Uniwersytet Warszawski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki

Jan Wróblewski

Nr albumu: 277632

Wahadło podwójne

Praca licencjacka

na kierunku MATEMATYKA

w zakresie MATEMATYKI STOSOWANEJ

Praca wykonana pod kierunkiem
prof. Dariusza Wrzoska
Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki

Sierpie ´n 2011

O´swiadczenie kieruj ˛

acego prac ˛

a

Potwierdzam, ˙ze niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i

kwalifikuje si˛e do przedstawienia jej w post˛epowaniu o nadanie tytułu zawodowe-
go.

Data

Podpis kieruj ˛

acego prac ˛

a

O´swiadczenie autora (autorów) pracy

´Swiadom odpowiedzialno´sci prawnej o´swiadczam, ˙ze niniejsza praca dyplomo-

wa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera tre´sci uzyskanych w
sposób niezgodny z obowi ˛

azuj ˛

acymi przepisami.

O´swiadczam równie ˙z, ˙ze przedstawiona praca nie była wcze´sniej przedmiotem

procedur zwi ˛

azanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wy ˙zszej uczelni.

O´swiadczam ponadto, ˙ze niniejsza wersja pracy jest identyczna z zał ˛

aczon ˛

a wer-

sj ˛

a elektroniczn ˛

a.

Data

Podpis autora (autorów) pracy

Streszczenie

W pracy przedstawiono analiz˛e ruchu wahadła matematycznego i wahadła matematyczne-
go podwójnego. Do konstrukcji modelu matematycznego wykorzystano równania Eulera-
Lagrange’a, a nast˛epnie dla ka ˙zdego z tych układów zbadano punkty stacjonarne, ich stabil-
no´s´c oraz rozwi ˛

azano równania ró ˙zniczkowe dla przypadku zlinearyzowanego w punkcie

stabilnym (w sensie Lapunowa). Zbadano równie ˙z okres drga ´n w przypadku wahadła po-
jedynczego oraz przypadków zlinearyzowanych obu wahadeł. Umieszczono te ˙z wykresy z
rozwi ˛

azaniami numerycznymi.

Słowa kluczowe

dynamika Lagrange’a, wahadło, wahadło podwójne

Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus)

11.1 Matematyka

Klasyfikacja tematyczna

70 Mechanics of particles and systems For relativistic mechanics
70H Hamiltonian and Lagrangian mechanics
70H03 Lagrange’s equations
34 Ordinary differential equations
34C Qualitative theory
34C25 Periodic solutions

Tytuł pracy w j˛ezyku angielskim

Double pendulum

Spis tre´sci

Wprowadzenie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1. Podstawowe poj˛ecia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2. Formalizm Lagrange’a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3. Mechanika wahadeł

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.1. Wahadło pojedyncze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.1.1. Równania Eulera-Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.1.2. Rozwi ˛

azania stacjonarne i ich stabilno´s´c . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.1.3. Okres drga ´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.1.4. Przestrze ´n fazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.1.5. Linearyzacja rozwi ˛

azania stabilnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2. Wahadło podwójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2.1. Równania Eulera-Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2.2. Rozwi ˛

azania stacjonarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.2.3. Linearyzacja rozwi ˛

aza ´n stacjonarnych i ich stabilno´s´c . . . . . . . . . .

22

3.2.4. Linearyzacja rozwi ˛

azania stabilnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.5. Wykresy i ich analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4. Podsumowanie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Bibliografia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3

Wprowadzenie

Celem pracy jest zbadanie ruchu wahadła matematycznego podwójnego. Narz˛edziem u ˙zy-
wanym do konstrukcji równa ´n ró ˙zniczkowych zwyczajnych opisuj ˛

acych ten model jest for-

malizm Lagrange’a. Jako wst˛ep do rozwa ˙za ´n na wahadłem podwójnym zostało przedsta-
wione wahadło matematyczne pojedyncze.

Istnieje wiele zastosowa ´n wahadeł, których uproszczeniem s ˛

a wahadła matematyczne.

Najbardziej znanym jest pomiar czasu. Pierwszym naukowcem badaj ˛

acym wła´sciwo´sci wa-

hadeł (od roku 1602) był Galileusz. W 1656 został skonstruowany pierwszy zegar wahadło-
wy przez Christiana Huygensa. Do około 1930 roku, kiedy to zegary kwarcowe weszły do
u ˙zycia, zegary wahadłowe posiadały najwi˛eksz ˛

a precyzj˛e (rz˛edu sekundy bł˛edu na rok).

Innym wczesnym zastosowaniem wahadeł było badanie przyspieszenia ziemskiego. Z bie-
giem czasu zacz˛eto bada´c ró ˙zne rodzaje wahadeł. Ciekawym przykładem jest wahadło Fo-
ucault’a ukazuj ˛

ace działanie siły Coriolisa.

W tej pracy głównym tematem jest opis ruchu wahadła podwójnego. Model taki jest

u ˙zywany mi˛edzy innymi w biomechanice jako uproszczenie działania ramienia ludzkiego.

5

Rozdział 1

Podstawowe poj˛ecia

energia

skalarna wielko´s´c fizyczna charakteryzuj ˛

aca stan układu fizycznego (materii) jako

jego zdolno´s´c do wykonania pracy (zaczerpni˛ete z [E])

energia kinetyczna

energia ciała zwi ˛

azana z jego ruchem (zaczerpni˛ete z [EK])

energia potencjalna

energia jak ˛

a ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych,

wynikaj ˛

aca z rozmieszczenia tych ciał, równa pracy, jak ˛

a trzeba wykona´c, aby uzyska´c

dan ˛

a konfiguracj˛e ciał, wychodz ˛

ac od innego rozmieszczenia, dla którego umownie

przyjmuje si˛e jej warto´s´c równ ˛

a zero (zaczerpni˛ete z [EP])

funkcja okresowa

funkcja posiadaj ˛

aca okres

lagran˙zjan

nazwa funkcji stosowanej w równaniach Eulera-Lagrange’a b˛ed ˛

aca klasycznie

warto´sci ˛

a ró ˙znicy energii kinetycznej i potencjalnej

okres funkcji

takie T

>

0, ˙ze

∀

x

∈

R

f (x) = f (x + T)

