http://chomikuj.pl/aligatorro
44
Rozdział IV
Postać trygonometryczna
kwaternionów
§ 1.
Część rzeczywista i część urojona kwaternionu
W ostatnim rozdziale tej pracy, kwaternion
dk
cj
bi
a
q
+
+
+
=
będziemy przedstawiać w postaci sumy
( )
( )
q
q
q
β
α
+
=
, gdzie
( )
a
q
=
α
,
( )
dk
cj
bi
q
+
+
=
β
oraz
( ) ( )
H
q
q
∈
β
α
,
.
Definicja 17.
[8]
Wyra
ż
enie
( )
q
q
α
=
Re
b
ę
dziemy nazywa
ć
skalarem lub cz
ęś
ci
ą
rzeczywist
ą
, a wyra
ż
enie
( )
q
q
β
=
Im
wektorem lub cz
ęś
ci
ą
urojon
ą
kwaternionu
H
q
∈
.
Wniosek 81.
[8]
Dla ka
ż
dego kwaternionu
dk
cj
bi
a
q
+
+
+
=
mamy
q
q
≤
Re
,
q
q
≤
Im
.
Dowód.
q
d
c
b
a
a
a
q
=
+
+
+
≤
≤
=
2
2
2
2
Re
,
q
d
c
b
a
d
c
b
q
=
+
+
+
≤
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
Im
Twierdzenie 82.
[8]
Je
ż
eli
dk
cj
bi
a
q
+
+
+
=
1
,
hk
gj
fi
e
q
+
+
+
=
2
, to
(
)
2
1
2
1
Re
Re
Re
q
q
q
q
+
=
+
,
(
)
2
1
2
1
Im
Im
Im
q
q
q
q
+
=
+
.
Dowód.
Zgodnie z zało
ż
eniem twierdzenia otrzymujemy
http://chomikuj.pl/aligatorro
45
(
)
(
)
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
hk
gj
fi
e
dk
cj
bi
a
q
q
Re
Re
2
1
(
)
2
1
Re
Re
)
(
)
(
Re
q
q
e
a
hk
gj
fi
dk
cj
bi
e
a
+
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
;
(
)
(
)
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
hk
gj
fi
e
dk
cj
bi
a
q
q
Im
Im
2
1
(
)
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
hk
gj
fi
dk
cj
bi
hk
gj
fi
dk
cj
bi
e
a
)
(
)
(
Im
(
) (
)
2
1
Im
Im
q
q
hk
gj
fi
dk
cj
bi
+
=
+
+
+
+
+
=
.
Mo
ż
emy teraz udowodni
ć
twierdzenie 54 w inny sposób.
Twierdzenie 83.
Dla dowolnych kwaternionów
1
q
,
2
q
mamy
2
1
2
1
q
q
q
q
+
≥
+
.
Dowód.
Mo
ż
emy zało
ż
y
ć
,
ż
e
0
2
1
≠
+ q
q
.
Wtedy
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
+
+
+
=
+
+
=
, wi
ę
c zgodnie z twierdzeniem 82
+
+
+
=
+
+
+
=
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
Re
Re
Re
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
i na mocy wniosku 81
≤
+
+
+
2
1
2
2
1
1
Re
Re
q
q
q
q
q
q
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
+
+
+
=
+
+
+
≤
,
2
1
2
2
1
1
1
q
q
q
q
q
q
+
+
+
≤
,
2
1
2
1
q
q
q
q
+
≤
+
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
46
§ 2.
Czyste kwaterniony, wersor i oś kwaternionu
Definicja 18.
[8]
Kwaterniony, których skalar jest zerem, nazywamy czystymi
kwaternionami.
Definicja 19.
[8]
Wersorem kwaternionu
0
≠
q
nazywamy kwaternion
( )
q
q
q
U
=
.
Definicja 20.
Dla dowolnego kwaternionu
dk
cj
bi
a
q
+
+
+
=
, kwaternion
( )
( )
2
2
2
d
c
b
dk
cj
bi
q
q
+
+
+
+
=
=
β
β
ι
nazywamy osi
ą
kwaternionu q dla
( )
0
≠
q
β
.
Uwaga.
W przypadku, gdy
R
q
∈ przyjmujemy,
ż
e
i
=
ι
.
Twierdzenie 84.
[8]
Dla dowolnego kwaternionu q ,
1
2
−
=
ι
.
Dowód.
Niech
dk
cj
bi
a
q
+
+
+
=
.
Dla
R
q
∈ ,
1
2
2
−
=
= i
ι
, w przeciwnym przypadku
(
)(
)
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
d
c
b
dk
cj
bi
dk
cj
bi
d
c
b
dk
cj
bi
ι
(
)
1
2
2
2
2
2
2
−
=
+
+
+
+
−
=
d
c
b
d
c
b
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
47
Możemy zauważyć, że dla
H
q
∈
≠
0
mamy
1
≤
q
a
,
q
a
Re
=
. Istnieje
więc dokładnie jeden kąt
π
ϕ
,
0
∈
, taki że
(XI)
ϕ
cos
=
q
a
.
Definicja 21.
[8]
K
ą
t
ϕ
, w oznaczeniu (
XI
), nazywamy argumentem kwaternionu
q
.
§ 3.
Wzory postaci trygonometrycznej kwaternionu
Dla
π
ϕ
,
0
∈
,
0
sin
≥
ϕ
oraz
dk
cj
bi
a
q
+
+
+
=
wynikaj
ą
poni
ż
sze
równo
ś
ci:
=
+
+
+
−
+
+
+
=
+
+
+
−
+
+
+
=
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
c
b
a
a
d
c
b
a
d
c
b
a
a
d
c
b
a
q
d
c
b
=
−
=
−
=
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
q
a
q
a
d
c
b
a
a
d
c
b
a
d
c
b
a
ϕ
ϕ
sin
cos
1
2
=
−
=
,
(XII)
( )
ϕ
ι
ι
β
sin
2
2
2
q
d
c
b
dk
cj
bi
q
=
+
+
=
+
+
=
,
(XIII)
( )
ϕ
α
cos
q
a
q
=
=
.
Ostatecznie otrzymamy równanie
(XIV)
( )
( )
(
)
ϕ
ι
ϕ
ϕ
ι
ϕ
β
α
sin
cos
sin
cos
+
=
+
=
+
=
q
q
q
q
q
q
.
Definicja 22.
[8]
Wzór (
XIV
) nazywamy postaci
ą
trygonometryczn
ą
kwaternionu q .
http://chomikuj.pl/aligatorro
48
§ 4.
N-ta potęga kwaternionu
B
ę
dziemy korzysta
ć
z nast
ę
puj
ą
cych wzorów:
(XV)
(
)
(
)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
sin
sin
cos
sin
1
sin
n
n
n
n
+
=
+
=
+
;
(XVI)
(
)
(
)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
sin
cos
cos
cos
1
cos
n
n
n
n
−
=
+
=
+
.
Podobnie, jak dla liczb zespolonych prawdziwe s
ą
wzory Moivre’a,
tak dla kwaternionów prawdziwe jest
Twierdzenie 85.
[8]
Je
ś
li
(
)
ϕ
ι
ϕ
sin
cos
+
= q
q
oraz
N
n
∈
, to
(
)
ϕ
ι
ϕ
n
n
q
q
n
n
sin
cos
+
=
.
Dowód.
Dla
0
=
n
mamy
1
0
=
q
,
(
)
(
)
1
0
1
1
0
sin
0
cos
0
=
+
=
+
o
ϕ
ι
ϕ
q
.
Natomiast gdy
1
=
n
, to wzór jest prawdziwy zgodnie z (
XIV
).
Załó
ż
my teraz indukcyjnie,
ż
e wzór jest prawdziwy dla pewnego n .
Sprawdzimy, czy teza twierdzenia, jest prawdziwa dla
1
+
n
.
Korzystaj
ą
c z wzorów (
XV
) i (
XVI
), otrzymujemy
(
) (
)
=
+
+
=
=
+
ϕ
ι
ϕ
ϕ
ι
ϕ
sin
cos
sin
cos
1
q
n
n
q
q
q
q
n
n
n
(
)
=
−
+
+
=
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ι
ϕ
ϕ
ι
ϕ
ϕ
sin
sin
cos
sin
sin
cos
cos
cos
1
n
n
n
n
q
n
(
)
=
+
+
−
=
+
)
cos
sin
sin
(cos
)
sin
sin
cos
(cos
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ι
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
n
n
n
n
q
n
(
)
ϕ
ι
ϕ
)
1
sin(
)
1
cos(
1
+
+
+
=
+
n
n
q
n
.
Na mocy zasady indukcji zupełnej wnioskujemy,
ż
e wzór zachodzi dla
dowolnego n .
http://chomikuj.pl/aligatorro
49
§ 5.
Norma kwaternionu
Definicja 23.
[8]
Norm
ą
kwaternionu q nazywamy wyra
ż
enie postaci
( )
q
q
q
N
=
.
Twierdzenie 86.
[8]
Je
ż
eli
H
q
q
∈
1
,
, to prawdziwe s
ą
nast
ę
puj
ą
ce własno
ś
ci:
1.
(
)
( ) ( )
1
1
q
N
q
N
qq
N
=
;
2.
( )
( )
q
q
q
N
q
N
=
=
;
3. je
ś
li
dk
cj
bi
a
q
+
+
+
=
, to
( )
R
d
c
b
a
q
N
∈
+
+
+
=
2
2
2
2
;
4.
( )
0
=
q
N
wtedy i tylko wtedy, gdy
0
=
q
.
Dowód.
Zauwa
ż
my,
ż
e zgodnie z twierdzeniem 57
( )
2
q
q
q
q
q
q
N
=
=
=
oraz
na mocy twierdze
ń
50 i 52 otrzymujemy:
1.
(
)
( ) ( )
1
2
1
2
2
1
1
q
N
q
N
q
q
qq
qq
N
=
=
=
;
2.
( )
( )
q
N
q
q
q
q
q
N
=
=
=
=
2
2
;
3. niech
dk
cj
bi
a
q
+
+
+
=
, wtedy
( )
2
2
2
2
2
d
c
b
a
q
q
N
+
+
+
=
=
;
4. na mocy twierdzenia 45 tylko, gdy
H
q
∈
=
0
,
( )
q
N
q
q
=
=
0
.
Twierdzenie 87.
[3]
Dla dowolnego
H
q
∈
prawdziwe jest równanie
( )
q
q
N
q
1
1
=
−
.
Dowód.
Wiemy,
ż
e
( )
q
q
q
N
=
. St
ą
d otrzymujemy
( )
( )
q
q
q
q
q
q
q
q
N
1
1
1
−
=
=
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
50
Zgodnie z prawem ł
ą
czno
ś
ci mno
ż
enia i zasadami dzielenia
lewostronnego dla kwaternionów (twierdzenie 35 i definicja 13),
ostatecznie mo
ż
emy zapisa
ć
( )
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
o
.