253
WYKŁAD Nr 20
CAŁKA POTRÓJNA
A) CAŁKA POTRÓJNA W PROSTOPADŁOŚCIANIE
Niech będzie dany prostopadłościan P, określony w przestrzeni układu OXYZ następująco:
f
z
e
d
y
c
b
x
a
P
≤
≤
≤
≤
≤
≤
,
,
:
oraz funkcja trzech zmiennych
)
,
,
(
z
y
x
f
określona i ograniczona w prostopadłościanie P.
Prostopadłościan P dzielimy na n prostopadłościanów częściowych
k
P
o objętościach
k
V
∆
, gdzie
n
k
,
...
,
2
,
1
=
. Podział ten oznaczamy
n
∆ .
Przez
k
d
oznaczamy długość przekątnej prostopadłościanu
k
P
.
Liczba
k
n
k
n
d
≤
≤
=
δ
1
max
(najdłuższa z przekątnych prostopadłościanów częściowych) jest średnicą podziału
n
∆ .
W każdym prostopadłościanie
k
P
wybieramy dowolny punkt
(
)
k
k
k
k
z
y
x
A
,
,
oraz obliczamy wartość
funkcji w tym punkcie, tzn.
(
)
k
k
k
z
y
x
f
,
,
.
Tworzymy sumę zwaną sumą całkową funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
w prostopadłościanie P.
(
)
∑
=
∆
⋅
=
n
k
k
k
k
k
n
V
z
y
x
f
S
1
,
,
.
Następnie rozważamy ciąg normalny podziałów
( )
n
∆
, tzn.
0
→
δ
n
gdy
∞
→
n
.
Def.2.1 (całka potrójna w prostopadłościanie)
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu P, ciąg sum całkowych
( )
n
S
jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów
k
A
, to tę granicę nazywamy
całką potrójną funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
w prostopadłościanie P i oznaczamy symbolem:
∫∫∫
P
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
Symbolicznie:
∑
∫∫∫
=
→
δ
∆
⋅
=
n
k
k
k
k
k
P
V
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
n
1
0
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
Funkcję
)
,
,
(
z
y
x
f
nazywamy całkowalną w prostopadłościanie P, jeśli istnieje całka tej funkcji w tym
prostopadłościanie.
Tw.2.1 (o całkowalności funkcji ciągłej)
Funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
ciągła na prostopadłościanie P jest na nim całkowalna.
254
WŁASNOŚCI CAŁKI POTRÓJNEJ
A) Liniowość:
Jeżeli funkcje
)
,
,
(
z
y
x
f
i
)
,
,
(
z
y
x
g
są całkowalne w prostopadłościanie P,
R
∈
a
to:
1)
∫∫∫
∫∫∫
=
⋅
P
P
dxdydz
z
y
x
f
a
dxdydz
z
y
x
f
a
)
,
,
(
)
,
,
(
2)
[
]
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
±
=
±
P
P
P
dxdydz
z
y
x
g
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
g
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
B) Addytywność względem obszaru całkowania:
Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest całkowalna w prostopadłościanie
2
1
P
P
P
∪
=
, przy czym prostopadłościany
2
1
, P
P
mają rozłączne wnętrza to:
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
=
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
P
P
P
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
Tw.2.2 (o zamianie całki potrójnej na całki iterowane)
Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła w prostopadłościanie
f
e
d
c
b
a
P
,
,
,
:
×
×
to:
dx
dy
dz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
b
a
d
c
f
e
P
∫ ∫ ∫
∫∫∫
=
)
,
,
(
)
,
,
(
Uwaga
: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe w przypadku zmiany kolejności całkowania w całkach
iterowanych. W przypadku całki potrójnej mamy sześć rodzajów całek iterowanych.
