MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY SEKCYJNE

Chaos a medycyna: fizyka w diagnostyce

zaburzeń rytmu serca

Jan J. Żebrowski

Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska

1. Wstęp

Niestabilność trajektorii nieliniowych układów

dynamicznych, znana jako zjawisko chaosu determini-
stycznego [1–6], zyskuje w ostatnich latach na znacze-
niu. Z jednej strony bowiem bardzo rozwinęła się wie-
dza dotycząca właściwości fizycznych układów, w któ-
rych chaos występuje [1,7]. Z drugiej zaś, w ostatnich
10–15 latach nauczono się dobrze analizować szeregi
czasowe mierzone w układach chaotycznych [7,8]. Do-
tyczy to również stanów niestacjonarnych układów dy-
namicznych, jak również takich, w których występuje
zbyt duży szum, by można go było pominąć [9,10].
Możliwość kontroli stanów chaotycznych [11], dogłębne
zrozumienie synchronizacji układów chaotycznych [12]
otwierają pole do zastosowań teorii chaosu w wielu
dziedzinach nauki i techniki, jak również w socjologii,
psychologii i ekonomii [13].

Na tym tle medycyna wydaje się dziedziną po-

średnią. Niewątpliwie znaczną część postępu w ostat-
nich kilkudziesięciu latach zawdzięcza ona wprowa-
dzeniu wielu metod fizykalnych – a więc ilościowych.
Jednakże tradycyjnie fizjologia jest uważana za wie-
dzę empiryczną i modele matematyczne – obecnie bar-
dzo szybko się rozwijające – nie mają ani takiej ogól-
ności, ani siły przewidywania jak w fizyce. Wydaje
się jednocześnie, że nadeszła pora zastąpienia dobrze
ugruntowanego i bardzo zasłużonego dla medycyny pa-
radygmatu homeostazy nowym, zwanym homeodyna-
miką [14]. Ten pierwszy powstał w XX w. (pierwsze
prace pochodzą z XIX w.) na tle rozwoju fizyki staty-
stycznej stanów równowagi w układach zamkniętych,
zaś homeodynamika wynika właśnie z postępu w teorii
chaosu i fizyki statystycznej stanów z dala od równo-
wagi w układach otwartych.

Referat poświęcony jest zastosowaniom teorii cha-

osu do diagnozowania ryzyka wystąpienia tzw. nagłego
zatrzymania krążenia u człowieka. Jest to stan, w któ-
rym – również bez mechanicznych uszkodzeń serca,
jakie mogą pojawić się w trakcie zawału – traci ono
zdolność pompowania krwi. W medycynie analizuje
się w tym celu zmienność rytmu serca, tzn. fluktuacje
częstości pracy serca. Odzwierciedlają one aktywność
obydwu części obwodowego układu nerwowego oraz,

w pewnym stopniu, procesy biochemiczne zachodzące
w sercu. Zmienność rytmu serca analizuje się na pod-
stawie zapisu EKG, w tym również w zapisie całodo-
bowym.

2. Chaos deterministyczny

Układem dynamicznym nazywamy determini-

styczną receptę na ewolucję danego układu [1]. Układy
dynamiczne z czasem dyskretnym opisane są równa-
niami ruchu w postaci równań różnicowych, tj. funkcji
iterowanych o postaci

x

n+1

= f (x

n

, a),

gdzie f jest nieliniową funkcją, n – indeksem ite-
racji (czas dyskretny), zaś a – parametrem kontrol-
nym. Najbardziej znanym przykładem takiego układu
dynamicznego jest równanie logistyczne, w którym
f (x

n

, a) = ax

n

(1 − x

n

). Nominalnie opisuje ono dy-

namikę populacji owadów, których pokolenia nie prze-
krywają się i które żyją w ograniczonym środowisku.
Ponieważ jednak każdą funkcję w pobliżu jej maksi-
mum można przybliżyć za pomocą funkcji kwadra-
towej, więc funkcje iterowane posiadające pojedyn-
cze maksimum mają wszystkie własności odwzorowa-
nia logistycznego [1,2]. W pewnym zakresie parametru
kontrolnego wystąpi zatem podwajanie okresu, prowa-
dzące do trajektorii o nieskończonym okresie (punkt
akumulacji), a w obszarze chaotycznym za tym punk-
tem pojawią się okna periodyczne, które są gęste na
osi parametru kontrolnego. Na granicy tych okien po-
jawi się intermitencja, co oznacza, że dla danej wartości
parametru kontrolnego ruch nieregularny (chaotyczny)
poprzedzielany będzie krótkimi fazami ruchu (prawie)
regularnego. Właśnie uniwersalność zjawisk dynamicz-
nych obserwowanych w ewolucji funkcji iterowanych
z pojedynczym maksimum stanowi o przydatności teo-
rii chaosu do opisu tak wielu zjawisk.

