1
OSCYLATOR DRGA
Ń
HARMONICZNYCH
(NIETŁUMIONYCH)
x
k
F
−
=
Sił
ą
harmoniczn
ą
(spr
ęż
ysto
ś
ci) nazywamy sił
ę
działaj
ą
c
ą
na ciało, proporcjonaln
ą
do przesuni
ę
cia tego ciała od pocz
ą
tku układu i skierowan
ą
ku pocz
ą
tkowi układu.
x
k
ma
−
=
Korzystamy z drugiej zasady
dynamiki Newtona:
Masa na spr
ęż
ynie
x
k
t
x
m
−
=
2
2
d
d
Czyli:
Aby znale
źć
kinematyczne równanie ruchu x(t) trzeba rozwi
ą
za
ć
równanie ró
ż
niczkowe
tzw. równanie oscylatora drga
ń
harmonicznych.
=
t
t
d
x
d
x
f
t
d
x
d
,
,
2
2
równanie
ró
ż
niczkowe
(II rz
ę
du):
równanie ruchu
(II zas dyn. Newtona)
x
m
k
t
d
x
d
−
=
2
2
(*)
inaczej:
0
2
2
=
+
x
m
k
t
d
x
d
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
sin(
)
0
0
ϕ
ω
ω
+
−
=
=
t
A
t
d
x
d
(t
v
Zgadujemy rozwi
ą
zanie postaci:
Obliczamy pierwsz
ą
:
i drug
ą
pochodn
ą
:
(przy okazji obliczyli
ś
my pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie)
)
(
)
cos(
2
0
0
2
0
2
2
t
x
ω
t
Aω
dt
x
d
dt
d
a(t)
−
=
+
−
=
=
=
ϕ
ω
v
Rozwi
ą
zanie ogólne równania
Podstawiamy do równania oscylatora drga
ń
harmonicznych:
0
)
cos(
)
cos(
0
0
2
0
=
+
+
+
−
ϕ
ω
ϕ
ω
t
A
m
k
t
Aω
m
k
ω
=
0
(*)
to:
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
gdzie:
m
k
ω
=
2
0
2
Ogólniej mo
ż
emy zapisa
ć
,
ż
e rozwi
ą
zaniem równania oscylatora drga
ń
harmonicznych postaci:
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
0
2
0
2
2
=
+
x
ω
dt
x
d
jest funkcja:
0
ω
gdzie:
zale
ż
y od układu drgaj
ą
cego
Dla oscylatora drga
ń
harmonicznych okres drga
ń
nie zale
ż
y od amplitudy
A
.
0
/
2
ω
T
π
=
Okres drga
ń
wynosi
, cz
ę
stotliwo
ść
drga
ń
definiujemy jako:
0
/
2
ω
T
π
=
π
2
/
/
1
0
ω
T
f
=
=
(jednostka cz
ę
stotliwo
ś
ci drga
ń
1 Hz = 1 s
-1
)
Dla spr
ęż
yny mieli
ś
my:
0
d
d
2
2
=
+
x
m
k
t
x
m
k
ω
=
0
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
Ogólne równanie oscylatora drga
ń
harmonicznych
Je
ś
li ruch ciała opisany jest powy
ż
szym równaniem ró
ż
niczkowym to
znamy jego rozwi
ą
zanie.
)
sin(
)
0
0
ϕ
ω
ω
+
−
=
=
t
A
t
d
x
d
(t
v
m
k
ω
=
0
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
gdzie:
Interpretacja rozwi
ą
zania:
A - amplituda ruchu
ωt + φ - fazą drgań
ω
0
=2
π
/T – częst. kątowa
T- okres drgań
φ - faza początkowa
Stałe A i
φ
s
ą
wyznaczone
przez warunki pocz
ą
tkowe:
)
cos(
)
0
(
ϕ
A
x
=
)
sin(
)
0
0
ϕ
ω
A
(
−
=
v
t
A
-A
T
T/2
x(t)
0
0
2T
3T
v
max
T
T/2
v(t)
0
0
2T
3T
T
T/2
0
0
2T
3T
-v
max
a
max
-a
max
a(t)
t
t
2
0
max
0
max
max
Aω
a
Aω
A
x
=
=
=
v
φ=0
)
(
)
cos(
2
0
0
2
0
2
2
t
x
ω
t
Aω
dt
x
d
dt
d
a(t)
−
=
+
−
=
=
=
ϕ
ω
v
3
Energia w ruchu harmonicznym
2
cos
2
cos
2
0
2
2
2
0
0
2
2
2
t
A
m
t
A
k
x
k
E
p
ω
ω
ω
=
=
=
t
A
(t)
0
0
sin
ω
ω
−
=
v
t
A
t
x
0
cos
)
(
ω
=
k
m
=
2
0
ω
2
sin
2
sin
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
t
kA
t
A
m
m
E
k
ω
ω
ω
=
=
=
v
2
)
(
2
)
cos
1
(
2
2
0
2
2
x
A
k
t
kA
E
k
−
=
−
=
ω
inaczej:
.