Przykład: Obliczyć całkę potrójną
(
)
∫∫∫
+
−
P
dxdydz
z
y
x
3
2
, gdzie P obszar ograniczony płaszczyznami:
4
,
2
,
1
,
0
,
1
,
1
=
=
=
=
=
−
=
z
z
y
y
x
x
Rozwiązanie:
W naszym przypadku
z
y
x
z
y
x
f
3
2
)
,
,
(
+
−
=
, a obszar całkowania to prostopadłościan
4
,
2
1
,
0
1
,
1
:
×
×
−
P
. Zatem korzystając z Tw.2.2 mamy:
(
)
=
+
−
=
+
−
=
+
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫∫∫
−
=
=
−
dx
dy
z
yz
xz
dx
dy
dz
z
y
x
dxdydz
z
y
x
z
z
P
1
1
1
0
4
2
2
1
1
1
0
4
2
2
3
2
)
3
2
(
3
2
(
)
(
)
=
+
−
=
+
−
=
−
+
−
+
−
=
∫
∫ ∫
∫ ∫
−
=
=
−
−
1
1
1
0
2
1
1
1
0
1
1
1
0
18
4
18
2
4
2
4
3
2
4
2
16
3
4
8
dx
y
y
xy
dx
dy
y
x
dx
dy
y
x
y
x
y
y
[
]
(
)
34
17
2
17
2
17
2
18
1
4
1
1
2
1
1
=
+
−
+
=
+
=
+
−
=
=
−
=
−
∫
x
x
x
x
dx
x
255
B) CAŁKA POTRÓJNA PO OBSZARZE NORMALNYM
Def.2.2 (obszar normalny względem płaszczyzny OXY)
Obszar domknięty V, określony nierównościami:
(
)
D
y
x
y
x
z
y
x
∈
ψ
≤
≤
ϕ
,
,
)
,
(
)
,
(
,
gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OXY, a funkcje
)
,
(
),
,
(
y
x
y
x
ψ
ϕ
są w nim ciągłe,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY. (Rys.1)
Rys.1. Obszar normalny względem płaszczyzny OXY
Def.2.3 (obszar normalny względem płaszczyzny OXZ)
Obszar domknięty V, określony nierównościami:
(
)
1
,
,
)
,
(
)
,
(
D
z
x
z
x
y
z
x
∈
β
≤
≤
α
,
gdzie D
1
jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OXZ, a funkcje
)
,
(
),
,
(
z
x
z
x
β
α
są w nim ciągłe,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXZ.
Def.2.4 (obszar normalny względem płaszczyzny OYZ)
Obszar domknięty V, określony nierównościami:
(
)
2
,
,
)
,
(
)
,
(
D
z
y
z
y
x
z
y
∈
δ
≤
≤
γ
,
gdzie D
2
jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OYZ, a funkcje
)
,
(
),
,
(
z
y
z
y
δ
γ
są w nim ciągłe,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXZ.
)
,
( y
x
z
ψ
=
)
,
( y
x
z
ϕ
=
D
x
y
z
0
V
256
Def.2.5 (całka potrójna po obszarze normalnym)
Niech będzie dana funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
określona i ograniczona na obszarze
3
R
⊂
V
,który zawiera się w
pewnym prostopadłościanie P.
Funkcja
∈
∈
=
V
P
z
y
x
V
z
y
x
z
y
x
f
z
y
x
f
\
)
,
,
(
0
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
*
jest rozszerzeniem funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
na prostopadłościan P.
Całkę potrójną funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
po obszarze V
definiujemy następująco:
∫∫∫
∫∫∫
=
P
V
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
*
)
,
,
(
o ile
∫∫∫
P
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
*
istnieje.
Wówczas mówimy, że funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest całkowalna na obszarze V.
