Obwody Elektryczne i Magnetyczne

®

1

Obwody Elektryczne

Transformata Laplace’a -Transmitancja

Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski

Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii

Wydział Elektryczny

Politechnika Wrocławska

D-1, 205/1

tel: [phone]

fax: [phone]

email:

[e-mail]

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

®

2

1. Przejście sygnału przez układ w zapisie operatorowym..........................................................................................................................................................3

1.1

Transmitancja operatorowa – definicja, związki z odpowiedzią jednostkową i impulsową układu ...............................................................................4

1.2

Wyznaczanie transmitancji operatorowej........................................................................................................................................................................7

1.3

Wykorzystanie transmitancji operatorowej ...................................................................................................................................................................10

1.4

Transmitancja operatorowa a stabilność układu............................................................................................................................................................20

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1. Przejście sygnału przez układ w zapisie operatorowym

Wprowadzając metodę operatorową sukcesywnie transformowaliśmy zapisy czasowe praw Kirchhoffa w
ich formę operatorową, oraz związki prądowo-napięciowe z ich postaci różniczkowo-całkowych do postaci
operatorowego prawa Ohma i wreszcie reprezentacji elementów obwodu w schemacie operatorowym. Tak
efektywna reprezentacja była możliwa dzięki takim właściwością transformaty Laplace’a jak liniowość
przekształcenia czy transformata z pochodnej.
Podobnie jak to było w analizie stanu nieustalonego metodą klasyczną powraca pytanie, czy nie
zmieniając analizowanego obwodu, a jedynie charakter wymuszenia, muszę ponownie wykonywać pełną
analizę obwodową metodą operatorową? Czy załączając dany układ na napięcia stałe, sinusoidalne,
wykładnicze – dowolne zadane, wymagać będzie to ode mnie ponownej analizy operatorowej?
Tak stawiane pytania przywołują rozpatrywane już wcześniej pojęcie przejścia (transmisji) sygnału przez
układ, z podstawową relacją pomiędzy wejściem a wyjściem układu, pomiędzy wymuszeniem a
odpowiedzią. Wracając do dziedziny czasu, tak postawione relacje skłoniły nas do opisu obwodu
pomiędzy wejściem a wyjściem za pomocą specjalnych charakterystyk. Obwód pełni więc rolę układu, a
wspomniane charakterystyki to odpowiedź impulsowa i odpowiedź skokowa układu. W postaci
matematycznych funkcji czasowych uzyskujemy jednoznaczną reprezentuję fizycznej strukturę obwodu
pomiędzy wejściem a wyjściem.
Wykorzystanie odpowiedzi skokowej k(t) czy odpowiedzi impulsowej h(t) do wyznaczania odpowiedzi y(t)
układu na dowolne wymuszenie x(t) oparte zostało na operacji splotu:

( )

( ) ( )

d

y t

x t

k t

dt

⎡

⎤

=

∗

⎣

⎦

®

3

Całka Duhamela

( )

x t

(

SLS

)

y t

( )

h t

WE

WY

( ) ( ) ( )

y t

x t

h t

=

∗

( )

k t

Całka splotowa

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1.1 Transmitancja operatorowa – definicja, związki z odpowiedzią jednostkową i

impulsową układu

Definicja 1 transmitancji operatorowej:
W układzie mającym n par zacisków, każdej parze zacisków odpowiada napięcie i prąd. Transmitancją
operatorową nazywamy stosunek transformat sygnału wyjściowego układu (odpowiedzi) do transformaty
sygnału wejściowego (wymuszenia) przy warunkach początkowych zerowych

( )

( )

( )

Y s

H s

X s

=

Transmitancja może być stosunkiem transformat napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego, prądu
wyjściowego do prądu wejściowego, oraz napięcia wyjściowego do prądu wejściowego i prądu
wyjściowego na napięcia wejściowego. Transmitancja nosi również nazwę funkcji przenoszenia lub tzw.
imitancji wzajemnej.

