Egzamin poprawkowy z RP2 04 p2

background image

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin poprawkowy z rachunku prawdopodobieństwa II

grupa I, 6 marca 2004

Część testowa

W poniższych zadaniach ϕ

X

oznacza funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X.

1. (4pkt) Podaj definicję momentu zatrzymania σ względem filtracji (F

n

)

0

.

2. (5pkt) Zmienna losowa X spełnia warunki EX = 1, Var(X) = 3. Wówczas ϕ

X

(0) =

,

ϕ

0
X

(0) =

, ϕ

00
X

(0) =

3. (6pkt) Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 2. Oblicz

funkcję charakterystyczną X − Y , ϕ

X−Y

=

4. (4pkt) Podaj definicję warunkowej wartości oczekiwanej całkowalnej zmiennej losowej X

względem σ-ciała G: E(X|G) = Y p.n. wtedy i tylko wtedy gdy

5. (4pkt) Zmienne X

n

zbiegają według rozkładu do zmiennej X. Wynika stąd, że (podkreśl

poprawne odpowiedzi) ϕ

X

n

(t) → ϕ

X

(t) dla wszystkich t,

P(X

n

¬ t) P(X ¬ t) dla

wszystkich t,

rodzina rozkładów (µ

X

n

)

n

jest ciasna, X

2

n

→ X

2

według rozkładu.

6. (5pkt) Niech X

1

, X

2

, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym

na [2, 2], S

n

= X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

, F

n

= σ(X

1

, . . . , X

n

). Wówczas (S

2

n

− λn, F

n

) jest

martyngałem jeśli λ

, a nadmartyngałem jeśli λ

7. (4pkt) Funkcja ϕ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej. Które z nastę-

pujących funkcji muszą wtedy również być funkcjami charakterystycznymi (podkreśl): ϕ

2

,

1
2

(ϕ + 1), ϕ + 1,

Re(ϕ).

8. (4pkt) Które z następujących warunków implikują zbieżność w L

1

martyngału (X

n

, F

n

)

(podkreśl):

nieujemność X

n

,

jednostajna całkowalność X

n

,

zbieżność prawie na pewno

X

n

, zbieżność X

n

w L

2

.

9. (4pkt) Symetryczne błądzenie losowe na prostej jest (podkreśl poprawne odpowiedzi) powra-

calne, nieokresowe,

ma rozkład stacjonarny, w każdym stanie przebywa prawie na pewno

nieskończenie wiele razy.

10. (4pkt) Zmienne losowe X i Y są ograniczone oraz EX

n

= EY

n

dla wszystkich n. Wynika

stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi):

ϕ

X

= ϕ

Y

,

X ma ten sam rozkład co Y ,

P(X ¬ 0) = P(Y ¬ 0),

P(X = Y ) = 1.

11. (6pkt) Po wierzchołkach trójąta ABC porusza się pionek, w każdym kolejnym ruchu z praw-

dopodobieństwem 1/2 przemieszczając się do jednego z sąsiadów. Niech X

n

oznacza łańcuch

Markowa wyznaczony przez pozycję pionka w n-tym ruchu, A

k

macierz przejścia dla X

n

w

k-krokach.

(a) Oblicz A

1

=

,

A

2

=

(b) Jaki rozkład powinna mieć zmienna X

0

, by rozkład X

n

był taki sam dla wszystkich n?

1

background image

Część zadaniowa

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć (oraz ewentualnie zadanie 6(b*) i pełne

rozwiązanie każdego z nich napisać na osobnej kartce. Każde z zadań 01-6(a) będzie oceniane w
skali 0-10. Za rozwiązanie zadania 6(b*) można dostać dodatkowe 5 punktów.

1. Niech X

1

, X

2

, . . . będą niezależnymi nieujemnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jedno-

stajnym na przedziale [0, 5]. Wykaż, że zmienne losowe

Z

n

= n min(X

1

, X

2

, . . . , X

n

)

zbiegają według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.

2. Witek w każdy sobotni poranek sprawdza swoje szczęście rzucając (symetryczną) monetą.

Jeśli wypadnie orzeł, Witek udaje się wieczorem do kasyna, gdzie z prawdopodobieństwem
4/5 traci 100 zł, a z prawdopodobieństwem 1/5, wygrywa 100 zł. Jeśli natomiast rankiem
wyrzucił reszkę, idzie wieczorem do kina, kupując bilet za 20 zł. Oszacować prawdopodo-
bieństwo, że w ciągu kolejnych 100 sobót, z portfela Witka ubyło łącznie więcej niż 4500
zł.

3. Zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . są niezależne, przy czym zmienna X

n

ma rozkład jednostajny

na odcinku [

n,

n], n = 1, 2, . . .. Niech σ

2

n

=

P

n
j
=1

Var(X

j

). Zbadać, czy ciąg

X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

σ

n

jest zbieżny, a jeśli tak, to do jakiej granicy.

4. Przestrzenią stanów łańcucha Markowa (X

n

) jest zbiór E = {1, 2, 3, 4}. Macierz przejścia

tego łańcucha wynosi

P =



1
4

1
4

1
4

1
4

0

0

3
4

1
4

0

0

1
2

1
2

0

0

0

1



Załóżmy, że X

0

= 1 p.n.

(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że łańcuch będzie w stanie 4 wcześniej niż w stanie 3?
(b) Obliczyć średni czas oczekiwania na dojście łańcucha do stanu 4.

5. Niech Z

1

= (X

1

, Y

1

), Z

2

= (X

2

, Y

2

), . . . będą niezależnymi wektorami losowymi o standardo-

wym rozkładzie gaussowskim na R

2

. Określmy

τ = inf{n: Z

n

leży w górnej półpłaszczyźnie}.

Znaleźć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej S =

P

τ
i
=1

X

i

.

6. Zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . są niezależne, przy czym zmienna X

n

ma rozkład Bernoulliego

B(n,

1

n

), n = 1, 2, . . .. Określmy ciąg zmiennych Y

n

wzorem Y

n

= X

1

X

2

. . . X

n

, n = 1, 2, . . ..

(a) Wykazać, że ciąg Y

n

jest martyngałem względem filtracji F

n

= σ(X

1

, X

2

, . . . , X

n

) i że

ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno.
(b*) Czy Y

n

zbieżny w L

1

?

2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Egzamin poprawkowy z RP2 28 lutego 2005 p1
Egzamin poprawkowy z RP2 03 marzec 2008 p1
04 Egzamin Poprawkowy 2010 201 Nieznany (2)
Egzamin z RP2, 2005--p2
2003 04 egzamin poprawkowy
04 Egzamin Poprawkowy 2010 201 Nieznany (2)
04 Egzamin Poprawkowy 2010 2011 GiK (rozwiązania)
Egzamin poprawkowy I 2009 2010
1stopień egzamin poprawkowy 070909
egzamin poprawkowy teoria 16 09 10
Patofizjologia egzamin poprawka 2011
pp egzamin poprawiany, STUDIA, Podstawy pielęgniarstwa, Egzamin
pp egzamin poprawiany (2), Pielęgniarstwo, rok I, podstawy pielęgniarstwa, giełdy
Kolokwium z RP2 08 p2

więcej podobnych podstron