Ewolucję układów dynamicznych z czasem cią-

głym (zwanych przepływami) opisują autonomiczne
równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzę-
du [1,2]. Trajektoria fazowa układu z czasem ciągłym
staje się otwarta wtedy, gdy wszystkie stany perio-

POSTĘPY FIZYKI

TOM DODATKOWY 53D

ROK 2002

169

MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY SEKCYJNE

dyczne (trajektorie zamknięte) dla danej wartości pa-
rametru kontrolnego są niestabilne, ale rozwiązania
wciąż istnieją. W stanie chaotycznym układ wykazuje
czułość na warunki początkowe: bardzo mała zmiana
warunku początkowego narasta wykładniczo z biegiem
czasu. Trajektoria chaotyczna jest więc nieprzewidy-
walna, co rodzi różnorodne problemy w wielu dzie-
dzinach, np. w tworzeniu prognoz meteorologicznych.
Jednakże z punktu widzenia układów żywych stan cha-
otyczny ma wiele zalet. Widmo mocy w takim sta-
nie jest białe i tylko w pewnych przypadkach wystę-
pują częstości dominujące. Oznacza to, że układ może
poruszać się z bardzo wieloma (może nawet nieskoń-
czenie wieloma) częstościami. Chociaż pod wpływem
zaburzenia zewnętrznego trajektoria układu się zmie-
nia w szczegółach, to układ pozostaje w tym samym
stanie. Posiada więc stabilność dynamiczną, a jedno-
cześnie może zmieniać swoje zachowanie w szerokim
zakresie. Na ogół trajektorie fazowe układu w stanie
chaotycznym są fraktalami.

Każdy układ dynamiczny w trakcie ewolucji

w czasie wykonuje odwzorowanie dyskretne. Można się
o tym przekonać, wykonując przekrój Poincar´ego tra-
jektorii fazowej i obserwując odwzorowanie punktów
na tym przekroju przy kolejnych obiegach przestrzeni
fazowej przez trajektorię [1,2]. W wielu przypadkach
otrzymane tą drogą odwzorowanie ma charakter krzy-
wej drugiego stopnia z pojedynczym maksimum.

3. Zmienność rytmu serca

Pompowanie krwi w sercu rozpoczyna się od skur-

czu przedsionków. Skurcz ten inicjowany jest w wyspe-
cjalizowanej tkance (naturalny rozrusznik), tzw. węźle
zatokowym. Chociaż węzeł ten jest oscylatorem o wła-
snej częstości charakterystycznej [15,16], to jego dzia-
łanie modyfikowane jest przez wiele czynników, z któ-
rych najważniejsze jest pobudzenie ze strony autono-
micznego układu nerwowego. Potencjał czynnościowy
węzła zatokowego, niezależnie od swego wpływu na
przedsionki serca, przenoszony jest specjalną drogą
przewodzenia do następnego naturalnego rozrusznika,
jakim jest węzeł przedsionkowo-komorowy. Po odpo-
wiednim opóźnieniu potrzebnym dla właściwego zsyn-
chronizowania pracy przedsionków i komór, pobudze-
nie przekazywane jest za pomocą układu His-Purkinje
do dolnego krańca komór. Rozpoczyna się wtedy
skurcz komór. Wszystkie fazy depolaryzacji tkanek
serca (związanej z ich skurczem) oraz następującej po
nich fazy repolaryzacji (związanej z rozkurczem) reje-
struje się na powierzchni ciała w trakcie badania EKG.

