Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................
Egzamin poprawkowy z rachunku prawdopodobieństwa II
grupa I, 6 marca 2004
Część testowa
W poniższych zadaniach ϕ
X
oznacza funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X.
1. (4pkt) Podaj definicję momentu zatrzymania σ względem filtracji (F
n
)
n0
.
2. (5pkt) Zmienna losowa X spełnia warunki EX = 1, Var(X) = 3. Wówczas ϕ
X
(0) =
,
ϕ
0
X
(0) =
, ϕ
00
X
(0) =
3. (6pkt) Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 2. Oblicz
funkcję charakterystyczną X − Y , ϕ
X−Y
=
4. (4pkt) Podaj definicję warunkowej wartości oczekiwanej całkowalnej zmiennej losowej X
względem σ-ciała G: E(X|G) = Y p.n. wtedy i tylko wtedy gdy
5. (4pkt) Zmienne X
n
zbiegają według rozkładu do zmiennej X. Wynika stąd, że (podkreśl
poprawne odpowiedzi) ϕ
X
n
(t) → ϕ
X
(t) dla wszystkich t,
P(X
n
¬ t) → P(X ¬ t) dla
wszystkich t,
rodzina rozkładów (µ
X
n
)
n
jest ciasna, X
2
n
→ X
2
według rozkładu.
6. (5pkt) Niech X
1
, X
2
, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym
na [−2, 2], S
n
= X
1
+ X
2
+ . . . + X
n
, F
n
= σ(X
1
, . . . , X
n
). Wówczas (S
2
n
− λn, F
n
) jest
martyngałem jeśli λ
, a nadmartyngałem jeśli λ
7. (4pkt) Funkcja ϕ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej. Które z nastę-
pujących funkcji muszą wtedy również być funkcjami charakterystycznymi (podkreśl): ϕ
2
,
1
2
(ϕ + 1), ϕ + 1,
Re(ϕ).
8. (4pkt) Które z następujących warunków implikują zbieżność w L
1
martyngału (X
n
, F
n
)
(podkreśl):
nieujemność X
n
,
jednostajna całkowalność X
n
,
zbieżność prawie na pewno
X
n
, zbieżność X
n
w L
2
.
9. (4pkt) Symetryczne błądzenie losowe na prostej jest (podkreśl poprawne odpowiedzi) powra-
calne, nieokresowe,
ma rozkład stacjonarny, w każdym stanie przebywa prawie na pewno
nieskończenie wiele razy.
10. (4pkt) Zmienne losowe X i Y są ograniczone oraz EX
n
= EY
n
dla wszystkich n. Wynika
stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi):
ϕ
X
= ϕ
Y
,
X ma ten sam rozkład co Y ,
P(X ¬ 0) = P(Y ¬ 0),
P(X = Y ) = 1.
11. (6pkt) Po wierzchołkach trójąta ABC porusza się pionek, w każdym kolejnym ruchu z praw-
dopodobieństwem 1/2 przemieszczając się do jednego z sąsiadów. Niech X
n
oznacza łańcuch
Markowa wyznaczony przez pozycję pionka w n-tym ruchu, A
k
macierz przejścia dla X
n
w
k-krokach.
(a) Oblicz A
1
=
,
A
2
=
(b) Jaki rozkład powinna mieć zmienna X
0
, by rozkład X
n
był taki sam dla wszystkich n?
1
Część zadaniowa
Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć (oraz ewentualnie zadanie 6(b*) i pełne
rozwiązanie każdego z nich napisać na osobnej kartce. Każde z zadań 01-6(a) będzie oceniane w
skali 0-10. Za rozwiązanie zadania 6(b*) można dostać dodatkowe 5 punktów.
1. Niech X
1
, X
2
, . . . będą niezależnymi nieujemnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jedno-
stajnym na przedziale [0, 5]. Wykaż, że zmienne losowe
Z
n
= n min(X
1
, X
2
, . . . , X
n
)
zbiegają według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.
2. Witek w każdy sobotni poranek sprawdza swoje szczęście rzucając (symetryczną) monetą.
Jeśli wypadnie orzeł, Witek udaje się wieczorem do kasyna, gdzie z prawdopodobieństwem
4/5 traci 100 zł, a z prawdopodobieństwem 1/5, wygrywa 100 zł. Jeśli natomiast rankiem
wyrzucił reszkę, idzie wieczorem do kina, kupując bilet za 20 zł. Oszacować prawdopodo-
bieństwo, że w ciągu kolejnych 100 sobót, z portfela Witka ubyło łącznie więcej niż 4500
zł.
3. Zmienne losowe X
1
, X
2
, . . . są niezależne, przy czym zmienna X
n
ma rozkład jednostajny
na odcinku [−
√
n,
√
n], n = 1, 2, . . .. Niech σ
2
n
=
P
n
j=1
Var(X
j
). Zbadać, czy ciąg
X
1
+ X
2
+ . . . + X
n
σ
n
jest zbieżny, a jeśli tak, to do jakiej granicy.
4. Przestrzenią stanów łańcucha Markowa (X
n
) jest zbiór E = {1, 2, 3, 4}. Macierz przejścia
tego łańcucha wynosi
P =
1
4
1
4
1
4
1
4
0
0
3
4
1
4
0
0
1
2
1
2
0
0
0
1
Załóżmy, że X
0
= 1 p.n.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że łańcuch będzie w stanie 4 wcześniej niż w stanie 3?
(b) Obliczyć średni czas oczekiwania na dojście łańcucha do stanu 4.
5. Niech Z
1
= (X
1
, Y
1
), Z
2
= (X
2
, Y
2
), . . . będą niezależnymi wektorami losowymi o standardo-
wym rozkładzie gaussowskim na R
2
. Określmy
τ = inf{n: Z
n
leży w górnej półpłaszczyźnie}.
Znaleźć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej S =
P
τ
i=1
X
i
.
6. Zmienne losowe X
1
, X
2
, . . . są niezależne, przy czym zmienna X
n
ma rozkład Bernoulliego
B(n,
1
n
), n = 1, 2, . . .. Określmy ciąg zmiennych Y
n
wzorem Y
n
= X
1
X
2
. . . X
n
, n = 1, 2, . . ..
(a) Wykazać, że ciąg Y
n
jest martyngałem względem filtracji F
n
= σ(X
1
, X
2
, . . . , X
n
) i że
ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno.
(b*) Czy Y
n
zbieżny w L
1
?
2