253
WYKŁAD Nr 20
CAŁKA POTRÓJNA
A) CAŁKA POTRÓJNA W PROSTOPADŁOŚCIANIE
Niech będzie dany prostopadłościan P, określony w przestrzeni układu OXYZ następująco:
f
z
e
d
y
c
b
x
a
P
≤
≤
≤
≤
≤
≤
,
,
:
oraz funkcja trzech zmiennych
)
,
,
(
z
y
x
f
określona i ograniczona w prostopadłościanie P.
Prostopadłościan P dzielimy na n prostopadłościanów częściowych
k
P
o objętościach
k
V
∆
, gdzie
n
k
,
...
,
2
,
1
=
. Podział ten oznaczamy
n
∆ .
Przez
k
d
oznaczamy długość przekątnej prostopadłościanu
k
P
.
Liczba
k
n
k
n
d
≤
≤
=
δ
1
max
(najdłuższa z przekątnych prostopadłościanów częściowych) jest średnicą podziału
n
∆ .
W każdym prostopadłościanie
k
P
wybieramy dowolny punkt
(
)
k
k
k
k
z
y
x
A
,
,
oraz obliczamy wartość
funkcji w tym punkcie, tzn.
(
)
k
k
k
z
y
x
f
,
,
.
Tworzymy sumę zwaną sumą całkową funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
w prostopadłościanie P.
(
)
∑
=
∆
⋅
=
n
k
k
k
k
k
n
V
z
y
x
f
S
1
,
,
.
Następnie rozważamy ciąg normalny podziałów
( )
n
∆
, tzn.
0
→
δ
n
gdy
∞
→
n
.
Def.2.1 (całka potrójna w prostopadłościanie)
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu P, ciąg sum całkowych
( )
n
S
jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów
k
A
, to tę granicę nazywamy
całką potrójną funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
w prostopadłościanie P i oznaczamy symbolem:
∫∫∫
P
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
Symbolicznie:
∑
∫∫∫
=
→
δ
∆
⋅
=
n
k
k
k
k
k
P
V
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
n
1
0
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
Funkcję
)
,
,
(
z
y
x
f
nazywamy całkowalną w prostopadłościanie P, jeśli istnieje całka tej funkcji w tym
prostopadłościanie.
Tw.2.1 (o całkowalności funkcji ciągłej)
Funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
ciągła na prostopadłościanie P jest na nim całkowalna.
254
WŁASNOŚCI CAŁKI POTRÓJNEJ
A) Liniowość:
Jeżeli funkcje
)
,
,
(
z
y
x
f
i
)
,
,
(
z
y
x
g
są całkowalne w prostopadłościanie P,
R
∈
a
to:
1)
∫∫∫
∫∫∫
=
⋅
P
P
dxdydz
z
y
x
f
a
dxdydz
z
y
x
f
a
)
,
,
(
)
,
,
(
2)
[
]
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
±
=
±
P
P
P
dxdydz
z
y
x
g
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
g
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
B) Addytywność względem obszaru całkowania:
Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest całkowalna w prostopadłościanie
2
1
P
P
P
∪
=
, przy czym prostopadłościany
2
1
, P
P
mają rozłączne wnętrza to:
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
=
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
P
P
P
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
Tw.2.2 (o zamianie całki potrójnej na całki iterowane)
Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła w prostopadłościanie
f
e
d
c
b
a
P
,
,
,
:
×
×
to:
dx
dy
dz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
b
a
d
c
f
e
P
∫ ∫ ∫
∫∫∫
=
)
,
,
(
)
,
,
(
Uwaga
: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe w przypadku zmiany kolejności całkowania w całkach
iterowanych. W przypadku całki potrójnej mamy sześć rodzajów całek iterowanych.
