Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. – Matematyka Finansowa
Zadanie 1
Krok 1:
Aby na koniec 1 roku było co najmniej 3 mln K musi spełnić równość:
05
,
1
10000
250
3000000
)
1
(
3000000
10000
250
05
,
1
⋅
+
=
→
=
⋅
−
⋅
K
K
Krok 2:
Liczymy stan konta na koniec 2 roku zakładając, że na koniec 1 roku mamy 3 mln
400000
10000
100
15000
250
05
,
1
3000000
=
⋅
+
⋅
−
⋅
czyli do 3 mln brakuje 2600000 czyli
trzeba powiększyć K(1) o
2
05
,
1
2600000
)
2
(
=
DOD
Krok 3:
Po powiększeniu K(1) o DOD(2) mamy na koniec 2 roku 3 mln i liczymy stan konta na
koniec 3 roku
(
)
650000
15000
10000
100
20000
250
05
,
1
3000000
=
+
+
⋅
−
⋅
czyli brakuje 2350000 czyli
dodajemy do K(1)
3
05
,
1
2350000
)
3
(
=
DOD
dalej postępujemy w taki sam sposób
(
)
1400000
20000
15000
10000
100
25000
250
05
,
1
3000000
)
4
(
=
+
+
+
⋅
−
⋅
=
STAN
czyli
4
05
,
1
1600000
)
4
(
=
DOD
(
)
2650000
25000
20000
15000
10000
100
30000
250
05
,
1
3000000
)
5
(
=
+
+
+
+
⋅
−
⋅
=
STAN
czyli
5
05
,
1
350000
)
5
(
=
DOD
dla
6
≥
i
( )
=
−
+
−
+
+
−
⋅
=
2
5000
)
2
(
20000
)
1
(
100
5000
1
250
05
,
1
3000000
)
(
i
i
i
i
STAN
=
+
−
+
+
−
=
)
2500
5000
)(
1
(
100
)
1
(
1250000
3150000
i
i
i
=
−
−
+
+
−
−
=
i
i
i
i
250000
500000
250000
500000
1250000
1250000
3150000
2
)
(
1400000
1000000
250000
2
i
f
i
i
=
+
−
=
0
<
∆
?
0
1000000
500000
)
(
min
=
→
=
−
=
′
i
i
i
f
dla i>2 jest to funkcja rosnąca
f(6)=4400000 czyli dalej stan konta będzie większy niż 3 mln
czyli ODP=K(1)+DOD(2)+DOD(3)+DOD(4)+DOD(5)=11216948,36 czyli około 11 220 000
Zadanie 2
(
)
20
11
10
2
20
10
12
2
11
10
2
...
...
)
8
(
)
9
(
300000
).
(
9
,
0
...
9
,
0
9
,
0
...
300000
).
(
Rv
Rv
Rv
v
a
R
v
a
R
b
Rv
Rv
Rv
v
v
v
R
a
+
+
+
+
+
−
+
−
=
+
+
+
+
+
+
+
=
z (a):
v
v
v
i
v
R
v
v
v
R
i
v
R
09
,
1
)
9
,
0
(
1
9
,
0
1
300000
9
,
0
1
)
9
,
0
(
1
9
,
0
1
300000
10
11
10
10
11
10
−
−
+
−
=
→
−
−
⋅
+
−
=
z (b):
(
)
4
4
3
4
4
2
1
A
v
v
v
v
v
R
a
9
2
20
...
8
9
300000
...
+
+
+
−
+
+
=
→
−
+
−
=
→
−
−
−
=
−
+
+
=
−
+
+
+
=
+
+
+
=
2
11
2
9
2
10
2
10
3
2
9
2
)
1
(
10
9
9
1
1
9
...
)
1
(
...
8
9
...
8
9
v
v
v
v
A
v
v
v
v
v
v
v
v
A
v
v
v
Av
v
v
v
A
11
2
2
20
10
9
)
1
(
300000
1
v
v
v
v
i
v
R
a
+
−
−
−
−
=
→
21300
9
≈
−
=
a
R
ODP
Zadanie 3
A – portfel złożony z obligacji 10, 15 i 50-letnich
B – portfel złożony z obligacji 25-letnich
27
,
24
22
=
=
+
A
B
A
D
D
P
P
P
P
P
D
P
P
D
D
B
A
B
B
A
A
B
A
=
+
+
=
+
,
P
P
D
P
P
P
P
P
D
P
P
B
B
B
B
B
A
+
−
=
+
=
27
,
24
27
,
24
22
x
D
x
P
P
x
ODP
B
B
⋅
+
−
=
→
=
=
)
1
(
27
,
24
22
Obliczamy
B
D
: ponieważ stopa procentowa=stopa kuponowa to
1
=
B
P
i
(
)
(
)
55
,
13
25
25
)
1
(
1
06
,
0
25
25
...