( )

( )

2

1

U

s

U

s

( )

( )

2

1

U

s

I

s

U (s)

I

(s)

U (s)

1

1

2

I

(s)

2

- transmitancja napięciowa

- transmitancja impedancyjna

( )

( )

2

1

I

s

I

s

( )

( )

2

1

I

s

U

s

- transmitancja prądowa

- transmitancja admitancyjna

UWAGA: Transmitancja operatorowa nie zależy od wymuszenia, a jedynie od budowy obwodu pomiędzy
parą zacisków wejściowych a wyjściowych

®

4

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Do określenia transmitancji operatorowej i powiązania z wprowadzonymi już charakterystykami odpowiedzi
impulsowej i skokowej układu, posłużymy się podobnym mechanizmem jak w przypadku adaptacji praw
Kirchhoffa czy związków prądowo-napięciowych na elementach obwodu. Poddamy transformacie
Laplace’a związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu w dziedzinie czasu i przedstawimy go w
dziedzinie operatorowej:

Dziedzina czas t

Dziedzina operatorowa (zespolona) s

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

y t

x t

h t

=

∗

Y s

X s

H s

=

⋅

( )

x t

( )

y t

WE

WY

( )

h t

( )

k t

SLS

( )

X s

( )

Y s

WE

WY

( )

H s

( )

K s

SLS

( )

( )

( )

Y s

X s

s K s

=

⋅ ⋅

( )

( ) ( )

( )

( )

d

d

y t

x t

k t

x t

k t

dt

dt

⎡

⎤

=

∗

=

∗

⎣

⎦

Na podstawie właściwości transformaty splotu (tw. Borel’a) :

( )

( )

{

}

( ) ( )

L

1

2

1

2

f t

f

t

F s

F s

∗

=

⋅

Definicja 2 transmitancji operatorowej:
Transmitancja operatorowa jest transformatą Laplace’a odpowiedzi impulsowej układu

®

5

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Zazwyczaj łatwiej jest wyznaczyć odpowiedź jednostkową niż impulsową. Podkreślmy zatem poszczególne
zależności pomiędzy odpowiedzią jednostkową a impulsową, a także pomiędzy transformatą Laplace’a
odpowiedzi jednostkowej a transformatą Laplace’a odpowiedzi impulsowej, czyli transmitancją:

Dziedzina czas t

Dziedzina operatorowa (zespolona) s

( )

H

( )

h t

s

( )

( )

H s

s K s

= ⋅

( )

( )

d

h t

k t

dt

=

W przypadku napięć i prądów wejściowych dla dwójnika możemy również rozważyć zależności pomiędzy
transformatami sygnałów wejściowych. Nazwiemy tę zależność imitancją operatorową.

Definicja imitancji operatorowej wejściowej:
Imitancją operatorową nazwiemy stosunek transformaty napięcia i prądu dwójnika przy warunkach
początkowych zerowych. Wielkość ta może być stosunkiem prądu do napięcia bądź napięcia do prądu.

I (s)

( )

( )

1

1

U

s

I

s

U (s)

1

1

- imitancja operatorowa (impedancja)

( )

( )

1

1

I

s

U

s

- imitancja operatorowa (admitancja)

UWAGA: Imitancja obwodu nie zależy od wymuszenia a jedynie od budowy obwodu pomiędzy zaciskami.

®

6

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1.2 Wyznaczanie transmitancji operatorowej

Wprowadzenie w dziedzinie czasu odpowiedzi impulsowej miało służyć jednoznacznej charakterystyce
obwodu pozostającego pomiędzy parą zacisków wejściowych i wyjściowych, niezależnej od wymuszenia.
Podobnie w przypadku transmitancji operatorowej spodziewamy się możliwości jej jednoznacznego
wyznaczenia, niezależnie od wymuszenia, tj. opierając się jedynie na budowie obwodu pomiędzy parą
zacisków wejściowych a wyjściowych. Przypomnijmy, że do wyznaczania transmitancji przyjmujemy
zerowe warunki początkowe.