Tw.2.3 ( o zamianie całki potrójnej po obszarze normalnym na całki iterowane)
1) Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła na obszarze normalnym względem płaszczyzny OXY
(
)
{
}
D
y
x
y
x
z
y
x
z
y
x
V
∈
ψ
≤
≤
ϕ
=
,
,
)
,
(
)
,
(
:
)
,
,
(
to
dxdy
dz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
D
y
x
y
x
V
∫∫ ∫
∫∫∫
=
ψ
ϕ
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2) Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła na obszarze normalnym względem płaszczyzny OXZ
(
)
{
}
1
,
,
)
,
(
)
,
(
:
)
,
,
(
D
z
x
z
x
y
z
x
z
y
x
V
∈
β
≤
≤
α
=
to
dxdz
dy
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
D
z
x
z
x
V
∫∫ ∫
∫∫∫
=
β
α
1
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
3) Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła na obszarze normalnym względem płaszczyzny OYZ
(
)
{
}
2
,
,
)
,
(
)
,
(
:
)
,
,
(
D
z
y
z
y
x
z
y
z
y
x
V
∈
δ
≤
≤
γ
=
to
dydz
dx
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
D
z
y
z
y
V
∫∫ ∫
∫∫∫
=
δ
γ
2
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
Przykład: Obliczyć
(
)
∫∫∫
−
−
V
dxdydz
y
x
z
2
2
1
, gdzie V obszar leżący w pierwszym oktancie układu
współrzędnych (tzn.
0
,
0
,
0
≥
≥
≥
z
y
x
) i ograniczony płaszczyzną:
1
=
+
+
z
y
x
. (Rys.2)
257
Rozwiązanie:
Rys.2
Obszar V jest obszarem normalnym względem każdej z płaszczyzn układu współrzędnych. Tutaj
potraktujemy go jako normalny względem płaszczyzny OXY.
Zatem
(
)
{
}
D
y
x
y
x
z
z
y
x
V
∈
−
−
≤
≤
=
)
,
(
,
1
0
:
,
,
Obszar D jest rzutem V na płaszczyznę OXY. Obszar płaski D jest obszarem normalnym zarówno
względem osi OX, jak i osi OY. Potraktujemy go jako normalny względem osi OX (Rys.3)
Rys.3
Wówczas
{
}
x
y
x
y
x
D
−
≤
≤
≤
≤
=
1
0
,
1
0
:
)
,
(
Korzystając z Tw.3.3 ( podpunkt 1) ) mamy:
(
)
(
)
(
)
=
−
−
=
−
−
=
−
−
∫∫
∫∫ ∫
∫∫∫
−
−
=
=
−
−
dxdy
z
y
x
dxdy
dz
y
x
z
dxdydz
y
x
z
D
y
x
z
z
D
y
x
V
1
0
3
2
1
0
2
2
2
2
3
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
∫ ∫
∫∫
∫∫
−
1
0
1
0
3
2
)
1
(
3
1
1
3
1
3
1
1
1
dx
dy
y
x
dxdy
y
x
dxdy
y
x
y
x
x
D
D
(
)
(
)
(
)
(
)
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
=
∫
∫
∫
∫
−
=
=
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
2
1
6
1
1
2
1
3
1
1
2
1
1
1
3
1
2
3
1
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
x
dx
y
xy
y
x
y
y
18
1
3
6
1
6
1
6
1
0
1
1
0
1
1
0
3
1
0
2
0
1
2
=
=
=
−
=
=
−
=
−
=
∫
∫
t
dt
t
dt
t
t
x
dt
dx
t
x
x
y
z
y
x
z
−
−
= 1
1
1
1
V
D
y
x
0
1
1
x
y
−
= 1
258
C) CAŁKA POTRÓJNA PO OBSZARZE REGULARNYM
Def.2.6 (obszar regularny w przestrzeni
3
R
)
Obszarem regularnym w przestrzeni
nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych
względem płaszczyzny układu (OXY, OXZ lub OYZ) o parami rozłącznych wnętrzach.
CAŁKA POTRÓJNA PO OBSZARZE REGULARNYM
Niech V będzie obszarem regularnym,
n
V
V
V
V
∪
∪
∪
=
...
2
1
, gdzie
n
V
V
V
,
...
,
,
2
1
obszary normalne
(względem płaszczyzny OXY, OXZ lub OYZ) o parami rozłącznych wnętrzach, funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest
całkowalna na V.
Wówczas
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
+
+
=
n
V
V
V
V
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
...