okres podstawowy funkcji

najmniejszy okres funkcji ró ˙znej od to ˙zsamo´sciowo stałej

wahadło matematyczne (pojedyncze)

punkt materialny zaczepiony na niewa ˙zkim pr˛ecie

zawieszonym z drugiej strony w pewnym punkcie

wahadło matematyczne podwójne

wahadło matematyczne pojedyncze zawieszone na in-

nym wahadle matematycznym pojedynczym

7

Rozdział 2

Formalizm Lagrange’a

Formalizm Lagrange’a jest generyczn ˛

a metod ˛

a tworzenia modeli matematycznych układów

fizycznych, które spełniaj ˛

a pewne wła´sciwo´sci. W tym rozdziale omówimy sposób genero-

wania takiego modelu matematycznego w pewnym szczególnym przypadku, pomijaj ˛

ac do-

wód poprawno´sci tego wyprowadzenia. Model ten ma słu ˙zy´c do znalezienia poło ˙zenia jego
elementów w przestrzeni dla dowolnego czasu. Pozostałe niezmienne w czasie parametry
fizyczne układu (masa, długo´sci elementów, itp.) b˛edziemy traktowa´c jako stałe zawarte w
rozwa ˙zanych poni ˙zej funkcjach.

Interesuje nas model fizyczny, w którym wyst˛epuje n punktów materialnych w prze-

strzeni

R

3

poł ˛

aczonych wi˛ezami, tzn. istnieje pewna funkcja F : (

R

3

)

n

×

R

→

R

m

, taka

˙ze:

F(x

1

, ..., x

n

, t)

≡

0

Gdzie x

i

∈

R

3

to współrz˛edne punktów materialnych, a t to czas. Załó ˙zmy, ˙ze to równanie

jest spełnione na pewnej rozmaito´sci ró ˙zniczkowej. Załó ˙zmy, ˙ze dla pewnego zbioru otwar-
tego D mamy map˛e dla tej rozmaito´sci:

D

3

(ϕ, t) = (ϕ

1

, ..., ϕ

3n

−

m

, t)

→

(x

1

, ..., x

n

) = x

∈

(

R

3

)

n

Ograniczmy si˛e do współrz˛ednych punktów materialnych zawartych w obrazie tego od-
wzorowania. Wtedy ϕ

1

, ..., ϕ

3n

−

m

nazywamy współrz˛ednymi uogólnionymi tego układu.

Zadanie znalezienia współrz˛ednych punktów materialnych układu jako funkcji od czasu
sprowadza si˛e wi˛ec do znalezienia zale ˙zno´sci współrz˛ednych uogólnionych od czasu. Za-
łó ˙zmy, ˙ze współrz˛edne uogólnione ϕ

i

s ˛

a ró ˙zniczkowalnymi funkcjami od czasu. Ich pochod-

ne po czasie s ˛

a równie ˙z funkcjami od czasu i b˛edziemy je oznacza´c przez ˙ϕ

i

. Niech U(ϕ, ˙ϕ, t)

jest energi ˛

a potencjaln ˛

a naszego układu fizycznego okre´slon ˛

a w współrz˛ednych uogólnio-

nych, a T(ϕ, ˙ϕ, t) jego energi ˛

a kinetyczn ˛

a. Wtedy tworzymy funkcj˛e zwan ˛

a lagran ˙zjanem:

L = T

−

U

Nasz model fizyczny jest wtedy opisywany przez 3n

−

m równa ´n ró ˙zniczkowych zwyczaj-

nych:

∀

i

∈{

1,...,3n

−

m

}

d

dt



∂L

∂ ˙

ϕ

i



−

∂L

∂ϕ

i

= 0

S ˛

a to równania Eulera-Lagrange’a wyznaczaj ˛

ace ekstramal˛e funkcjonału wariacyjnego zwa-

nego funkcjonałem działania.

Formalizm Lagrange’a został dokładnie omówiony oraz została udowodniona jego po-

prawno´s´c pod wzgl˛edem fizycznym w [Olch]. W kolejnym rozdziale u ˙zyjemy tej metody do
konstrukcji modelu matematycznego wahadła matematycznego pojedynczego i podwójne-
go.

9

Rozdział 3

Mechanika wahadeł

3.1. Wahadło pojedyncze

Rysunek 3.1: Schemat wahadła pojedynczego

Jako wst˛ep rozwa ˙zmy wahadło matematyczne pojedyncze. W badanym układzie na sztyw-
nym niewa ˙zkim pr˛ecie jest zaczepiony punkt materialny. B˛edziemy analizowa´c ruch tego
wahadła, obliczymy jego okres drga ´n, a nast˛epnie zbadamy punkty stacjonarne równa ´n
go okre´slaj ˛

acych. W dalszej cz˛e´sci przeprowadzimy rozwa ˙zania dotycz ˛

ace zlinearyzowanej

wersji tego układu.

3.1.1. Równania Eulera-Lagrange’a

Okre´slmy współrz˛edne i pr˛edko´s´c zawieszonego punktu:

(x, y) = (l sin ϕ, l cos ϕ)

v =

q

˙x

2

+ ˙y

2

Obliczamy energi˛e potencjaln ˛

a U i energi˛e kinetyczn ˛

a T tego układu:

U =

−

mgy =

−

mgl cos ϕ

T =

1
2

mv

2

=

1
2

ml

2

˙ϕ

2

11

Obliczamy lagran ˙zjan tego układu i stosujemy równanie Eulera-Lagrange’a, by opisa´c jego
ruch:

L = T

−

U =

1
2

ml

2

˙ϕ

2

+ mgl cos ϕ

d

dt



∂L

∂ ˙

ϕ



−

∂L

∂ϕ

= 0

Nast˛epnie obliczamy:

d

dt



∂L

∂ ˙

ϕ



= ml

2

¨

ϕ

∂L

∂ϕ

=

−

mgl sin ϕ

Podstawiaj ˛

ac do równania Eulera-Lagrange’a otrzymujemy:

(3.1)

ml

2

¨

ϕ

+ mgl sin ϕ = 0

Od tej pory stosujmy naturalne z fizycznego punktu widzenia zało ˙zenia:

m

>

0

l

>

0

g

>

0

Wtedy dziel ˛

ac przez ml

2

mo ˙zemy upro´sci´c (3.1) do postaci:

¨

ϕ

+

g

l

sin ϕ = 0

Mo ˙zemy to równanie sprowadzi´c do układu równa ´n ró ˙zniczkowych pierwszego rz˛edu

opisuj ˛

acych ruch wahadła:

(3.2)

(

dϕ

dt

= ω

dω

dt

=

−

g

l

sin ϕ

3.1.2. Rozwi ˛

azania stacjonarne i ich stabilno´s´c

Zapiszmy (3.2) w postaci:

x = (ϕ, ω)

∈

R

2

˙x = F(x)

Znajd´zmy rozwi ˛

azania stacjonarne

(

ω

= 0

−

g

l

sin ϕ = 0

Dla ϕ

∈

[0, 2π) rozwi ˛

azania stacjonarne to:

a)

(

ϕ

= 0

ω

= 0

b)

(

ϕ

= π

ω

= 0

12

Macierze zlinearyzowanego układu (3.2) w poszczególnych punktach stacjonarnyh dla

wektora (ϕ, ω) wygl ˛

adaj ˛

a nast˛epuj ˛

aco:

a)



0

1

−

g

l

0



b)



0 1

g

l

0



Od razu wida´c, ˙ze warto´sciami własnymi s ˛

a:

a) i

q

g

l

,

−

i

q

g

l

b)

q

g

l

,

−

q

g

l

Z tego wynika, ˙ze rozwi ˛

azanie b jest niestabilne (a dokładniej typu siodło). W przypadku a

mamy punkt niehiperboliczny, ale mo ˙zemy udowodni´c jego stabilno´s´c w sensie Lapunowa.
Funkcj ˛

a Lapunowa V tego układu, a zarazem jego całk ˛

a pierwsz ˛

a, jest całkowita energia

podzielona przez ml

2

i przesuni˛eta o stał ˛

a, aby jej warto´s´c była zawsze nieujemna:

V(ϕ, ω) =

1
2

ω

2

+

g

l

(1

−

cos ϕ)

Jest to poprawna funkcja Lapunowa, co wyka ˙zemy ni ˙zej. Oznaczmy pewne dostatecznie
małe otoczenie zera przez

O

(0).

V(0) = 0

V(x)

>

0, x

6

= 0, x

∈ O

(0)

˙

V(x) =

h

DV, F

i

=

D

g

l

sin ϕ, ω



,



ω

,

−

g

l

sin ϕ

E

= 0

Ko ´nczy to dowód stabilno´sci w sensie Lapunowa w przypadku a.

3.1.3. Okres drga ´n

Z (3.2) mo ˙zemy otrzyma´c równanie w postaci ró ˙zniczki:

ωdω

−

g

l

sin ϕdϕ = 0

Mo ˙zna zauwa ˙zy´c, ˙ze jest to ró ˙zniczka zupełna funkcji:

G(ω, ϕ) =

1
2

ω

2

−

g

l

cos ϕ

Analizuj ˛

ac j ˛

a z fizycznego punktu widzenia dostrzegamy, ˙ze jest to energia całkowita na-

szego układu podzielona przez ml

2

. Posiadaj ˛

ac t˛e funkcj˛e wiemy, ˙ze rozwi ˛

azania naszego

układu s ˛

a okre´slone w uwikłany sposób przez:

G(ω, ϕ) = c = const

Teraz dla zmiennej ϕ uto ˙zsamiamy prost ˛

a rzeczywist ˛

a z przedziałem [0, 2π) dodaj ˛

ac do k ˛

ata

tak ˛

a wielokrotno´s´c 2π, by znalazł si˛e on w tym przedziale. Po tej operacji ze wzgl˛edu na

posta´c funkcji G wida´c, ˙ze rozwi ˛

azania tego układu s ˛

a okresowe. Funkcj˛e G mo ˙zna odwikła´c

ze wzgl˛edu na ω przy pewnych zało ˙zeniach:

ω

=

r

2c +

2g

l

cos ϕ, ω

≥

0

13

Okre´slmy warunki pocz ˛

atkowe. Załó ˙zmy, ˙ze wahadło miało pocz ˛

atkowo zerow ˛

a pr˛ed-

ko´s´c i pewien ustalony k ˛

at wychylenia ϕ

0

∈

(0, π):

G(0, ϕ

0

) = c =

−

g

l

cos ϕ

0

Obliczamy okres drga ´n tego wahadła. Poni ˙zsze przekształcenia s ˛

a prawdziwe dla ϕ

∈

(

−

ϕ

0

, ϕ

0

):

ω

=

dϕ

dt

=

r

2g

l

cos ϕ

−

cos ϕ

0

dt

dϕ

=

s

l

2g

1

q

cos ϕ

−

cos ϕ

0

Mo ˙zemy scałkowa´c powy ˙zsze równanie. Okres drga ´n to czas po którym wahadło powróci
do pocz ˛

atkowego poło ˙zenia. Jest to z kolei podwojony czas po którym wahadło znajdzie si˛e

w poło ˙zeniu ϕ =

−

ϕ

0

, i cztery razy dłu ˙zszy od czasu po którym wahadło znajdzie si˛e w

dolnym poło ˙zeniu (ϕ = 0). Dla ϕ

∈

(0, ϕ

0

) wyra ˙zenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, wi˛ec

funkcja podcałkowa jest dobrze okre´slona.

T = 2

√

2

s

l

g

Z

ϕ

0

0

dϕ

√

cos ϕ

−

cos ϕ

0

Ta całka jest nieelementarna, ale do zastosowa ´n fizycznych mo ˙zemy z dowoln ˛

a dokładno-

´sci ˛

a j ˛

a policzy´c dla ustalonego ϕ

0

.

3.1.4. Przestrze ´n fazowa

W poprzednim podpunkcie znale´zli´smy całk˛e pierwsz ˛

a naszego układu równa ´n. Wykorzy-

stajmy j ˛

a do naszkicowania przestrzeni fazowej dla ró ˙znych stałych c:

ω

=

±

r

2g

l

cos ϕ + c

Poni ˙zej ustalili´smy stałe g = 10 i l = 1.

