08 Rozdział IV Postać trygonometryczna kwaternionów

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

44

Rozdział IV

Postać trygonometryczna

kwaternionów

§ 1.

Część rzeczywista i część urojona kwaternionu

W ostatnim rozdziale tej pracy, kwaternion

dk

cj

bi

a

q

+

+

+

=

będziemy przedstawiać w postaci sumy

( )

( )

q

q

q

β

α

+

=

, gdzie

( )

a

q

=

α

,

( )

dk

cj

bi

q

+

+

=

β

oraz

( ) ( )

H

q

q

β

α

,

.

Definicja 17.

[8]

Wyra

ż

enie

( )

q

q

α

=

Re

b

ę

dziemy nazywa

ć

skalarem lub cz

ęś

ci

ą

rzeczywist

ą

, a wyra

ż

enie

( )

q

q

β

=

Im

wektorem lub cz

ęś

ci

ą

urojon

ą

kwaternionu

H

q

.

Wniosek 81.

[8]

Dla ka

ż

dego kwaternionu

dk

cj

bi

a

q

+

+

+

=

mamy

q

q

Re

,

q

q

Im

.

Dowód.

q

d

c

b

a

a

a

q

=

+

+

+

=

2

2

2

2

Re

,

q

d

c

b

a

d

c

b

q

=

+

+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

2

2

Im

Twierdzenie 82.

[8]

Je

ż

eli

dk

cj

bi

a

q

+

+

+

=

1

,

hk

gj

fi

e

q

+

+

+

=

2

, to

(

)

2

1

2

1

Re

Re

Re

q

q

q

q

+

=

+

,

(

)

2

1

2

1

Im

Im

Im

q

q

q

q

+

=

+

.

Dowód.

Zgodnie z zało

ż

eniem twierdzenia otrzymujemy

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

45

(

)

(

)

=

+

+

+

+

+

+

+

=

+

hk

gj

fi

e

dk

cj

bi

a

q

q

Re

Re

2

1

(

)

2

1

Re

Re

)

(

)

(

Re

q

q

e

a

hk

gj

fi

dk

cj

bi

e

a

+

=

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

;

(

)

(

)

=

+

+

+

+

+

+

+

=

+

hk

gj

fi

e

dk

cj

bi

a

q

q

Im

Im

2

1

(

)

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

hk

gj

fi

dk

cj

bi

hk

gj

fi

dk

cj

bi

e

a

)

(

)

(

Im

(

) (

)

2

1

Im

Im

q

q

hk

gj

fi

dk

cj

bi

+

=

+

+

+

+

+

=

.

Mo

ż

emy teraz udowodni

ć

twierdzenie 54 w inny sposób.

Twierdzenie 83.

Dla dowolnych kwaternionów

1

q

,

2

q

mamy

2

1

2

1

q

q

q

q

+

+

.

Dowód.

Mo

ż

emy zało

ż

y

ć

,

ż

e

0

2

1

+ q

q

.

Wtedy

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

+

+

+

=

+

+

=

, wi

ę

c zgodnie z twierdzeniem 82





+

+





+

=





+

+

+

=

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

Re

Re

Re

1

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

i na mocy wniosku 81





+

+





+

2

1

2

2

1

1

Re

Re

q

q

q

q

q

q

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

+

+

+

=

+

+

+

,

2

1

2

2

1

1

1

q

q

q

q

q

q

+

+

+

,

2

1

2

1

q

q

q

q

+

+

.

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

46

§ 2.

Czyste kwaterniony, wersor i oś kwaternionu

Definicja 18.

[8]

Kwaterniony, których skalar jest zerem, nazywamy czystymi

kwaternionami.

Definicja 19.

[8]

Wersorem kwaternionu

0

q

nazywamy kwaternion

( )

q

q

q

U

=

.

Definicja 20.

Dla dowolnego kwaternionu

dk

cj

bi

a

q

+

+

+

=

, kwaternion

( )
( )

2

2

2

d

c

b

dk

cj

bi

q

q

+

+

+

+

=

=

β

β

ι

nazywamy osi

ą

kwaternionu q dla

( )

0

q

β

.