Opisany rytm serca nazywany jest zatokowym ze

względu na ośrodek, który go inicjuje. Tkanka serca
jest jednak ośrodkiem aktywnym. Z tego względu może
dojść – z różnych przyczyn, w tym również na skutek
zmian chorobowych – do uaktywnienia się patologicz-
nego, dodatkowego (ektopicznego) rozrusznika serca.
Skurcz taki rozpoznaje się po morfologii (tj. kształ-

cie) zapisu EKG. W uproszczeniu, arytmia pojawia
się wtedy, gdy takich ektopicznych skurczów serca jest
wiele, tak że wpływają one na skuteczność pompowa-
nia serca.

Rytm serca analizuje się jako szereg interwałów

czasu pomiędzy skurczami komór (załamki R – wyso-
kie, wąskie szpilki w zapisie EKG). Nie jest on stały
i fluktuuje z dotychczas nie w pełni poznanych przy-
czyn. W kardiologii stosuje się obecnie szereg linio-
wych metod analizy, jak analiza widmowa i analiza sta-
tystyczna rozkładu interwałów (głównie poprzez od-
chylenie średnie standardowe oraz odchylenie średnie
wartości średniej). Metody te wniosły bardzo wiele.
Na przykład, w latach osiemdziesiątych XX w. udało
się określić pasma częstotliwości właściwe zarówno dla
przywspółczulnego, jak i współczulnego autonomicz-
nego układu nerwowego oraz dla reakcji baro- i chemo-
receptorów w układzie krążenia. Analiza widma mocy
pozwala kardiologom ocenić stan pobudzenia autono-
micznego układu nerwowego i jego współdziałanie z in-
nymi układami regulacji w organizmie.

Już jednak pobieżna analiza 24-godzinnego sze-

regu czasowego interwałów RR wskazuje na niestacjo-
narność badanych zjawisk. Ponadto, wtrącenia w po-
staci skurczy ektopicznych powodują zakłócenia („ar-
tefakty”) w widmie mocy, co całkowicie uniemożliwia
ocenę stanu układu autonomicznego u ludzi z aryt-
mią (dopiero w ostatnich latach usiłuje się stosować
analizę falkową [17], co przynosi bardzo interesujące
rezultaty).

W wielu stanach patologicznych, jak również

w trakcie wysiłku, rytm serca zmniejsza swoją zmien-
ność. Stwiedzono przy tym w wielokrotnie, że średnie
odchylenie standardowe interwałów RR u ludzi zagro-
żonych nagłym zatrzymaniem krążenia i u tych, u któ-
rych ryzyko to jest niskie, przyjmuje bardzo podobne
wartości. Na przełomie lat osiemdziesiątych i dzie-
więćdziesiątych XX w. rozpoczęto poszukiwania no-
wych metod analizy szeregów czasowych, które z jednej
strony byłyby odporne na niestacjonarność badanych
zjawisk, a z drugiej uwzględniłyby niewątpliwą nieli-
niowość układu regulacji rytmu serca [18].

4. Dynamika nieliniowa rytmu serca

Chociaż od wielu lat tworzy się matematyczne

modele zjawisk fizjologicznych [15,16,4], to główny
nacisk badań nad zastosowaniami metod dynamiki
nieliniowej do diagnostyki medycznej położony jest
na analizę szeregów czasowych. Ważną metodą po-
zwalającą praktycznie stosować teorię chaosu do da-
nych doświadczalnych jest odtwarzanie trajektorii fa-
zowej układu z szeregu czasowego jednej zmiennej x(t)
za pomocą twierdzenia Takensa o współrzędnych
opóźnionych [7,1,2]. Twierdzenie to wykazuje istnie-
nie dyfeomorfizmu między rzeczywistą trajektorią fa-
zową a trajektorią opisaną we współrzędnych {x(t),
x(t + τ ), . . . , x(t + (m − 1)τ )}, gdzie m ­ 2D jest wy-

170

POSTĘPY FIZYKI

TOM DODATKOWY 53D

ROK 2002

MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY SEKCYJNE

miarem zanurzenia, gdy D jest liczbą stopni swobody
układu, zaś τ jest stałą. W badaniach nad zmiennością
rytmu serca bardzo istotne znaczenie mają prace nad
uogólnieniem twierdzenia o zanurzaniu Takensa na sze-
regi interwałów czasu pomiędzy charakterystycznymi
wydarzeniami w trakcie ewolucji układu [19,20].

