3. Rachunek różniczkowy funkcji
wielu zmiennych
Niech n
∈ N oraz niech A będzie otwartym podzbiorem R
n
.
3.1. Definicja i podstawowe własności pochod-
nej kierunkowej.
Definicja 3.1.
Niech p
0
∈ A, h ∈ R
n
oraz f : A
→ R. Rozważmy zbiór otwarty w R
U =
{t ∈ R \ {0} : p
0
+ th
∈ A}
oraz funkcję F : U
→ R daną wzorem
F (t)
def
=
f (p
0
+ th)
− f(p
0
)
t
dla t
∈ U.
Jeśli istnieje skończona granica lim
t
→0
F (t), to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f
w punkcie p
0
w kierunku wektora h. Zapisujemy
f
0
h
(p
0
)
def
= lim
t
→0
f (p
0
+ th)
− f(p
0
)
t
.
Definicja 3.2.
Niech h
∈ R
n
oraz f : A
→ R. Niech D ⊂ A będzie zbiorem punktów w których
istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w kierunku wektora h. Funkcję
D p
7→ f
0
h
(p)
nazywamy pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora h.
Uwaga 3.3. (Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej dla n = 2.) Niech
h = [h
1
, h
2
]
∈ R
2
, p
0
= (x
0
, y
0
)
∈ A oraz f : A → R. Oznaczmy przez k prostą styczną do
krzywej otrzymanej w wyniku przekroju powierzchni z = f (x, y) płaszczyzną π prostopadłą do
płaszczyzny Oxy i taką, że
(x
0
, y
0
)
∈ π oraz π k [h
1
, h
2
, 0].
Wówczas
f
0
h
(x
0
, y
0
) = tg γ,
gdzie γ oznacza kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny Oxy.
Twierdzenie 3.4.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Weźmy h
1
, h
2
∈ R
n
oraz α
∈ R. Wówczas
a) jeśli w punkcie p
0
istnieje pochodna w kierunku wektora h
1
, to w punkcie tym istnieje
również pochodna w kierunku wektora αh
1
i zachodzi równość
f
0
αh
1
(p
0
) = α f
0
h
1
(p
0
);
2006
−E
K
7
b) jeśli w punkcie p
0
istnieją pochodne w kierunku wektorów h
1
, h
2
oraz przynajmniej jedna
z nich jest funkcją ciągłą w p
0
, to w punkcie tym istnieje również pochodna w kierunku
wektora h
1
+ h
2
i zachodzi równość
f
0
h
1
+h
2
(p
0
) = f
0
h
1
(p
0
) + f
0
h
2
(p
0
).
Uwaga 3.5. Bez założenia ciągłości równość w części b) może nie zachodzić.
3.2. Definicja i podstawowe własności pochod-
nych cząstkowych.
Dla ustalonego i
∈ {1, . . . , n} oznaczmy przez e
i
wersor i-tej osi. Ponadto niech x
i
umownie
oznacza i-tą zmienną funkcji określonej w przestrzeni R
n
.
Definicja 3.6.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Pochodną kierunkową f
0
e
i
(p
0
) (o ile istnie-
je) nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p
0
względem i-tej zmiennej.
Oznaczamy ją przez f
0
xi
(p
0
) lub
∂f
∂x
i
(p
0
).
Uwaga 3.7. Istnienie pochodnych cząstkowych (a nawet wszystkich pochodnych kierunko-
wych) funkcji f w punkcie nie zapewnia ciągłości funkcji w tym punkcie.
Definicja 3.8.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Gradientem funkcji f w punkcie p
0
nazywamy wektor
∇f(p
0
)
def
= [f
0
x1
(p
0
), . . . , f
0
xn
(p
0
)].
Twierdzenie 3.9.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Jeśli pochodne cząstkowe f
0
xi
, i
∈ {1, . . . , n},
są ciągłe w punkcie p
0
, to istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w p
0
w kierunku dowolnego
wektora h
∈ R
n
oraz
f
0
h
(p
0
) =
∇f(p
0
)
◦ h.
Uwaga 3.10.
1. Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.
2. Dla n = 2 gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej
przez ten punkt.
3.3. Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych.
Dla ustalonego wektora h = [h
1
, . . . , h
n
]
∈ R
n
niech
khk
def
=
v
u
u
t
n
X
i=1
h
2
i
.
