Wykład 06
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
Wykład 06
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g)
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g)
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g)
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g)
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko
wtedy,
gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko
wtedy,
gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko
wtedy,
gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∀ε > 0
∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x
0
| < δ
to
|f (x) − g| < ε.
Jeżeli x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) to ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
0 < |x
n
− x
0
| < δ, więc |f (x
n
) − g| < ε.
Stąd dla x
n
−→ x
0
i {x
n
} ⊂ S(x
0
) mamy f (x
n
) −→ g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x
0
w sensie Heine’go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.
Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
δ
takie, że |X − X
0
| < δ
i
|f (x) − g| > ε.
Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy
1
n
)
ε > 0
∀n
∃x
n
takie, że 0 < |x
n
− x
0
| <
1
n
|f (x
n
) − g| > ε.
Ale wówczas x
n
−→ x
0
i f (x
n
) 9 g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g.)
DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
) ( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ |f (x) − g| < ε).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) < M ).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S(x
0
) s
,
asiedztwie punktu
x
0
.
Mówimy, że −∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a funkcji f w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
−
(x
0
) s
,
asiedztwie
lewostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
−
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w S
+
(x
0
) s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x
n
}
∞
n=1
⊂ S
+
(x
0
)
( lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE NIEWŁAŚCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie
prawostronnym punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a prawostronn
,
a funkcji f w
punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
< x < x
0
+ δ =⇒ f (x) > M ).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D −→ R b
,
edzie określona w s
,
asiedztwie lewostronnym
punktu x
0
.
Mówimy, że ∞ jest granic
,
a niewłaściw
,
a lewostronn
,
a funkcji f w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x
0
− δ < x < x
0
=⇒ f (x) > M ).
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
ma granic
,
e w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice lim
x→x
−
0
f (x),
lim
x→x
+
0
f (x)
oraz
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x).
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
∀ε
∃δ
1
takie, że ∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
)
|f (x) − g| < ε
∀ε
∃δ
2
takie, że ∀x ∈ (x
0
, x
0
+ δ
2
)
|f (x) − g| < ε
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
ma granic
,
e w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice lim
x→x
−
0
f (x),
lim
x→x
+
0
f (x)
oraz
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x).
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
∀ε
∃δ
1
takie, że ∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
)
|f (x) − g| < ε
∀ε
∃δ
2
takie, że ∀x ∈ (x
0
, x
0
+ δ
2
)
|f (x) − g| < ε
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w s
,
asiedztwie punktu x
0
ma granic
,
e w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice lim
x→x
−
0
f (x),
lim
x→x
+
0
f (x)
oraz
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x).
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
∀ε
∃δ
1
takie, że ∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
)
|f (x) − g| < ε
∀ε
∃δ
2
takie, że ∀x ∈ (x
0
, x
0
+ δ
2
)
|f (x) − g| < ε
Wówczas dla δ = min{δ
1
, δ
2
} mamy ∀x ∈ D
f
zachodzi implikacja
0 < |x − x
0
| < δ =⇒ |f (x) − g| < ε.
Wówczas dla δ = min{δ
1
, δ
2
} mamy ∀x ∈ D
f
zachodzi implikacja
0 < |x − x
0
| < δ =⇒ |f (x) − g| < ε.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 75
Jeżeli funkcje f, g określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
maj
,
a w tym
punkcie granice właściwe to istniej
,
a granice
lim
x→x
0
[f (x) ± g(x)],
lim
x→x
0
[f (x) · g(x)]
i
lim
x→x
0
[f (x) ± g(x)] = lim
x→x
0
f (x) ± lim
x→x
0
g(x)],
lim
x→x
0
[f (x) · g(x)] = lim
x→x
0
f (x) · lim
x→x
0
g(x).