Zastosowanie współrzędnych opóźnionych zamie-

nia szereg czasowy w obiekt geometryczny, któremu
można przypisać różne miary złożoności. W literatu-
rze przedmiotu znajduje się wiele przykładów zasto-
sowania analizy fraktalnej trajektorii fazowej rytmu
serca [17,21–23]. Krytycy użycia do oceny zmienności
rytmu serca bardzo rozpowszechnionej w teorii chaosu
analizy fraktalnej zwracają uwagę na istotne meryto-
ryczne trudności, jakie się z tym wiążą [9,10]. Przede
wszystkim, matematycznie fraktal jest obiektem zdefi-
niowanym z nieskończoną dokładnością i w granicy nie-
skończenie wielu elementów zbioru. Wyznaczenie ska-
lowania z odpowiednią dokładnością nie jest możliwe
w przypadku istotnego poziomu szumu, jaki występuje
w zapisie EKG – szczególnie w tej jego odmianie, która
obejmuje całą dobę (częstość próbkowania 128 Hz lub
256 Hz). Z tych samych przyczyn rzetelne wyznacze-
nie wymiaru fraktalnego wymaga dostatecznie wielu
danych. Tymczasem w przypadku oceny zmienności
rytmu serca albo wektor danych jest krótki (1000–2000
interwałów RR w tzw. krótkich rejestracjach EKG),
albo też danych jest dostatecznie wiele (rzędu 10

5

in-

terwałów – zapis całodobowy), ale wtedy, z założenia,
badany układ jest niestacjonarny i użycie analizy frak-
talnej budzi daleko idące wątpliwości.

We współpracy z dr n. med. Wandą Popław-

ską i doc. dr hab. n. med. Rafałem Baranowskim
z Instytutu Kardiologii w Aninie prowadzimy ba-
dania nad zastosowaniem metod teorii chaosu do
oceny ryzyka wystąpienia nagłego zatrzymania krą-
żenia. Dotychczas zbadaliśmy ponad 400 dwudziesto-
czterogodzinnych zapisów EKG rytmu serca. Wycho-
dząc z trójwymiarowego przedstawienia trajektorii in-
terwałów RR we współrzędnych opóźnionych, stworzy-
liśmy miary złożoności [9,24,25] wywodzące się bądź
z entropii Shannona [1,9], bądź z dynamiki symbo-
licznej [1,2,24]. Pierwsza grupa ma charakter miar
statystycznych i jest niewrażliwa na kolejność wy-
korzystania dostępnych dla układu interwałów RR.
Druga grupa miar – wywodząca się z dynamiki sym-
bolicznej – jest czuła na złożoność sekwencji interwa-
łów RR. Jak się wydaje [24], miary te nie odzwiercie-
dlają tych samych procesów dynamicznych zachodzą-
cych w układzie regulacji zmienności rytmu serca. Jako
pierwsi zastosowaliśmy też dynamikę nieliniową do
analizy procesów repolaryzacji zachodzących w tkance
serca (analiza szeregów czasowych odcinków QT zapisu
EKG) [24–27]. Głównymi naszymi wynikami są: poka-
zanie wysokiej czułości statystycznej oraz specyficzno-
ści proponowanych przez nas metod oceny ryzyka na-
głego zatrzymania krążenia i wykazanie silnej korelacji
wprowadzonych przez nas miar złożoności z poziomem

hormonów we krwi (noradrenaliny oraz dopaminy –
związek tej ostatniej ze zmiennością rytmu serca wy-
kazaliśmy jako pierwsi) [9,25,28].

Dyskusja nad stochastycznymi bądź determini-

stycznymi przyczynami zmienności rytmu serca jest
nadzwyczaj aktualna. W tym kontekście wykazanie
przez nasz zespół intermitencji typu I według klasyfika-
cji Pomeau–Manneville’a w rytmie serca ludzi, u któ-
rych wystepuje arytmia oraz u chorych na kardiomio-
patię, u których rytm jest zatokowy bez arytmii, wy-
daje się istotnym argumentem za tym drugim typem
procesu dynamicznego [29]. Udało się również zmierzyć
bezpośrednio fragment odwzorowania iterowanego od-
powiedzialnego za intermitencję rytmu serca.

Mamy nadzieję, że zmierzone przez nas odwzoro-

wanie, jak również wyniki naszych niezależnych badań
nad wpływem opóźnienia na odwzorowania iterowane
pozwolą na sformułowanie fizycznego modelu obserwo-
wanych przez nas zjawisk fizjopatologicznych w rytmie
serca człowieka.