14

Rysunek 3.2: Przestrze ´n fazowa dla wahadła pojedynczego

Z tego wykresu mo ˙zemy wywnioskowa´c, ˙ze dla du ˙zych energii wahadło b˛edzie si˛e kr˛e-

ci´c, dla małych b˛edzie wykonywa´c ruch tam i z powrotem, a dla pewnej krytycznej warto´sci
jego poło ˙zenie b˛edzie w niesko ´nczonym czasie d ˛

a ˙zy´c do poło ˙zenia równowagi niestabilnej.

T ˛

a krytyczn ˛

a warto´sci ˛

a jest posiadanie przez wahadło energii równej energii w poło ˙zeniu

równowagi niestabilnej (dla ϕ = π).

3.1.5. Linearyzacja rozwi ˛

azania stabilnego

Linearyzuj ˛

ac równania w (0, 0) otrzymujemy układ równa ´n ró ˙zniczkowych:

(

˙ϕ = ω

˙

ω

=

−

g

l

ϕ

Mo ˙zna go szybko rozwi ˛

aza´c otrzymuj ˛

ac wynik:

ϕ

(t) = sin

r g

l

t



Mo ˙zna znale´z´c te ˙z szybko całk˛e pierwsz ˛

a:

G

zlin

(ω, ϕ) = ω

2

+

g

l

ϕ

2

= c

Z tego wynika, ˙ze przestrze ´n fazow ˛

a tworz ˛

a elipsy. Narysujmy j ˛

a dla stałych g = 10 i l = 1,

tak jak poprzednio:

15

Rysunek 3.3: Przestrze ´n fazowa dla zlinearyzowanego układu wahadła pojedynczego

Wtedy okres tego wahadła jest równy:

T

lin

= 2π

s

l

g

Mo ˙zemy wprost udowodni´c, ˙ze okres w przypadku niezlinearyzowanym d ˛

a ˙zy do okre-

su w przypadku zlinearyzowanym dla ϕ

0

→

0. Obliczmy:

lim

ϕ

0

→

0

T = lim

ϕ

0

→

0

2

√

2

s

l

g

Z

ϕ

0

0

dϕ

√

cos ϕ

−

cos ϕ

0

= 2

√

2

s

l

g

lim

ϕ

0

→

0

Z

1

0

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

= 2

√

2

s

l

g

lim

ϕ

0

→

0

Z

1

0

ϕ

0

dx

q

−

2 sin ϕ

0

x+1

2

sin ϕ

0

x

−

1

2

= 2

√

2

s

l

g

Z

1

0

lim

ϕ

0

→

0

dx

r

−

2

sin

(

ϕ

0

x+1

2

)

ϕ

0

x+1

2

x+1

2

sin

(

ϕ

0

x

−

1

2

)

ϕ

0

x

−

1

2

x

−

1

2

= 4

s

l

g

Z

1

0

dx

√

1

−

x

2

= 4

s

l

g

(arcsin 1

−

arcsin 0) = 2π

s

l

g

= T

lin

Aby udowodni´c poprawno´s´c powy ˙zszych oblicze ´n nale ˙zy jeszcze uzasadni´c popraw-

no´s´c przej´scia z granic ˛

a pod całk˛e. Ci ˛

ag funkcji podcałkowych nie jest jednostajnie zbie ˙zny

na całym przedziale [0, 1), ale mo ˙zna udowodni´c jego jednostajn ˛

a zbie ˙zno´s´c na przedziale

[0, 1

−

ε

] dla dowolnie małego ε. Podzielmy całk˛e z [0, 1) na całki z dwóch przedziałów:

lim

ϕ

0

→

0

Z

1

0

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

= lim

ε

→

0

lim

ϕ

0

→

0

Z

1

−

ε

0

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

+

Z

1

1

−

ε

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

16

Ustalmy ε. Udowodnijmy teraz jednostajn ˛

a zbie ˙zno´s´c na przedziale [0, 1

−

ε

] ci ˛

agu funkcji

podcałkowych:

ϕ

0

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

⇒

r

2

1

−

x

2

Zwracaj ˛

ac uwag˛e, ˙ze wyra ˙zenie 1

−

x

2

s ˛

a ograniczone z dołu przez 1

−

ε

2

>

0, liczymy:

ϕ

0

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

=

v
u
u
t

ϕ

2

0



1

−

(ϕ

0

x)

2

2!

+

(ϕ

0

x)

4

4!

−

...



−



1

−

ϕ

2

0

2!

+

ϕ

4

0

4!

−

...



=

1

r

1

−

x

2

2

+

1

ϕ

2

0



(ϕ

0

x)

4

4!

−

(ϕ

0

x)

6

6!

+ ...

−

ϕ

4

0

4!

+

ϕ

6

0

6!

−

...



=

s

2

1

−

x

2

+ O(ϕ

2

0

)

s

2

1

−

x

2

+ O(ϕ

2

0

)

−

r

2

1

−

x

2

sup

=

√

2

1

1

−

x

2

+O(ϕ

2

0

)

−

1

1

−

x

2

1

√

1

−

x

2

+O(ϕ

2

0

)

+

1

√

1

−

x

2

sup

=

√

2

1

−

x

2

−

(

1

−

x

2

+O

(

ϕ

2

0

))

(

1

−

x

2

+O(ϕ

2

0

)

)(

1

−

x

2

)

1

√

1

−

x

2

+O(ϕ

2

0

)

+

1

√

1

−

x

2

sup

=

√

2

O(ϕ

2

0

)

(

1

−

x

2

+O(ϕ

2

0

)

)(

1

−

x

2

)

1

√

1

−

x

2

+O(ϕ

2

0

)

+

1

√

1

−

x

2

sup

→

0

Dowodzi to jednostajnej zbie ˙zno´sci. Korzystaj ˛

ac z niej, mo ˙zemy wej´s´c z granic ˛

a pod całk˛e:

lim

ϕ

0

→

0

Z

1

−

ε

0

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

=

Z

1

−

ε

0

r

2dx

1

−

x

2

Nast˛epnie szacujemy dla małych ϕ

0

i ε pami˛etaj ˛

ac, ˙ze wyra ˙zenie pod pierwiastkiem jest

nieujemne:

0

≤

Z

1

1

−

ε

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

=

Z

1

1

−

ε

ϕ

0

dx

q

1

−

ϕ

2

0

2!

x

2

+

ϕ

4

0

4!

x

4

−

...

−

1 +

ϕ

2

0

2!

−

ϕ

4

0

4!

+ ...