8
Definicja 3.11.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f
0
xi
(p
0
) dla
i
∈ {1, . . . , n} oraz
lim
h
→0
f (p
0
+ h)
− f(p
0
)
− ∇f(p
0
)
◦ h
khk
= 0,
to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p
0
.
Definicja 3.12.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodną
kierunkową f
0
h
(p
0
) w kierunku dowolnego wektora h
∈ R
n
. Różniczką funkcji f w punkcie
p
0
nazywamy funkcję df (p
0
) określoną wzorem
df (p
0
)(h)
def
= f
0
h
(p
0
)
dla h
∈ R
n
.
Jeśli f posiada pochodne cząstkowe ciągłe w punkcie p
0
, to funkcję df (p
0
) nazywamy różniczką
zupełną i zachodzi równość
df (p
0
)(h) =
∇f(p
0
)
◦ h dla h ∈ R
n
.
Uwaga 3.13. (Interpretacja geometryczna funkcji różniczkowalnej w punkcie dla
n = 2.)
Jeśli funkcja f : A
→ R jest różniczkowalna w punkcie p
0
= (x
0
, y
0
)
∈ A, to
istnieje płaszczyzna styczna do wykresu funkcji w punkcie (x
0
, y
0
, f (x
0
, y
0
)) (płaszczyzna ta
jest prostopadła do wektora [f
0
x
(x
0
, y
0
), f
0
y
(x
0
, y
0
),
−1]).
Twierdzenie 3.14 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji).
Jeśli funkcja f : A
→ R
jest różniczkowalna w punkcie p
0
∈ A, to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga 3.15. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 3.16 (Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji).
Jeśli funkcja
f : A
→ R posiada na zbiorze A pochodne cząstkowe f
0
xi
, i
∈ {1, . . . , n}, ciągłe w punkcie
p
0
∈ A, to f jest różniczkowalna w punkcie p
0
.
Uwaga 3.17. Ciągłość pochodnych cząstkowych nie jest jednak warunkiem koniecznym róż-
niczkowalności funkcji.
3.4. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wzór
Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
Definicja 3.18.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Załóżmy, że na pewnym otoczniu punktu p
0
istnieją pochodne cząstkowe f
0
xi
, i
∈ {1, . . . , n}. Wówczas pochodne cząstkowe drugiego
rzędu funkcji f w punkcie p
0
określamy wzorami:
∧
i,j
∈{1,... ,n}
f
00
x
i
x
j
(p
0
)
def
= (f
0
x
i
)
0
x
j
(p
0
).
Jeśli i = j, to zamiast f
00
x
i
x
j
piszemy f
00
x
2
i
. Pochodne f
00
x
i
x
j
oznaczamy też symbolem
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
.
W przypadku gdy i
6= j, pochodne f
00
x
i
x
j
nazywamy pochodnymi czątkowymi mieszanymi
drugiego rzędu.
2006
−E
K
9
Uwaga 3.19.
1. W analogiczny sposób definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
2. Niech h
1
, h
2
∈ R
n
. Jeśli funkcja f posiada na pewnym otoczniu punktu p
0
pochodną
kierunkową f
0
h
1
, to pochodną kierunkową drugiego rzędu w punkcie p
0
w kierunku wektorów
h
1
, h
2
definiujemy następująco:
f
00
h
1
,h
2
(p
0
)
def
= (f
0
h
1
)
0
h
2
(p
0
).
Twierdzenie 3.20 (Schwarza).
Niech i, j
∈ {1, . . . , n}. Jeśli funkcja f : A → R posiada w
zbiorze A pochodne cząstkowe drugiego rzędu f
00
x
i
x
j
i f
00
x
j
x
i
ciągłe w punkcie p
0
∈ A, to
f
00
x
i
x
j
(p
0
) = f
00
x
j
x
i
(p
0
).
Definicja 3.21.
Niech p
0
∈ A, f : A → R oraz k ∈ N. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodne
cząstkowe k-tego rzędu ciągłe w punkcie p
0
. Funkcję d
(k)
f (p
0
) określoną wzorem
d
(k)
f (p
0
)(h)
def
= f
(k)
h,... ,h
(p
0
)
dla h
∈ R
n
,
nazywamy różniczką k-tego rzędu funkcji f w punkcie p
0
.
