Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin poprawkowy z rachunku prawdopodobieństwa II

grupa I, 6 marca 2004

Część testowa

W poniższych zadaniach ϕ

X

oznacza funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X.

1. (4pkt) Podaj definicję momentu zatrzymania σ względem filtracji (F

n

)

n­0

.

2. (5pkt) Zmienna losowa X spełnia warunki EX = 1, Var(X) = 3. Wówczas ϕ

X

(0) =

,

ϕ

0
X

(0) =

, ϕ

00
X

(0) =

3. (6pkt) Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 2. Oblicz

funkcję charakterystyczną X − Y , ϕ

X−Y

=

4. (4pkt) Podaj definicję warunkowej wartości oczekiwanej całkowalnej zmiennej losowej X

względem σ-ciała G: E(X|G) = Y p.n. wtedy i tylko wtedy gdy

5. (4pkt) Zmienne X

n

zbiegają według rozkładu do zmiennej X. Wynika stąd, że (podkreśl

poprawne odpowiedzi) ϕ

X

n

(t) → ϕ

X

(t) dla wszystkich t,

P(X

n

¬ t) → P(X ¬ t) dla

wszystkich t,

rodzina rozkładów (µ

X

n

)

n

jest ciasna, X

2

n

→ X

2

według rozkładu.

6. (5pkt) Niech X

1

, X

2

, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym

na [−2, 2], S

n

= X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

, F

n

= σ(X

1

, . . . , X

n

). Wówczas (S

2

n

− λn, F

n

) jest

martyngałem jeśli λ

, a nadmartyngałem jeśli λ

7. (4pkt) Funkcja ϕ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej. Które z nastę-

pujących funkcji muszą wtedy również być funkcjami charakterystycznymi (podkreśl): ϕ

2

,

1
2

(ϕ + 1), ϕ + 1,

Re(ϕ).

8. (4pkt) Które z następujących warunków implikują zbieżność w L

1

martyngału (X

n

, F

n

)

(podkreśl):

nieujemność X

n

,

jednostajna całkowalność X

n

,

zbieżność prawie na pewno

X

n

, zbieżność X

n

w L

2

.

9. (4pkt) Symetryczne błądzenie losowe na prostej jest (podkreśl poprawne odpowiedzi) powra-

calne, nieokresowe,

ma rozkład stacjonarny, w każdym stanie przebywa prawie na pewno

nieskończenie wiele razy.

10. (4pkt) Zmienne losowe X i Y są ograniczone oraz EX

n

= EY

n

dla wszystkich n. Wynika

stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi):

ϕ

X

= ϕ

Y

,

X ma ten sam rozkład co Y ,

P(X ¬ 0) = P(Y ¬ 0),

P(X = Y ) = 1.

11. (6pkt) Po wierzchołkach trójąta ABC porusza się pionek, w każdym kolejnym ruchu z praw-

dopodobieństwem 1/2 przemieszczając się do jednego z sąsiadów. Niech X

n

oznacza łańcuch

Markowa wyznaczony przez pozycję pionka w n-tym ruchu, A

k

macierz przejścia dla X

n

w

k-krokach.

(a) Oblicz A

1

=









,

A

2

=









(b) Jaki rozkład powinna mieć zmienna X

0

, by rozkład X

n

był taki sam dla wszystkich n?

1

Część zadaniowa

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć (oraz ewentualnie zadanie 6(b*) i pełne

rozwiązanie każdego z nich napisać na osobnej kartce. Każde z zadań 01-6(a) będzie oceniane w
skali 0-10. Za rozwiązanie zadania 6(b*) można dostać dodatkowe 5 punktów.

1. Niech X

1

, X

2

, . . . będą niezależnymi nieujemnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jedno-

stajnym na przedziale [0, 5]. Wykaż, że zmienne losowe

Z

n

= n min(X

1

, X

2

, . . . , X

n

)

zbiegają według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.

2. Witek w każdy sobotni poranek sprawdza swoje szczęście rzucając (symetryczną) monetą.

Jeśli wypadnie orzeł, Witek udaje się wieczorem do kasyna, gdzie z prawdopodobieństwem
4/5 traci 100 zł, a z prawdopodobieństwem 1/5, wygrywa 100 zł. Jeśli natomiast rankiem
wyrzucił reszkę, idzie wieczorem do kina, kupując bilet za 20 zł. Oszacować prawdopodo-
bieństwo, że w ciągu kolejnych 100 sobót, z portfela Witka ubyło łącznie więcej niż 4500
zł.

3. Zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . są niezależne, przy czym zmienna X

n

ma rozkład jednostajny

na odcinku [−

√

n,

√

n], n = 1, 2, . . .. Niech σ

2

n

=

P

n
j=1

Var(X

j

). Zbadać, czy ciąg

X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

σ

n

jest zbieżny, a jeśli tak, to do jakiej granicy.

4. Przestrzenią stanów łańcucha Markowa (X

n

) jest zbiór E = {1, 2, 3, 4}. Macierz przejścia

tego łańcucha wynosi

P =







1
4

1
4

1
4

1
4

0

0

3
4

1
4

0

0

1
2

1
2

0

0

0

1







Załóżmy, że X

0

= 1 p.n.

(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że łańcuch będzie w stanie 4 wcześniej niż w stanie 3?
(b) Obliczyć średni czas oczekiwania na dojście łańcucha do stanu 4.

5. Niech Z

1

= (X

1

, Y

1

), Z

2

= (X

2

, Y

2

), . . . będą niezależnymi wektorami losowymi o standardo-

wym rozkładzie gaussowskim na R

2

. Określmy

τ = inf{n: Z

n

leży w górnej półpłaszczyźnie}.

Znaleźć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej S =

P

τ
i=1

X

i

.

6. Zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . są niezależne, przy czym zmienna X

n

ma rozkład Bernoulliego

B(n,

1

n

), n = 1, 2, . . .. Określmy ciąg zmiennych Y

n

wzorem Y

n

= X

1

X

2

. . . X

n

, n = 1, 2, . . ..

(a) Wykazać, że ciąg Y

n

jest martyngałem względem filtracji F

n

= σ(X

1

, X

2

, . . . , X

n

) i że

ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno.
(b*) Czy Y

n

zbieżny w L

1

?

2