Uwaga.

W przypadku, gdy

R

q

∈ przyjmujemy,

ż

e

i

=

ι

.

Twierdzenie 84.

[8]

Dla dowolnego kwaternionu q ,

1

2

=

ι

.

Dowód.

Niech

dk

cj

bi

a

q

+

+

+

=

.

Dla

R

q

∈ ,

1

2

2

=

= i

ι

, w przeciwnym przypadku

(

)(

)

=

+

+

+

+

+

+

=



+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

2

2

2

d

c

b

dk

cj

bi

dk

cj

bi

d

c

b

dk

cj

bi

ι

(

)

1

2

2

2

2

2

2

=

+

+

+

+

=

d

c

b

d

c

b

.

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

47

Możemy zauważyć, że dla

H

q

0

mamy

1

q

a

,

q

a

Re

=

. Istnieje

więc dokładnie jeden kąt

π

ϕ

,

0

, taki że

(XI)

ϕ

cos

=

q

a

.

Definicja 21.

[8]

K

ą

t

ϕ

, w oznaczeniu (

XI

), nazywamy argumentem kwaternionu

q

.

§ 3.

Wzory postaci trygonometrycznej kwaternionu

Dla

π

ϕ

,

0

,

0

sin

ϕ

oraz

dk

cj

bi

a

q

+

+

+

=

wynikaj

ą

poni

ż

sze

równo

ś

ci:

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

d

c

b

a

a

d

c

b

a

d

c

b

a

a

d

c

b

a

q

d

c

b

=



=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

q

a

q

a

d

c

b

a

a

d

c

b

a

d

c

b

a

ϕ

ϕ

sin

cos

1

2

=

=

,

(XII)

( )

ϕ

ι

ι

β

sin

2

2

2

q

d

c

b

dk

cj

bi

q

=

+

+

=

+

+

=

,

(XIII)

( )

ϕ

α

cos

q

a

q

=

=

.

Ostatecznie otrzymamy równanie

(XIV)

( )

( )

(

)

ϕ

ι

ϕ

ϕ

ι

ϕ

β

α

sin

cos

sin

cos

+

=

+

=

+

=

q

q

q

q

q

q

.

Definicja 22.

[8]

Wzór (

XIV

) nazywamy postaci

ą

trygonometryczn

ą

kwaternionu q .

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

48

§ 4.

N-ta potęga kwaternionu

B

ę

dziemy korzysta

ć

z nast

ę

puj

ą

cych wzorów:

(XV)

(

)

(

)

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

cos

sin

sin

cos

sin

1

sin

n

n

n

n

+

=

+

=

+

;

(XVI)

(

)

(

)

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

sin

sin

cos

cos

cos

1

cos

n

n

n

n

=

+

=

+

.

Podobnie, jak dla liczb zespolonych prawdziwe s

ą

wzory Moivre’a,

tak dla kwaternionów prawdziwe jest

Twierdzenie 85.

[8]

Je

ś

li

(

)

ϕ

ι

ϕ

sin

cos

+

= q

q

oraz

N

n

, to

(

)

ϕ

ι

ϕ

n

n

q

q

n

n

sin

cos

+

=

.

Dowód.

Dla

0

=

n

mamy

1

0

=

q

,

(

)

(

)

1

0

1

1

0

sin

0

cos

0

=

+

=

+

o

ϕ

ι

ϕ

q

.

Natomiast gdy

1

=

n

, to wzór jest prawdziwy zgodnie z (

XIV

).

Załó

ż

my teraz indukcyjnie,

ż

e wzór jest prawdziwy dla pewnego n .

Sprawdzimy, czy teza twierdzenia, jest prawdziwa dla

1

+

n

.