=

Z

1

1

−

ε

ϕ

0

dx

q

ϕ

2

0

2!

(1

−

x

2

)

−

ϕ

4

0

4!

(1

−

x

4

) + ...

=

Z

ε

0

ϕ

0

dx

r

ϕ

2

0

2!



1

−

(1

−

x)

2



−

ϕ

4

0

4!



1

−

(1

−

x)

4



+ ...

=

Z

ε

0

ϕ

0

dx

q

ϕ

2

0

2!

(2x + o(x))

−

ϕ

4

0

4!

(4x + o(x)) + ...

=

Z

ε

0

dx

q

1

1!

x

−

ϕ

2

0

3!

x +

ϕ

4

0

5!

x

−

... + o(x)

≤

Z

ε

0

dx

q

1

1!

−

1

3!

−

1

5!

+ ...

x + o(x)

≤

Z

ε

0

dx

√

const

·

x

= const

·

√

x

|

ε

0

= O(

√

ε

)

Zatem:

lim

ε

→

0

lim

ϕ

0

→

0

Z

1

1

−

ε

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

= 0

17

Mo ˙zemy teraz zako ´nczy´c dowód poprawno´sci przej´scia z granic ˛

a pod całk˛e:

lim

ϕ

0

→

0

Z

1

0

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

= lim

ε

→

0

lim

ϕ

0

→

0

Z

1

−

ε

0

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

+

Z

1

1

−

ε

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

= lim

ε

→

0

Z

1

−

ε

0

lim

ϕ

0

→

0

ϕ

0

dx

pcos(ϕ

0

x)

−

cos ϕ

0

+ 0

= lim

ε

→

0

Z

1

−

ε

0

r

2dx

1

−

x

2

=

Z

1

0

r

2dx

1

−

x

2

Ostatnia równo´s´c wynika z istnienia ci ˛

agłej funkcji pierwotnej dla funkcji podcałkowej na

całym przedziale [0, 1] i ci ˛

agło´sci całki.

18

3.2. Wahadło podwójne

3.2.1. Równania Eulera-Lagrange’a

Rysunek 3.4: Schemat wahadła podwójnego

Współrz˛edne i pr˛edko´s´c:

(x

1

, y

1

) = (l

1

sin ϕ

1

, l

2

cos ϕ

2

)

(x

2

, y

2

) = (l

1

sin ϕ

1

+ l

2

sin ϕ

2

, l

1

cos ϕ

1

+ l

2

cos ϕ

2

)

v

i

=

q

˙

x

i

2

+ ˙

y

i

2

Energie:

(3.3a)

U =

−

m

1

gy

1

−

m

2

gy

2

=

−

(m

1

+ m

2

)gl

1

cos ϕ

1

−

m

2

gl

2

cos ϕ

2

(3.3b)

T =

1
2

m

1

v

2

1

+

1
2

m

2

v

2

2

=

1
2

m

1



l

1

cos ϕ

1

˙ϕ

1

2

+

−

l

1

sin ϕ

1

˙ϕ

1

2



+

1
2

m

2



l

1

cos ϕ

1

˙ϕ

1

+ l

2

cos ϕ

2

˙ϕ

2

2

+

−

l

1

sin ϕ

1

˙ϕ

1

−

l

2

sin ϕ

2

˙ϕ

2

2



=

1
2

m

1

l

2

1

˙ϕ

2

1

+

1
2

m

2

l

2

1

˙ϕ

2

1

+ l

2

2

˙ϕ

2

2

+ 2l

1

l

2

cos ϕ

1

cos ϕ

2

+ sin ϕ

1

sin ϕ

2

˙ϕ

1

˙ϕ

2

=

1
2

(m

1

+ m

2

)l

2

1

˙ϕ

2

1

+

1
2

m

2

l

2

2

˙ϕ

2

2

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

1

˙ϕ

2

Lagran ˙zjan tego układu i równanie Eulera-Lagrange’a:

L = T

−

U

=

1
2

(m

1

+ m

2

)l

2

1

˙ϕ

2

1

+

1
2

m

2

l

2

2

˙ϕ

2

2

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

1

˙ϕ

2

+ (m

1

+ m

2

)gl

1

cos ϕ

1

+ m

2

gl

2

cos ϕ

2

(3.4)

∀

i

d

dt



∂L

∂ ˙

ϕ

i



−

∂L

∂ϕ

i

= 0

19

Obliczamy:

d

dt



∂L

∂ ˙

ϕ

1



=

d

dt

(m

1

+ m

2

)l

2

1

˙ϕ

1

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

= (m

1

+ m

2

)l

2

1

¨

ϕ

1

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

2

−

m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)( ˙ϕ

1

−

˙ϕ

2

) ˙ϕ

2

∂L

∂ϕ

1

=

−

m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

1

˙ϕ

2

−

(m

1

+ m

2

)gl

1

sin ϕ

1

d

dt



∂L

∂ ˙

ϕ

2



=

d

dt

m

2

l

2

2

˙ϕ

2

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

1

= m

2

l

2

2

¨

ϕ

2

m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

1

−

m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)( ˙ϕ

1

−

˙ϕ

2

) ˙ϕ

1

∂L

∂ϕ

2

= m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

1

˙ϕ

2

−

m

2

gl

2

sin ϕ

2

Podstawiamy nast˛epnie do (3.4) i przekształcamy:























(m

1

+ m

2

)l

2

1

¨

ϕ

1

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

2

−

m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)( ˙ϕ

1

−

˙ϕ

2

) ˙ϕ

2

+

m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

1

˙ϕ

2

+ (m

1

+ m

2

)gl

1

sin ϕ

1

= 0

m

2

l

2

2

¨

ϕ

2

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

1

−

m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)( ˙ϕ

1

−

˙ϕ

2

) ˙ϕ

1

−

m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

1

˙ϕ

2

+ m

2

gl

2

sin ϕ

2

= 0

(

(m

1

+ m

2

)l

2

1

¨

ϕ

1

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

2

+ m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

2

+ (m

1

+ m

2

)gl

1

sin ϕ

1

= 0

m

2

l

2

2

¨

ϕ

2

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

1

−

m

2

l

1

l

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

+ m

2

gl

2

sin ϕ

2

= 0

Od tego miejsca przyjmijmy nast˛epuj ˛

ace zało ˙zenia:

m

1

>

0

m

2

>

0

l

1

>

0

l

2

>

0

g

>

0

Mo ˙zemy teraz podzieli´c pierwsze równanie przez m

2

l

2

1

, drugie przez m

2

l

1

l

2

i zmniejszy´c

ilo´s´c stałych:

(

(

m

1

m

2

+ 1) ¨

ϕ

1

+

l

2

l

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

2

+

l

2

l

1

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

2

+ (

m

1

m

2

+ 1)

g

l

1

sin ϕ

1

= 0

l

2

l

1

¨

ϕ

2

+ cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

1

−

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

+

g

l

1

sin ϕ

2

= 0

A =

m

1

m

2

∈

(0,

∞)

B =

l

2

l

1

∈

(0,

∞)

C =

g

l

1

∈

(0,

∞)

(

(A + 1) ¨

ϕ

1

+ B cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

2

+ B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

2

+ (A + 1)C sin ϕ

1

= 0

B

¨

ϕ

2

+ cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

1

−

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

+ C sin ϕ

2

= 0

20

Pozb ˛

ad´zmy si˛e czynnika ¨

ϕ

2

z pierwszego równania i ¨

ϕ

1

z drugiego:

B

¨

ϕ

2

=

−

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

1

+ sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

−

C sin ϕ

2

(A + 1) ¨

ϕ

1

+ cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ¨

ϕ

1

+ sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

−

C sin ϕ

2

+ B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

2

+ (A + 1)C sin ϕ

1

= 0

A + 1

−

cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

¨ϕ

1

=

−

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

+ C sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

2

−

(A + 1)C sin ϕ

1

¨

ϕ

1

=

−

1
2

sin 2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

˙ϕ

2

1

+ C sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

2

−

(A + 1)C sin ϕ

1

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

B

¨

ϕ

2

= sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

−

C sin ϕ

2

−

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

+ C sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

2

−

(A + 1)C sin ϕ

1

=

1

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

A sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

−

C sin ϕ

2

+sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)+cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

C sin ϕ

2

sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)+cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

+ B cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

2

+ (A + 1)C sin ϕ

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

=

1

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)



(A + 1) sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

−

(A + 1)C sin ϕ

2

+

B

2

sin 2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

˙ϕ

2

2

+ (A + 1)C sin ϕ

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)



Otrzymujemy układ równa ´n ró ˙zniczkowych drugiego rz˛edu w postaci normalnej:







¨

ϕ

1

=

−

1

2

sin

(

2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

˙ϕ

2

1

+C sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

2

−

(A+1)C sin ϕ

1

A+sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

¨

ϕ

2

=

(A+1) sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

2

1

−

(A+1)C sin ϕ

2

+

B

2

sin

(

2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

˙ϕ

2

2

+(A+1)C sin ϕ

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

B

(

A+sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

Zamie ´nmy go na układ równa ´n ró ˙zniczkowych pierwszego rz˛edu:

(3.5)



























˙ϕ

1

= ω

1

˙ϕ

2

= ω

2

˙

ω

1

=

−

1

2

sin

(

2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

ω

2

1

+C sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

2

2

−

(A+1)C sin ϕ

1

A+sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

˙

ω

1

=

(A+1) sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

2

1

−

(A+1)C sin ϕ

2

+

B

2

sin

(

2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

ω

2

2

+(A+1)C sin ϕ

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

B

(

A+sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

3.2.2. Rozwi ˛

azania stacjonarne

Szukamy rozwi ˛

aza ´n stacjonarnych:



























ω

1

= 0

ω

2

= 0

−

1

2

sin

(

2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

ω

2

1

+C sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

2

2

−

(A+1)C sin ϕ

1

A+sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

= 0

(A+1) sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

2

1

−

(A+1)C sin ϕ

2

+

B

2

sin

(

2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

ω

2

2

+(A+1)C sin ϕ

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

B

(

A+sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

= 0

21























ω

1

= 0

ω

2

= 0

sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

(A + 1) sin ϕ

1

= 0

−

sin ϕ

2

+ sin ϕ

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) = 0

sin ϕ

1

=

sin ϕ

2

cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

A + 1

sin ϕ

2



1

−

cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

A + 1



= 0

1

−

cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

A + 1

=

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

A + 1

>

0

⇒

sin ϕ

2

= 0

−

(A + 1) sin ϕ

1

= 0

⇒

sin ϕ

1

= 0























sin ϕ

1

= 0

sin ϕ

2

= 0

ω

1

= 0

ω

2

= 0

Zatem rozwi ˛

azania stacjonarne dla ϕ

1

, ϕ

2

∈

[0, 2π) to:

a)























ϕ

1

= 0

ϕ

2

= 0

ω

1

= 0

ω

2

= 0

b)























ϕ

1

= π

ϕ

2

= 0

ω

1

= 0

ω

2

= 0

c)























ϕ

1

= 0

ϕ

2

= π

ω

1

= 0

ω

2

= 0

d)























ϕ

1

= π

ϕ

2

= π

ω

1

= 0

ω

2

= 0

3.2.3. Linearyzacja rozwi ˛

aza ´n stacjonarnych i ich stabilno´s´c

Rozpatrzmy (3.5) jako:

x = (ϕ

1

, ϕ

2

, ω

1

, ω

2

)

∈

R

4

˙x = F(x)

Oznaczmy rozwi ˛

azania stacjonarne przez x

a

, x

b

, x

c

, x

d

.

