I = I =

[cm ]

I =

[cm ]

I =

⋅I

1

1

8

4

20 [ kN ]

12 [ kN / m]

5 [ kNm]

0

1

2

3

4

5

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

1

1

8

4

0

1

2

3

4

5

u

1



2



3

u =Z

 =Z
 =Z

r ⋅Z r ⋅Z r ⋅Z  R

P

=

r ⋅Z r ⋅Z r ⋅Z R

P

=

r ⋅Z r ⋅Z r ⋅Z R

P

=

1

Jerzy Skoryna KBI 3

1

1

8

4

0

1

2

3

4

5

01

42

53

23

Z

Z

Z

Z

Z

Z

M

EI

EI

Z

EI Z

M
M

M

EI

EI Z

EI Z

M

EI

EI

Z

Z

Z

M

EI

EI Z

Z

Z

M

EI

EI

Z

Z

M

EI

EI Z

Z

M

EI

EI

Z

Z

M

EI

EI

Z

Z

2

Jerzy Skoryna KBI 3

Stan Z

1

=1 :

1

1

8

4

0

1

2

3

4

5

1

r

21

r

31

3

16

3

8

3

8

1,08

0,363803

0,363803

1,08

M

01

=−

3

16

⋅EI

M

10

=0

M

12

=0

M

21

=0

M

23

=1,08 EI

M

32

=1,08 EI

M

24

=−

3

8

⋅EI

M

42

=−

3

8

⋅EI

M

35

=−0,363803 EI

M

53

=−0,363803 EI

Stan Z

2

=1 :

1

1

8

4

0

1

2

3

4

5

1

r

12

r

32

0,5

2,88

1,0

1,44

0,27

M

01

=0

M

10

=0

M

12

=0

M

21

=0,27 EI

M

23

=2,88 EI

M

32

=1,44 EI

M

24

=1,0 EI

M

42

=0,5 EI

M

35

=0

M

53

=0

Obciążenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005

3

Jerzy Skoryna KBI 3

Stan Z

3

=1 :

1

1

8

4

0

1

2

3

4

5



1

r

23

r

13

1,44

0,970143

0,485071

2,88

M

01

=0

M

10

=0

M

12

=0

M

21

=0

M

23

=1,44 EI

M

32

=2,88 EI

M

24

=0

M

42

=0

M

35

=0,970143 EI

M

53

=0,485071 EI

Stan P:

1

1

8

4

0

1

2

3

4

5

R

1 P

1,0

1,0

1,0

R

2 P

R

3 P

20 [ kN ]

12 [ kN / m]

5 [ kNm]

M

01

=0

M

10

=0

M

12

=0

M

21

=0

M

23

=−1 [ kNm]

M

32

=1 [ kNm]

M

24

=0

M

42

=0

M

35

=−1 [ kNm]

M

53

=1 [ kNm]

Obciążenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005

4

Jerzy Skoryna KBI 3

Obliczam reakcje r

ik

w poszczególnych stanach równoważąc odpowiednie węzły:

Stan Z

1

=1 :

r

21

=1,08 −

3
8

⋅EI =0,705 EI

r

31

=1,08 −0,363803 ⋅EI =0,716197 EI

Stan Z

2

=1 :

r

22

=2,8810,27 ⋅EI =4,15 EI

r

32

=1,44 EI

Stan

Z

3

=1

:

r

23

=1,44 EI

r

33

=2,880,970143⋅EI =3,85014 EI

Stan P:

R

2 P

=−1,0 [ kNm]

R

3 P

=−5−11=−5[ kNm]

Reakcje nie będące momentami obliczam korzystając z równania pracy wirtualnej:

r

11

⋅

1 −

3

16

⋅

1

4

⋅1−

3

8

⋅2 ⋅

1

4

⋅11,08 ⋅2 ⋅−

1

4

⋅1−0,363803 ⋅2 ⋅

1

4

⋅1=0

r

11

=0,956277 EI

r

12

⋅

1 0,27 ⋅01,00,5⋅

1

4

⋅12,88 1,44⋅−

1

4

⋅1=0

r

12

=0,705 EI

r

13

⋅

1 1,44 2,88 ⋅−

1

4

0,9701430,485071⋅

1

4

⋅1=0

r

13

=0,716197 EI

W równaniu pracy wirtualnej do obliczenia

R

1 P

występują przemieszczenia, na których wykonuje

pracę obciążenie zewnętrzne. Do ich obliczenia wykorzystuję równania łańcucha kinematycznego:

1

1

4

2

3

4

5



42



53



23

2 a

3 a

↓ 422a V

2 a

=4 ⋅00,5 ⋅−

1

4

=−0,125

↓ 53a V

3 a

=−0,5 ⋅

1

4

=−0,125

20 ⋅

1 R

1 P

⋅

1 −11⋅

23

−11⋅

35

12 ⋅1 ⋅−0,12512 ⋅1 ⋅−0,125=0

R

1 P

=−17 [ kN ]

Obciążenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005

5

Jerzy Skoryna KBI 3

Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:

0,956277 ⋅Z

1

0,705 ⋅Z

2

0,716197 ⋅Z

3

−17 =0

0,705 ⋅Z

1

4,15 ⋅Z

2

1,44 ⋅Z

3

−1 =0

0,716197 ⋅Z

1

1,44 ⋅Z

2

3,85014 ⋅Z

3

−5 =0

Rozwiązanie układu:

EI Z

1

=21,0030

EI Z

2

=−2,78316

EI Z

3

=−1,56735

Po podstawieniu do wyjściowych wzorów transformacyjnych otrzymujemy ostateczne momenty
[kNm]:

M

01

=−3,93806

M

10

=0

M

12

=0

M

21

=−0,751453

M

23

=11,4108

M

32

=15,1615

M

24

=−10,6593

M

42

=−9,26771

M

35

=−10,1615

M

53

=−7,40124

Kontrola kinematyczna: wykres momentów w stanie wirtualnym [m]

1

1

8

4

0

1

2 3

4

5

1

4

4

4



4

⋅

1 =

∫

M⋅ 

M

EI

⋅dx=

4

⋅1

1

EI

⋅0,5 ⋅4 ⋅9,2677 ⋅

1

3

⋅4−0,5 ⋅4 ⋅10,6593 ⋅

2

3

⋅4

1

EI

2

⋅0,5 ⋅1 ⋅15,1615−0,5 ⋅1 ⋅11,4108 −

2

3

⋅1 ⋅

12 ⋅1

2

8

⋅4

1

EI

⋅0,5 ⋅



17 ⋅10,1615 ⋅

2

3

⋅4−0,5 ⋅



17 ⋅7,40124 ⋅

1

3

⋅4−

2

3

⋅

12 ⋅1

2

8

⋅



17 ⋅0,5 ⋅4=

=

−32,1357

EI



3,50140
0,72 ⋅EI



27,2723

EI

=0,000



4

=0,000

Obciążenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005

6

Jerzy Skoryna KBI 3

1

1

8

4

0

1

2

3

4

5

3,93806

9,26771

10,6593

11,4108

10,1615

7,40124

15,1615

0,751453

Siły tnące [kN] obliczam równoważąc pojedyncze pręty obciążone momentami [kNm] i
obciążeniem zewnętrznym:

T

10

=0,984515

T

01

=0,984515

M

01

=3,93806

0

1

T

24

=4,98175

T

42

=4,98175

M

42

=9,26771

4

2

M

24

=10,6593

1

2

T

12

=0,0939316

T

21

=0,0939316

4

M

21

=0,751453

8

2 3

T

23

=−20,5723

T

32

=−32,5723

M

32

=15,1615

M

23

=11,4108

12 [ kN / m]

1

1

4

M

35

=10,1615

T

35

=5,71480

T

53

=2,80438

M

53

=7,40124

12 [ kN / m]

3

5

Obciążenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005

7

Jerzy Skoryna KBI 3

Siły normalne [kN] obliczam równoważąc węzły:

20 [ kN ]

1

2

3

N

10

=−0,0939316

T

10

=0,984515

T

12

=0,0939316

N

12

=−19,0155=N

21

T

21

=0,0939316 T

23

=−20,5723

N

23

=−14,0338

T

24

=4,98175

N

24

=20,6662

N

32

=−14,0338

T

32

=−32,5723

T

35

=5,71480

N

35

=−35,0035

 F

y

=32,57235,7148 ⋅

1



17

N

35

⋅

4



17

=0 ⇒ N

35

=−35,0035

 F

x

=N

32

5,7148 ⋅

4



17

35,0035 ⋅

1



17

=0 ⇒ N

35

=−14,0338

Kontrola statyczna:

1

1

8

4

0

4

5

20 [ kN ]

12 [ kN / m]

5 [ kNm]

1

2

3

T

35

=5,71480

N

35

=35,003512 :

4



17

T

24

=4,98175

N

24

=20,6662

N

10

=0,0939316

T

10

=0,984515

M

53

=7,40124

M

42

=9,26771

M

01

=3,93806

 F

y

=0,0939316−20,666247,3728 ⋅

4



17

−5,71480 ⋅

1



17

−12 ⋅2=0,0000

 F

x

=0,984515−4,981755,7148 ⋅

4



17

35,0035 ⋅

1



17

−20=0,0000

 M

5

=−7,40124−9,26771−9,938060,0939316 ⋅10−20,6662 ⋅2 20 ⋅4 5−12 ⋅2 ⋅1=0,0000

Obciążenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005

8

Jerzy Skoryna KBI 3

Wykresy sił normalnych i tnących:

0

4

5

1

2

3

N [ kN ]

−0,0939316

−19,0155

−14,0338

35,0035

47,3728

20,6662

0

4

5

1

2

3

T [ kN ]

0,984515

0,0939316

−20,5723

5,71480

2,80438

4,98175

−32,5723

Obciążenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005

9

Jerzy Skoryna KBI 3