Korzystaj

ą

c z wzorów (

XV

) i (

XVI

), otrzymujemy

(

) (

)

=

+

+

=

=

+

ϕ

ι

ϕ

ϕ

ι

ϕ

sin

cos

sin

cos

1

q

n

n

q

q

q

q

n

n

n

(

)

=

+

+

=

+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ι

ϕ

ϕ

ι

ϕ

ϕ

sin

sin

cos

sin

sin

cos

cos

cos

1

n

n

n

n

q

n

(

)

=

+

+

=

+

)

cos

sin

sin

(cos

)

sin

sin

cos

(cos

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ι

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

n

n

n

n

q

n

(

)

ϕ

ι

ϕ

)

1

sin(

)

1

cos(

1

+

+

+

=

+

n

n

q

n

.

Na mocy zasady indukcji zupełnej wnioskujemy,

ż

e wzór zachodzi dla

dowolnego n .

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

49

§ 5.

Norma kwaternionu

Definicja 23.

[8]

Norm

ą

kwaternionu q nazywamy wyra

ż

enie postaci

( )

q

q

q

N

=

.

Twierdzenie 86.

[8]

Je

ż

eli

H

q

q

1

,

, to prawdziwe s

ą

nast

ę

puj

ą

ce własno

ś

ci:

1.

(

)

( ) ( )

1

1

q

N

q

N

qq

N

=

;

2.

( )

( )

q

q

q

N

q

N

=

=

;

3. je

ś

li

dk

cj

bi

a

q

+

+

+

=

, to

( )

R

d

c

b

a

q

N

+

+

+

=

2

2

2

2

;

4.

( )

0

=

q

N

wtedy i tylko wtedy, gdy

0

=

q

.

Dowód.

Zauwa

ż

my,

ż

e zgodnie z twierdzeniem 57

( )

2

q

q

q

q

q

q

N

=

=

=

oraz

na mocy twierdze

ń

50 i 52 otrzymujemy:

1.

(

)

( ) ( )

1

2

1

2

2

1

1

q

N

q

N

q

q

qq

qq

N

=

=

=

;

2.

( )

( )

q

N

q

q

q

q

q

N

=

=

=

=

2

2

;

3. niech

dk

cj

bi

a

q

+

+

+

=

, wtedy

( )

2

2

2

2

2

d

c

b

a

q

q

N

+

+

+

=

=

;

4. na mocy twierdzenia 45 tylko, gdy

H

q

=

0

,

( )

q

N

q

q

=

=

0

.

Twierdzenie 87.

[3]

Dla dowolnego

H

q

prawdziwe jest równanie

( )

q

q

N

q

1

1

=

.

Dowód.

Wiemy,

ż

e

( )

q

q

q

N

=

. St

ą

d otrzymujemy

( )

( )

q

q

q

q

q

q

q

q

N

1

1

1

=

=

.

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

50

Zgodnie z prawem ł

ą

czno

ś

ci mno

ż

enia i zasadami dzielenia

lewostronnego dla kwaternionów (twierdzenie 35 i definicja 13),

ostatecznie mo

ż

emy zapisa

ć

( )

(

)

1

1

1

1

1

1

1

1

)

(

)

(

=

=

=

=

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

o

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Łobocki Rozdział IV, Pedagogika Przedszkolna i Wczesnoszkolna Uniwersytet Pedagogiczny Licencjat, Te
09 08 Rozdzielnice budowlane RB Nieznany (2)
08 Algorytmy IV
08 Rozdzial 25 26
Rozdzial IV Nessie
ROZDZIAŁ IV
08 rozdzial 142
08 Rozdzial 8
Rozdział IV
Makro4 , Rozdział IV
06. Rozdzial 4, ROZDZIAL IV
POJĘCIA ROZDZIAŁ IV
Rozdział IV Przyjaźń
Skuteczny terapeuta Rozdzial IV Jaimi ludymi sa skutecyni terapeuci
Postać trygonometryczna Zadanie domowe [PDF], Postać trygonometryczna Zadanie domowe
Rozdział IV KONTEKST PSYCHOLOGICZNY ZMIAN?UKACYJNYCH

więcej podobnych podstron