Najczęstszy przykład wyznaczania transmitancji dotyczy transmitancji napięciowej, tj. stosunku
transformaty napięcia wyjściowego U

2

(s) do wejściowego U

1

U

2

(s)

U

1

(s)

Z

2

(s)

Z

1

(s)

WY

WE

(s). Pokażemy, że transmitancję tą

jednoznacznie określa relacja impedancji operatorowych tworzących dzielnik operatorowy napięcia
wejściowego.

( )

( )

( )

Y s

H s

X s

=

Nawiązując do definicji transmitancji operatorowej:

określimy sygnały wejściowe i wyjściowej jako

( )

( )

1

X s

U s

=

oraz

( )

( )

.

2

Y s

U

s

=

®

7

Napięcia U

2

(s) oraz U

1

(s) łączy relacja dzielnika napięciowego w postaci:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

Z

s

U

s

Z

s

U

s

U

s

H s

Z

s

Z

s

U

s

Z

s

Z

s

=

→

=

=

+

+

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Przykład 1: Wyznacz transmitancję operatorową układu

Dziedzina czas t

Dziedzina operatorowa (zespolona) s

U

2

(s)

U

1

(s)

Z

2

(s)

Z

1

(s)

WE

WY

C

u

c

(t)

i(t)

u

R

(t)

WY

WE

( )

1

Z s

R

=

( )

2

1

Z

s

sC

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

1

1

2

1

1

U

s

Z

s

1

1

1

sc

sC

H s

1

sRC

1

1

U

s

Z

s

Z

s

sRC

1

RC

R

s

sc

sC

RC

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

®

8

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Przykład 2: Wyznacz transmitancję operatorową układu

Dziedzina czas t

Dziedzina operatorowa (zespolona) s

C

R

u

2

(t)

u

1

(t)

R

WE

WY

U

2

(s)

U

1

(s)

Z

2

(s)

Z

1

(s)

WE

WY

( )

1

Z s

R

=

( )

2

1

1

sRC

Z

s

R

sC

sC

+

= +

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

1

1

2

sRC

1

sRC

1

U

s

Z

s

sRC

1

RC

sC

sC

H s

sRC

1

s2RC

1

U

s

Z

s

Z

s

s2RC

1

R

sC

sC

+

+

+

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

2 RC

1

s

RC

1

s

2RC

+

=

+

1

1

1

s

1

1

1

1

1

2RC

2RC

2RC

1

1

1

1

2

2

2

2RC

s

s

s

2RC

2RC

2RC

⎛

⎞

+

+

⎜

⎟

=

=

+

= +

⋅

⎜

⎟

⎜

⎟

+

+

+

⎝

⎠

®

9

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1.3 Wykorzystanie transmitancji operatorowej

Wykorzystanie reprezentacji obwodu pomiędzy wejściem a wyjściem w postaci transmitancji operatorowej
daje możliwości efektywnego wykorzystania tej formy głównie w dwóch przypadkach:

1. wyznaczania odpowiedzi impulsowej h(t) i skokowej k(t) układu,
2. wyznaczania odpowiedzi układu y(t) na zadane wymuszenie x(t).

Ad.1. Możliwość wyznaczania odpowiedzi impulsowej i skokowej układu za pomocą transmitancji
operatorowej wynika z bezpośrednich związków:

( )

( )

{

}

( )

L

L

1

1

H s

k t

K s

s

−

−

⎧

⎫

=

=

⎨

⎬

⎩

⎭

( )

( )

{

}

L

1

h t

H s

−

=

;

Przykład 1: wyznacz odpowiedź impulsową i jednostkową układu:

Dziedzina czas t

Dziedzina operatorowa (zespolona) s

U

2

(s)

U

1

(s)

Z

2

(s)

Z

1

(s)

WE

WY

C

u

c

(t)

i(t)

u

R

(t)

WY

WE

( )