Przykład: Obliczyć całkę potrójną
(
)
∫∫∫
+
−
P
dxdydz
z
y
x
3
2
, gdzie P obszar ograniczony płaszczyznami:
4
,
2
,
1
,
0
,
1
,
1
=
=
=
=
=
−
=
z
z
y
y
x
x
Rozwiązanie:
W naszym przypadku
z
y
x
z
y
x
f
3
2
)
,
,
(
+
−
=
, a obszar całkowania to prostopadłościan
4
,
2
1
,
0
1
,
1
:
×
×
−
P
. Zatem korzystając z Tw.2.2 mamy:
(
)
=
+
−
=
+
−
=
+
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫∫∫
−
=
=
−
dx
dy
z
yz
xz
dx
dy
dz
z
y
x
dxdydz
z
y
x
z
z
P
1
1
1
0
4
2
2
1
1
1
0
4
2
2
3
2
)
3
2
(
3
2
(
)
(
)
=
+
−
=
+
−
=
−
+
−
+
−
=
∫
∫ ∫
∫ ∫
−
=
=
−
−
1
1
1
0
2
1
1
1
0
1
1
1
0
18
4
18
2
4
2
4
3
2
4
2
16
3
4
8
dx
y
y
xy
dx
dy
y
x
dx
dy
y
x
y
x
y
y
[
]
(
)
34
17
2
17
2
17
2
18
1
4
1
1
2
1
1
=
+
−
+
=
+
=
+
−
=
=
−
=
−
∫
x
x
x
x
dx
x
255
B) CAŁKA POTRÓJNA PO OBSZARZE NORMALNYM
Def.2.2 (obszar normalny względem płaszczyzny OXY)
Obszar domknięty V, określony nierównościami:
(
)
D
y
x
y
x
z
y
x
∈
ψ
≤
≤
ϕ
,
,
)
,
(
)
,
(
,
gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OXY, a funkcje
)
,
(
),
,
(
y
x
y
x
ψ
ϕ
są w nim ciągłe,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY. (Rys.1)
Rys.1. Obszar normalny względem płaszczyzny OXY
Def.2.3 (obszar normalny względem płaszczyzny OXZ)
Obszar domknięty V, określony nierównościami:
(
)
1
,
,
)
,
(
)
,
(
D
z
x
z
x
y
z
x
∈
β
≤
≤
α
,
gdzie D
1
jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OXZ, a funkcje
)
,
(
),
,
(
z
x
z
x
β
α
są w nim ciągłe,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXZ.
Def.2.4 (obszar normalny względem płaszczyzny OYZ)
Obszar domknięty V, określony nierównościami:
(
)
2
,
,
)
,
(
)
,
(
D
z
y
z
y
x
z
y
∈
δ
≤
≤
γ
,
gdzie D
2
jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OYZ, a funkcje
)
,
(
),
,
(
z
y
z
y
δ
γ
są w nim ciągłe,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXZ.
)
,
( y
x
z
ψ
=
)
,
( y
x
z
ϕ
=
D
x
y
z
0
V
256
Def.2.5 (całka potrójna po obszarze normalnym)
Niech będzie dana funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
określona i ograniczona na obszarze
3
R
⊂
V
,który zawiera się w
pewnym prostopadłościanie P.
Funkcja
∈
∈
=
V
P
z
y
x
V
z
y
x
z
y
x
f
z
y
x
f
\
)
,
,
(
0
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
*
jest rozszerzeniem funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
na prostopadłościan P.
Całkę potrójną funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
po obszarze V
definiujemy następująco:
∫∫∫
∫∫∫
=
P
V
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
*
)
,
,
(
o ile
∫∫∫
P
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
*
istnieje.
Wówczas mówimy, że funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest całkowalna na obszarze V.
Tw.2.3 ( o zamianie całki potrójnej po obszarze normalnym na całki iterowane)
1) Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła na obszarze normalnym względem płaszczyzny OXY
(
)
{
}
D
y
x
y
x
z
y
x
z
y
x
V
∈
ψ
≤
≤
ϕ
=
,
,
)
,
(
)
,
(
:
)
,
,
(
to
dxdy
dz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
D
y
x
y
x
V
∫∫ ∫
∫∫∫
=
ψ
ϕ
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2) Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła na obszarze normalnym względem płaszczyzny OXZ
(
)
{
}
1
,
,
)
,
(
)
,
(
:
)
,
,
(
D
z
x
z
x
y
z
x
z
y
x
V
∈
β
≤
≤
α
=
to
dxdz
dy
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
D
z
x
z
x
V
∫∫ ∫
∫∫∫
=
β
α
1
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
3) Jeżeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła na obszarze normalnym względem płaszczyzny OYZ
(
)
{
}
2
,
,
)
,
(
)
,
(
:
)
,
,
(
D
z
y
z
y
x
z
y
z
y
x
V
∈
δ
≤
≤
γ
=
to
dydz
dx
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
D
z
y
z
y
V
∫∫ ∫
∫∫∫
=
δ
γ
2
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
Przykład: Obliczyć
(
)
∫∫∫
−
−
V
dxdydz
y
x
z
2
2
1
, gdzie V obszar leżący w pierwszym oktancie układu
współrzędnych (tzn.