Jeżeli ponadto g(x) 6= 0 w s
,
asiedztwie x
0
i lim
x→x
0
g(x) 6= 0 to istnieje
granica
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
,
i
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
lim
x→x
0
f (x)
lim
x→x
0
g(x)
.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 76
Jeżeli funkcje f, g określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
maj
,
a w tym
punkcie granice właściwe oraz w tym s
,
asiedztwie f (x) ≤ g(x) to
lim
x→x
0
f (x) ≤ lim
x→x
0
g(x)
TWIERDZENIE 77
Niech funkcje f, g, h b
,
ed
,
a określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
i funkcje
f, h maj
,
a w tym punkcie granic
,
e właściw
,
a równ
,
a a oraz w tym
s
,
asiedztwie f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) to funkcje g ma w tym punkcie granic
,
e
właściw
,
a równ
,
a a.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 76
Jeżeli funkcje f, g określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
maj
,
a w tym
punkcie granice właściwe oraz w tym s
,
asiedztwie f (x) ≤ g(x) to
lim
x→x
0
f (x) ≤ lim
x→x
0
g(x)
TWIERDZENIE 77
Niech funkcje f, g, h b
,
ed
,
a określone w s
,
asiedztwie punktu x
0
i funkcje
f, h maj
,
a w tym punkcie granic
,
e właściw
,
a równ
,
a a oraz w tym
s
,
asiedztwie f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) to funkcje g ma w tym punkcie granic
,
e
właściw
,
a równ
,
a a.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
( odpowiednio w O
−
(x
0
) otoczeniu lewostronnym punktu x
0
, w O
+
(x
0
)
otoczeniu prawostronnym punktu x
0
,)
Mówimy, że funkcja f jest ci
,
agła ( odpowiednio ci
,
agła lewostronnie,
ci
,
agła prawostronnie) jeżeli
lim
x−→x
0
f (x) = f (x
0
)
( odpowiednio
lim
x−→x
−
0
f (x) = f (x
0
),
lim
x−→x
+
0
f (x) = f (x
0
) ).
DEFINICJA 79
Funkcj
,
e określon
,
a w danym przedziale nazywamy ci
,
agł
,
a w tym przedziale
wtw, gdy jest ci
,
agła w każdym punkcie tego przedziału.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
( odpowiednio w O
−
(x
0
) otoczeniu lewostronnym punktu x
0
, w O
+
(x
0
)
otoczeniu prawostronnym punktu x
0
,)
Mówimy, że funkcja f jest ci
,
agła ( odpowiednio ci
,
agła lewostronnie,
ci
,
agła prawostronnie) jeżeli
lim
x−→x
0
f (x) = f (x
0
)
( odpowiednio
lim
x−→x
−
0
f (x) = f (x
0
),
lim
x−→x
+
0
f (x) = f (x
0
) ).
DEFINICJA 79
Funkcj
,
e określon
,
a w danym przedziale nazywamy ci
,
agł
,
a w tym przedziale
wtw, gdy jest ci
,
agła w każdym punkcie tego przedziału.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
( odpowiednio w O
−
(x
0
) otoczeniu lewostronnym punktu x
0
, w O
+
(x
0
)
otoczeniu prawostronnym punktu x
0
,)
Mówimy, że funkcja f jest ci
,
agła ( odpowiednio ci
,
agła lewostronnie,
ci
,
agła prawostronnie) jeżeli
lim
x−→x
0
f (x) = f (x
0
)
( odpowiednio
lim
x−→x
−
0
f (x) = f (x
0
),
lim
x−→x
+
0
f (x) = f (x
0
) ).
DEFINICJA 79
Funkcj
,
e określon
,
a w danym przedziale nazywamy ci
,
agł
,
a w tym przedziale
wtw, gdy jest ci
,
agła w każdym punkcie tego przedziału.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 80
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
. Mówimy,
że funkcja f ma w punkcie x
0
nieci
,
agłość pierwszego rodzaju jeżeli
istniej
,
a właściwe granice jednostronne i
lim
x−→x
−
0
f (x) 6= f (x
0
) lub
lim
x−→x
+
0
f (x) 6= f (x
0
).
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x
0
nieci
,
agłość drugiego rodzaju
jeżeli któraś z granic jednostronnych nie istnieje lub jest niewłaściwa.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 80
Niech funkcja f b
,
edzie określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
. Mówimy,
że funkcja f ma w punkcie x
0
nieci
,
agłość pierwszego rodzaju jeżeli
istniej
,
a właściwe granice jednostronne i
lim
x−→x
−
0
f (x) 6= f (x
0
) lub
lim
x−→x
+
0
f (x) 6= f (x
0
).
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x
0
nieci
,
agłość drugiego rodzaju
jeżeli któraś z granic jednostronnych nie istnieje lub jest niewłaściwa.