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2
1
Uwaga
: Własności całek potrójnych po obszarach regularnych są takie same jak całek po
prostopadłościanach i obszarach normalnych (tj. liniowość i addytywność względem obszaru
całkowania).
Def.2.7 (wartość średnia funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
na obszarze)
Liczbę
∫∫∫
=
µ
V
dxdydz
z
y
x
f
V
)
,
,
(
1
,
gdzie
V
oznacza objętość obszaru przestrzennego V, nazywamy wartością średnią funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
na obszarze V
.
D) ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POTRÓJNEJ
Tw.2.4 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej)
Jeżeli
1.
odwzorowanie (*)
=
=
=
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
w
v
u
z
z
w
v
u
y
y
w
v
u
x
x
przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru
regularnego ∆ na wnętrze obszaru regularnego V,
2.
funkcje (*) są klasy
1
C
na pewnym zbiorze otwartym
1
∆
zawierającym obszar ∆
(
)
1
∆
⊂
∆
,
3.
funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła w obszarze V,
4.
jakobian przekształcenia:
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
w
v
u
J
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
)
,
,
(
jest różny od zera wewnątrz obszaru ∆
to
[
]
∫∫∫
∫∫∫
∆
⋅
=
dudvdw
w
v
u
J
w
v
u
z
w
v
u
y
w
v
u
x
f
dxdydz
z
y
x
f
V
)
,
,
(
)
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
)
,
,
(
259
WSPÓŁRZĘDNE WALCOWE (CYLINDRYCZNE)
Def.2.8 (współrzędne walcowe)
Współrzędnymi walcowymi
punktu przestrzeni P nazywamy trójkę liczb
(
)
h
r
,
, ϕ
, gdzie r oznacza
długość
rzutu
promienia
wodzącego
punktu
P
na
płaszczyznę
OXY
,
(
)
∞
<
≤ r
0
,
ϕ oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę OXY, a dodatnią
półosią osi OX,
(
)
π
≤
ϕ
<
π
−
π
<
ϕ
≤
albo
2
0
, h – to odległość punktu P od płaszczyzny OXY,
(
)
∞
<
<
∞
−
h
. (Rys.4)
Rys.4 Współrzędne walcowe
ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY WSPÓŁRZĘDNYMI KARTEZJAŃSKIMI I WSPÓŁRZĘDNYMI
WALCOWYMI
Współrzędne kartezjańskie
)
,
,
(
z
y
x
punktu przestrzeni P danego we współrzędnych walcowych
(
)
h
r
,
, ϕ
wyrażają się następująco:
h
z
r
y
r
x
=
ϕ
=
ϕ
=
,
sin
,
cos
JAKOBIAN
( )
r
r
r
r
r
h
z
z
r
z
h
y
y
r
y
h
x
x
r
x
h
r
J
=
ϕ
ϕ
ϕ
−
ϕ
⋅
−
⋅
=
ϕ
ϕ
ϕ
−
ϕ
=
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
=
ϕ
cos
sin
sin
cos
1
1
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
)
,
,
(
6
∫∫∫
∫∫∫
∆
=
V
dh
drd
r
h
r
r
f
dxdydz
z
y
x
f
ϕ
ϕ
ϕ
)
,
sin
,
cos
(
)
,
,
(
y
z