1

1

H s

1

RC

s

RC

=

⋅

+

( )

( )

?,

?

h t

k t

=

=

®

10

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Odpowiedź impulsowa h(t):

( )

( )

{

}

( )

L

L

1

t

1

1

RC

1

1

1

h t

H s

e

1 t

1

RC

RC

s

RC

−

−

−

⎧

⎫

⎡

⎤

⎪

⎪

=

=

⋅

=

⎨

⎬ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎪

⎪

+

⎩

⎭

Odpowiedź skokowa k(t):

( )

( )

{

}

( )

L

L

L

L

1

1

1

1

H s

1

1

1

1

k t

K s

1

1

s

RC

RC

s s

s s

RC

RC

−

−

−

−

⎧

⎫

⎧

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎧

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

=

=

=

⋅

=

⋅

⎨

⎬

⎨

⎬

⎨

⎬

⎛

⎞

⎛

⎞

⎩

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎪

⎪

⎪

⎪

⎝

⎠

⎝

⎠

⎩

⎭

⎩

⎭

Transformata odpowiedzi jednostkowej K(s) posiada dwa bieguny rzeczywiste pojedyncze:

,

;

,

1

1

2

2

1

s

0 n

1 s

n

1

RC

−

=

=

=

=

Odwrotną transformatę znajdziemy wykorzystując rozkład na ułamki proste formy:

11

21

A

A

1

1

1

s

s

s s

RC

RC

=

+

⎛

⎞

+

+

⎜

⎟

⎝

⎠

®

11

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

lim

11

A

s

s

0

=

→

1

s

⋅

RC

1

s

RC

=

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

lim

11

1

A

s

1

RC

s

RC

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

→ −

⎝

⎠

1

1

s s

RC

⋅

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

RC

= −

Stąd:

( )

( )

L

L

L

1

t

1

1

1

11

21

RC

A

A

1

1

RC

RC

1

1

k t

1 e

1 t

1

1

1

RC

s

RC

s

s

s

s

s

RC

RC

RC

−

−

−

−

⎧

⎫

⎧

⎫

⎧

⎫

⎡

⎤

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

−

=

⋅

+

=

⋅

+

=

−

=

−

⎨

⎬

⎨

⎬

⎨

⎬ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

+

+

+

⎩

⎭

⎩

⎭

⎩

⎭

UWAGA: Proszę porównać proces wyznaczania odpowiedzi impulsowej i skokowej za pomocą
transmitancji operatorowej z metodą wykorzystującą pełną analizę klasyczną obwodu przy wymuszaniu
skokiem jednostkowym (wykład 06 z wykorzystaniem wykładu 3)

®

12

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Przykład 2: wyznacz odpowiedź impulsową i jednostkową układu:

Dziedzina czas t

Dziedzina operatorowa (zespolona) s

C

R

u

2

(t)

u

1

(t)

R

WE

WY

U

2

(s)

U

1

(s)

Z

2

(s)

Z

1

(s)

WE

WY

( )

( )

?,

?

h t

k t

=

=

( )

1

s

1

1

1

1

RC

H s

1

1

2

2

2RC

s

s

2RC

2RC

+

=

= +

⋅

+

+

Odpowiedź impulsowa h(t):

( )

( )

{

}

( )

( )

L

L

1

t

1

1

2 RC

1

1

1

1

1

h t

H s

t

e

1 t

1

2

2RC

2

2RC

s

2RC

δ

−

−

−

⎧

⎫

⎡

⎤

⎪

⎪

=

=

+

⋅

=

+

⎨

⎬ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎪

⎪

+

⎩

⎭

®

13

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Odpowiedź skokowa k(t):

( )

( )

{

}

( )

