Funkcje

Dane s¡ dwa zbiory, A i B. Ka»demu elementowi ze zbioru
A

przypisujemy jednoznacznie pewien element ze zbioru B.

Kolekcj¦ takich przypisa« nazywamy funkcj¡ ze zbioru A do

zbioru B. Zbiór A nazywamy dziedzin¡ funkcji, natomiast

zbiór B nazywamy przeciwdziedzin¡ funkcji.
Funkcje zwykle oznaczamy symbolami. Np.: funkcj¦ f ze

zbioru A do zbioru B oznaczamy jako:

f : A → B

Dla a ∈ A, f(a) jest elementem zbioru B, który

jednoznacznie przypisali±my elementowi a za pomoc¡

funkcji f. Element f(a) nazywamy warto±ci¡ (obrazem)

funkcji f dla elementu a.

Zbiór warto±ci f(a) dla

wszystkich elementów a ∈ A nazywamy obrazem funkcji f

i oznaczamy jako Im(f).

Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych

1

Funkcja jako relacja

Ka»da funkcja f : A → B wyznacza relacj¦ nazywan¡

wykresem funkcji, któr¡ deniujemy jako:

wykres funkcji f = {(a, b)|a ∈ A, b = f(a)}

Ka»da relacja R ze zbioru A do zbioru B, która ma

wªasno±¢, »e ka»dy element a ∈ A nale»y dokªadnie

do jednej pary uporz¡dkowanej (a, b), wyznacza funkcj¦:
f (a) = b

wtedy i tylko wtedy, gdy aRb.

Z dwóch powy»szych faktów wynika nast¦puj¡ca denicja:
Def.: Funkcja f : A → B jest relacj¡ ze zbioru A do zbioru
B

(czyli jest podzbiorem A × B), tak¡ »e ka»dy element

a ∈ A

nale»y do dokªadnie jednej pary uporz¡dkowanej

(a, b)

w f.

Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych

2

Iniekcja, surjekcja, bijekcja

Funkcja f : A → B jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡

(iniekcj¡) je»eli ró»ne elementy dziedziny maj¡ ró»ne obrazy.

Czyli funkcja jest ró»nowarto±ciowa je»eli f(a) = f(a

0

)

implikuje a = a

0

.

Funkcja f : A → B jest funkcj¡ na (surjekcj¡) je»eli

ka»dy element b ∈ B jest obrazem pewnego elementu
a ∈ A

. Czyli funkcja jest na je»eli obraz f jest równy

przeciwdziedzinie f, czyli f(A) = B.
Funkcja f : A → B jest funkcj¡ wzajemnie jednoznaczn¡

(bijekcj¡, funkcj¡ odwracaln¡) je»eli relacja odwrotna f

−1

jest funkcj¡ z B do A.
Oczywi±cie w ogólno±ci, dla dowolnej funkcji f, relacja

odwrotna f

−1

nie musi by¢ funkcj¡. Poni»sze twierdzenie

podaje proste kryterium, kiedy funkcja jest funkcj¡

wzajemnie jednoznaczn¡.
Tw.: Funkcja f jest wzajemnie jednoznaczna wtedy i tylko

wtedy, gdy f jest jednocze±nie ró»nowarto±ciowa i na.

Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych

3

Funkcje - przykªad

Dla poni»szych funkcji z R do R poda¢ obraz oraz

odpowiedzie¢ czy funkcja jest iniekcj¡, surjekcja, bijekcj¡.

f (x) = e

2

f (x) = x

1

f (x) = x

4

f (x) = x − x

3

3

3

x

2

Odp.: Im(f

1

) = R

+

∪ {0}

, Im(f

2

) = R

+

\ {0}

,

Im(f

3

) = Im(f

4

) = R

f

2

jest iniekcj¡, f

3

jest surjekcj¡, f

4

jest bijekcj¡

Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych

4

Funkcje - przykªady

Która z poni»szych funkcji jest iniekcj¡, surjekcja, bijekcj¡.
(R

+

= {x ∈ R|x ≥ 0})

f (x) = x

2

2

f (x) = x

1

2

1

f :

R

R

f (x) = x

2

3

3

f :

R

R

+

4

f

:

R

R

2

f

+

:

R

R

+

f (x) = x

2

+

4

Odp.: f

2

jest surjekcj¡, f

3

jest iniekcj¡, f

4

jest bijekcj¡

Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych

5