ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH

Pojęcia

Zjawisko zginania

– pierwotnie prosta oś pręta (belki) zakrzywia się, przy czym włókna podłużne

belki po stronie wypukłej wydłużają się, po stronie wklęsłej skracają się.

Rozróżniamy:

- zginanie czyste,
- zginanie ze ścinaniem

oraz

- zginanie proste (płaskie),
- zginanie ukośne

Zginanie czyste

– siły wewnętrzne sprowadzają się tylko
do momentu gnącego, by było to możliwe
moment gnący musi mieć wartość stałą.

Zginanie ze ścinaniem

– obok momentu gnącego występuje siła tnąca.

Zginanie proste

– płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną z głównych osi bezwładności.

Zginanie ukośne – płaszczyzna obciążenia przechodzi tylko przez środek ciężkości przekroju.

Siły wewnętrzne w prętach zginanych

Pręty pracujące na zginanie nazywamy belkami
Ze względu na sposób podparcia rozróżniamy:

- belki wspornikowe,
- belki swobodnie podparte.

Siłą tnącą T (poprzeczną) w dowolnym przekroju poprzecznym belki nazywamy składową

prostopadłą do osi belki sumy geometrycznej wszystkich sił działających na część
belki znajdującą się po jednej stronie rozpatrywanego przekroju

a jej znak

Momentem gnącym M

g

w dowolnym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem

środka ciężkości przekroju) wszystkich sił zewnętrznych (obciążeń i reakcji)
dzi

ałających na część belki znajdującą się po jednej stronie rozpatrywanego

przekroju

a jego znak

oś belki

oś ugięta

+

–

M

M

M

1

2

S

1

2

S

płaszcz.obciążenia

.

M

g

M

g

płaszcz.obciążenia

x

T

T

T

T

x

M

g

M

g

M

g

M

g

Obciążenie ciągłe. Zależność między M

g

a T.

Obierzmy przekrój m-n o współrzędnej x
i rozpatrzmy element dx.

Oddziaływanie lewej odrzuconej części
belki zas

tępujemy przez M

x

i T

x

(N

x

=0).

Oddziaływanie prawej części zastępujemy
przez M

x

+dM

x

, T

x

+dT

x

bo dx jest b.małe i

nie ma skokowych zmian M i T.

Obciążenie ciągłe działające na odcinku dx
zastępujemy siłą q

x

dx działającą w połowie

dx.

Równania równowagi:

1.

0

0

)

(





















x

x

x

x

x

x

dT

dx

q

dT

T

dx

q

T

Y

dx

dT

q

x

x





2. Równanie momentów względem środka C przekroju o współrzędnej x+dx

0

2

)

(

0

)

(

2

2























x

x

x

x

x

x

x

x

C

dM

dx

q

dx

T

dM

M

dx

dx

q

M

dx

T

M

pomijając

2

)

(

2

dx

q

x

dx

dM

T

x

x



zauważmy, że

x

x

x

q

dx

dT

dx

M

d







2

2

Słownie:

Pochodna siły poprzecznej względem współrzędnej x wzdłuż osi pręta jest równa
natężeniu obciążenia ciągłego.

Pochodna momentu gnącego względem x jest równa sile tnącej.
Druga pochodna momentu względem x jest równa natężeniu obciążenia ciągłego.

Wp

rowadzone zależności pozwalają wyznaczyć siły poprzeczne i momenty gnące dla

zadanego obciążenia. Pomocne są również do konstrukcji wykresów T i M

g

.

Wskazówki !

1) gdy q=0, dT

x

/dx=0



T

x

=const.

wykresem jest prosta równoległa do x, zaś

wykresem M

g

prosta nachylona do osi x.

2). Moment gnący osiąga wartości ekstremalne w miejscach zerowania się siły tnącej.

UWAGA !

Gdy równanie M

g

piszemy z prawej strony belki to

x

x

T

dx

dM





x

x

y

x

dx

dx

x

n

m

q

x

C

T

x

T

x

+dT

x

M

x

M

x

+dM

x

q

(x)

Przykład Wyznaczyć reakcje, napisać równania sił wewnętrznych i narysować ich wykresy.