Korzystaj ˛

ac z faktu, ˙ze dla wszystkich rozwi ˛

aza ´n stacjonarnych sin ϕ

1

= 0, sin ϕ

2

= 0 i

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) = 0 otrzymujemy:

(3.6)

DF

|

x

a

=







0

0

1 0

0

0

0 1

−

(A+1)C

A

C
A

0 0

(A+1)C

AB

−

(A+1)C

AB

0 0







DF

|

x

b

=







0

0

1 0

0

0

0 1

(A+1)C

A

−

C
A

0 0

(A+1)C

AB

−

(A+1)C

AB

0 0







DF

|

x

c

=







0

0

1 0

0

0

0 1

−

(A+1)C

A

C
A

0 0

−

(A+1)C

AB

(A+1)C

AB

0 0







DF

|

x

d

=







0

0

1 0

0

0

0 1

(A+1)C

A

−

C
A

0 0

−

(A+1)C

AB

(A+1)C

AB

0 0







22

Ze wzgl˛edu na posta´c tych macierzy dla odpowiednich α, β, γ, δ ich wielomian charak-

terystyczny jest równy:

det(DF

|

x

i

−

λI

) =










−

λ

0

1

0

0

−

λ

0

1

α

β

−

λ

0

γ

δ

0

−

λ










=








0

−

λ

1

α

β

0

γ

δ

−

λ








−

λ








−

λ

0

0

0

−

λ

1

γ

δ

−

λ








= αδ

−

λ

2

α

−

βγ

−

λ

−

λ

3

+ λδ

= λ

4

−

(α + δ)λ

2

+ (αδ

−

βγ

)

Rozpatrzmy po kolei te układy. Z fizycznego punktu widzenia oczekujemy, ˙ze punkt a

(oba wahadła w dolnej pozycji) b˛edzie stabilny, a pozostałe układy (przynajmniej jedno z
wahadeł w pozycji górnej) niestabilne. Sprawd´zmy to.

Układ a

Zacznijmy od zlinearyzowanego układu a. Znajdujemy wielomian charakterystyczny jego
macierzy:

det(DF

|

x

a

−

λI

) = λ

4

+



−

(A + 1)C

A

− −

(A + 1)C

AB



λ

2

+

 (A + 1)

2

C

2

A

2

B

+

(A + 1)C

2

A

2

B



= λ

4

+

C(A + 1)(B + 1)

AB

λ

2

+

(A + 1)AC

2

A

2

B

=



λ

2

+

C(A + 1)(B + 1)

2AB



2

−

 C(A + 1)(B + 1)

2AB



2

+

(A + 1)AC

2

A

2

B

=



λ

2

+

C(A + 1)(B + 1)

2AB



2

−

(A + 1)C

2

A

2

B

 (B + 1)

2

(A + 1)

4B

−

A



=



λ

2

+

C(A + 1)(B + 1)

2AB



2

−

(A + 1)C

2

4A

2

B

2

(B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2

=



λ

2

+

C(A + 1)(B + 1)

2AB

+

C

2AB

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2



·



λ

2

+

C(A + 1)(B + 1)

2AB

−

C

2AB

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2



Zauwa ˙zmy, ˙ze:

C(A + 1)(B + 1)

2AB

−

C

2AB

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2

=

C

2AB



(A + 1)(B + 1)

−

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2



>

C

2AB



(A + 1)(B + 1)

−

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B + 1)

2



=

C

2AB



(A + 1)(B + 1)

−

p

(A + 1)

2

(B + 1)

2



= 0

23

Zatem otrzymujemy wielomian z samymi urojonymi pierwiastkami:

(3.7)

λ

−

i

r

C(A + 1)(B + 1)

2AB

+

C

2AB

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2

!

·

λ

+ i

r

C(A + 1)(B + 1)

2AB

+

C

2AB

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2

!

·

λ

−

i

r

C(A + 1)(B + 1)

2AB

−

C

2AB

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2

!

·

λ

+ i

r

C(A + 1)(B + 1)

2AB

−

C

2AB

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2

!

Jak wida´c, cz˛e´s´c rzeczywista warto´sci własnych tej macierzy jest równa 0, wi˛ec jego sta-

bilno´s´c musimy zbada´c innymi metodami. W dalszej cz˛e´sci jeszcze skorzystamy z obliczo-
nych tutaj warto´sci własnych.

W celu wykazania stabilno´sci tego punktu znajdziemy odpowiedni ˛

a funkcj˛e Lapunowa.

Dobrym kandydatem jest całkowita energia układu przesuni˛eta o stał ˛

a, aby była zawsze nie-

ujemna. Skorzystamy z ju ˙z wyliczonych energii potencjalnej w (3.3a) i kinetycznej w (3.3b).
Oznaczmy znowu pewne dostatecznie małe otoczenie zera przez

O

(0). Mamy zatem:

E = U + T

=

−

(m

1

+ m

2

)gl

1

cos ϕ

1

−

m

2

gl

2

cos ϕ

2

+

1
2

(m

1

+ m

2

)l

2

1

˙ϕ

2

1

+

1
2

m

2

l

2

2

˙ϕ

2

2

+ m

2

l

1

l

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) ˙ϕ

1

˙ϕ

2

= m

2

l

2

1



−

(A + 1)C cos ϕ

1

−

BC cos ϕ

2

+

1
2

(A + 1)ω

2

1

+

1
2

B

2

ω

2

2

+ B cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

1

ω

2



V(ϕ

1

, ϕ

2

, ω

1

, ω

2

) = (A + 1)C(1

−

cos ϕ

1

) + BC(1

−

cos ϕ

2

)

+

1
2

(A + 1)ω

2

1

+

1
2

B

2

ω

2

2

+ B cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

1

ω

2

V(0) = 0

V(x)

>

0, x

6

= 0, x

∈ O

(0)

24

˙

V(x) =

h

DV, F

i

=







−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

1

ω

2

+ (A + 1)C sin ϕ

1

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

1

ω

2

+ BC sin ϕ

2

(A + 1)ω

1

+ B cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

2

B

2

ω

2

+ B cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

1







T

·










ω

1

ω

2

−

1

2

sin

(

2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

ω

2

1

+C sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

2

2

−

(A+1)C sin ϕ

1

A+sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

(A+1) sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)ω

2

1

−

(A+1)C sin ϕ

2

+

B

2

sin

(

2(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)

ω

2

2

+(A+1)C sin ϕ

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

B

(

A+sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

)










=

ω

3

1

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

(A+1) sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)+(A+1) sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

+

ω

3

2

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) + B

2

sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

+

ω

2

1

ω

2

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

) + (A + 1)B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)

+

ω

1

ω

2

2

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

(A + 1)B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

)

+ B sin(ϕ

1

−

ϕ

2

) cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

+

ω

1

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

(A +1)C sin ϕ

1

A +sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

+(A+1)C sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

(A + 1)

2

C sin ϕ

1

−

(A + 1)C sin ϕ

2

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

) + (A + 1)C sin ϕ

1

cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

+

ω

2

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

BC sin ϕ

2

A + sin

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

+ BC sin ϕ

2

cos

2

(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

(A + 1)BC sin ϕ

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

−

(A + 1)BC sin ϕ

2

+ (A + 1)BC sin ϕ

1

cos(ϕ

1

−

ϕ

2

)

= 0

Udowodnili´smy wi˛ec, ˙ze punkt a jest stabilny w sensie Lapunowa.