Dla ustalonych p, h
∈ R
n
niech [p, p + h]
def
=
{p + th : t ∈ [0, 1]}.
Twierdzenie 3.22 (wzór Taylora).
Niech p
0
∈ A, f : A → R oraz k ∈ N. Załóżmy, że
funkcja f posiada w A ciągłe pochodne cząstkowe k-tego rzędu. Wówczas dla każdego h
∈ R
n
,
dla którego [p
0
, p
0
+ h]
⊂ A, istnieje θ ∈ [0, 1] takie, że
f (p
0
+ h) = f (p
0
) +
df (p
0
)(h)
1!
+
· · · +
d
(k
−1)
f (p
0
)(h)
(k
− 1)!
+
d
(k)
f (p
0
+ θh)(h)
k!
.
3.5. Ekstrema lokalne i globalne funkcji.
Definicja 3.23 (ekstrema lokalne).
Mówimy, że funkcja f : A
→ R ma w punkcie p
0
∈ A
• maksimum lokalne, gdy
∨
S(p
0
)
∧
p
∈S(p
0
)
∩A
f (p)
¬ f(p
0
);
• minimum lokalne, gdy
∨
S(p
0
)
∧
p
∈S(p
0
)
∩A
f (p)
f(p
0
).
Jeśli w powyższych warunkach nierówności ”
¬” i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<” i
”>”, to otrzymamy definicje maksimum i minimum lokalnego właściwego.
Definicja 3.24 (ekstrema globalne).
Mówimy, że funkcja f : A
→ R ma w punkcie p
0
∈ A
• maksimum globalne, gdy
∧
p
∈A
f (p)
¬ f(p
0
);
• minimum globalne, gdy
∧
p
∈A
f (p)
f(p
0
).
10
Twierdzenie 3.25 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego).
Niech p
0
∈ A
oraz f : A
→ R. Jeśli funkcja f ma w punkcie p
0
ekstremum lokalne i istnieją wszystkie
pochodne cząstkowe f
0
x
i
(p
0
), to
∇f(p
0
) = 0.
Uwaga 3.26. Jeśli funkcja f ma w punkcie p
0
ekstremum lokalne i istnieje pochodna kierun-
kowa f
0
h
(p
0
) w kierunku wektora h
∈ R
n
, to f
0
h
(p
0
) = 0.
Twierdzenie 3.27.
Niech A będzie ograniczonym i domkniętym podzbiorem R
n
. Załóżmy, że
funkcja f : A
→ R jest ciągła w A i oznaczmy przez
A
1
=
{p ∈ Int(A) :
∧
i
∈{1,... ,n}
f
0
x
i
(p) = 0
},
A
2
=
{p ∈ Int(A) :
∨
i
∈{1,... ,n}
f
0
x
i
(p) nie istnieje
}.
Wówczas
sup
{f(p) : p ∈ A} = sup{f(p) : p ∈ Fr(A) ∪ A
1
∪ A
2
},
inf
{f(p) : p ∈ A} = inf{f(p) : p ∈ Fr(A) ∪ A
1
∪ A
2
}.
Twierdzenie 3.28 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy,
że funkcja f : A
→ R posiada na pewnym otoczeniu U(p
0
) punktu p
0
∈ A ciągłe pochodne
cząstkowe drugiego rzędu oraz
∇f(p
0
) = 0. Dla ustalonego k
∈ {1, . . . , n} oznaczmy przez
w
k
(p
0
)
def
= det[f
00
x
i
x
j
(p
0
)]
i,j
¬k
. Wówczas
a) jeśli w
k
(p
0
) > 0 dla wszystkich k
∈ {1, . . . , n}, to f ma w p
0
minimum lokalne właściwe;
b) jeśli (
−1)
k
w
k
(p
0
) > 0 dla wszystkich k
∈ {1, . . . , n}, to f ma w p
0
maksimum lokalne
właściwe;
c) jeśli w
k
0
(p
0
) < 0 dla pewnego parzystego k
0
∈ {1, . . . , n}, to f nie posiada w p
0
ekstremum
lokalnego.
Uwaga 3.29. W pozostałych przypadkach twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremów
lokalnych.
3.6. Pochodne cząstkowe funkcji wektorowych
i funkcji złożonych.
