IMIR materialu drgania id 21187 Nieznany

background image

1

OSCYLATOR DRGA

Ń

HARMONICZNYCH

(NIETŁUMIONYCH)

x

k

F

=

Sił

ą

harmoniczn

ą

(spr

ęż

ysto

ś

ci) nazywamy sił

ę

działaj

ą

c

ą

na ciało, proporcjonaln

ą

do przesuni

ę

cia tego ciała od pocz

ą

tku układu i skierowan

ą

ku pocz

ą

tkowi układu.

x

k

ma

=

Korzystamy z drugiej zasady
dynamiki Newtona:

Masa na spr

ęż

ynie

x

k

t

x

m

=

2

2

d

d

Czyli:

Aby znale

źć

kinematyczne równanie ruchu x(t) trzeba rozwi

ą

za

ć

równanie ró

ż

niczkowe

tzw. równanie oscylatora drga

ń

harmonicznych.

=

t

t

d

x

d

x

f

t

d

x

d

,

,

2

2

równanie

ż

niczkowe

(II rz

ę

du):

równanie ruchu
(II zas dyn. Newtona)

x

m

k

t

d

x

d

=

2

2

(*)

inaczej:

0

2

2

=

+

x

m

k

t

d

x

d

)

cos(

)

(

0

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

)

sin(

)

0

0

ϕ

ω

ω

+

=

=

t

A

t

d

x

d

(t

v

Zgadujemy rozwi

ą

zanie postaci:

Obliczamy pierwsz

ą

:

i drug

ą

pochodn

ą

:

(przy okazji obliczyli

ś

my pr

ę

dko

ść

i przyspieszenie)

)

(

)

cos(

2

0

0

2

0

2

2

t

x

ω

t

dt

x

d

dt

d

a(t)

=

+

=

=

=

ϕ

ω

v

Rozwi

ą

zanie ogólne równania

Podstawiamy do równania oscylatora drga

ń

harmonicznych:

0

)

cos(

)

cos(

0

0

2

0

=

+

+

+

ϕ

ω

ϕ

ω

t

A

m

k

t

m

k

ω

=

0

(*)

to:

)

cos(

)

(

0

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

gdzie:

m

k

ω

=

2

0

background image

2

Ogólniej mo

ż

emy zapisa

ć

,

ż

e rozwi

ą

zaniem równania oscylatora drga

ń

harmonicznych postaci:

)

cos(

)

(

0

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

0

2

0

2

2

=

+

x

ω

dt

x

d

jest funkcja:

0

ω

gdzie:

zale

ż

y od układu drgaj

ą

cego

Dla oscylatora drga

ń

harmonicznych okres drga

ń

nie zale

ż

y od amplitudy

A

.

0

/

2

ω

T

π

=

Okres drga

ń

wynosi

, cz

ę

stotliwo

ść

drga

ń

definiujemy jako:

0

/

2

ω

T

π

=

π

2

/

/

1

0

ω

T

f

=

=

(jednostka cz

ę

stotliwo

ś

ci drga

ń

1 Hz = 1 s

-1

)

Dla spr

ęż

yny mieli

ś

my:

0

d

d

2

2

=

+

x

m

k

t

x

m

k

ω

=

0

)

cos(

)

(

0

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

Ogólne równanie oscylatora drga

ń

harmonicznych

Je

ś

li ruch ciała opisany jest powy

ż

szym równaniem ró

ż

niczkowym to

znamy jego rozwi

ą

zanie.

)

sin(

)

0

0

ϕ

ω

ω

+

=

=

t

A

t

d

x

d

(t

v

m

k

ω

=

0

)

cos(

)

(

0

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

gdzie:

Interpretacja rozwi

ą

zania:

A - amplituda ruchu
ωt + φ - fazą drgań
ω

0

=2

π

/T – częst. kątowa

T- okres drgań
φ - faza początkowa

Stałe A i

φ

s

ą

wyznaczone

przez warunki pocz

ą

tkowe:

)

cos(

)

0

(

ϕ

A

x

=

)

sin(

)

0

0

ϕ

ω

A

(

=

v

t

A

-A

T

T/2

x(t)

0

0

2T

3T

v

max

T

T/2

v(t)

0

0

2T

3T

T

T/2

0

0

2T

3T

-v

max

a

max

-a

max

a(t)

t

t

2

0

max

0

max

max

a

A

x

=

=

=

v

φ=0

)