x
r
ϕ
)
,
,
(
z
y
x
P
)
0
,
,
( y
x
P′
h
260
Przykład: Obliczyć
∫∫∫
+
V
dxdydz
y
x
z
2
2
, gdzie V obszar przestrzenny ograniczony powierzchniami:
16
,
1
,
3
,
0
2
2
2
2
=
+
=
+
=
=
y
x
y
x
z
z
. (Rys.5)
Rozwiązanie:
Rys 5 Obszar przestrzenny V
Obszar przestrzenny V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
{
}
D
y
x
z
z
y
x
V
∈
≤
≤
=
)
,
(
,
3
0
:
)
,
,
(
,
gdzie D jest rzutem obszaru V na płaszczyznę OXY, zatem jest to pierścień o środku w punkcie (0,0) i
promieniach: 1 i 4. Stąd
{
}
16
1
:
)
,
(
2
2
≤
+
≤
=
y
x
y
x
D
Rys.6 Rzut obszaru przestrzennego V na płaszczyznę OXY
x
y
z
4
4
1
3
3
=
z
16
2
2
=
+ y
x
1
2
2
=
+ y
x
0
=
z
x
4
1
y
D
261
Wprowadzając współrzędne walcowe
h
z
r
y
r
x
=
ϕ
=
ϕ
=
,
sin
,
cos
mamy:
(
)
{
}
π
≤
ϕ
≤
≤
≤
≤
≤
ϕ
=
∆
2
0
,
4
1
,
3
0
:
,
,
r
h
h
r
,
r
h
r
J
=
ϕ )
,
,
(
Wówczas na podstawie Tw.2.4 otrzymujemy:
(
)
(
)
=
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
⋅
ϕ
+
ϕ
=
+
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∆
∆
∆
dh
drd
r
h
dh
rdrd
r
h
dh
rdrd
r
r
h
dxdydz
y
x
z
V
2
2
2
2
2
2
sin
cos
=
ϕ
=
ϕ
−
=
ϕ
=
ϕ
=
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
π
π
π
=
=
π
dh
d
h
dh
d
h
h
dh
d
r
h
dh
d
dr
hr
r
r
2
0
3
0
3
0
2
0
3
0
2
0
4
1
3
3
0
2
0
4
1
2
3
63
3
1
3
64
3
(
)
π
=
⋅
π
⋅
=
⋅
π
⋅
=
π
⋅
=
ϕ
=
=
=
π
=
ϕ
=
ϕ
∫
∫
189
2
9
2
3
63
2
2
3
63
2
3
63
3
63
3
0
2
3
0
3
0
2
0
h
h
h
dh
h
dh
h
WSPÓŁRZĘDNE SFERYCZNE
Def.2.9 (współrzędne sferyczne)
Współrzędnymi sferycznymi
punktu przestrzeni P nazywamy trójkę liczb
(
)
θ
ϕ,
,
r
, gdzie r oznacza
odległość punktu P od początku układu współrzędnych,
(
)
∞
<
≤ r
0
, ϕ oznacza miarę kąta między
rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę OXY, a dodatnią półosią osi OX,
(
)
π
≤
ϕ
<
π
−
π
<
ϕ
≤
albo
2
0
, θ – to miara kąta między promieniem wodzącym punktu P, a
płaszczyzną OXY,
π
≤
θ
≤
π
−
2
2
. (Rys.7)
ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY WSPÓŁRZĘDNYMI KARTEZJAŃSKIMI I WSPÓŁRZĘDNYMI
SFERYCZNYMI
Współrzędne kartezjańskie
)
,
,
(
z
y
x
punktu przestrzeni P danego we współrzędnych sferycznych
(
)
θ
ϕ,
,
r
wyrażają się następująco:
θ
=
θ
ϕ
=
θ
ϕ
=
sin
,
cos
sin
,
cos
cos
r
z
r
y
r
x
Rys.7 Współrzędne sferyczne
x
y
r
θ
ϕ
1
d
)
,
( y
x
P′
)
,
,
(
z
y
x
P
0
A
z
z
y
x
262
Wyjaśnienie: Trójkąty
P
P
O ′
∆
,
P
OA ′
∆
są trójkątami prostokątnymi. Zatem
z
P
P
O ′
∆
θ
=
→
θ
=
cos
cos
1
1
r
d
r
d
(1)
z
P
P
O ′
∆
θ
=
→
θ
=
sin
sin
r
z
r
z
(2)
z
P
OA ′
∆
ϕ
=
→
ϕ
=
cos
cos
1
1
d
x
d
x
(3)
ϕ
=
→
ϕ
=
sin
sin
1
1
d
