CAŁKI PODWÓJNE
CAŁKI PODWÓJNE
CAŁKA PODWÓJNA 2 / 29
CAŁKI PODWÓJNE PO PROSTOKĄCIE
Definicja 1 (podział prostokąta)
Podziałem prostokąta
}
,
:
)
,
{(
d
y
c
b
x
a
y
x
R
≤
≤
≤
≤
=
nazywamy zbiór
P
złoŜony z prostokątów
n
R
R
R
,...,
,
2
1
, które
całkowicie wypełniają prostokąt
R
i mają parami rozłączne
wnętrza.
Oznaczenia:
k
k
y
x
∆
∆
,
– wymiary prostok
ą
ta
k
R .
}
1
:
)
(
)
(
max{
)
(
2
2
n
k
y
x
P
k
k
≤
≤
∆
+
∆
=
∂
–
ś
rednica podziału
P
.
CAŁKA PODWÓJNA 3 / 29
Definicja 2
(suma całkowa funkcji po prostok
ą
cie)
Niech funkcja f b
ę
dzie ograniczona na prostok
ą
cie R
oraz niech P b
ę
dzie podziałem tego prostok
ą
ta,
a
}
),
,
(
),...,
,
(
),
,
{(
*
*
*
2
*
2
*
1
*
1
n
n
y
x
y
x
y
x
=
Ξ
zbiorem punktów po
ś
rednich.
Sum
ą
całkow
ą
funkcji f odpowiadaj
ą
c
ą
podziałowi
P
oraz
punktom po
ś
rednim
Ξ
nazywamy liczb
ę
)
)(
(
)
,
(
1
*
*
k
k
n
k
k
k
y
x
y
x
f
∆
∆
∑
=
.
CAŁKA PODWÓJNA 4 / 29
Uwaga 1
Suma całkowa jest przybliŜeniem objętości bryły ograniczonej
wykresem funkcji
0
)
,
(
>
=
y
x
f
z
nad prostokątem R oraz
płaszczyzną xOy przez sumę objętości prostopadłościanów o
podstawach
k
R i wysokościach
)
,
(
*
*
k
k
y
x
f
dla
n
k
≤
≤
1
.
CAŁKA PODWÓJNA 5 / 29
Definicja 3
(całka podwójna po prostok
ą
cie)
Niech funkcja f b
ę
dzie ograniczona na prostok
ą
cie
R
.
Całk
ę
podwójn
ą
z funkcji f po prostok
ą
cie
R
oznaczon
ą
symbolem
∫∫
R
dP
y
x
f
)
,
(
definiujemy wzorem:
)
)(
(
)
,
(
lim
)
,
(
1
*
*
0
)
(
k
k
n
k
k
k
P
R
y
x
y
x
f
dxdy
y
x
f
∆
∆
=
∑
∫∫
=
→
∂
,
o ile jest właściwa i nie zaleŜy od sposobu podziału prostokąta ani
od sposobów wyboru punktów pośrednich
Ξ
.
Mówimy wtedy, Ŝe funkcja f jest całkowalna na prostokącie R.
Fakt 1
Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.
CAŁKA PODWÓJNA 6 / 29
Twierdzenie 1 (liniowość całki)
Niech f i g będą całkowalne na prostokącie R oraz niech
β
α
,
będą liczbami rzeczywistymi. Wtedy
(
)
∫∫
∫∫
∫∫
+
=
+
R
R
R
dP
y
x
g
dP
y
x
f
dP
y
x
g
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
β
α
β
α
.
Twierdzenie 2 (addytywność całki względem obszaru całkowania)
JeŜeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie R, to dla
dowolnego podziału tego prostokąta na prostokąty
2
1
, R
R
o rozłącznych wnętrzach zachodzi
∫∫
∫∫
∫∫
+
=
2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
R
R
R
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
.
CAŁKA PODWÓJNA 7 / 29
Twierdzenie 3
(o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Je
Ŝ
eli funkcja f jest ci
ą
gła na prostok
ą
cie
[ ] [ ]
d
c
b
a
,
,
×
, to
[ ] [ ]
dy
dx
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
d
c
b
a
b
a
d
c
d
c
b
a
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
=
=
×
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
,
.
CAŁKA PODWÓJNA 8 / 29
Uwaga 2
Zamiast
dx
dy
y
x
f
b
a
d
c
∫
∫
)
,
(
i
dy
dx
y
x
f
d
c
b
a
∫ ∫
)
,
(
piszemy odpowiednio
∫
∫
b
a
d
c
dy
y
x
f
dx
)
,
(
i
∫ ∫
d
c
b
a
dx
y
x
f
dy
)
,
(
.