Niech n, k
∈ N oraz niech A ⊂ R
n
będzie zbiorem otwartym.
Definicja 3.30.
Funkcję F : A
→ R
k
nazywamy funkcją wektorową.
Uwaga 3.31. Każdą funkcję wektorową F : A
→ R
k
można zapisać w postaci
F (p) = [f
1
(p), f
2
(p), . . . , f
k
(p)],
p
∈ A,
gdzie f
1
, f
2
, . . . , f
k
: A
→ R. Wówczas dla dowolnego p
0
∈ A
d
i h
∈ R
n
mamy:
lim
p
→p
0
F (p) = [ lim
p
→p
0
f
1
(p), lim
p
→p
0
f
2
(p), . . . , lim
p
→p
0
f
k
(p)],
F
0
h
(p
0
) = [(f
1
)
0
h
(p
0
), (f
2
)
0
h
(p
0
), . . . , (f
k
)
0
h
(p
0
)].
2006
−E
K
11
Definicja 3.32.
Niech F : A
→ R
k
oraz F = [f
1
, f
2
, . . . , f
k
]. Jeśli funkcje f
i
, gdzie i
∈ {1, . . . , k},
posiadają w punkcie p
0
∈ A pochodne cząstkowe (f
i
)
0
x
j
(p
0
) dla j
∈ {1, . . . , n}, to macierz
[(f
i
)
0
x
j
(p
0
)]
i
¬k,
j
¬n
nazywamy macierzą Jacobiego funkcji F w punkcie p
0
.
W przypadku gdy n = k wyznacznik tej macierzy nazywamy jakobianem funkcji F w punkcie
p
0
i oznaczamy przez
J
F
(p
0
)
def
= det[(f
i
)
0
x
j
(p
0
)]
i
¬k,
j
¬n
.
Twierdzenie 3.33 (o pochodnej funkcji złożonej).
Niech D
⊂ R
k
będzie zbiorem otwar-
tym. Załóżmy, że g : D
→ R, [f
1
, f
2
, . . . , f
k
] = F : (a, b)
→ R
k
oraz F [(a, b)]
⊂ D. Jeśli
funkcja g posiada w D ciągłe pochodne cząstkowe g
0
x
i
dla i
∈ {1, . . . , k}, zaś funkcje f
i
, gdzie
i
∈ {1, . . . , k}, są różniczkowalne na (a, b), to funkcja złożona g ◦ F jest różniczkowalna na
(a, b), przy czym
^
x
∈(a,b)
(g
◦ F )
0
(x) =
k
X
i=1
g
0
x
i
(F (x))f
i
0
(x).
Twierdzenie 3.34 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej).
Niech A
⊂ R
n
oraz
D
⊂ R
k
będą zbiorami otwartymi. Załóżmy, że g : D
→ R, [f
1
, f
2
, . . . , f
n
] = F : A
→ R
k
oraz
F [A]
⊂ D. Jeśli funkcja g posiada w D ciągłe pochodne cząstkowe g
0
x
i
dla i
∈ {1, . . . , k}, zaś
funkcje f
i
, gdzie i
∈ {1, . . . , k}, mają w A ciągłe pochodne cząstkowe (f
i
)
0
x
j
dla j
∈ {1, . . . , n},
to funkcja złożona g
◦ F ma w A pochodne cząstkowe, przy czym
^
p
∈A
^
j
∈{1,... ,n}
(g
◦ F )
0
x
j
(p) =
k
X
i=1
g
0
x
i
(F (p))(f
i
)
0
x
j
(p).
3.7. Funkcja uwikłana.
Niech A
⊂ R
2
będzie zbiorem otwartym.
Definicja 3.35.
Niech F : A
→ R będzie funkcją ciągłą na A. Każdą funkcję ciągłą f : (a, b) → R
taką, że dla każdego x
∈ (a, b) równanie
F (x, y) = 0,
(
∗)
ma rozwiązanie y = f (x) nazywamy funkcją uwikłaną (względem x) wyznaczoną przez rów-
nanie (
∗).
Analogicznie definiujemy funkcję uwikłaną względem y.
Twierdzenie 3.36 (o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej).
Załóżmy, że funkcja F : A
→ R posiada ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na pewnym
otoczeniu V punktu p
0
= (x
0
, y
0
) takiego, że
(1) F (p
0
) = 0,
(2) F
0
y
(p
0
)
6= 0.