2
2
2
)
(
2
2
2
2
const
A
k
x
k
x
A
k
E
E
E
p
k
c
=
=
+
−
=
+
=
-A
E
p
(t)
0
x
E
k
(t)
E
c
A
lub
m
k
ω
=
0
cz
ę
stotliwo
ść
drga
ń
atomów: f
≅≅≅≅
10
14
Hz
Przykład 1.
atomy w sieci krystalicznej
4
Przykład 2.
wahadło matematyczne
ciało o masie punktowej,
zawieszone na cienkiej,
niewa
ż
kiej, nierozci
ą
gliwej nici
składowa siły
powoduj
ą
ca
ruch:
2
2
d
d
t
x
m
ma
F
=
=
θ
sin
d
d
2
2
mg
t
x
m
−
=
θ
sin
mg
F
−
=
II zasada dynamiki
Newtona:
czyli:
rozwiazanie równania oscylatora
drga
ń
harmonicznych:
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
+
=
t
x
t
x
l
g
=
0
ω
g
l
T
π
2
=
0
2
2
=
+
x
l
g
d t
x
d
poniewa
ż
:
l
x
=
≈
θ
θ
sin
0
2
0
2
2
=
+
x
ω
d t
x
d
dla małych wychyle
ń
θ
:
dt
dx
b
b
F
x
t
−
=
−
=
v
x
k
F
s
−
=
siły działaj
ą
ce na ciało:
2
2
d t
x
d
m
ma
F
F
F
t
s
=
=
+
=
II zasada dynamiki Newtona:
0
2
2
x =
m
k
+
dt
dx
m
b
+
d t
x
d
2
2
d t
x
d
= m
dt
dx
-kx -b
inaczej:
równania oscylatora
drga
ń
harmonicznych
tłumionych (r. ruchu)
0
2
2
0
2
2
x =
+ ω
dt
dx
β
+
d t
x
d
2m
b
=
β
m
k
=
2
0
ω
β
ω
ω
2
2
-
=
0
rozwi
ą
zanie:
(dodatek 1)
)
+
t
(
Ae
=
x
t
ϕ
ω
β
cos
−
(
ββββ
- współczynnik tłumienia,
ω
0
-cz
ę
st. k
ą
towa drga
ń
własnych)
gdzie:
RUCH HARMONICZNY TŁUMIONY
5
2
2
0
β
ω
ω
−
=
Oscylacyjny charakter ruchu zachowany
zostaje dla
słabego tłumienia.
β
ω
>
0
Gdy tłumienie (opór) stanie si
ę
dostatecznie
du
ż
e ruch przestaje by
ć
ruchem drgaj
ą
cym,
a ciało wychylone z poło
ż
enia równowagi
powraca do niego
asymptotycznie.
β
ω
<
0
Szczególny przypadek odpowiada sytuacji,
gdy mówimy wtedy o tłumieniu
krytycznym.