CAŁKA PODWÓJNA 9 / 29
Przykład 1
Obliczyć całki iterowane:
1)
∫ ∫
−
4
0
3
2
2
)
(
dy
y
x
dx
, 2)
∫ ∫
−
+
2
1
3
0
2
)
(
dx
xy
x
dy
.
Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:
1)
∫∫
R
dxdy
y
x
2
2
,
[ ] [
]
1
,
1
1
,
0
−
×
=
R
,
2)
∫∫
+
R
dxdy
y
x
)
sin(
,
×
−
=
4
,
0
4
,
4
π
π
π
R
.
CAŁKA PODWÓJNA 10 / 29
Twierdzenie 4
(całka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych)
JeŜeli funkcja f jest funkcją postaci
)
(
)
(
)
,
(
y
h
x
g
y
x
f
=
, gdzie
funkcje g i h są ciągłe odpowiednio na przedziałach
[ ]
b
a,
i
[ ]
d
c,
, to
[ ] [ ]
⋅
=
∫
∫
∫∫
×
d
c
b
a
dy
y
h
dx
x
g
dxdy
y
x
f
d
c
b
a
)
(
)
(
)
,
(
,
,
.
CAŁKA PODWÓJNA 11 / 29
Przykład 2
Podane całki zamienić na sumy i iloczyny całek pojedynczych:
1)
∫∫
+
R
y
x
dxdy
e
,
[ ] [
]
1
,
1
1
,
0
−
×
=
R
,
2)
∫∫
+
R
dxdy
y
x
)
cos(
,
×
−
=
4
,
0
4
,
4
π
π
π
R
.
CAŁKA PODWÓJNA 12 / 29
CAŁKI PODWÓJNE PO OBSZARACH NORMALNYCH
Definicja 4
(obszary normalne względem osi układu)
1.
Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym
względem osi Ox, jeŜeli
)}
(
)
(
,
:
)
,
{(
x
h
y
x
g
b
x
a
y
x
D
≤
≤
≤
≤
=
,
gdzie funkcje g i h są ciągłe na
b
a,
.
2.
Obszar domkni
ę
ty D nazywamy obszarem normalnym
wzgl
ę
dem osi Oy, je
Ŝ
eli
}
),
(
)
(
:
)
,
{(
d
y
c
y
q
x
y
p
y
x
D
≤
≤
≤
≤
=
,
gdzie funkcje p i q s
ą
ci
ą
głe na
d
c,
.
CAŁKA PODWÓJNA 13 / 29
Przykład 3
Zbada
ć
, czy obszary ograniczone podanymi krzywymi s
ą
normalne wzgl
ę
dem osi Ox i osi Oy. Naszkicowa
ć
te obszary.
1)
2
,
1
,
0
x
y
x
y
=
=
=
,
2)
2
,
0
,
2
x
y
x
y
=
=
=
,
3)
2
2
,
2
x
y
x
y
=
+
−
=
,
4)
2
,
3
2
−
=
=
x
y
x
y
.
CAŁKA PODWÓJNA 14 / 29
Twierdzenie 5
(obliczanie całki po obszarach normalnych)
1.
Je
Ŝ
eli funkcja f jest ci
ą
gła na obszarze domkni
ę
tym
)}
(
)
(
,
:
)
,
{(
x
h
y
x
g
b
x
a
y
x
D
≤
≤
≤
≤
=
normalnym wzgl
ę
dem osi Ox, to
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
b
a
x
h
x
g
D
∫
∫
=
∫∫
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
.
2.
JeŜeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym
}
),
(
)
(
:
)
,
{(
d
y
c
y
q
x
y
p
y
x
D
≤
≤
≤
≤
=
normalnym względem osi Oy, to
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
d
c
y
q
y
p
D
∫
∫
=
∫∫
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
.
CAŁKA PODWÓJNA 15 / 29
Przykład 4
Zamienić całkę podwójną
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
na całki iterowane, je
Ŝ
eli
obszar D jest ograniczony przez:
1)
0
,
2
,
0
,
2
1
2
=
=
=
−
+
=
y
x
x
x
x
y
,
2)
2
,
2
−
=
=
x
y
y
x
.
Obliczy
ć
całki iterowane. Narysowa
ć
obszar całkowania.
1)
∫
∫
−
3
0
3
2
)
(
x
x
dy
y
x
dx
, 2)
∫
∫
+
2
/
0
2
0
)
sin(
π
x
dy
y
x
dx
.
Obliczyć całki podwójne po obszarach normalnych:
1)
∫∫
−
D
dxdy
xy
x
)
(
2
2
,
2
4
,
:
)
,
{(
x
x
y
x
y
y
x
D
−
≤
≥
=
,
2)
∫∫
D
ydxdy
x
2
,
2
2
3
,
:
)
,
{(
x
x
y
x
y
y
x
D
−
≤
≥
=
.