(

)

cos(

2

0

0

2

0

2

2

t

x

ω

t

dt

x

d

dt

d

a(t)

=

+

=

=

=

ϕ

ω

v

background image

3

Energia w ruchu harmonicznym

2

cos

2

cos

2

0

2

2

2

0

0

2

2

2

t

A

m

t

A

k

x

k

E

p

ω

ω

ω

=

=

=

t

A

(t)

0

0

sin

ω

ω

=

v

t

A

t

x

0

cos

)

(

ω

=

k

m

=

2

0

ω

2

sin

2

sin

2

0

2

2

0

2

2

2

0

2

t

kA

t

A

m

m

E

k

ω

ω

ω

=

=

=

v

2

)

(

2

)

cos

1

(

2

2

0

2

2

x

A

k

t

kA

E

k

=

=

ω

inaczej:

.

2

2

2

)

(

2

2

2

2

const

A

k

x

k

x

A

k

E

E

E

p

k

c

=

=

+

=

+

=

-A

E

p

(t)

0

x

E

k

(t)

E

c

A

lub

m

k

ω

=

0

cz

ę

stotliwo

ść

drga

ń

atomów: f

≅≅≅≅

10

14

Hz

Przykład 1.

atomy w sieci krystalicznej

background image

4

Przykład 2.

wahadło matematyczne

ciało o masie punktowej,
zawieszone na cienkiej,
niewa

ż

kiej, nierozci

ą

gliwej nici

składowa siły
powoduj

ą

ca

ruch:

2

2

d

d

t

x

m

ma

F

=

=

θ

sin

d

d

2

2

mg

t

x

m

=

θ

sin

mg

F

=

II zasada dynamiki
Newtona:

czyli:

rozwiazanie równania oscylatora
drga

ń

harmonicznych:

)

cos(

)

(

0

0

ϕ

ω

+

=

t

x

t

x

l

g

=

0

ω

g

l

T

π

2

=

0

2

2

=

+

x

l

g

d t

x

d

poniewa

ż

:

l

x

=

θ

θ

sin

0

2

0

2

2

=

+

x

ω

d t

x

d

dla małych wychyle

ń

θ

:

dt

dx

b

b

F

x

t

=

=

v

x

k

F

s

=

siły działaj

ą

ce na ciało:

2

2

d t

x

d

m

ma

F

F

F

t

s

=

=

+

=

II zasada dynamiki Newtona:

0

2

2

x =

m

k

+

dt

dx

m

b

+

d t

x

d

2

2

d t

x

d

= m

dt

dx

-kx -b

inaczej:

równania oscylatora
drga

ń

harmonicznych

tłumionych (r. ruchu)

0

2

2

0

2

2

x =

+ ω

dt

dx

β

+

d t

x

d

2m

b

=

β

m

k

=

2

0

ω

β

ω

ω

2

2

-

=

0

rozwi

ą

zanie:

(dodatek 1)

)

+

t

(

Ae

=

x

t

ϕ

ω

β

cos

(

ββββ

- współczynnik tłumienia,

ω

0

-cz

ę

st. k

ą

towa drga

ń

własnych)

gdzie:

RUCH HARMONICZNY TŁUMIONY

background image

5

2

2

0

β

ω

ω

=

Oscylacyjny charakter ruchu zachowany
zostaje dla

słabego tłumienia.

β

ω

>

0

Gdy tłumienie (opór) stanie si

ę

dostatecznie

du

ż

e ruch przestaje by

ć

ruchem drgaj

ą

cym,

a ciało wychylone z poło

ż

enia równowagi

powraca do niego

asymptotycznie.

β

ω

<

0

Szczególny przypadek odpowiada sytuacji,
gdy mówimy wtedy o tłumieniu

krytycznym.

