Procesy stochastyczne

10. Proces Wienera

Ćw. 10.1 (J. S., Zad. 1 str. 310) Wyznacz funkcję kowariancji procesu Wienera oraz wykaż, że

skończenie wymiarowe rozkłady tego procesu są normalne.

Ćw. 10.2 (J. S., Zad. 5 str. 310) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to proces X

t

= c

−

1
2

W

ct

,

c ­ 0, jest również procesem Wienera.

Ćw. 10.3 (J. S., Zad. 8 str. 311) (Prawo wielkich liczb dla procesu Wienera) Wykaż, że

lim

t→∞

W

t

t

= 0.

Ćw. 10.4 (J. S., Zad. 10 str. 311) Udowodnij, że procesy {W

t

} i {W

2

t

− t} są martyngałami

względem σ-algebry F

t

= σ(W

s

; s ¬ t).

Ćw. 10.5 (S., Ex. 9.24 p. 470) Niech W będzie standardowym procesem Wienera, a T pierwszym

momentem, w którym W osiąga a lub b, gdzie a < 0, b > 0. Pokaż, że ET = −ab.