Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. – Matematyka Finansowa
Zadanie 1
Krok 1:
Aby na koniec 1 roku było co najmniej 3 mln K musi spełnić równość:
05
,
1
10000
250
3000000
)
1
(
3000000
10000
250
05
,
1
⋅
+
=
→
=
⋅
−
⋅
K
K
Krok 2:
Liczymy stan konta na koniec 2 roku zakładając, Ŝe na koniec 1 roku mamy 3 mln
400000
10000
100
15000
250
05
,
1
3000000
=
⋅
+
⋅
−
⋅
czyli do 3 mln brakuje 2600000 czyli
trzeba powiększyć K(1) o
2
05
,
1
2600000
)
2
(
=
DOD
Krok 3:
Po powiększeniu K(1) o DOD(2) mamy na koniec 2 roku 3 mln i liczymy stan konta na
koniec 3 roku
(
)
650000
15000
10000
100
20000
250
05
,
1
3000000
=
+
+
⋅
−
⋅
czyli brakuje 2350000 czyli
dodajemy do K(1)
3
05
,
1
2350000
)
3
(
=
DOD
dalej postępujemy w taki sam sposób
(
)
1400000
20000
15000
10000
100
25000
250
05
,
1
3000000
)
4
(
=
+
+
+
⋅
−
⋅
=
STAN
czyli
4
05
,
1
1600000
)
4
(
=
DOD
(
)
2650000
25000
20000
15000
10000
100
30000
250
05
,
1
3000000
)
5
(
=
+
+
+
+
⋅
−
⋅
=
STAN
czyli
5
05
,
1
350000
)
5
(
=
DOD
dla
6
≥
i
( )
=
−
+
−
+
+
−
⋅
=
2
5000
)
2
(
20000
)
1
(
100
5000
1
250
05
,
1
3000000
)
(
i
i
i
i
STAN
=
+
−
+
+
−
=
)
2500
5000
)(
1
(
100
)
1
(
1250000
3150000
i
i
i
=
−
−
+
+
−
−
=
i
i
i
i
250000
500000
250000
500000
1250000
1250000
3150000
2
)
(
1400000
1000000
250000
2
i
f
i
i
=
+
−
=
0
<
∆
?
0
1000000
500000
)
(
min
=
→
=
−
=
′
i
i
i
f
dla i>2 jest to funkcja rosnąca
f(6)=4400000 czyli dalej stan konta będzie większy niŜ 3 mln
czyli ODP=K(1)+DOD(2)+DOD(3)+DOD(4)+DOD(5)=11216948,36 czyli około 11 220 000
Zadanie 2
(
)
20
11
10
2
20
10
12
2
11
10
2
...
...
)
8
(
)
9
(
300000
).
(
9
,
0
...
9
,
0
9
,
0
...
300000
).
(
Rv
Rv
Rv
v
a
R
v
a
R
b
Rv
Rv
Rv
v
v
v
R
a
+
+
+
+
+
−
+
−
=
+
+
+
+
+
+
+
=
z (a):
v
v
v
i
v
R
v
v
v
R
i
v
R
09
,
1
)
9
,
0
(
1
9
,
0
1
300000
9
,
0
1
)
9
,
0
(
1
9
,
0
1
300000
10
11
10
10
11
10
−
−
+
−
=
→
−
−
⋅
+
−
=
z (b):
(
)
4
4
3
4
4
2
1
A
v
v
v
v
v
R
a
9
2
20
...
8
9
300000
...
+
+
+
−
+
+
=
→
−
+
−
=
→
−
−
−
=
−
+
+
=
−
+
+
+
=
+
+
+
=
2
11
2
9
2
10
2
10
3
2
9
2
)
1
(
10
9
9
1
1
9
...
)
1
(
...
8
9
...
8
9
v
v
v
v
A
v
v
v
v
v
v
v
v
A
v
v
v
Av
v
v
v
A
11
2
2
20
10
9
)
1
(
300000
1
v
v
v
v
i
v
R
a
+
−
−
−
−
=
→
21300
9
≈
−
=
a
R
ODP
Zadanie 3
A – portfel złoŜony z obligacji 10, 15 i 50-letnich
B – portfel złoŜony z obligacji 25-letnich
27
,
24
22
=
=
+
A
B
A
D
D
P
P
P
P
P
D
P
P
D
D
B
A
B
B
A
A
B
A
=
+
+
=
+
,
P
P
D
P
P
P
P
P
D
P
P
B
B
B
B
B
A
+
−
=
+
=
27
,
24
27
,
24
22
x
D
x
P
P
x
ODP
B
B
⋅
+
−
=
→
=
=
)
1
(
27
,
24
22
Obliczamy
B
D
: poniewaŜ stopa procentowa=stopa kuponowa to
1
=
B
P
i
(
)
(
)
55
,
13
25
25
)
1
(
1
06
,
0
25
25
...