2
06
,
0
25
25
25
25
25
2
≈
+
−
+
−
=
+
+
+
+
=
v
i
v
i
i
v
v
v
v
v
D
B
%
1
,
21
27
,
24
27
,
2
≈
−
=
B
D
x
(najbliżej)
Zadanie 4
( )
δ
δ
n
n
n
n
nv
a
nv
a
a
I
−
=
−
=
a
a
b
v
v
a
b
v
b
a
v
a
v
v
b
v
a
b
v
a
v
n
n
n
n
n
n
n
n
n
−
=
→
+
=
→
−
=
−
→
−
=
→
−
=
−
=
→
=
−
=
−
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
δ
δ
δ
δ
δ
czyli
2
2
1
1
a
b
a
a
a
b
−
=
+
−
=
δ
a
a
b
b
a
a
a
a
b
n
a
a
b
n
a
b
e
n
−
−
−
=
−
−
=
→
−
=
−
→
−
=
−
ln
2
ln
1
ln
1
2
δ
δ
δ
(
)
2
3
4
4
3
2
2
2
2
2
)
2
(
2
ln
)
2
(
ln
)
2
(
2
ln
2
a
b
ba
a
a
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
a
b
b
a
a
a
ODP
−
−
+
−
−
=
−
−
⋅
−
+
−
=
−
−
⋅
−
−
+
=
Zadanie 5
Moim zdaniem zadanie jest nieprecyzyjnie sformułowane. Z wyliczeń wychodzi około 40554
ale jak to podzielimy przez 12 to blisko jest odpowiedzi E – z tego by wynikało, że chodzi o
wartość rent miesięcznych w 2009 lub że kwoty 100, 102 itd. Są wartościami rent rocznych.
Moim zdaniem powinno być zamiast „I tak miesięczna płatność...wynosi 100 zł....” „I tak
roczna płatność...wynosi 100 zł ...” – wtedy wynik wychodzi i ma sens treść zadania
ponieważ renty są płatne na koniec roku więc po co podawać wartości miesięczne tym
bardziej, że renty są płatne natychmiast
Z(i) – liczba szkód zaszłych w roku i
57625
,
11
05
,
1
10000
001
,
0
)
2009
(
025
,
11
05
,
1
10000
001
,
0
)
2008
(
5
,
10
05
,
1
10000
001
,
0
)
2007
(
10
10000
001
,
0
)
2006
(
3
2
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
Z
Z
Z
Z
EZ(i) – wartość oczekiwana świadczeń rentowych w 2009 roku dla renty zaszłej w roku i
13755
,
95
16
1
02
,
1
102
8
1
02
,
1
102
4
1
102
2
1
100
)
2006
(
2
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
EZ
2751
,
90
8
1
02
,
1
102
4
1
02
,
1
102
2
1
102
)
2007
(
2
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
EZ
5502
,
78
4
1
02
,
1
102
2
1
02
,
1
102
)
2008
(
2
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
EZ
0604
,
53
2
1
02
,
1
102
)
2009
(
2
=
⋅
⋅
=
EZ
∑
=
=
⋅
=
2009
2006
3380
)
(
)
(
i
i
Z
i
EZ
ODP
Zadanie 6
=
=
+
−
+
−
+
+
−
+
−
=
=
....
)
1
(
1
2000
)
1
(
1
20
)
1
(
)
1
(
1
1
1
10
)
(
21
20
20
i
i
i
i
i
i
i
di
dP
i
f
21
21
2
20
2
)
1
(
2000
)
1
(
200
)
1
(
10
10
i
i
i
i
i
i
+
−
+
+
+
+
−
=
....
)
4
(
)
05
,
0
(
!
3
02
,
0
)
05
,
0
(
!
2
02
,
0
)
05
,
0
(
02
,
0
)
05
,
0
(
)
07
,
0
(
)
3
(
3
)
2
(
2
)
1
(
+
+
′′
+
′
+
+
=
a
f
f
f
P
P
a
a
a
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
43
42
1
Obliczamy:
49
,
35
)
1
(
−
≈
a
22
22
3
20
2
21
3
22
3
20
2
21
3
)
1
(
42000
)
1
(
4200
)
1
(
20
)
1
(
400
20
...
)
1
(
4200
)
1
(
20
)
1
(
400
20
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
f
+
+
+
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
+
−
=
′
[
] [
]
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
=
′′
6
40
20
2
3
19
4
42
21
2
20
4
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
20
20
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
21
400
60
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
f
[
]
23
2
44
22
21
)
1
(
22
42000
)
1
(
)
1
(
)
1
(
22
4200
i
i
i
i
i
i
+
⋅
−
+
+
+
+
+
68
,
0
)
3
(
58
,
5
)
2
(
−
≈
≈
a
a
czyli dalsze wyrazy niewiele wnoszą
132
....