0
,
0
,
0
≥
≥
≥
z
y
x
) i ograniczony płaszczyzną:
1
=
+
+
z
y
x
. (Rys.2)
257
Rozwiązanie:
Rys.2
Obszar V jest obszarem normalnym względem każdej z płaszczyzn układu współrzędnych. Tutaj
potraktujemy go jako normalny względem płaszczyzny OXY.
Zatem
(
)
{
}
D
y
x
y
x
z
z
y
x
V
∈
−
−
≤
≤
=
)
,
(
,
1
0
:
,
,
Obszar D jest rzutem V na płaszczyznę OXY. Obszar płaski D jest obszarem normalnym zarówno
względem osi OX, jak i osi OY. Potraktujemy go jako normalny względem osi OX (Rys.3)
Rys.3
Wówczas
{
}
x
y
x
y
x
D
−
≤
≤
≤
≤
=
1
0
,
1
0
:
)
,
(
Korzystając z Tw.3.3 ( podpunkt 1) ) mamy:
(
)
(
)
(
)
=
−
−
=
−
−
=
−
−
∫∫
∫∫ ∫
∫∫∫
−
−
=
=
−
−
dxdy
z
y
x
dxdy
dz
y
x
z
dxdydz
y
x
z
D
y
x
z
z
D
y
x
V
1
0
3
2
1
0
2
2
2
2
3
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
∫ ∫
∫∫
∫∫
−
1
0
1
0
3
2
)
1
(
3
1
1
3
1
3
1
1
1
dx
dy
y
x
dxdy
y
x
dxdy
y
x
y
x
x
D
D
(
)
(
)
(
)
(
)
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
=
∫
∫
∫
∫
−
=
=
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
2
1
6
1
1
2
1
3
1
1
2
1
1
1
3
1
2
3
1
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
x
dx
y
xy
y
x
y
y
18
1
3
6
1
6
1
6
1
0
1
1
0
1
1
0
3
1
0
2
0
1
2
=
=
=
−
=
=
−
=
−
=
∫
∫
t
dt
t
dt
t
t
x
dt
dx
t
x
x
y
z
y
x
z
−
−
= 1
1
1
1
V
D
y
x
0
1
1
x
y
−
= 1
258
C) CAŁKA POTRÓJNA PO OBSZARZE REGULARNYM
Def.2.6 (obszar regularny w przestrzeni
3
R
)
Obszarem regularnym w przestrzeni
nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych
względem płaszczyzny układu (OXY, OXZ lub OYZ) o parami rozłącznych wnętrzach.
CAŁKA POTRÓJNA PO OBSZARZE REGULARNYM
Niech V będzie obszarem regularnym,
n
V
V
V
V
∪
∪
∪
=
...
2
1
, gdzie
n
V
V
V
,
...
,
,
2
1
obszary normalne
(względem płaszczyzny OXY, OXZ lub OYZ) o parami rozłącznych wnętrzach, funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest
całkowalna na V.
Wówczas
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
+
+
=
n
V
V
V
V
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
...
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2
1
Uwaga
: Własności całek potrójnych po obszarach regularnych są takie same jak całek po
prostopadłościanach i obszarach normalnych (tj. liniowość i addytywność względem obszaru
całkowania).
Def.2.7 (wartość średnia funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
na obszarze)
Liczbę
∫∫∫
=
µ
V
dxdydz
z
y
x
f
V
)
,
,
(
1
,
gdzie
V
oznacza objętość obszaru przestrzennego V, nazywamy wartością średnią funkcji
)
,
,
(
z
y
x
f
na obszarze V
.
D) ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POTRÓJNEJ
Tw.2.4 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej)
Jeżeli
1.
odwzorowanie (*)
=
=
=
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
w
v
u
z
z
w
v
u
y
y
w
v
u
x
x
przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru
regularnego ∆ na wnętrze obszaru regularnego V,
2.
funkcje (*) są klasy
1
C
na pewnym zbiorze otwartym
1
∆
zawierającym obszar ∆
(
)
1
∆
⊂
∆
,
3.
funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła w obszarze V,
4.
jakobian przekształcenia:
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
w
v
u
J
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
)
,
,
(
jest różny od zera wewnątrz obszaru ∆
to
[
]
∫∫∫
∫∫∫
∆
⋅
=
dudvdw
w
v
u
J
w
v
u
z
w
v
u
y
w
v
u
x
f
dxdydz
z
y
x
f
V
)
,
,
(
)
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
)
,
,
(
259
WSPÓŁRZĘDNE WALCOWE (CYLINDRYCZNE)
Def.2.8 (współrzędne walcowe)
Współrzędnymi walcowymi
punktu przestrzeni P nazywamy trójkę liczb
(
)
h
r
,
, ϕ
, gdzie r oznacza
długość
rzutu
promienia
wodzącego
punktu
P
na
płaszczyznę
OXY
,
(
)
∞
<
≤ r
0
,
ϕ oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę OXY, a dodatnią
półosią osi OX,
(
)
π
≤
ϕ
<
π
−
π
<
ϕ
≤
albo
2
0
, h – to odległość punktu P od płaszczyzny OXY,
(
)
∞
<
<
∞
−
h
. (Rys.4)
Rys.4 Współrzędne walcowe
ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY WSPÓŁRZĘDNYMI KARTEZJAŃSKIMI I WSPÓŁRZĘDNYMI
WALCOWYMI
Współrzędne kartezjańskie
)
,
,
(
z
y
x
punktu przestrzeni P danego we współrzędnych walcowych
(
)
h
r
,
, ϕ
wyrażają się następująco:
h
z
r
y
r
x
=
ϕ
=
ϕ
=
,
sin
,
cos
JAKOBIAN
( )
r
r
r
r
r
h
z
z
r
z
h
y
y
r
y
h
x
x
r
x
h
r
J
=
ϕ
ϕ
ϕ
−
ϕ
⋅
−
⋅
=
ϕ
ϕ
ϕ
−
ϕ
=
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
=
ϕ
cos
sin
sin
cos
1
1
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
)
,
,
(
6
∫∫∫
∫∫∫
∆
=
V
dh
drd
r
h
r
r
f
dxdydz
z
y
x
f
ϕ
ϕ
ϕ
)
,
sin
,
cos
(
)
,
,
(
y
z
x
r
ϕ
)
,
,
(
z
y
x
P
)
0
,
,
( y
x
P′
h
260
Przykład: Obliczyć
∫∫∫
+
V
dxdydz
y
x
z
2
2
, gdzie V obszar przestrzenny ograniczony powierzchniami:
16
,
1
,
3
,
0
2
2
2
2
=
+
=
+
=
=
y
x
y
x
z
z
. (Rys.5)
Rozwiązanie:
Rys 5 Obszar przestrzenny V
Obszar przestrzenny V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
{
}
D
y
x
z
z
y
x
V
∈
≤
≤
=
)
,
(
,
3
0
:
)
,
,
(
,
gdzie D jest rzutem obszaru V na płaszczyznę OXY, zatem jest to pierścień o środku w punkcie (0,0) i
promieniach: 1 i 4. Stąd
{
}
16
1
:
)
,
(
2
2
≤
+
≤
=
y
x
y
x
D