Dane: P=4 [kN], q=8 [kN/m], a=1 [m]

Reakcje



M

A

=Pa-R

B

2a+½qa2¼a=0 → R

B

=6,5 [kN]



Y=P+½qa-R

A

-R

B

=0 → R

A

=1,5 [kN]

0



x

1



a

M

1

=R

A

x

1

x

1

=0

M

1

=0

x

1

=a

M

1

=R

A

a=1,5 [kNm]

T

1

=R

A

T

1

=1,5 [kN]

a



x

2



2a

M

2

=R

A

x

2

-P(x

2

-a) x

2

=a

M

2

=1,5 [kNm]

x

2

=2a

M

2

= -1 [kNm]

T

2

=R

A

-P

T

2

= -2,5 [kN]

0



x

3



½a

M

3

= -

½qx

2

x

3

=0

M

3

=0

x

3

=½a

M

3

= -1 [kNm]

T

3

=qx

3

x

3

=0

T

3

=0

x

3

=½a

T

3

=4 [kN]

Przykład Podać zależności na M

g

, T, N oraz narysować ich wykresy dla pręta jak na rysunku.

Redukujemy siłę P do środka ciężkości
dowolnie obranego przekroju określonego
kątem



.

T= - Pcos



,

N=Psin



,

M

g

=Prsin



A

B

I

II

III

x

q

A

II

P

R

A

R

B

x

1

x

2

x

3

a

a

½a

M

g

T

R

A

R

B

P

1,5

2,5

1,5

4

1

y

P

P

T

N



r

N

T

M

g

P

P

Pr

r

r

r

NAPRĘŻENIA PRZY CZYSTYM ZGINANIU

Rozpatrzmy belkę:

odcinek CD poddany zginaniu czystemu: M

g

=const., T=0

przed zgięciem

po zgięciu

Wyniki obserwacji:

- zakrzywienie linii podłużnych i osi pręta
- linie prostopadłe do osi pozostają proste

i kontur przekroju jest płaski

Założenia:

1.

Przekrój płaski pozostaje po odkształceniu pręta płaski.

2.

Istnieje warstwa obojętna.

3.

Występują wyłącznie naprężenia normalne w przekroju prostopadłym pręta,
w przekrojach wzdłużnych brak jakichkolwiek naprężeń.

Warunki geometryczne

Rozpatrzmy włókna odległe od warstwy obojętnej o y. Ich pierwotna długość dx=ds.

z zależności geometrycznych:











y

ds

y

1

ds

















)

(

Warunki fizyczne

y

E

E



















naprężenia są proporcjonalne do odległości od osi obojętnej zginania

B

x

A

P

P

a

a

M

g

T=P

T=-P

y

M

g

=Pa

C

D

C

D

x

C

D

x

C

D

M

g

M

g

M

g

z

y

x

dx

y

ds=dx

ds(1+



)

y



d





(-)

(+)



-

promień

krzywizny
warstwy
obojętnej
(tu-

wartość

ujemna)

Warunki równowagi

Siły zewnętrzne po jednej stronie przekroju
redukują się do momemtu M

g

.

Siły wewnętrzne do sił elementarnych



dA

)

(











A

0

dA

0

X



)

(

 











A

y

0

z

dA

0

M



)

(



















A

g

z

0

M

y

dA

0

M



(



) wstawiając za





















A

A

0

ydA

0

ydA

E

y

E







moment statyczny względem osi z

Wniosek -

oś obojętna musi przechodzić przez środek ciężkości przekroju.

(



)















A

A

0

yzdA

0

yzdA

E



moment dewiacji będzie równy 0,

gdy wektor momentu pokrywa się z jedną główną centralną osią bezwładności.

(



)

















A

z

2

g

A

2

J

dA

y

0

M

dA

y

E



moment bezwładności względem osi z.

z

g

EJ

M

1







wstawiając za

Ey

1









(war. geometryczny)

y

J

M

z

g





oznaczając

max

y

J

W

z

z



-

wskaźnik wytrzymałości na zginanie

g

z

g

k

W

M





max



-

warunek wytrzymałościowy na zginanie

Dla przekroju niesymetrycznego

c

I

g

I

I

I

z

k

W

M

W

y

J









r

II

g

II

II

II

z

k

W

M

W

y

J









Dla prostokąta

dla koła

6

bh

W

12

bh

J

2

z

3

z





32

d

W

64

d

J

3

z

4

z









z

z

y

y

x



M

g

dA

oś obojętna

y

I

y

II



II



I

z

b

h

d

z

Przykład Obliczyć przekrój stalowej, prostokątnej belki wspornikowej, obciążonej na końcu siłą

P=20 kN, jeżeli dla przekroju h/b=2, l=1,5 m, k

g

=120 MPa.

