
−
k
n
.
A zatem
2
2
2
ω
ω
ε
p
S
k
=
, i dostajemy
1
=
R
(
%
100
=
R
) – odbicie metaliczne (czysty metal odbija 100%
ś
wiatła widzialnego).
Częstość plazmowa to częstość promieniowania, przy
której wszystkie nośniki ładunku drgają w takt pola fali
elektromagnetycznej. W pobliżu częstości plazmowej
metal nie odbija już 100% . Dla aluminium
odpowiadająca tej częstości długość fali wynosi
200
=
p
λ
nm. Z kolei półprzewodniki odbijają 100%
w obszarze bardzo dalekiej podczerwieni, natomiast
słabo odbijają światło widzialne. Można to zmienić
poprzez domieszkowanie, jednak to nie zmienia faktu,
ż
e GaAs może odbić maksymalnie 30% światła
widzialnego.
opracował: Radek Kołkowski