Rys.6 Rzut obszaru przestrzennego V na płaszczyznę OXY
x
y
z
4
4
1
3
3
=
z
16
2
2
=
+ y
x
1
2
2
=
+ y
x
0
=
z
x
4
1
y
D
261
Wprowadzając współrzędne walcowe
h
z
r
y
r
x
=
ϕ
=
ϕ
=
,
sin
,
cos
mamy:
(
)
{
}
π
≤
ϕ
≤
≤
≤
≤
≤
ϕ
=
∆
2
0
,
4
1
,
3
0
:
,
,
r
h
h
r
,
r
h
r
J
=
ϕ )
,
,
(
Wówczas na podstawie Tw.2.4 otrzymujemy:
(
)
(
)
=
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
⋅
ϕ
+
ϕ
=
+
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∆
∆
∆
dh
drd
r
h
dh
rdrd
r
h
dh
rdrd
r
r
h
dxdydz
y
x
z
V
2
2
2
2
2
2
sin
cos
=
ϕ
=
ϕ
−
=
ϕ
=
ϕ
=
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
π
π
π
=
=
π
dh
d
h
dh
d
h
h
dh
d
r
h
dh
d
dr
hr
r
r
2
0
3
0
3
0
2
0
3
0
2
0
4
1
3
3
0
2
0
4
1
2
3
63
3
1
3
64
3
(
)
π
=
⋅
π
⋅
=
⋅
π
⋅
=
π
⋅
=
ϕ
=
=
=
π
=
ϕ
=
ϕ
∫
∫
189
2
9
2
3
63
2
2
3
63
2
3
63
3
63
3
0
2
3
0
3
0
2
0
h
h
h
dh
h
dh
h
WSPÓŁRZĘDNE SFERYCZNE
Def.2.9 (współrzędne sferyczne)
Współrzędnymi sferycznymi
punktu przestrzeni P nazywamy trójkę liczb
(
)
θ
ϕ,
,
r
, gdzie r oznacza
odległość punktu P od początku układu współrzędnych,
(
)
∞
<
≤ r
0
, ϕ oznacza miarę kąta między
rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę OXY, a dodatnią półosią osi OX,
(
)
π
≤
ϕ
<
π
−
π
<
ϕ
≤
albo
2
0
, θ – to miara kąta między promieniem wodzącym punktu P, a
płaszczyzną OXY,
π
≤
θ
≤
π
−
2
2
. (Rys.7)
ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY WSPÓŁRZĘDNYMI KARTEZJAŃSKIMI I WSPÓŁRZĘDNYMI
SFERYCZNYMI
Współrzędne kartezjańskie
)
,
,
(
z
y
x
punktu przestrzeni P danego we współrzędnych sferycznych
(
)
θ
ϕ,
,
r
wyrażają się następująco:
θ
=
θ
ϕ
=
θ
ϕ
=
sin
,
cos
sin
,
cos
cos
r
z
r
y
r
x
Rys.7 Współrzędne sferyczne
x
y
r
θ
ϕ
1
d
)
,
( y
x
P′
)
,
,
(
z
y
x
P
0
A
z
z
y
x
262
Wyjaśnienie: Trójkąty
P
P
O ′
∆
,
P
OA ′
∆
są trójkątami prostokątnymi. Zatem
z
P
P
O ′
∆
θ
=
→
θ
=
cos
cos
1
1
r
d
r
d
(1)
z
P
P
O ′
∆
θ
=
→
θ
=
sin
sin
r
z
r
z
(2)
z
P
OA ′
∆
ϕ
=
→
ϕ
=
cos
cos
1
1
d
x
d
x
(3)
ϕ
=
→
ϕ
=
sin
sin
1
1
d
y
d
y
(4)
Wstawiając (1) do (3) i (4) oraz biorąc pod uwagę (2) otrzymujemy współrzędne sferyczne:
θ
θ
ϕ
θ
ϕ
sin
cos
sin
cos
cos
r
z
r
y
r
x
=
=
=
JAKOBIAN
=
θ
θ
θ
ϕ
−
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
−
θ
ϕ
−
θ
ϕ
=
θ
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
θ
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
θ
∂
∂
ϕ
∂
∂
∂
∂
=
θ
ϕ
cos
0
sin
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
)
,
,
(
r
r
r
r
r
z
z
r
z
y
y
r
y
x
x
r
x
r
J
( )
( )
=
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
−
θ
ϕ
⋅
−
⋅
θ
+
θ
