Wykład 2

Kaskady generowane przez funkcje

ciągłe zmiennej rzeczywistej

2.1

Wnioski z twierdzenia Darboux

Twierdzenie 1 (Darboux). Niech I ⊂ R będzie przedziałem i f : I → R będzie funkcją ciągłą.

Jeżeli a, b ∈ I są takimi liczbami, że a < b i y ∈ R jest liczbą leżącą w przedziale o końcach f (a) i

f (b), to istnieje taka liczba c ∈ [a, b], że f (c) = y.

Wniosek 1. Jeżeli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą i f (a)f (b) < 0, to istnieje taka liczba

c ∈ [a, b], że f (c) = 0.

Twierdzenie 2. Niech I = [a, b] ⊂ R będzie przedziałem i f : I → I będzie funkcją ciągłą.

Wówczas Fix(f ) 6= ∅.

Dowód polega na zastosowaniu wniosku 1 do funkcji g(x) = f (x) − x.

Twierdzenie 3. Niech I = [a, b] ⊂ R będzie przedziałem i f : I → R będzie taką funkcją ciągłą,

że I ⊂ f [I]. Wówczas Fix(f ) 6= ∅.

Dowód polega na zastosowaniu wniosku 1 do funkcji g(x) = f (x) − x, x ∈ [c, d], gdzie c i d są

takimi liczbami z przedziału [a, b], że f (c) = a i f (d) = b.

2.2

Twierdzenia Li-Yorke’a i Szarkowskiego

Twierdzenie 4 (Li-Yorke 1975). Jeżeli f : R → R jest funkcją ciągłą taką, że Per

3

(f ) 6= ∅, to

Per

n

(f ) 6= ∅ dla każdej liczby naturalnej n.

Przykład 1. Funkcja f (x) = −

3
2

x

2

+

5
2

+ 1, x ∈ R, ma orbitę okresową {0, 1, 2} o długości 3, a

więc Per

3

(f ) 6= ∅. Wobec twierdzenia Li-Yorke’a wynika stąd, że funkcja f ma punkty okresowe o

dowolnych okresach podstawowych.

1

Definicja 1. Porządkiem Szarkowskiego nazywamy porządek  w zbiorze liczb naturalnych zdefi-

niowany następujaco:

3



5



7

 . . . 



2 · 3



2 · 5



2 · 7

 . . . 



2

2

· 3



2

2

· 5



2

2

· 7

 . . . 

. . .

 2

n

· 3  2

n

· 5



2

n

· 7  . . . 

. . .



. . .



2

3



2

2



2

 1.

Twierdzenie 5 (Szarkowski 1964). Niech f : R → R i n, m ∈ N. Jeżeli Per

n

(f ) 6= ∅ oraz n  m,

to Per

m

(f ) 6= ∅.

Uwaga 1. Ponieważ dla każdej liczby naturalnej n 6= 3 zachodzi warunek: 3  n, więc twierdzenie

Li-Yorke’a jest natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia Szarkowskiego.

Uwaga 2. Twierdzenie Szarkowskiego jest prawdziwe także dla funkcji ciągłych f : I → I, gdzie

I = [a, b] jest zwartym przedziałem w R. Można się o tym przekonać rozważając przedłużenie

f

0

: R → R funkcji f na R zdefiniowane następująco:

f

0

(x) =























f (a)

dla

x < a,

f (x)

dla

x ∈ [a, b],

f (b)

dla

x > b.

2.3

Zbiory stabilne

Definicja 2. Niech f : R → R będzie funkcją ciągłą i p ∈ R będzie punktem okresowym o okresie

podstawowym k. Zbiorem stabilnym punktu p nazywamy zbiór

W

s

(p) = {x ∈ R : lim

n→∞

f

nk

(x) = p}.

Zbiorem stabilnym nieskończoności nazywamy zbiór

W

s

(∞) = {x ∈ R : lim

n→∞

|f

n

(x)| = ∞}.

Przykład 2. Rozważmy funkcję f (x) = −x

3

, x ∈ R. Łatwo stwierdzić, że: Fix(f ) = {0}, Per

2

(f ) =

{−1, 1} oraz Per

n

(f ) = ∅ dla n > 2. Korzystając z jawnego wzoru

f

n

(x) = (−1)

n

x

3

n

dla

x ∈ R

stwierdzamy, że:

(i) jeżeli |x| < 1, to lim

n→∞

f

n

(x) = 0,

(ii) jeżeli |x| > 1, to lim

n→∞

|f

n

(x)| = ∞,

2

(iii) f

2n

(−1) = −1 oraz f

2n

(1) = 1.

Wynika stąd, że

W

s

(0) = (−1, 1),

W

s

(∞) = (−∞, −1) ∪ (1, ∞),

W

s

(−1) = {−1},

W

s

(1) = {1}.

Twierdzenie 6. Jeżeli p i q są różnymi punktami okresowymi kaskady generowanej przez ciągłą

funkcję f : R → R, to W

s

(p) ∩ W

s

(q) = ∅.

3