Wykład 06
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g)
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g)
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g)
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g)
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko
wtedy,
gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko
wtedy,
gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko
wtedy,
gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
ma granic
,
e w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice lim
x→x
−
0
f (x),
lim
x→x
+
0
f (x)
oraz
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x).
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
∀ε
∃δ
1
takie, że ∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
)
|f (x) − g| < ε
∀ε
∃δ
2
takie, że ∀x ∈ (x
0
, x
0
+ δ
2
)
|f (x) − g| < ε
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
ma granic
,
e w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice lim
x→x
−
0
f (x),
lim
x→x
+
0
f (x)
oraz
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x).
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
∀ε
∃δ
1
takie, że ∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
)
|f (x) − g| < ε
∀ε
∃δ
2
takie, że ∀x ∈ (x
0
, x
0
+ δ
2
)
|f (x) − g| < ε
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
ma granic
,
e w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice lim
x→x
−
0
f (x),
lim
x→x
+
0
f (x)
oraz
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x).
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
∀ε
∃δ
1
takie, że ∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
)
|f (x) − g| < ε
∀ε
∃δ
2
takie, że ∀x ∈ (x
0
, x
0
+ δ
2
)
|f (x) − g| < ε
Wówczas dla δ = min{δ
1
, δ
2
} mamy ∀x ∈ D
f
zachodzi implikacja
0 < |x − x
0
| < δ =⇒ |f (x) − g| < ε.
Wówczas dla δ = min{δ
1
, δ
2
} mamy ∀x ∈ D
f
zachodzi implikacja
0 < |x − x
0
| < δ =⇒ |f (x) − g| < ε.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 75
Jeżeli funkcje f, g określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
maj
,
a w tym
punkcie granice właściwe to istniej
,
a granice
lim
x→x
0
[f (x) ± g(x)],
lim
x→x
0
[f (x) · g(x)]
i
lim
x→x
0
[f (x) ± g(x)] = lim
x→x
0
f (x) ± lim
x→x
0
g(x)],
lim
x→x
0
[f (x) · g(x)] = lim
x→x
0
f (x) · lim
x→x
0
g(x).
Jeżeli ponadto g(x) 6= 0 w s
,
asiedztwie x
0
i lim
x→x
0
g(x) 6= 0 to istnieje
granica
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
,
i
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
lim
x→x
0
f (x)
lim
x→x
0
g(x)
.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 76
Jeżeli funkcje f, g określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
maj
,
a w tym
punkcie granice właściwe oraz w tym s
,
asiedztwie f (x) ≤ g(x) to
lim
x→x
0
f (x) ≤ lim
x→x
0
g(x)
TWIERDZENIE 77
Niech funkcje f, g, h b
,
ed
,
a określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
i funkcje
f, h maj
,
a w tym punkcie granic
,
e właściw
,
a równ
,
a a oraz w tym
s
,
asiedztwie f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) to funkcje g ma w tym punkcie granic
,
e
właściw
,
a równ
,
a a.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 76
Jeżeli funkcje f, g określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
maj
,
a w tym
punkcie granice właściwe oraz w tym s
,
asiedztwie f (x) ≤ g(x) to
lim
x→x
0
f (x) ≤ lim
x→x
0
g(x)
TWIERDZENIE 77
Niech funkcje f, g, h b
,
ed
,
a określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
i funkcje
f, h maj
,
a w tym punkcie granic
,
e właściw
,
a równ
,
a a oraz w tym
s
,
asiedztwie f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) to funkcje g ma w tym punkcie granic
,
e
właściw
,
a równ
,
a a.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
( odpowiednio w O
−
(x
0
) otoczeniu lewostronnym punktu x
0
, w O
+
(x
0
)
otoczeniu prawostronnym punktu x
0
,)
Mówimy, że funkcja f jest ci
,
agła ( odpowiednio ci
,
agła lewostronnie,
ci
,
agła prawostronnie) jeżeli
lim
x−→x
0
f (x) = f (x
0
)
( odpowiednio
lim
x−→x
−
0
f (x) = f (x
0
),
lim
x−→x
+
0
f (x) = f (x
0
) ).
DEFINICJA 79
Funkcj
,
e określon
,
a w danym przedziale nazywamy ci
,
agł
,
a w tym przedziale
wtw, gdy jest ci
,
agła w każdym punkcie tego przedziału.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
( odpowiednio w O
−
(x
0
) otoczeniu lewostronnym punktu x
0
, w O
+
(x
0
)
otoczeniu prawostronnym punktu x
0
,)
Mówimy, że funkcja f jest ci
,
agła ( odpowiednio ci
,
agła lewostronnie,
ci
,
agła prawostronnie) jeżeli
lim
x−→x
0
f (x) = f (x
0
)
( odpowiednio
lim
x−→x
−
0
f (x) = f (x
0
),
lim
x−→x
+
0
f (x) = f (x
0
) ).
DEFINICJA 79
Funkcj
,
e określon
,
a w danym przedziale nazywamy ci
,
agł
,
a w tym przedziale
wtw, gdy jest ci
,
agła w każdym punkcie tego przedziału.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
( odpowiednio w O
−
(x
0
) otoczeniu lewostronnym punktu x
0
, w O
+
(x
0
)
otoczeniu prawostronnym punktu x
0
,)
Mówimy, że funkcja f jest ci
,
agła ( odpowiednio ci
,
agła lewostronnie,
ci
,
agła prawostronnie) jeżeli
lim
x−→x
0
f (x) = f (x
0
)
( odpowiednio
lim
x−→x
−
0
f (x) = f (x
0
),
lim
x−→x
+
0
f (x) = f (x
0
) ).
DEFINICJA 79
Funkcj
,
e określon
,
a w danym przedziale nazywamy ci
,
agł
,
a w tym przedziale
wtw, gdy jest ci
,
agła w każdym punkcie tego przedziału.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 80
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
. Mówimy,
że funkcja f ma w punkcie x
0
nieci
,
agłość pierwszego rodzaju jeżeli
istniej
,
a właściwe granice jednostronne i
lim
x−→x
−
0
f (x) 6= f (x
0
) lub
lim
x−→x
+
0
f (x) 6= f (x
0
).
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x
0
nieci
,
agłość drugiego rodzaju
jeżeli któraś z granic jednostronnych nie istnieje lub jest niewłaściwa.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 80
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
. Mówimy,
że funkcja f ma w punkcie x
0
nieci
,
agłość pierwszego rodzaju jeżeli
istniej
,
a właściwe granice jednostronne i
lim
x−→x
−
0
f (x) 6= f (x
0
) lub
lim
x−→x
+
0
f (x) 6= f (x
0
).
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x
0
nieci
,
agłość drugiego rodzaju
jeżeli któraś z granic jednostronnych nie istnieje lub jest niewłaściwa.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2010 11 02 WIL Wyklad 02id 2717 Nieznany (2)
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 2717 Nieznany
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 2717 Nieznany
2010 11 05 WIL Wyklad 05
2010 11 01 WIL Wyklad 01id 2717 Nieznany (2)
2010 11 07 WIL Wyklad 07
regulamin, Turystyka, InO, 2010, 2010-11-06 Opadające liście
2010 11 WIL Wyklad 05
2010 11 WIL Wyklad 07id 27178 Nieznany (2)
RF Wyklad 2010 10 06
loveparade 2010 anlage 02 ermaechtigung ob 11 06 07
więcej podobnych podstron