CAŁKA PODWÓJNA 16 / 29
Definicja 5
(obszar regularny na płaszczyźnie)
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox
lub osi Oy) o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym na płaszczyźnie.
Fakt 2
Niech obszar regularny D będzie sumą obszarów normalnych
D
1
, D
2
, …, D
n
o rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f
będzie całkowalna na D. Wtedy:
∫∫
+
+
∫∫
+
∫∫
=
∫∫
n
D
D
D
D
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
...
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
.
CAŁKA PODWÓJNA 17 / 29
Przykład 5
Obliczyć całki podwójne po obszarach ograniczonych krzywymi:
1)
∫∫
D
xydxdy ,
4
,
0
,
1
,
:
=
=
=
=
x
y
x
y
x
y
D
,
2)
∫∫
D
ydxdy
,
0
,
0
,
4
,
:
2
≥
=
+
−
=
=
x
y
x
y
x
y
D
.
Przykład 6
Obliczyć całki podwójne po obszarze
0
,
0
,
3
x
:
2
2
≥
≥
≤
+
y
x
y
D
:
1.
∫∫
D
dxdy ,
2.
∫∫
+
2
2
)
(
D
dxdy
y
x
.
CAŁKA PODWÓJNA 18 / 29
ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁKACH PODWÓJNYCH
Definicja 6
(przekształcenie obszarów na płaszczyźnie)
Niech
∆
i D będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach uOv
i xOy . Przekształceniem obszaru
∆
w obszar D nazywamy
funkcję
D
→
∆
:
τ
określoną wzorem:
(
)
)
,
(
),
,
(
)
,
(
)
,
(
v
u
v
u
v
u
y
x
ψ
ϕ
τ
=
=
, gdzie
∆
∈
)
,
( v
u
.
Obrazem zbioru
∆
przy przekształceniu
τ
nazywamy zbiór
( )
{
}
∆
∈
=
=
=
∆
)
,
(
),
,
(
),
,
(
:
,
)
(
v
u
v
u
y
v
u
x
y
x
ψ
ϕ
τ
.
Przekształcenie
τ
nazywamy:
1.
Ciągłym, jeŜeli funkcje
ϕ
i
ψ
są ciągłe na obszarze
∆
,
2.
RóŜnowartościowym, jeŜeli róŜnym punktom obszaru
∆
odpowiadają róŜne punkty jego obrazu D .
CAŁKA PODWÓJNA 19 / 29
Fakt 3
Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i róŜnowartościowym
jest równieŜ obszarem.
Definicja 7
(jakobian przekształcenia)
Jakobianem przekształcenia
(
)
)
,
(
),
,
(
)
,
(
v
u
v
u
v
u
ψ
ϕ
τ
=
nazywamy
funkcję określoną wzorem:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
det
)
,
(
v
u
v
v
u
u
v
u
v
v
u
u
v
u
J
ψ
ψ
ϕ
ϕ
τ
.
Uwaga 3
Jakobian oznacza się równieŜ przez
)
,
(
)
,
(
v
u
∂
∂
ψ
ϕ
lub
)
,
(
)
,
(
v
u
D
D
ψ
ϕ
.
CAŁKA PODWÓJNA 20 / 29
Twierdzenie 6
(o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Niech
1.
przekształcenie
=
=
)
,
(
)
,
(
:
v
u
y
v
u
x
ψ
ϕ
τ
odwzorowuje
róŜnowartościowo wnętrze obszaru regularnego
∆
na wnętrze
obszaru regularnego D ,
2.
funkcje
ϕ
i
ψ
mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego
rzędu na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar
∆
,
3.
funkcja f jest ciągłą na obszarze D ,
4.
jakobian
τ
J jest róŜny od zera wewnątrz obszaru D .
Wtedy
(
)
∫∫
=
∫∫
∆
dudv
v
u
J
v
u
v
u
f
dxdy
y
x
f
D
)
,
(
)
,
(
),
,
(
)
,
(
τ
ψ
ϕ
.
CAŁKA PODWÓJNA 21 / 29
WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE W CAŁKACH PODWÓJNYCH
Definicja 8
(współrzędne biegunowe)
PołoŜenie punktu P na płaszczyźnie moŜna opisać parą liczb
)
,
(
ϕ
r
, gdzie:
r
– oznacza odległość punktu P od początku układu
współrzędnych, przy czym
∞
<
≤
r
0
,
ϕ
– oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi Ox a
promieniem wodzącym punktu P, przy czym
π
ϕ
2
0
≤
≤
albo
π
ϕ
π
≤
≤
−
.
Parę liczb
)
,
(
ϕ
r
nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu
płaszczyzny.
CAŁKA PODWÓJNA 22 / 29
Fakt 4
Współrzędne kartezjańskie
)
,
(
y
x
punktu płaszczyzny danego
we współrzędnych biegunowych
)
,
(
ϕ
r
określone są wzorami:
=
=
Β
ϕ
ϕ
sin
cos
:
r
y
r
x
.