Wówczas na pewnym otoczeniu U (x
0
) istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana f
(względem x) spełniająca warunki:
a)
^
x
∈U(x
0
)
F (x, f (x)) = 0,
12
b) f (x
0
) = y
0
,
c)
^
x
∈U(x
0
)
f
0
(x) =
−
F
0
x
(x, f (x))
F
0
y
(x, f (x))
.
Uwaga 3.37. Jeśli ponadto funkcja F posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na
otoczeniu V , to funkcja uwikłana f jest dwukrotnie różniczkowalna na U (x
0
) oraz
^
x
∈U(x
0
)
f
00
(x) =
−
F
00
xx
(p)(F
0
y
)
2
(p)
− 2F
00
xy
(p)F
0
x
(p)F
0
y
(p) + F
00
yy
(p)(F
0
x
)
2
(p)
(F
0
y
)
3
(p)
, gdzie p =(x, f (x)).
Twierdzenie 3.38 (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej).
Załóżmy, że funkcja F : A
→ R posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na pewnym
otoczeniu V punktu p
0
= (x
0
, y
0
) oraz
(1) F (p
0
) = 0, F
0
y
(p
0
)
6= 0,
(2) F
0
x
(p
0
) = 0,
(3) I(p
0
) =
−
F
00
xx
(p
0
)
F
0
y
(p
0
)
6= 0.
Wówczas funkcja uwikłana f wyznaczona przez równanie (
∗) posiada w punkcie x
0
ekstremum
lokalne o wartości y
0
, przy czym jest to
• minimum lokalne, gdy I(p
0
) > 0, oraz
• maksimum lokalne, gdy I(p
0
) < 0.
Uwaga 3.39. Analogiczne twierdzenia zachodzą dla funkcji uwikłanej względem y.
3.8. Ekstrema warunkowe.
Niech A
⊂ R
2
będzie zbiorem otwartym.
Definicja 3.40 (ekstrema warunkowe lokalne).
Mówimy, że funkcja f : A
→ R ma w punkcie p
0
∈ A
• maksimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy
_
S(p
0
)
⊂A
^
p
∈S(p
0
)
[g(p) = 0
⇒ f(p) ¬ f(p
0
)],
• minimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy
_
S(p
0
)
⊂A
^
p
∈S(p
0
)
[g(p) = 0
⇒ f(p) f(p
0
)].
Jeśli w powyższych warunkach nierówności ”
¬” i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<” i
”>”, to otrzymamy definicje ekstremów lokalnych właściwych.
Uwaga 3.41. W podobny sposób definiujemy również ekstrema warunkowe globalne.
2006
−E
K
Document Outline
- 3. Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych
- 3.1. Definicja i podstawowe wlasnosci pochodnej kierunkowej.
- 3.2. Definicja i podstawowe wlasnosci pochodnych czastkowych.
- 3.3. Rózniczkowalnosc funkcji wielu zmiennych.
- 3.4. Pochodne czastkowe wyzszych rzedów. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
- 3.5. Ekstrema lokalne i globalne funkcji.
- 3.6. Pochodne czastkowe funkcji wektorowych i funkcji zlozonych.
- 3.7. Funkcja uwiklana.
- 3.8. Ekstrema warunkowe.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2007 AMII wyklad 567
2007 AMII 1 2 Wyklad
2007 AMII wyklad 4
2007 AMII 6 7 8 Wyklad
2007 AMII wyklad 567
2007 AMII 1 2 Wyklad
higiena 02.03.2007, HIGIENA - WYKłADY NA PWSZ
materiałożnawstwo 9 - 08.05.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
2007 AMI wyklad print
materiałoznawstwo 4 - 13.03.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
materiałoznawstwo 7 - 03.04.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
materiałoznawstwo 3 - 06.03.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
materiałoznawstwo 6 - 27.03.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
2007 AMI wyklad print4 id 55147 Nieznany (2)
002 Analiza, 2007 AMI wyklad print
PODSTAWY FINANSÓW 2007 2008 WYKŁADY I ROK
wyklad I - 01.03.2007, Higiena, wykłady (amwro)
materiałoznawstwo 10 - 15.05.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
więcej podobnych podstron