L

L

L

L

1

1

1

1

1

1

s

s

H s

1

1

RC

RC

k t

K s

1

1

s

2

2

s

s s

2RC

2RC

−

−

−

−

⎧

⎫

⎧

⎫

+

+

⎪

⎪

⎧

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

=

=

=

= ⋅

⎨

⎬

⎨

⎬

⎨

⎬

⎛

⎞

⎩

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

+

+

⎜

⎟

⎩

⎭

⎪

⎪

⎝

⎠

⎩

⎭

Transformata odpowiedzi jednostkowej K(s) posiada dwa bieguny rzeczywiste pojedyncze:

,

;

,

1

1

2

2

1

s

0 n

1 s

n

1

2RC

−

=

=

=

=

Odwrotną transformatę znajdziemy wykorzystując rozkład na ułamki proste formy:

11

21

1

s

A

A

RC

1

1

s

s

s s

2RC

2RC

+

=

+

⎛

⎞

+

+

⎜

⎟

⎝

⎠

®

14

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

lim

11

A

s

s

0

=

→

1

s

RC

s

+

⋅

1

RC

2

1

1

s

2RC

2RC

=

=

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

lim

11

1

A

s

1

2RC

s

2RC

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

→ −

⎝

⎠

1

s

RC

1

s s

2RC

+

⋅

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

1

1

1

2RC

RC

2RC

1

1

1

2RC

2RC

−

+

=

=

=

Stąd:

( )

( )

L

L

L

1

t

1

1

1

11

21

2 RC

A

A

1

1

2

1

1

1

1

1

k t

1

e

1 t

1

1

1

2

s

2

s

s

2

2

s

s

s

2RC

2RC

RC

−

−

−

−

⎧

⎫

⎧

⎫

⎧

⎫

⎡

⎤

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

= ⋅

+

= ⋅

+

=

+

=

−

⎨

⎬

⎨

⎬

⎨

⎬ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

+

+

+

⎩

⎭

⎩

⎭

⎩

⎭

UWAGA: Proszę porównać proces wyznaczania odpowiedzi impulsowej i skokowej za pomocą
transmitancji operatorowej z metodą wykorzystującą pełną analizę klasyczną obwodu przy wymuszaniu
skokiem jednostkowym (samodzielnie)

®

15

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Transmitancja charakteryzuje jednoznacznie obwód pomiędzy wejściem a wyjściem, dzięki czemu nie jest
konieczna pełna analiza obwodu w metodzie operatorowej, kiedy poruszamy kwestię odpowiedzi na różne
wymuszenia.
Ad.2. Możliwość wyznaczania odpowiedzi układu na zadane wymuszenie za pomocą transmitancji
operatorowej wynika z zapisu całki splotowej w postaci operatorowej:

( )

( ) ( )

{

}

L

1

y t

H s

X s

−

=

⋅

( )

( ) ( )

{

}

L

1

y t

sK s

X s

−

=

⋅

;

Przykład 1: wyznacz odpowiedź układu na zadane wymuszenie ekspotencjalne

( )

( )

( )

t

:

1

x t

u t

e

1 t

α

−

=

=

Dziedzina czas t

Dziedzina operatorowa (zespolona) s

U

2

(s)

U

1

(s)

Z

2

(s)

Z

1

(s)

WE

WY

C

u

c

(t)

i(t)

u

R

(t)

WY

WE

( )

1

1

H s

1

RC

s

RC

=

⋅

+

( )

( )

( )

( )

?

t

1

y t

x t

u t

e

1 t

α

−

=

=

=

( )

1

1

U

s

s

α

=

+

®

16

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

( )

( ) ( )

{

}

L

L

1

1

2

1

1

1

y t

u t

H s

X s

1

RC

s

s

RC

α

−

−

⎧

⎫

⎪

⎪

=

=

⋅

=

⋅

⋅

⎨

⎬

+

⎪

⎪

+

⎩

⎭

Transformata odpowiedzi Y(s) posiada dwa bieguny rzeczywiste pojedyncze:

,

;

,

1

1

2

1

s

2

n

1 s

n

1

RC

α

= −

=

= −

=

.