Jakobian przekształcenia biegunowego
Β
wynosi r, tj.
r
r
J
=
Β
)
,
(
ϕ
.
CAŁKA PODWÓJNA 23 / 29
Fakt 5
Współrzędne kartezjańskie
)
,
(
y
x
punktu płaszczyzny danego
we współrzędnych biegunowych uogólnionych
)
,
(
ϕ
r
określone są
wzorami:
=
=
Β
ϕ
ϕ
sin
cos
:
br
y
ar
x
.
Jakobian przekształcenia biegunowego
Β
wynosi abr , tj.
abr
r
J
=
Β
)
,
(
ϕ
.
Współrzędne biegunowe uogólnione stosuje się dla elipsy
o równaniu
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
.
CAŁKA PODWÓJNA 24 / 29
Twierdzenie 7
(współrzędne biegunowe w całce podwójnej)
Niech
1.
obszar
∆
we współrzędnych biegunowych będzie regularny,
2.
funkcja f będzie ciągła na obszarze D , który jest obrazem
zbioru
∆
przy przekształceniu biegunowym;
)
(
∆
Β
=
D
.
Wtedy
(
)
∫∫
=
∫∫
∆
ϕ
ϕ
ϕ
drd
r
r
r
f
dxdy
y
x
f
D
sin
,
cos
)
,
(
.
CAŁKA PODWÓJNA 25 / 29
Przykład 7
Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki:
1)
∫∫
2
D
dxdy
xy
,
0
,
4
x
:
2
2
≥
≤
+
x
y
D
,
2)
(
)
∫∫
+
+
2
2
2
2
ln
D
dxdy
y
x
y
x
,
0
,
4
x
1
:
2
2
≥
≤
+
≤
y
y
D
,
3)
(
)
∫∫
+
2
2
D
dxdy
y
x
,
0
2
x
:
2
2
≤
−
+
x
y
D
.
C
x
x
x
xdx
+
+
∫
−
=
4
sin
32
1
2
sin
4
1
8
3
sin
4
CAŁKA PODWÓJNA 26 / 29
Uwaga 4
JeŜeli we współrzędnych biegunowych obszar
∆
ma postać
)}
(
)
(
,
:
)
,
{(
ϕ
ϕ
β
ϕ
α
ϕ
h
r
g
r
≤
≤
≤
≤
=
∆
gdzie funkcje g i h są ciągłe na przedziale
π
β
α
2
,
0
,
⊂
, to
(
)
(
)
∫
∫∫
∫
=
∆
)
(
)
(
sin
,
cos
sin
,
cos
ϕ
ϕ
β
α
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
h
g
dr
r
r
r
f
d
drd
r
r
r
f
.
Współrzędne biegunowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar
całkowania jest ograniczony łukami okręgów o środku w początku
układu współrzędnych oraz odcinkami prostych przechodzących
przez początek układu.
CAŁKA PODWÓJNA 27 / 29
ZASTOSOWANIA CAŁEK PODWÓJNYCH W GEOMETRII
Pole obszaru regularnego
2
R
D
⊂
wyraŜa się wzorem:
∫∫
=
D
dP
D
.
Objętość bryły
V
połoŜonej nad obszarem regularnym
2
R
D
⊂
i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji
ciągłych
)
,
(
y
x
d
z
=
i
)
,
(
y
x
g
z
=
wyraŜa się wzorem:
[
]
∫∫
−
=
)
,
(
)
,
(
D
dP
y
x
d
y
x
g
V
.
Pole płata
S
, który jest wykresem funkcji
)
,
(
y
x
f
z
=
, gdzie
D
y
x
∈
)
,
(
wyraŜa się wzorem:
∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+
=
2
2
1
D
dP
y
f
x
f
S
.
CAŁKA PODWÓJNA 28 / 29
Przykład 8
Obliczyć:
1)
pole powierzchni obszaru ograniczonego przez:
2
,
1
,
ln
,
=
=
+
=
=
x
y
x
x
y
e
y
x
,
2)
objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
0
,
3
,
1
2
2
=
=
+
+
=
+
z
z
y
x
y
x
,
3)
pole powierzchni płata
,
2
4
8
y
x
z
−
−
=
gdzie
0
,
0
,
0
≥
≥
≥
z
y
x
.
CAŁKA PODWÓJNA 29 / 29
ZASTOSOWANIA CAŁEK PODWÓJNYCH W FIZYCE
Masa obszaru
Momenty statyczne
Współrzędne środka masy
Momenty bezwładności
Parcie
NatęŜenie pola elektrycznego
Siła przyciągania grawitacyjnego
Energia kinetyczna
…