β

ω

=

0

t

e

A

x

β

=

)

+

t

(

Ae

=

x

t

ϕ

ω

β

cos

Oscylator tłumiony - wnioski

Przykład ruchu (1): Wahadło fizyczne

moment siły
powoduj

ą

cy

ruch:

2

2

d

d

t

I

I

M

θ

ε

=

=

θ

θ

sin

d

d

2

2

mgd

t

I

=

θ

sin

d

mg

M

=

II zasada dynamiki
Newtona dla bryły
sztywnej:

czyli:

dla małych wychyle

ń

θ

:

0

d

d

2

2

=

+

θ

θ

I

mgd

t

poniewa

ż

:

θ

θ

sin

rozwi

ą

zanie równania oscylatora drga

ń

harmonicznych:

)

cos(

)

(

0

0

ϕ

ω

θ

θ

+

=

t

t

I

mgd

=

0

ω

mgd

I

T

π

2

=

0

d

d

2

0

2

2

=

+

θ

ω

θ

t

PRZYKŁADY RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ

background image

6

Je

ż

eli chcemy podtrzyma

ć

drgania to musimy działa

ć

odpowiedni

ą

sił

ą

zewn

ę

trzn

ą

F(t)

Sił

ę

tak

ą

nazywamy sił

ą

wymuszaj

ą

c

ą

:

t

F

t

F

ω

sin

)

(

0

=

Równanie ruchu:

)

(t

F

b

x

k

ma

+

=

v

F(t)

t

d

x

d

b

x

k

t

d

x

d

m

+

=

2

2

t

ω

α

x

ω

t

d

x

d

β

t

d

x

d

sin

2

0

2

0

2

2

=

+

+

m

F

m

k

m

b

0

0

2

0

oraz

,

2

=

=

=

α

ω

β

układ jest pobudzany z cz

ę

sto

ś

ci

ą

ω

ż

n

ą

od cz

ę

sto

ś

ci własnej

ω

0

DRGANIA WYMUSZONE I REZONANS

)

sin(

)

(

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

2

2

0

2

ω

ω

βω

ϕ

=

tg

2

/

1

2

2

2

2

2

0

0

]

4

)

[(

ω

β

ω

ω

α

+

=

A

gdzie:

WNIOSKI:

•Drgania (wymuszone) w stanie ustalonym odbywaj

ą

si

ę

z cz

ę

sto

ś

ci

ą

siły

zewn

ę

trznej, a nie z cz

ę

sto

ś

ci

ą

własn

ą

•Amplituda i faza zale

żą

od relacji pomi

ę

dzy cz

ę

sto

ś

ci

ą

wymuszaj

ą

c

ą

ω

, a cz

ę

sto

ś

ci

ą

własn

ą

ω

0

oraz od współczynnika tłumienia

(patrz dodatek 2)

ω

0

A

ω

β

4

β

3

β

2

β

1

β

0

= 0

β

0

<β

1

<β

2

<β

3

<β

4

)

..... rezonans

2

/

1

2

2

2

2

2

0

0

]

4

)

[(

ω

β

ω

ω

α

+

=

A

Dla drgań nietłumionych ( ) :

2

ππππ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

−∞

tg

0

β

1)

r

A

2)

Gdy siła wymuszaj

ą

ca osi

ą

ga

odpowiedni

ą

cz

ę

stotliwo

ść

:

2

2

0

2

β

ω

ω

=

r

2

2

2

2

2

0

4

)

(

)

(

ω

β

ω

ω

ω

+

=

f

0

8

)

(

4

)

(

2

2

2

0

=

+

=

ω

β

ω

ω

ω

ω

ω

d

df

2

2

0

0

2

β

ω

β

α

=

r

A

to amplituda drgań gwałtownie

rośnie:

β

β

ω

ϕ

2

2

0

2

=

tg

2

2

0

2

ω

ω

βω

ϕ

=

tg

background image

7

)

sin(

)

(

0

t

F

t

F

ω

=

)

cos(

)

2

/

sin(

)

(

t

A

t

A

t

x

ω

π

ω

=

=

)

sin(

d

d

)

(

t

A

t

x

t

ω

ω

=

=

v

2

π

ϕ

=

Co oznacza warunek:

•Siła wymuszająca jest w tej samej fazie co prędkość ciała (ma ten sam kierunek i zwrot
co prędkość) – cały czas działa konstruktywnie i przyspiesza ciało.
•Siła tłumiąca miała zawsze zwrot przeciwny do prędkości - działa destruktywnie
powodując opóźnienie.

?