Odwrotną transformatę znajdziemy wykorzystując metodę residuów:

( )

( )

( )

{

}

( )

{

}

( )

st

st

2

res

res

y t

u t

Y s e

Y s e

1 t

1

s

s

RC

α

⎡

⎤

⎢

⎥

=

=

⋅

+

⋅

⎢

⎥

= −

= −

⎣

⎦

( )

{

}

lim

st

res

1

1

Y s e

1

1

RC

s

s

1

s

RC

RC

RC

⋅

=

⋅

= −

→ −

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

(

)

1

s

RC

s

α

⎛

⎞

⋅

+

⎜

⎟

⎝

⎠

+

1

t

st

RC

1

1

e

e

1

RC

RC

α

−

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⋅

=

⋅

=

⎜

⎟

−

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

1

1

t

t

RC

RC

1

1

e

e

1

RC

1

RC

α

α

−

−

=

= −

− +

−

®

17

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

{

}

(

)

lim

st

res

1

1

Y s e

1

RC

s

s

s

s

RC

α

α

α

⋅

=

⋅

= −

→ −

⎛

⎞

+

+

⎜

⎟

⎝

⎠

(

)

s

α

⋅

+

st

t

1

1

e

e

1

RC

RC

α

α

−

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⋅

=

⋅

⎛

⎞

⎜

⎟

− +

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

(

)

t

1

e

1

RC

α

α

−

=

−

Stąd:

( )

( ) (

)

( )

1

t

t

RC

2

1

y t

u t

e

e

1 t

1

RC

α

α

−

−

⎡

⎤

⎛

⎞

=

=

−

⎢

⎥

⎜

⎟

−

⎢

⎥

⎝

⎠

⎣

⎦

UWAGA: Proszę porównać proces wyznaczania odpowiedzi analizowanego układu za pomocą
transmitancji operatorowej z metodą wykorzystującą splot odpowiedzi impulsowej z zadanym
wymuszeniem (wykład 06).

®

18

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Rozwiąż samodzielnie Przykład 2: wyznacz odpowiedź układu na zadane wymuszenie
ekspotencjalne

( )

( )

( )

t

:

1

x t

u t

e

1 t

α

−

=

=

Dziedzina czas t

Dziedzina operatorowa (zespolona) s

C

R

u

2

(t)

u

1

(t)

R

WE

WY

U

2

(s)

U

1

(s)

Z

2

(s)

Z

1

(s)

WE

WY

( )

( )

( )

( )

?

t

1

y t

x t

u t

e

1 t

α

−

=

=

=

( )

1

s

1

RC

H s

1

2

s

2RC

+

=

+

( )

1

1

U

s

s

α

=

+

Odp:

( )

( ) (

)

(

)

( )

1

t

t

2 RC

2

1

RC

1

1

y t

u t

e

e

1 t

1

2RC

2 1

2RC

α

α

α

α

−

−

⎡

⎤

−

=

=

−

⎢

⎥

−

−

⎣

⎦

®

19

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1.4 Transmitancja operatorowa a stabilność układu

Jednym z ważnych zagadnień dotyczących pracy układów (systemów) jest pojęcie stabilności względem
ograniczonego pobudzenia (wymuszania). Jest to stabilność typu BIBO (Bounded Input Bounded Output).
Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu liniowego stacjonarnego o stałych
współczynnikach (SLS) jest, by odpowiedź tego układu była ograniczona, tzn. przyjmowała postać

( )

( ) ( )

o

h t

h t

t

δ

=

+

gdzie:

( )

lim

o

h t

0

t

=

→ +∞

- układ asymptotycznie stabilny,

( )

lim

o

h t

0

t

≠ < ∞

→ +∞

- układ na granicy stabilności,

Przy ograniczonym wymuszeniu stabilność systemu jest cechą jedynie systemu i nie zależy od
wymuszenia. Podobnie traktowaliśmy odpowiedź impulsową, jako charakterystykę jednoznacznie
opisującą dany system, bez znaczenia na rodzaj wymuszenia.