β
ω
=
0
t
e
A
x
β
−
=
)
+
t
(
Ae
=
x
t
ϕ
ω
β
cos
−
Oscylator tłumiony - wnioski
Przykład ruchu (1): Wahadło fizyczne
moment siły
powoduj
ą
cy
ruch:
2
2
d
d
t
I
I
M
θ
ε
=
=
θ
θ
sin
d
d
2
2
mgd
t
I
−
=
θ
sin
d
mg
M
−
=
II zasada dynamiki
Newtona dla bryły
sztywnej:
czyli:
dla małych wychyle
ń
θ
:
0
d
d
2
2
=
+
θ
θ
I
mgd
t
poniewa
ż
:
θ
θ
≈
sin
rozwi
ą
zanie równania oscylatora drga
ń
harmonicznych:
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
θ
θ
+
=
t
t
I
mgd
=
0
ω
mgd
I
T
π
2
=
0
d
d
2
0
2
2
=
+
θ
ω
θ
t
PRZYKŁADY RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ
6
Je
ż
eli chcemy podtrzyma
ć
drgania to musimy działa
ć
odpowiedni
ą
sił
ą
zewn
ę
trzn
ą
F(t)
Sił
ę
tak
ą
nazywamy sił
ą
wymuszaj
ą
c
ą
:
t
F
t
F
ω
sin
)
(
0
=
Równanie ruchu:
)
(t
F
b
x
k
ma
+
−
−
=
v
F(t)
t
d
x
d
b
x
k
t
d
x
d
m
+
−
−
=
2
2
t
ω
α
x
ω
t
d
x
d
β
t
d
x
d
sin
2
0
2
0
2
2
=
+
+
m
F
m
k
m
b
0
0
2
0
oraz
,
2
=
=
=
α
ω
β
układ jest pobudzany z cz
ę
sto
ś
ci
ą
ω
ró
ż
n
ą
od cz
ę
sto
ś
ci własnej
ω
0
DRGANIA WYMUSZONE I REZONANS
)
sin(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
2
2
0
2
ω
ω
βω
ϕ
−
−
=
tg
2
/
1
2
2
2
2
2
0
0
]
4
)
[(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
A
gdzie:
WNIOSKI:
•Drgania (wymuszone) w stanie ustalonym odbywaj
ą
si
ę
z cz
ę
sto
ś
ci
ą
siły
zewn
ę
trznej, a nie z cz
ę
sto
ś
ci
ą
własn
ą
•Amplituda i faza zale
żą
od relacji pomi
ę
dzy cz
ę
sto
ś
ci
ą
wymuszaj
ą
c
ą
ω
, a cz
ę
sto
ś
ci
ą
własn
ą
ω
0
oraz od współczynnika tłumienia
(patrz dodatek 2)
ω
0
A
ω
β
4
β
3
β
2
β
1
β
0
= 0
β
0
<β
1
<β
2
<β
3
<β
4
)
..... rezonans
2
/
1
2
2
2
2
2
0
0
]
4
)
[(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
A
Dla drgań nietłumionych ( ) :
2
ππππ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
−
→
⇒
−∞
→
tg
0
→
β
1)
∞
→
r
A
2)
Gdy siła wymuszaj
ą
ca osi
ą
ga
odpowiedni
ą
cz
ę
stotliwo
ść
:
2
2
0
2
β
ω
ω
−
=
r
2
2
2
2
2
0
4
)
(
)
(
ω
β
ω
ω
ω
+
−
=
f
0
8
)
(
4
)
(
2
2
2
0
=
+
−
−
=
ω
β
ω
ω
ω
ω
ω
d
df
2
2
0
0
2
β
ω
β
α
−
=
r
A
to amplituda drgań gwałtownie
rośnie:
β
β
ω
ϕ
2
2
0
2
−
−
=
tg
2
2
0
2
ω
ω
βω
ϕ
−
−
=
tg
7
)
sin(
)
(
0
t
F
t
F
ω
=
)
cos(
)
2
/
sin(
)
(
t
A
t
A
t
x
ω
π
ω
−
=
−
=
)
sin(
d
d
)
(
t
A
t
x
t
ω
ω
=
=
v
2
π
ϕ
−
=
Co oznacza warunek:
•Siła wymuszająca jest w tej samej fazie co prędkość ciała (ma ten sam kierunek i zwrot
co prędkość) – cały czas działa konstruktywnie i przyspiesza ciało.
•Siła tłumiąca miała zawsze zwrot przeciwny do prędkości - działa destruktywnie
powodując opóźnienie.
?