ϕ
−
θ
ϕ
θ
ϕ
−
θ
ϕ
−
⋅
−
⋅
θ
=
+
+
cos
cos
cos
sin
cos
sin
cos
cos
1
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
sin
1
sin
3
3
1
3
r
r
r
r
r
r
r
(
)
(
)
=
θ
ϕ
+
θ
ϕ
⋅
θ
+
θ
θ
ϕ
+
θ
θ
ϕ
⋅
θ
=
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
cos
cos
cos
sin
cos
cos
sin
sin
sin
r
r
r
r
r
(
)
θ
=
θ
+
θ
⋅
θ
=
θ
⋅
θ
+
θ
θ
⋅
θ
=
cos
cos
sin
cos
cos
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
2
2
r
r
r
r
r
∫∫∫
∫∫∫
∆
=
V
d
d
dr
r
r
r
r
f
dxdydz
z
y
x
f
θ
ϕ
θ
θ
θ
ϕ
θ
ϕ
cos
)
sin
,
cos
sin
,
cos
cos
(
)
,
,
(
2
Przykład: Obliczyć całkę
dxdydz
z
y
x
V
∫∫∫
+
+
2
2
2
, gdzie V jest ósmą częścią kuli określoną
warunkami:
0
,
0
,
0
,
1
2
2
2
≥
≥
≥
≤
+
+
z
y
x
z
y
x
. (Rys.8).
263
Rozwiązanie:
Rys.8
Wprowadzając współrzędne sferyczne
θ
=
θ
ϕ
=
θ
ϕ
=
sin
,
cos
sin
,
cos
cos
r
z
r
y
r
x
zamieniamy obszar
przestrzenny V na prostopadłościan ∆ , przy czym:
π
≤
θ
≤
π
≤
ϕ
≤
≤
≤
θ
ϕ
=
∆
2
0
,
2
0
,
1
0
:
)
,
,
(
r
r
Jakobian tego przekształcenia wynosi:
θ
=
θ
ϕ
cos
)
,
,
(
2
r
r
J
Stosując twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej mamy:
=
θ
ϕ
θ
⋅
θ
+
θ
ϕ
+
θ
ϕ
=
+
+
∫∫∫
∫∫∫
∆
d
drd
r
r
r
r
dxdydz
z
y
x
V
cos
sin
cos
sin
cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
θ
ϕ
θ
θ
+
θ
=
θ
ϕ
θ
θ
+
ϕ
+
ϕ
θ
∫∫∫
∫∫∫
∆
∆
d
drd
r
r
r
d
drd
r
r
r
cos
sin
cos
cos
sin
)
sin
(cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
θ
ϕ
θ
=
θ
ϕ
θ
=
θ
ϕ
θ
θ
+
θ
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∆
∆
∆
d
drd
r
d
drd
r
r
d
drd
r
r
cos
cos
cos
)
sin
(cos
3
2
2
2
2
2
2
{zamieniamy całkę potrójną na całkę iterowaną}
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
π
π
π π
π π
π π
=
θ
ϕ
⋅
θ
=
θ
ϕ
θ
=
θ
ϕ
θ
=
θ
ϕ
θ
=
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
1
0
4
2
0
2
0
1
0
3
cos
4
1
cos
4
1
4
cos
cos
d
d
d
d
d
r
d
d
dr
r
8
sin
8
cos
8
cos
8
2
0
2
0
2
0
π
=
θ
⋅
π
=
θ
θ
π
=
θ
θ
π
=
π
π
π
∫
∫
d
d
y
x
z
1
V
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Microsoft Word L20 calka potrojna
Microsoft Word W21 Calka krzywoliniowa
Microsoft Word W19 Calka podwojna
Microsoft Word L21 calka krzywolniowa
Microsoft Word L19 Calka podwojna
Microsoft Word WE W9 Calka przez czesci, podst i wymierna
Microsoft Word WE W11 Calka oznaczona
Microsoft Word WE L11 Calka oznaczona i zastosowanie
Calka potrojna
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
New Microsoft Word Document (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Microsoft Word zrodla infor I czesc pprawiona 2 do wydr
więcej podobnych podstron