RÓWNANIA LINIOWE – STAŁA W CZYNNIKU CAŁKUJĄCYM

Dla przykładowego równania:

3x

dy

y

e

dx

+ =

Pytali Państwo na niektórych zajęciach dlaczego licząc czynnik całkujący podczas
rozwiązywania równania liniowego piszemy

( )

1

p x dx

dx

x

e

e

e

µ

∫

∫

=

=

=

, a nie

( )

1

p x dx

dx

x c

e

e

e

µ

+

∫

∫

=

=

=

Załóżmy, że zapiszemy

x c

e

µ

+

=

, wtedy zapisując inaczej

x c

e e

µ

=

, a to z kolei daje

1

x

C e

µ

=

, gdzie

1

c

C

e

=

. Podstawiając do równania wyjściowego:

4

x

x

x

dy

Ce

Ce y

Ce

dx

+

=

, zwijając lewą stronę ze wzoru na pochodną iloczynu:

(

)

4

y

x

d

Ce

y

Ce

dx

⋅

=

, całkując obie strony równania:

4

4

y

x

y

x

Ce

y

Ce dx

Ce

y

C e dx

⋅ =

⋅ =

∫

∫

Dlatego właśnie licząc czynnik całkujący mogą Państwo nie uwzględniać stałej. Ostatecznie i
tak się ona znosi.