2
06
,
0
25
25
25
25
25
2
≈
+
−
+
−
=
+
+
+
+
=
v
i
v
i
i
v
v
v
v
v
D
B
%
1
,
21
27
,
24
27
,
2
≈
−
=
B
D
x
(najbliŜej)
Zadanie 4
( )
δ
δ
n
n
n
n
nv
a
nv
a
a
I
−
=
−
=
a
a
b
v
v
a
b
v
b
a
v
a
v
v
b
v
a
b
v
a
v
n
n
n
n
n
n
n
n
n
−
=
→
+
=
→
−
=
−
→
−
=
→
−
=
−
=
→
=
−
=
−
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
δ
δ
δ
δ
δ
czyli
2
2
1
1
a
b
a
a
a
b
−
=
+
−
=
δ
a
a
b
b
a
a
a
a
b
n
a
a
b
n
a
b
e
n
−
−
−
=
−
−
=
→
−
=
−
→
−
=
−
ln
2
ln
1
ln
1
2
δ
δ
δ
(
)
2
3
4
4
3
2
2
2
2
2
)
2
(
2
ln
)
2
(
ln
)
2
(
2
ln
2
a
b
ba
a
a
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
a
b
b
a
a
a
ODP
−
−
+
−
−
=
−
−
⋅
−
+
−
=
−
−
⋅
−
−
+
=
Zadanie 5
Moim zdaniem zadanie jest nieprecyzyjnie sformułowane. Z wyliczeń wychodzi około 40554
ale jak to podzielimy przez 12 to blisko jest odpowiedzi E – z tego by wynikało, Ŝe chodzi o
wartość rent miesięcznych w 2009 lub Ŝe kwoty 100, 102 itd. Są wartościami rent rocznych.
Moim zdaniem powinno być zamiast „I tak miesięczna płatność...wynosi 100 zł....” „I tak
roczna płatność...wynosi 100 zł ...” – wtedy wynik wychodzi i ma sens treść zadania
poniewaŜ renty są płatne na koniec roku więc po co podawać wartości miesięczne tym
bardziej, Ŝe renty są płatne natychmiast
Z(i) – liczba szkód zaszłych w roku i
57625
,
11
05
,
1
10000
001
,
0
)
2009
(
025
,
11
05
,
1
10000
001
,
0
)
2008
(
5
,
10
05
,
1
10000
001
,
0
)
2007
(
10
10000
001
,
0
)
2006
(
3
2
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
Z
Z
Z
Z
EZ(i) – wartość oczekiwana świadczeń rentowych w 2009 roku dla renty zaszłej w roku i
13755
,
95
16
1
02
,
1
102
8
1
02
,
1
102
4
1
102
2
1
100
)
2006
(
2
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
EZ
2751
,
90
8
1
02
,
1
102
4
1
02
,
1
102
2
1
102
)
2007
(
2
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
EZ
5502
,
78
4
1
02
,
1
102
2
1
02
,
1
102
)
2008
(
2
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
EZ
0604
,
53
2
1
02
,
1
102
)
2009
(
2
=
⋅
⋅
=
EZ
∑
=
=
⋅
=
2009
2006
3380
)
(
)
(
i
i
Z
i
EZ
ODP
Zadanie 6
=
=
+
−
+
−
+
+
−
+
−
=
=
....
)
1
(
1
2000
)
1
(
1
20
)
1
(
)
1
(
1
1
1
10
)
(
21
20
20
i
i
i
i
i
i
i
di
dP
i
f
21
21
2
20
2
)
1
(
2000
)
1
(
200
)
1
(
10
10
i
i
i
i
i
i
+
−
+
+
+
+
−
=
....
)
4
(
)
05
,
0
(
!
3
02
,
0
)
05
,
0
(
!
2
02
,
0
)
05
,
0
(
02
,
0
)
05
,
0
(
)
07
,
0
(
)
3
(
3
)
2
(
2
)
1
(
+
+
′′
+
′
+
+
=
a
f
f
f
P
P
a
a
a
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
43
42
1
Obliczamy:
49
,
35
)
1
(
−
≈
a
22
22
3
20
2
21
3
22
3
20
2
21
3
)
1
(
42000
)
1
(
4200
)
1
(
20
)
1
(
400
20
...
)
1
(
4200
)
1
(
20
)
1
(
400
20
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
f
+
+
+
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
+
−
=
′
[
] [
]
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
=
′′
6
40
20
2
3
19
4
42
21
2
20
4
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
20
20
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
21
400
60
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
f
[
]
23
2
44
22
21
)
1
(
22
42000
)
1
(
)
1
(
)
1
(
22
4200
i
i
i
i
i
i
+
⋅
−
+
+
+
+
+
68
,
0
)
3
(
58
,
5
)
2
(
−
≈
≈
a
a
czyli dalsze wyrazy niewiele wnoszą
132
....