68
,
0
58
,
5
49
,
35
162
≈
+
−
+
−
=
ODP
Zadanie 7
125
0
500
4
4
2
5
,
0
5
,
0
5
,
0
=
=
−
−
−
=
∫
−
−
−
Y
Y
e
xe
xe
x
x
x
DYGRESJA
(
)
(
)
(
)
=
−
⋅
−
=
=
)
5
,
0
exp(
0
;
500
4
max
)
5
,
0
(
5
Y
Y
E
P
V
E
ODP
[
]
[
]
∫
=
−
−
−
−
=
−
=
−
−
−
−
220
125
220
125
5
,
0
220
125
5
,
0
5
,
0
5
,
0
2
8
25
4
2
40
1
160
1
)
500
4
(
x
x
x
x
e
e
xe
dx
e
x
[
] [
]
=
+
−
−
+
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
5
,
62
110
5
,
62
5
,
62
110
110
2
2
8
25
4
250
4
440
40
1
e
e
e
e
e
e
(
)
5
,
47
5
,
62
110
5
,
62
5
,
62
110
5
,
62
110
5
,
48
1
1
,
0
85
,
4
1
,
0
25
,
6
25
,
6
35
,
6
1
,
11
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
+
+
−
=
e
e
e
e
e
e
e
e
Zadanie 8
Tu wychodzi mi 9,16 więc albo błąd w treści (odpowiedziach) albo coś nie tak w
rozwiązaniu.
Można zauważyć (obliczyć), że wartość instrumentu bazowego nie osiąga bariery tylko w
dwóch przypadkach.
1. gdy stopa zmienno-procentowa wzrasta 3 razy
2. gdy stopa zmienno-procentowa wzrasta w pierwszych 2 latach i w 3 maleje
dla tych przypadków wartość instrumentu bazowego w(1) i w(2) wynosi:
(
)
(
)
06
,
56
1
65
,
0
3
,
1
0435
,
0
5
exp
120
)
2
(
19
,
71
1
3
,
1
0435
,
0
5
exp
120
)
1
(
2
3
=
−
⋅
⋅
⋅
=
=
−
⋅
⋅
=
w
w
w pozostałych przypadkach opcja wygasa
wcześniej
Stąd wartość opcji:
06
,
8
48
06
,
56
)
2
(
19
,
23
48
19
,
71
)
1
(
=
−
=
=
−
=
c
c
(
)
16
,
9
06
,
1
1
25
,
0
75
,
0
)
2
(
75
,
0
)
1
(
3
2
3
=
⋅
⋅
+
⋅
=
c
c
ODP
Zadanie 9
Z wyceny obligacji rządowych wynika, że stopy spot 1 i 2-roczne wynoszą 5%
x
r
r
r
+
=
=
+
+
+
05
,
0
gdzie
1018
)
1
(
1080
)
1
(
80
2
i x = odpowiedź
1+r=y
2
1018
1080
80
y
y
=
+
07
,
1
1018
40
540
509
4
1600
0
540
40
509
2
≈
∆
+
=
⋅
⋅
+
=
∆
=
−
−
y
y
y
%
2
02
,
0
07
,
0
=
≈
→
=
x
r
Zadanie 10
a – ilość obligacji P(0,1)
b – ilość obligacji P(0,2)
c – ilość obligacji P(0,3)
d – ilość obligacji P(0,4)
a,b,c,d – całkowite, mogą być ujemne
0
666
,
0
729
,
0
81
,
0
9
,
0
.
1
=
+
+
+
d
c
b
a
bo wydajemy 0
ż
eby nie było arbitrażu to w każdym wariancie zarobimy 0 tzn:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
95
,
0
96
,
0
0
75
,
0
8
,
0
9
,
0
0
7
,
0
75
,
0
87
,
0
xd
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
1. mnożymy przez
0
74
,
0
81
,
0
9
,
0
.
2
9
10
=
+
+
+
→
d
c
b
a
2. uwzględniamy rozpisując układ równań:
→
=
+
+
=
−
−
=
→
=
−
+
+
=
+
−
=
−
−
−
*)
*
(*
0
0,74)
-
100d(x
14c
6b
(**)
c
d
(*)
6
3
4
0
)
74
,
0
(
14
,
0
06
,
0
0
01
,
0
01
,
0
0
04
,
0
06
,
0
03
,
0
c
b
d
d
x
c
b
d
c
d
c
b
74
,
0
100
4
100
10
6
74
,
0
100
14
6
+
−
−
−
=
+
−
−
=
→
d
c
d
c
b
d
c
b
x
ale (*) + (**)
→
=
−
−
=
→
−
−
=
→
1
d
c
(**)
z
a
10
6
10
5
3
5
c
b
d
c
b
d
8
,
0
74
,
0
04
,
0
1
,
0
74
,
0
100
4
100
10
=
+
−
=
+
−
=
→
d
c
d
d
x
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2001 03 24 matematyka finansowaid 21604
2001.03.24 matematyka finansowa
2008 03 17 matematyka finansowaid 26447
2010.05.31 matematyka finansowa
2010.12.13 matematyka finansowa
2006.03.20 matematyka finansowa
1 2000.01.15 matematyka finansowa
2010-03-15, bezpieczeństwo publiczne
1 2010 05 31 matematyka finansowaid 8925
2002.06.15 matematyka finansowa
2008.12.15 matematyka finansowa
2008.03.17 matematyka finansowa
2008 12 15 matematyka finansowaid 26464
2010.10.04 matematyka finansowa
pg 2010 03 15
2010 10 04 matematyka finansowaid 27009
więcej podobnych podstron