Wykład 2
Kaskady generowane przez funkcje
ciągłe zmiennej rzeczywistej
2.1
Wnioski z twierdzenia Darboux
Twierdzenie 1 (Darboux). Niech I ⊂ R będzie przedziałem i f : I → R będzie funkcją ciągłą.
Jeżeli a, b ∈ I są takimi liczbami, że a < b i y ∈ R jest liczbą leżącą w przedziale o końcach f (a) i
f (b), to istnieje taka liczba c ∈ [a, b], że f (c) = y.
Wniosek 1. Jeżeli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą i f (a)f (b) < 0, to istnieje taka liczba
c ∈ [a, b], że f (c) = 0.
Twierdzenie 2. Niech I = [a, b] ⊂ R będzie przedziałem i f : I → I będzie funkcją ciągłą.
Wówczas Fix(f ) 6= ∅.
Dowód polega na zastosowaniu wniosku 1 do funkcji g(x) = f (x) − x.
Twierdzenie 3. Niech I = [a, b] ⊂ R będzie przedziałem i f : I → R będzie taką funkcją ciągłą,
że I ⊂ f [I]. Wówczas Fix(f ) 6= ∅.
Dowód polega na zastosowaniu wniosku 1 do funkcji g(x) = f (x) − x, x ∈ [c, d], gdzie c i d są
takimi liczbami z przedziału [a, b], że f (c) = a i f (d) = b.
2.2
Twierdzenia Li-Yorke’a i Szarkowskiego
Twierdzenie 4 (Li-Yorke 1975). Jeżeli f : R → R jest funkcją ciągłą taką, że Per
3
(f ) 6= ∅, to
Per
n
(f ) 6= ∅ dla każdej liczby naturalnej n.
Przykład 1. Funkcja f (x) = −
3
2
x
2
+
5
2
+ 1, x ∈ R, ma orbitę okresową {0, 1, 2} o długości 3, a
więc Per
3
(f ) 6= ∅. Wobec twierdzenia Li-Yorke’a wynika stąd, że funkcja f ma punkty okresowe o
dowolnych okresach podstawowych.
1
Definicja 1. Porządkiem Szarkowskiego nazywamy porządek w zbiorze liczb naturalnych zdefi-
niowany następujaco:
3
5
7
. . .
2 · 3
2 · 5
2 · 7
. . .
2
2
· 3
2
2
· 5
2
2
· 7
. . .
. . .
2
n
· 3 2
n
· 5
2
n
· 7 . . .
. . .
. . .
2
3
2
2
2
1.
Twierdzenie 5 (Szarkowski 1964). Niech f : R → R i n, m ∈ N. Jeżeli Per
n
(f ) 6= ∅ oraz n m,
to Per
m
(f ) 6= ∅.
Uwaga 1. Ponieważ dla każdej liczby naturalnej n 6= 3 zachodzi warunek: 3 n, więc twierdzenie
Li-Yorke’a jest natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia Szarkowskiego.
Uwaga 2. Twierdzenie Szarkowskiego jest prawdziwe także dla funkcji ciągłych f : I → I, gdzie
I = [a, b] jest zwartym przedziałem w R. Można się o tym przekonać rozważając przedłużenie
f
0
: R → R funkcji f na R zdefiniowane następująco:
f
0
(x) =
f (a)
dla
x < a,
f (x)
dla
x ∈ [a, b],
f (b)
dla
x > b.
2.3
Zbiory stabilne
Definicja 2. Niech f : R → R będzie funkcją ciągłą i p ∈ R będzie punktem okresowym o okresie
podstawowym k. Zbiorem stabilnym punktu p nazywamy zbiór
W
s
(p) = {x ∈ R : lim
n→∞
f
nk
(x) = p}.
Zbiorem stabilnym nieskończoności nazywamy zbiór
W
s
(∞) = {x ∈ R : lim
n→∞
|f
n
(x)| = ∞}.
Przykład 2. Rozważmy funkcję f (x) = −x
3
, x ∈ R. Łatwo stwierdzić, że: Fix(f ) = {0}, Per
2
(f ) =
{−1, 1} oraz Per
n
(f ) = ∅ dla n > 2. Korzystając z jawnego wzoru
f
n
(x) = (−1)
n
x
3
n
dla
x ∈ R
stwierdzamy, że:
(i) jeżeli |x| < 1, to lim
n→∞
f
n
(x) = 0,
(ii) jeżeli |x| > 1, to lim
n→∞
|f
n
(x)| = ∞,
2
(iii) f
2n
(−1) = −1 oraz f
2n
(1) = 1.
Wynika stąd, że
W
s
(0) = (−1, 1),
W
s
(∞) = (−∞, −1) ∪ (1, ∞),
W
s
(−1) = {−1},
W
s
(1) = {1}.
Twierdzenie 6. Jeżeli p i q są różnymi punktami okresowymi kaskady generowanej przez ciągłą
funkcję f : R → R, to W
s
(p) ∩ W
s
(q) = ∅.
3