)

sin(

sin

)

cos(

cos

ϕ

ω

α

ϕ

ω

α

+

=

=

+

=

=

t

A

r

y

t

A

r

x

α

(t)=

ω

t +

ϕ

r=A

x

y

r

α(

α(

α(

α(

t)

Ruch harmoniczny a ruch po okr

ę

gu

background image

8

)

cos(

;

cos

0

2

2

1

1

ϕ

ω

ω

+

=

=

t

A

x

t

A

x

Superpozycja drga

ń

:

Drgania równoległe:

)

cos(

2

1

ϕ

ω

+

=

+

=

t

A

x

x

x

ż

nica faz

φ

0

= 0

maksimum; ró

ż

nica faz

φ

0

=

π

minimum

SKŁADANIE DRGA

Ń

HARMONICZNYCH

0

2

1

2

2

2

1

0

2

1

0

2

cos

2

cos

sin

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

A

A

A

A

A

A

A

A

tg

+

+

=

+

=

Drgania prostopadłe:

)

cos(

;

cos

2

2

1

1

ϕ

ω

ω

+

=

=

t

A

y

t

A

x

Krzywe Lissajous

background image

9

0

d

d

2

d

d

2

0

2

2

=

+

+

x

t

x

t

x

ω

β

)

+

t

(

Ae

=

x

t

ϕ

ω

β

cos

)

+

t

(

e

A

)

+

t

(

e

A

=

t

x

t

t

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

β

β

β

sin

cos

d

d

)

+

t

(

e

A

)

+

t

(

e

A

=

t

x

t

t

ϕ

ω

βω

ϕ

ω

ω

β

β

β

sin

2

cos

)

(

d

d

2

2

2

2

+

[

]

0

cos

sin

cos

2

sin

2

cos

)

(

2

0

2

2

=

+

+

+

+

)

+

t

(

Ae

)

+

t

(

e

A

)

+

t

(

e

A

)

+

t

(

e

A

)

+

t

(

e

A

t

t

t

t

t

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

β

β

ϕ

ω

βω

ϕ

ω

ω

β

β

β

β

β

β

0

cos

)

2

(

2

0

2

2

2

=

+

)

+

t

(

e

A

t

ϕ

ω

ω

β

ω

β

β

2

2

0

2

β

ω

ω

=

2

2

0

β

ω

ω

=

Rozwi

ą

zanie równania:

Dodatek 1:

Rozwi

ą

zanie równania:

Dodatek 2:

t

x

t

x

t

x

ω

α

ω

β

sin

d

d

2

d

d

0

2

0

2

2

=

+

+

)

sin(

)

(

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

)

cos(

d

d

ϕ

ω

ω

+

=

t

A

t

x

)

sin(

d

d

2

2

2

ϕ

ω

ω

+

=

t

A

t

x

(

)

t

t

A

t

A

ω

α

ϕ

ω

βω

ϕ

ω

ω

ω

sin

)

cos(

2

)

sin(

0

2

2

0

=

+

+

+

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

sin

sin

cos

cos

)

cos(

sin

cos

cos

sin

)

sin(

t

t

t

t

t

t

=

+

+

=

+

(

)

[

]

(

)

[

]

t

t

A

t

A

ω

α

ω

ϕ

βω

ϕ

ω

ω

ω

ϕ

βω

ϕ

ω

ω

sin

cos

cos

2

sin

sin

sin

2

cos

0

2

2

0

2

2

0

=

+

+

2

2

0

2

cos

sin

ω

ω

βω

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

tg

2

/

1

2

2

2

2

2

0

0

]

4

)

[(

ω

β

ω

ω

α

+

=

A

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2

2

1

1

cos

1

sin

tg

tg

tg

+

=

+

=


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IMIR materialy prad id 211874 Nieznany
Drgania 4 id 141931 Nieznany
Materialy pomocnicze 4 id 28534 Nieznany
ORZ drgania id 340792 Nieznany
Materialy oprobowanie(1) id 285 Nieznany
Materialy wybuchowe 2 id 285462 Nieznany
materialy z zajec 2 id 286506 Nieznany
materialy metalowe id 286273 Nieznany
IMIC przyklady drgania id 21180 Nieznany
Materialy 5 GLIKOLIZA id 767132 Nieznany
Materialy pomocn id 286338 Nieznany
8 IMIR teoria wzglednosci id 46 Nieznany (2)
materialy z zajec 5 id 286508 Nieznany
Material teoretyczny id 284375 Nieznany
materialy szkoleniowe 2 id 2863 Nieznany
materialy 10 id 284528 Nieznany
Materialy Pomocnicze (1) id 285 Nieznany
materialy korespondencja id 28 Nieznany
MF12 drgania id 297511 Nieznany

więcej podobnych podstron