Literatura

[1] E. Ott, Chaos w układach dynamicznych (WNT,

Warszawa 1997).

[2] H.G. Schuster, Chaos deterministyczny – wprowadze-

nie (PWN, Warszawa 1993).

[3] G.L. Baker, J.P. Gollub, Wstęp do dynamiki układów

chaotycznych (PWN, Warszawa 1998).

[4] J. Gleick, Chaos – tworzenie nowej nauki (Zysk i S-ka,

Poznań 1996).

[5] I. Stewart, Czy Bóg gra w kości – nowa matematyka

chaosu (PWN, Warszawa 1994).

[6] G.M. Zaslavsky, Postępy Fizyki 52, 113 (2001).
[7] H.D. Abarbanel, Analysis of observed chaotic data

(Springer, N.Y. 1996).

[8] H. Kantz, T. Schreiber, Nonlinear time series analysis

(Cambridge University Press, Cambridge 1997).

[9] J.J. Żebrowski, W. Popławska, R. Baranowski, Phys.

Rev. E 50, 4187 (1994); W. Popławska, J.J. Żebrow-
ski, R. Baranowski, „Nieliniowa analiza rytmu za-
tokowego”, w: Zmienność rytmu serca (Via Medica,
Gdańsk 1995).

[10] Nonlinear Analysis of Physiological Data, red.

H. Kantz, J. Kurths, G. Mayer-Kress (Springer, Ber-
lin 1998).

[11] Handbook of Chaos Control, red. H.G. Schuster (Wi-

ley-VCH, Weinheim 1999).

[12] L.M. Pecora, T.L. Carroll, G.A. Johnson, D.J. Mar,

J.F. Heagy, Chaos 7, 520 (1997).

[13] J. Hołyst, „Metody fizyki w ekonomii i socjologii”,

Postępy Fizyki 50 (1999), zeszyt dodatkowy, s. 56.

[14] F.E. Yates, Math. and Comp. Mod. 19, 49 (1994).
[15] B.J. West, Fractal physiology and chaos in medicine

(World Scientific, Singapore 1990).

[16] L. Glass, M.C. Mackey, From clocks to chaos – the

rhythms of life (Princeton U. Press, Princeton 1988).

[17] Z. Struzik, Fractals 9, 77 (2001).
[18] C.S. Poon, C.K. Merrill, Nature 389, 492 (1997).
[19] R. Hegger, H. Kantz, Europhys. Lett. 38, 267 (1997).
[20] R. Castro, T. Sauer, Phys. Rev. E 55, 287 (1997).

POSTĘPY FIZYKI

TOM DODATKOWY 53D

ROK 2002

171

MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY SEKCYJNE

[21] J.E. Skinner, M. Molnar, C. Tomberg, Integr. Physiol.

Behav. Sci. 29, 217 (1994).

[22] G. Schmidt i in., PACE 19, 976 (1996).
[23] S.

Garde,

M.G.

Regalado,

V.L.

Schechtman,

M.C. Khoo, Am. J. of Phys. – Heart & Circ. Phy-
siol. 280, H2920 (2001).

[24] J.J. Żebrowski, W. Popławska, R. Baranowski,

T. Buchner, Chaos, Solitons & Fractals 11, 1061
(2000).

[25] J.J. Żebrowski, W. Popławska, R. Baranowski,

T. Buchner, Acta Phys. Pol. B 30, 2547 (1999).

[26] R. Baranowski, J.J. Żebrowski, W. Popławska,

M.A. Mananas, R. Jane, P. Caminal, L. Chojnow-
ska, W. Rydlewska-Sadowska, X. Vinolas, J. Guindo,
A. Bayes de Luna, Computers in Cardiology (1995),
s. 789.

[27] R. Baranowski, „Analiza odstępu QT w rejestracji

EKG metodą Holtera”, rozprawa habilitacyjna (Bibl.
Kardiologiczna Inst. Kard. w Warszawie, 2000).

[28] J.J. Żebrowski, W. Popławska, R. Baranowski,

T. Buchner, Nonlinear Analysis 30, 1007 (1997).

[29] J. Żebrowski, Acta Phys. Pol. B 32, 1531 (2001).

172

POSTĘPY FIZYKI

TOM DODATKOWY 53D

ROK 2002