M

gmax

=Pl

- w utwierdzeniu.

Wymiary przekroju wyznaczamy z warunku
wytrzymałości na zginanie:

g

g

k

W

M



max

dla prostokąta

6

2

/

12

/

2

3

bh

h

bh

W





dla

h=2b

W=⅔b

3

wstawiając

]

[

072

,

0

10

120

2

5

,

1

10

20

3

2

3

3

2

3

6

3

3

3

m

k

Pl

b

k

b

Pl

g

g





















czyli b=7,2 cm, h=14,4 cm

Przykład Sprawdzić czy belka żeliwna pokazana na rysunku może bezpiecznie pracować jeżeli

P= 30 kN, l=0,3 m. Przyjąć dla żeliwa k

r

=100 MPa, k

c

= 300 MPa.

Belka symetryczna - R

A

= R

B

=P/2=15 [kN]

M

gmax

=R

A

l/2=15 10

3

0,15=2250 [Nm]

Położenie osi obojętnej zginania – obieramy oś pomocniczą przechodzącą przez podstawę z’ i
piszemy wyrażenie na moment statyczny pola przekroju względem tej osi.

]

[

86

,

1

1

5

1

6

5

,

3

1

5

5

,

0

1

6

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

cm

A

A

y

A

y

A

e

y

A

y

A

e

A



































Liczymy moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej zginania

]

[

5

,

35

)

86

,

1

5

,

3

(

1

5

12

5

1

)

5

,

0

86

,

1

(

1

6

12

1

6

4

2

3

2

3

cm

J

z























Wyznaczamy wskaźniki wytrzymałości na zginanie dla części

dolnej

]

[

1

,

19

86

,

1

5

,

35

3

1

cm

e

J

W

z







i górnej

]

[

6

,

8

86

,

1

6

5

,

35

6

3

2

cm

e

J

W

z











Naprężenia rozciągające we włóknach dolnych belki:

]

[

100

]

[

8

,

117

10

1

,

19

2250

6

1

max

MPa

k

MPa

W

M

r

g

r

















Naprężenia ściskające we włóknach górnych:

]

[

300

6

,

261

10

6

,

8

2250

6

2

max

2

MPa

k

W

M

c

g

















l

P

M

gmax

= Pl

b

h

A

B

x

P

l/2

l

R

B

R

A

y

M

gmax

z

10

10

e

60

60

y

z’

z



c



r

Belki o stałej wytrzymałości na zginanie

Rozpatrzmy

najprostszą belkę:

 

 

 

g

g

g

k

x

W

P

W

x

M

x

x

P

x

M











max



zatem tylko w utwierdz

eniu występuje M

g max

=P l,

a więc tylko w utwierdzeniu w warstwach skrajnych
naprężenie będzie równe naprężeniu
dopuszczalnemu.

Można jednak tak zaprojektować belkę by w każdym
przekroju poprzecznym naprężenia maksymalne były
jednakowe.

Belkę taką nazywamy belką o stałej wytrzymałości.

Dla takiej belki

g

g

k

M

W



Dla naszej belki

x

k

P

k

M

W

g

g

g







Jeżeli przekrojem belki będzie prostokąt b·h, to belkę
o stałej wytrzymałości można otrzymać przez zmianę
b przy h=const. lub odwrotnie.

Przy h=const.

x

k

h

P

x

b

x

k

P

h

x

b

g

g











2

2

6

)

(

6

)

(

czyli zależność zmienia się liniowo.

Przy b=const.

x

k

b

P

x

h

x

k

P

x

bh

g

g











6

)

(

6

)

(

2

zmiana wysokości przekroju opisana jest parabolą.

l

x

x

P

y

M

g max

=

P l

x

y

P

b=const

b

x

x

P

y

h

h=const

x

b(x)

b

z