y
d
y
(4)
Wstawiając (1) do (3) i (4) oraz biorąc pod uwagę (2) otrzymujemy współrzędne sferyczne:
θ
θ
ϕ
θ
ϕ
sin
cos
sin
cos
cos
r
z
r
y
r
x
=
=
=
JAKOBIAN
=
θ
θ
θ
ϕ
−
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
−
θ
ϕ
−
θ
ϕ
=
θ
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
θ
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
θ
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
=
θ
ϕ
cos
0
sin
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
)
,
,
(
r
r
r
r
r
z
z
r
z
y
y
r
y
x
x
r
x
r
J
( )
( )
=
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
−
θ
ϕ
⋅
−
⋅
θ
+
θ
ϕ
−
θ
ϕ
θ
ϕ
−
θ
ϕ
−
⋅
−
⋅
θ
=
+
+
cos
cos
cos
sin
cos
sin
cos
cos
1
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
sin
1
sin
3
3
1
3
r
r
r
r
r
r
r
(
)
(
)
=
θ
ϕ
+
θ
ϕ
⋅
θ
+
θ
θ
ϕ
+
θ
θ
ϕ
⋅
θ
=
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
cos
cos
cos
sin
cos
cos
sin
sin
sin
r
r
r
r
r
(
)
θ
=
θ
+
θ
⋅
θ
=
θ
⋅
θ
+
θ
θ
⋅
θ
=
cos
cos
sin
cos
cos
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
2
2
r
r
r
r
r
∫∫∫
∫∫∫
∆
=
V
d
d
dr
r
r
r
r
f
dxdydz
z
y
x
f
θ
ϕ
θ
θ
θ
ϕ
θ
ϕ
cos
)
sin
,
cos
sin
,
cos
cos
(
)
,
,
(
2
Przykład: Obliczyć całkę
dxdydz
z
y
x
V
∫∫∫
+
+
2
2
2
, gdzie V jest ósmą częścią kuli określoną
warunkami:
0
,
0
,
0
,
1
2
2
2
≥
≥
≥
≤
+
+
z
y
x
z
y
x
. (Rys.8).
263
Rozwiązanie:
Rys.8
Wprowadzając współrzędne sferyczne
θ
=
θ
ϕ
=
θ
ϕ
=
sin
,
cos
sin
,
cos
cos
r
z
r
y
r
x
zamieniamy obszar
przestrzenny V na prostopadłościan ∆ , przy czym:
π
≤
θ
≤
π
≤
ϕ
≤
≤
≤
θ
ϕ
=
∆
2
0
,
2
0
,
1
0
:
)
,
,
(
r
r
Jakobian tego przekształcenia wynosi:
θ
=
θ
ϕ
cos
)
,
,
(
2
r
r
J
Stosując twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej mamy:
=
θ
ϕ
θ
⋅
θ
+
θ
ϕ
+
θ
ϕ
=
+
+
∫∫∫
∫∫∫
∆
d
drd
r
r
r
r
dxdydz
z
y
x
V
cos
sin
cos
sin
cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
θ
ϕ
θ
θ
+
θ
=
θ
ϕ
θ
θ
+
ϕ
+
ϕ
θ
∫∫∫
∫∫∫
∆
∆
d
drd
r
r
r
d
drd
r
r
r
cos
sin
cos
cos
sin
)
sin
(cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
θ
ϕ
θ
=
θ
ϕ
θ
=
θ
ϕ
θ
θ
+
θ
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∆
∆
∆
d
drd
r
d
drd
r
r
d
drd
r
r
cos
cos
cos
)
sin
(cos
3
2
2
2
2
2
2
{zamieniamy całkę potrójną na całkę iterowaną}
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
π
π
π π
π π
π π
=
θ
ϕ
⋅
θ
=
θ
ϕ
θ
=
θ
ϕ
θ
=
θ
ϕ
θ
=
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
1
0
4
2
0
2
0
1
0
3
cos
4
1
cos
4
1
4
cos
cos
d
d
d
d
d
r
d
d
dr
r
8
sin
8
cos
8
cos
8
2
0
2
0
2
0
π
=
θ
⋅
π
=
θ
θ
π
=
θ
θ
π
=
π
π
π
∫
∫
d
d
y
x
z
1
V