68
,
0
58
,
5
49
,
35
162
≈
+
−
+
−
=
ODP
Zadanie 7
125
0
500
4
4
2
5
,
0
5
,
0
5
,
0
=
=
−
−
−
=
∫
−
−
−
Y
Y
e
xe
xe
x
x
x
DYGRESJA
(
)
(
)
(
)
=
−
⋅
−
=
=
)
5
,
0
exp(
0
;
500
4
max
)
5
,
0
(
5
Y
Y
E
P
V
E
ODP
[
]
[
]
∫
=
−
−
−
−
=
−
=
−
−
−
−
220
125
220
125
5
,
0
220
125
5
,
0
5
,
0
5
,
0
2
8
25
4
2
40
1
160
1
)
500
4
(
x
x
x
x
e
e
xe
dx
e
x
[
] [
]
=
+
−
−
+
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
5
,
62
110
5
,
62
5
,
62
110
110
2
2
8
25
4
250
4
440
40
1
e
e
e
e
e
e
(
)
5
,
47
5
,
62
110
5
,
62
5
,
62
110
5
,
62
110
5
,
48
1
1
,
0
85
,
4
1
,
0
25
,
6
25
,
6
35
,
6
1
,
11
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
+
+
−
=
e
e
e
e
e
e
e
e
Zadanie 8
Tu wychodzi mi 9,16 więc albo błąd w treści (odpowiedziach) albo coś nie tak w
rozwiązaniu.
MoŜna zauwaŜyć (obliczyć), Ŝe wartość instrumentu bazowego nie osiąga bariery tylko w
dwóch przypadkach.
1. gdy stopa zmienno-procentowa wzrasta 3 razy
2. gdy stopa zmienno-procentowa wzrasta w pierwszych 2 latach i w 3 maleje
dla tych przypadków wartość instrumentu bazowego w(1) i w(2) wynosi:
(
)
(
)
06
,
56
1
65
,
0
3
,
1
0435
,
0
5
exp
120
)
2
(
19
,
71
1
3
,
1
0435
,
0
5
exp
120
)
1
(
2
3
=
−
⋅
⋅
⋅
=
=
−
⋅
⋅
=
w
w
w pozostałych przypadkach opcja wygasa
wcześniej
Stąd wartość opcji:
06
,
8
48
06
,
56
)
2
(
19
,
23
48
19
,
71
)
1
(
=
−
=
=
−
=
c
c
(
)
16
,
9
06
,
1
1
25
,
0
75
,
0
)
2
(
75
,
0
)
1
(
3
2
3
=
⋅
⋅
+
⋅
=
c
c
ODP
Zadanie 9
Z wyceny obligacji rządowych wynika, Ŝe stopy spot 1 i 2-roczne wynoszą 5%
x
r
r
r
+
=
=
+
+
+
05
,
0
gdzie
1018
)
1
(
1080
)
1
(
80
2
i x = odpowiedź
1+r=y
2
1018
1080
80
y
y
=
+
07
,
1
1018
40
540
509
4
1600
0
540
40
509
2
≈
∆
+
=
⋅
⋅
+
=
∆
=
−
−
y
y
y
%
2
02
,
0
07
,
0
=
≈
→
=
x
r
Zadanie 10
a – ilość obligacji P(0,1)
b – ilość obligacji P(0,2)
c – ilość obligacji P(0,3)
d – ilość obligacji P(0,4)
a,b,c,d – całkowite, mogą być ujemne
0
666
,
0
729
,
0
81
,
0
9
,
0
.
1
=
+
+
+
d
c
b
a
bo wydajemy 0
Ŝ
eby nie było arbitraŜu to w kaŜdym wariancie zarobimy 0 tzn:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
95
,
0
96
,
0
0
75
,
0
8
,
0
9
,
0
0
7
,
0
75
,
0
87
,
0
xd
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
1. mnoŜymy przez
0
74
,
0
81
,
0
9
,
0
.
2
9
10
=
+
+
+
→
d
c
b
a
2. uwzględniamy rozpisując układ równań:
→
=
+
+
=
−
−
=
→
=
−
+
+
=
+
−
=
−
−
−
*)
*
(*
0
0,74)
-
100d(x
14c
6b
(**)
c
d
(*)
6
3
4
0
)
74
,
0
(
14
,
0
06
,
0
0
01
,
0
01
,
0
0
04
,
0
06
,
0
03
,
0
c
b
d
d
x
c
b
d
c
d
c
b
74
,
0
100
4
100
10
6
74
,
0
100
14
6
+
−
−
−
=
+
−
−
=
→
d
c
d
c
b
d
c
b
x
ale (*) + (**)
→
=
−
−
=
→
−
−
=
→
1
d
c
(**)
z
a
10
6
10
5
3
5
c
b
d
c
b
d
8
,
0
74
,
0
04
,
0
1
,
0
74
,
0
100
4
100
10
=
+
−
=
+
−
=
→
d
c
d
d
x