W dziedzinie operatorowej rolę podobnej niezależnej charakterystyki systemu pełni transmitancja
operatorowa. A zatem podobnie jak istnieją związki pomiędzy charakterem odpowiedzi impulsowej a
stabilnością, tak istnieją związki pomiędzy strukturą transmitancji a stabilnością.

®

20

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

W układach SLS transmitancja ma najczęściej postać wielomianu:

( )

( )

( )

( )

(

) (

)

(

®

21

)

L

1

0

1

1

2

r

1

0

1

n

n

n

n

n

n

n 1

n

n

n

1

2

r

Y s

s

H s

a s

a s

a s

a

m

m 1

b s

b s

b s

b

X s

a

s

s

s

s

s

s

−

−

−

+

+ +

=

=

=

+

+ +

+

−

−

−

…

…

…

−

+

Warunkiem koniecznym i wystarczającym by układ SLS, o wymiernej transmitancji, był asymptotycznie
stabilny w sensie BIBO jest, by wszystkie jego bieguny leżały w lewej półpłaszczyźnie, tzn.

( )

{

}

( )

{

}

st L s

st M s

≤

1.

( )

k

M s

0

=

{ }

Re

k

s

0

<

;

2. Dla wszystkich biegunów transmitancji tj.

Jednym ze sposobów badania stabilności układu jest określenie położenia biegunów transmitancji.

Gdyby przyjrzeć się dokładnie rozkładowi transmitancji na ułamki proste możemy wyróżnić kilka
szczególnych składników rozkładu. Ich budowa pozwala przewidzieć charakter odpowiedzi impulsowej na
podstawie położenia biegunów.

Rozważmy pewne szczególne położenia biegunów i związane z nim elementy rozkładu H(s) na ułamki
proste w relacji do odpowiedzi impulsowej h(t):

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1. Bieguny pojedyncze rzeczywiste w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s

Dziedzina operatorowa s

Dziedzina czasu t

Element rozkładu H(s) na ułamki proste

Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)

( )

k

k

k

c

H

s

s

a

=

+

( )

( )

at

k

h t

ce

1 t

−

=

Pojedynczemu biegunowi w lewej półpłaszczyźnie
s

Jeśli „a” jest dodatnie wyrażenie generuje
biegun leżący na osi rzeczywistej w lewej
półpłaszczyźnie zmiennej s w punkcie s

k

=-a odpowiada malejąca wykładniczo funkcja

czasu

k

=-a

-1

0

1

2

3

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

hk

Im{s}

Re{s}

s =-a

k

®

22

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

2. Bieguny pojedyncze zespolone sprzężone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s

Dziedzina operatorowa s

Dziedzina czasu t

Element rozkładu H(s) na ułamki proste

Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)

( )

(

)

k

k

2

2

k

c

H

s

s

σ

ω

=

+

+

( )

( ) ( )

sin

t

k

c

h t

e

t 1 t

α

ω

ω

−

=

Jeśli „

σ

” jest dodatnie wyrażenie generuje

bieguny zespolone sprzężone leżące w lewej
półpłaszczyźnie zmiennej s :

Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących
w lewej półpłaszczyźnie odpowiada tłumiona funkcja
sinusoidalna

k

s

j

σ

ω

= − +

oraz

k

s

j

σ

ω

= − −

-1

0

1

2

3

4

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

hk

Im{s}

Re{s}

k

s

j

σ

ω

= − +

k

s

j

σ

ω

= − −

®

23

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

3. Bieguny pojedyncze zespolone sprzężone na osi urojonej płaszczyzny zmiennej s

Dziedzina operatorowa s

Dziedzina czasu t

Element rozkładu H(s) na ułamki proste

Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)

( )

( )

k

k

2

2

k

c

H

s

s

ω

=

+

( )

( ) ( )

sin

k

c

h t

t 1 t

ω

ω

=

Wyrażenie generuje bieguny zespolone
sprzężone leżące na osi urojonej płaszczyzny
zmiennej s w punkcie

Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących
na osi urojonej odpowiada funkcja sinusoidalna

k

s

j

ω

=

k

s

j

ω

= −

oraz

-1

0

1

2

3

4

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

hk

Im{s}

Re{s}

k

s

j

ω

=

k

s

j

ω

= −

®

24

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

4. Bieguny pojedyncze rzeczywiste w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s

Dziedzina operatorowa s

Dziedzina czasu t

Element rozkładu H(s) na ułamki proste

Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)

( )

k

k

k

c

H

s

s

a

=

+

( )

( )

at

k

h t

ce

1 t

−

=

Pojedynczemu biegunowi w prawej półpłaszczyźnie
s

Jeśli „a” jest ujemne wyrażenie generuje biegun
leżący na osi rzeczywistej w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej s w punkcie s

k

=a odpowiada narastająca wykładniczo funkcja

czasu

k

=a

-1

0

1

2

3

4

0

20

40

60

80

100

120

140

hk

Im{s}

Re{s}

s =a

k

®

25

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

5. Bieguny pojedyncze zespolone sprzężone w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s

Dziedzina operatorowa s

Dziedzina czasu t

Element rozkładu H(s) na ułamki proste

Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)

( )

(

)

k

k

2

2

k

c

H

s

s

σ

ω

=

+

+

( )

( ) ( )

sin

t

k

c

h t

e

t 1 t

α

ω

ω

−

=

Jeśli „

σ

” jest ujemne wyrażenie generuje

bieguny zespolone sprzężone leżące w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej s :

Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących
w prawej półpłaszczyźnie odpowiada narastająca
funkcja sinusoidalna

k

s

j

σ

ω

= +

oraz

k

s

j

σ

ω

= −

-1

0

1

2

3

4

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

hk

Im{s}

Re{s}

k

s

j

σ

ω

= +

k

s

j

σ

ω

= −

®

26

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Im{s}

Re{s}

-1

0

1

2

3

4

0

20

40

60

80

100

120

140

hk

-1

0

1

2

3

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

hk

Obszar odpowiedzi

niesinusoidalnej (najczęściej

wykładniczej)

malejącej

Obszar odpowiedzi

niesinusoidalnej (najczęściej

wykładniczej)

rosnącej

-1

0

1

2

3

4

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

hk

Obszar odpowiedzi

sinusoidalnej

-1

0

1

2

3

4

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

hk

Obszar odpowiedzi

sinusoidalnej narastającej

-1

0

1

2

3

4

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

hk

Obszar odpowiedzi

sinusoidalnej malejącej

BIEGUNY POJEDYNCZE W TYM ZESPOLONE SPRZEŻONE

®

27

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

UWAGA: analiza stabilności obwodu przy biegunach wielokrotnych, lub przy wielomianach
mianownika o dużych stopniach, wymaga bardziej zaawansowanych metod np. stosując
algebraiczne metody badania stabilności (kryterium Huriwitza, Routha)

Przykład wpływu krotności biegunów na stabilność - bieguny dwukrotne zespolone sprzężone
na osi urojonej płaszczyzny zmiennej s

Dziedzina operatorowa s

Dziedzina czasu t

Element rozkładu H(s) na ułamki proste

Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)

( )

( )

(

)

k

k

2

2

2

k

1

H

s

s

ω

=

+

( )

( )

( )

(

)

( )

sin

cos

k

3

1

h t

t

t

t 1 t

2

ω

ω

ω

ω

=

−

Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących
na osi urojonej odpowiada funkcja sinusoidalna
narastają

Wyrażenie generuje bieguny zespolone
sprzężone dwukrotne leżące na osi urojonej
płaszczyzny zmiennej s w punkcie

k

s

j

ω

=

oraz

-1

0

1

2

3

4

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

hk

k

s

j

ω

= −

Im{s}

Re{s}

k

s

j

ω

=

k

s

j

ω

= −

2

2

®

28

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

®

29