I = I =
[cm ]
I =
[cm ]
I =
⋅I
1
1
8
4
20 [ kN ]
12 [ kN / m]
5 [ kNm]
0
1
2
3
4
5
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
1
1
8
4
0
1
2
3
4
5
u
1
2
3
u =Z
=Z
=Z
r ⋅Z r ⋅Z r ⋅Z R
P
=
r ⋅Z r ⋅Z r ⋅Z R
P
=
r ⋅Z r ⋅Z r ⋅Z R
P
=
1
Jerzy Skoryna KBI 3
I = I =
[cm ]
I =
[cm ]
I =
⋅I
1
1
8
4
20 [ kN ]
12 [ kN / m]
5 [ kNm]
0
1
2
3
4
5
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
1
1
8
4
0
1
2
3
4
5
u
1
2
3
u =Z
=Z
=Z
r ⋅Z r ⋅Z r ⋅Z R
P
=
r ⋅Z r ⋅Z r ⋅Z R
P
=
r ⋅Z r ⋅Z r ⋅Z R
P
=
1
Jerzy Skoryna KBI 3
1
1
8
4
0
1
2
3
4
5
01
42
53
23
Z
Z
Z
Z
Z
Z
M
EI
EI
Z
EI Z
M
M
M
EI
EI Z
EI Z
M
EI
EI
Z
Z
Z
M
EI
EI Z
Z
Z
M
EI
EI
Z
Z
M
EI
EI Z
Z
M
EI
EI
Z
Z
M
EI
EI
Z
Z
2
Jerzy Skoryna KBI 3
Stan Z
1
=1 :
1
1
8
4
0
1
2
3
4
5
1
r
21
r
31
3
16
3
8
3
8
1,08
0,363803
0,363803
1,08
M
01
=−
3
16
⋅EI
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=0
M
23
=1,08 EI
M
32
=1,08 EI
M
24
=−
3
8
⋅EI
M
42
=−
3
8
⋅EI
M
35
=−0,363803 EI
M
53
=−0,363803 EI
Stan Z
2
=1 :
1
1
8
4
0
1
2
3
4
5
1
r
12
r
32
0,5
2,88
1,0
1,44
0,27
M
01
=0
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=0,27 EI
M
23
=2,88 EI
M
32
=1,44 EI
M
24
=1,0 EI
M
42
=0,5 EI
M
35
=0
M
53
=0
ObciąŜenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005
3
Jerzy Skoryna KBI 3
Stan Z
3
=1 :
1
1
8
4
0
1
2
3
4
5
1
r
23
r
13
1,44
0,970143
0,485071
2,88
M
01
=0
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=0
M
23
=1,44 EI
M
32
=2,88 EI
M
24
=0
M
42
=0
M
35
=0,970143 EI
M
53
=0,485071 EI
Stan P:
1
1
8
4
0
1
2
3
4
5
R
1 P
1,0
1,0
1,0
R
2 P
R
3 P
20 [ kN ]
12 [ kN / m]
5 [ kNm]
M
01
=0
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=0
M
23
=−1 [ kNm]
M
32
=1 [ kNm]
M
24
=0
M
42
=0
M
35
=−1 [ kNm]
M
53
=1 [ kNm]
ObciąŜenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005
4
Jerzy Skoryna KBI 3
Obliczam reakcje r
ik
w poszczególnych stanach równowaŜąc odpowiednie węzły:
Stan Z
1
=1 :
r
21
=1,08 −
3
8
⋅EI =0,705 EI
r
31
=1,08 −0,363803 ⋅EI =0,716197 EI
Stan Z
2
=1 :
r
22
=2,8810,27 ⋅EI =4,15 EI
r
32
=1,44 EI
Stan
Z
3
=1
:
r
23
=1,44 EI
r
33
=2,880,970143⋅EI =3,85014 EI
Stan P:
R
2 P
=−1,0 [ kNm]
R
3 P
=−5−11=−5[ kNm]
Reakcje nie będące momentami obliczam korzystając z równania pracy wirtualnej:
r
11
⋅
1 −
3
16
⋅
1
4
⋅1−
3
8
⋅2 ⋅
1
4
⋅11,08 ⋅2 ⋅−
1
4
⋅1−0,363803 ⋅2 ⋅
1
4
⋅1=0
r
11
=0,956277 EI
r
12
⋅
1 0,27 ⋅01,00,5⋅
1
4
⋅12,88 1,44⋅−
1
4
⋅1=0
r
12
=0,705 EI
r
13
⋅
1 1,44 2,88 ⋅−
1
4
0,9701430,485071⋅
1
4
⋅1=0
r
13
=0,716197 EI
W równaniu pracy wirtualnej do obliczenia
R
1 P
występują przemieszczenia, na których wykonuje
pracę obciąŜenie zewnętrzne. Do ich obliczenia wykorzystuję równania łańcucha kinematycznego:
1
1
4
2
3
4
5
42
53
23
2 a
3 a
↓ 422a V
2 a
=4 ⋅00,5 ⋅−
1
4
=−0,125
↓ 53a V
3 a
=−0,5 ⋅
1
4
=−0,125
20 ⋅
1 R
1 P
⋅
1 −11⋅
23
−11⋅
35
12 ⋅1 ⋅−0,12512 ⋅1 ⋅−0,125=0
R
1 P
=−17 [ kN ]
ObciąŜenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005
5
Jerzy Skoryna KBI 3
Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:
0,956277 ⋅Z
1
0,705 ⋅Z
2
0,716197 ⋅Z
3
−17 =0
0,705 ⋅Z
1
4,15 ⋅Z
2
1,44 ⋅Z
3
−1 =0
0,716197 ⋅Z
1
1,44 ⋅Z
2
3,85014 ⋅Z
3
−5 =0
Rozwiązanie układu:
EI Z
1
=21,0030
EI Z
2
=−2,78316
EI Z
3
=−1,56735
Po podstawieniu do wyjściowych wzorów transformacyjnych otrzymujemy ostateczne momenty
[kNm]:
M
01
=−3,93806
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=−0,751453
M
23
=11,4108
M
32
=15,1615
M
24
=−10,6593
M
42
=−9,26771
M
35
=−10,1615
M
53
=−7,40124
Kontrola kinematyczna: wykres momentów w stanie wirtualnym [m]
1
1
8
4
0
1
2 3
4
5
1
4
4
4
4
⋅
1 =
∫
M⋅
M
EI
⋅dx=
4
⋅1
1
EI
⋅0,5 ⋅4 ⋅9,2677 ⋅
1
3
⋅4−0,5 ⋅4 ⋅10,6593 ⋅
2
3
⋅4
1
EI
2
⋅0,5 ⋅1 ⋅15,1615−0,5 ⋅1 ⋅11,4108 −
2
3
⋅1 ⋅
12 ⋅1
2
8
⋅4
1
EI
⋅0,5 ⋅
17 ⋅10,1615 ⋅
2
3
⋅4−0,5 ⋅
17 ⋅7,40124 ⋅
1
3
⋅4−
2
3
⋅
12 ⋅1
2
8
⋅
17 ⋅0,5 ⋅4=
=
−32,1357
EI
3,50140
0,72 ⋅EI
27,2723
EI
=0,000
4
=0,000
ObciąŜenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005
6
Jerzy Skoryna KBI 3
1
1
8
4
0
1
2
3
4
5
3,93806
9,26771
10,6593
11,4108
10,1615
7,40124
15,1615
0,751453
Siły tnące [kN] obliczam równowaŜąc pojedyncze pręty obciąŜone momentami [kNm] i
obciąŜeniem zewnętrznym:
T
10
=0,984515
T
01
=0,984515
M
01
=3,93806
0
1
T
24
=4,98175
T
42
=4,98175
M
42
=9,26771
4
2
M
24
=10,6593
1
2
T
12
=0,0939316
T
21
=0,0939316
4
M
21
=0,751453
8
2 3
T
23
=−20,5723
T
32
=−32,5723
M
32
=15,1615
M
23
=11,4108
12 [ kN / m]
1
1
4
M
35
=10,1615
T
35
=5,71480
T
53
=2,80438
M
53
=7,40124
12 [ kN / m]
3
5
ObciąŜenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005
7
Jerzy Skoryna KBI 3
Siły normalne [kN] obliczam równowaŜąc węzły:
20 [ kN ]
1
2
3
N
10
=−0,0939316
T
10
=0,984515
T
12
=0,0939316
N
12
=−19,0155=N
21
T
21
=0,0939316 T
23
=−20,5723
N
23
=−14,0338
T
24
=4,98175
N
24
=20,6662
N
32
=−14,0338
T
32
=−32,5723
T
35
=5,71480
N
35
=−35,0035
F
y
=32,57235,7148 ⋅
1
17
N
35
⋅
4
17
=0 ⇒ N
35
=−35,0035
F
x
=N
32
5,7148 ⋅
4
17
35,0035 ⋅
1
17
=0 ⇒ N
35
=−14,0338
Kontrola statyczna:
1
1
8
4
0
4
5
20 [ kN ]
12 [ kN / m]
5 [ kNm]
1
2
3
T
35
=5,71480
N
35
=35,003512 :
4
17
T
24
=4,98175
N
24
=20,6662
N
10
=0,0939316
T
10
=0,984515
M
53
=7,40124
M
42
=9,26771
M
01
=3,93806
F
y
=0,0939316−20,666247,3728 ⋅
4
17
−5,71480 ⋅
1
17
−12 ⋅2=0,0000
F
x
=0,984515−4,981755,7148 ⋅
4
17
35,0035 ⋅
1
17
−20=0,0000
M
5
=−7,40124−9,26771−9,938060,0939316 ⋅10−20,6662 ⋅2 20 ⋅4 5−12 ⋅2 ⋅1=0,0000
ObciąŜenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005
8
Jerzy Skoryna KBI 3
Wykresy sił normalnych i tnących:
0
4
5
1
2
3
N [ kN ]
−0,0939316
−19,0155
−14,0338
35,0035
47,3728
20,6662
0
4
5
1
2
3
T [ kN ]
0,984515
0,0939316
−20,5723
5,71480
2,80438
4,98175
−32,5723
ObciąŜenie siłami zewnętrznymi 22.04.2005
9
Jerzy Skoryna KBI 3