)
sin(
sin
)
cos(
cos
ϕ
ω
α
ϕ
ω
α
+
=
=
+
=
=
t
A
r
y
t
A
r
x
α
(t)=
ω
t +
ϕ
r=A
x
y
r
α(
α(
α(
α(
t)
Ruch harmoniczny a ruch po okr
ę
gu
8
)
cos(
;
cos
0
2
2
1
1
ϕ
ω
ω
+
=
=
t
A
x
t
A
x
Superpozycja drga
ń
:
Drgania równoległe:
)
cos(
2
1
ϕ
ω
+
=
+
=
t
A
x
x
x
ró
ż
nica faz
φ
0
= 0
maksimum; ró
ż
nica faz
φ
0
=
π
minimum
SKŁADANIE DRGA
Ń
HARMONICZNYCH
0
2
1
2
2
2
1
0
2
1
0
2
cos
2
cos
sin
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
A
A
A
A
A
A
A
A
tg
+
+
=
+
=
Drgania prostopadłe:
)
cos(
;
cos
2
2
1
1
ϕ
ω
ω
+
=
=
t
A
y
t
A
x
Krzywe Lissajous
9
0
d
d
2
d
d
2
0
2
2
=
+
+
x
t
x
t
x
ω
β
)
+
t
(
Ae
=
x
t
ϕ
ω
β
cos
−
)
+
t
(
e
A
)
+
t
(
e
A
=
t
x
t
t
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
β
β
β
sin
cos
d
d
−
−
−
−
)
+
t
(
e
A
)
+
t
(
e
A
=
t
x
t
t
ϕ
ω
βω
ϕ
ω
ω
β
β
β
sin
2
cos
)
(
d
d
2
2
2
2
−
−
+
−
[
]
0
cos
sin
cos
2
sin
2
cos
)
(
2
0
2
2
=
+
−
−
+
+
+
−
−
−
−
−
−
)
+
t
(
Ae
)
+
t
(
e
A
)
+
t
(
e
A
)
+
t
(
e
A
)
+
t
(
e
A
t
t
t
t
t
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
β
β
ϕ
ω
βω
ϕ
ω
ω
β
β
β
β
β
β
0
cos
)
2
(
2
0
2
2
2
=
+
−
−
−
)
+
t
(
e
A
t
ϕ
ω
ω
β
ω
β
β
2
2
0
2
β
ω
ω
−
=
2
2
0
β
ω
ω
−
=
Rozwi
ą
zanie równania:
Dodatek 1:
Rozwi
ą
zanie równania:
Dodatek 2:
t
x
t
x
t
x
ω
α
ω
β
sin
d
d
2
d
d
0
2
0
2
2
=
+
+
)
sin(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
cos(
d
d
ϕ
ω
ω
+
=
t
A
t
x
)
sin(
d
d
2
2
2
ϕ
ω
ω
+
−
=
t
A
t
x
(
)
t
t
A
t
A
ω
α
ϕ
ω
βω
ϕ
ω
ω
ω
sin
)
cos(
2
)
sin(
0
2
2
0
=
+
+
+
−
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
sin
sin
cos
cos
)
cos(
sin
cos
cos
sin
)
sin(
t
t
t
t
t
t
−
=
+
+
=
+
(
)
[
]
(
)
[
]
t
t
A
t
A
ω
α
ω
ϕ
βω
ϕ
ω
ω
ω
ϕ
βω
ϕ
ω
ω
sin
cos
cos
2
sin
sin
sin
2
cos
0
2
2
0
2
2
0
=
+
−
+
−
−
2
2
0
2
cos
sin
ω
ω
βω
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
=
=
tg
2
/
1
2
2
2
2
2
0
0
]
4
)
[(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
A
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
1
1
cos
1
sin
tg
tg
tg
+
=
+
=
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
IMIR materialy prad id 211874 Nieznany
Drgania 4 id 141931 Nieznany
Materialy pomocnicze 4 id 28534 Nieznany
ORZ drgania id 340792 Nieznany
Materialy oprobowanie(1) id 285 Nieznany
Materialy wybuchowe 2 id 285462 Nieznany
materialy z zajec 2 id 286506 Nieznany
materialy metalowe id 286273 Nieznany
IMIC przyklady drgania id 21180 Nieznany
Materialy 5 GLIKOLIZA id 767132 Nieznany
Materialy pomocn id 286338 Nieznany
8 IMIR teoria wzglednosci id 46 Nieznany (2)
materialy z zajec 5 id 286508 Nieznany
Material teoretyczny id 284375 Nieznany
materialy szkoleniowe 2 id 2863 Nieznany
materialy 10 id 284528 Nieznany
Materialy Pomocnicze (1) id 285 Nieznany
materialy korespondencja id 28 Nieznany
MF12 drgania id 297511 Nieznany
więcej podobnych podstron