Układ b

Dla układu b wielomian charakterystyczny jest równy:

det(DF

|

x

b

−

λI

) = λ

4

−

(A + 1)C

A



1

−

1

B



λ

2

+



−

(A + 1)

2

C

2

A

2

B

+

(A + 1)C

2

A

2

B



= λ

4

+

(A + 1)(B

−

1)C

AB

λ

2

−

(A + 1)C

2

AB

= λ

4

+ pλ

2

−

q, q

>

0

∆

= p

2

+ 4q

>

0

λ

2

=

−

p

±

√

∆

2

=

−

p

±

p p

2

+ 4q

2

−

p +

p p

2

+ 4q

2

>

−

p +

|

p

|

2

≥

0

Macierz zlinearyzowanego układu b posiada dodatni ˛

a warto´s´c własn ˛

a, wi˛ec punkt b jest

niestabilny. Mo ˙zna policzy´c, ˙ze istniej ˛

a dwie warto´sci własne dodatnie i dwie ujemne.

25

Układ c

Dla układu c:

det(DF

|

x

c

−

λI

) = λ

4

−

(A + 1)C

A

 1

B

−

1



λ

2

+



−

(A + 1)

2

C

2

A

2

B

+

(A + 1)C

2

A

2

B



= λ

4

+

(A + 1)(1

−

B)C

AB

λ

2

−

(A + 1)C

2

AB

= λ

4

+ pλ

2

−

q, q

>

0

∆

= p

2

+ 4q

>

0

−

p +

p p

2

+ 4q

2

>

−

p +

|

p

|

2

≥

0

Macierz zlinearyzowanego układu c równie ˙z posiada dodatni ˛

a warto´s´c własn ˛

a, wi˛ec punkt

c jest niestabilny. Tak samo jak w poprzednim przypadku, istniej ˛

a dwie warto´sci własne

dodatnie i dwie ujemne.

Układ d

Dla układu d:

det(DF

|

x

d

−

λI

) = λ

4

−

(A + 1)C

A



1 +

1

B



λ

2

+

 (A + 1)

2

C

2

A

2

B

−

(A + 1)C

2

A

2

B



= λ

4

−

(A + 1)(1 + B)C

AB

λ

2

+

(A + 1)C

2

AB

= λ

4

−

pλ

2

+ q, p, q

>

0

∆

=

 (A + 1)(B + 1)C

AB



2

−

4

 (A + 1)C

2

A

2

B



=

(A + 1)C

2

A

2

B

 (A + 1)(B + 1)

2

B

−

4



=

(A + 1)C

2

A

2

B

2

A(B + 1)

2

+ (B

−

1)

2

>

0

p +

√

∆

2

>

0

Macierz zlinearyzowanego układu d równie ˙z posiada dodatni ˛

a warto´s´c własn ˛

a, wi˛ec punkt

d jest niestabilny. W tym przypadku równie ˙z istniej ˛

a dwie warto´sci własne dodatnie i dwie

ujemne.

3.2.4. Linearyzacja rozwi ˛

azania stabilnego

Rozwi ˛

azanie równa ´n ró˙zniczkowych

Rozwi ˛

a ˙zmy układ zlinearyzowany w zerze - punkcie stabilnym w sensie Lapunowa. Jest to

punkt niehiperboliczny, wi˛ec podobie ´nstwo rozwi ˛

aza ´n zlinearyzowanego układu do roz-

wi ˛

aza ´n układu oryginalnego nie wynika z twierdzenia Grobmana-Hartmana. Mo ˙zna to do-

kładniej zbada´c przygl ˛

adaj ˛

ac si˛e rozwiazaniom numerycznym, co dla pojedynczego przy-

padku zrobimy w podrozdziale 3.2.5. Z (3.6) bierzemy zlinearyzowany układ:

(3.8)























˙ϕ

1

= ω

1

˙ϕ

2

= ω

2

˙

ω

1

=

−

(A+1)C

A

ϕ

1

+

C
A

ϕ

2

˙

ω

2

=

(A+1)C

AB

ϕ

1

−

(A+1)C

AB

ϕ

2

26

Znamy ju ˙z pierwiastki wielomianu charakterystycznego. Podzielone przez i s ˛

a równe:

(3.9a)

λ

1

=

r

C(A + 1)(B + 1)

2AB

+

C

2AB

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2

(3.9b)

λ

2

=

r

C(A + 1)(B + 1)

2AB

−

C

2AB

q

(A + 1) (B + 1)

2

+ A(B

−

1)

2

λ

3

=

−

λ

1

λ

4

=

−

λ

3

Postulujemy posta´c rozwi ˛

azania, rozwi ˛

azujemy od razu dwa pierwsze równania (3.8) i

wstawiamy je do dwóch ostatnich:

(3.10)

(

ϕ

i

(t) = c

i1

sin(λ

1

t) + c

i2

cos(λ

1

t) + c

i3

sin(λ

2

t) + c

i4

cos(λ

2

t)

ω

i

(t) = ˙ϕ

i

(t) = c

i1

λ

1

cos(λ

1

t)

−

c

i2

λ

1

sin(λ

1

t) + c

i3

λ

2

cos(λ

2

t)

−

c

i4

λ

2

sin(λ

2

t)











































−

c

11

λ

2

1

sin(λ

1

t)

−

c

12

λ

2

1

cos(λ

1

t)

−

c

13

λ

2

2

sin(λ

2

t)

−

c

14

λ

2

2

cos(λ

2

t)

=

−

(A+1)C

A

(

c

11

sin(λ

1

t) + c

12

cos(λ

1

t) + c

13

sin(λ

2

t) + c

14

cos(λ

2

t)

)

+

C
A

(

c

21

sin(λ

1

t) + c

22

cos(λ

1

t) + c

23

sin(λ

2

t) + c

24

cos(λ

2

t)

)

−

c

21

λ

2

1

sin(λ

1

t)

−

c

22

λ

2

1

cos(λ

1

t)

−

c

23

λ

2

2

sin(λ

2

t)

−

c

24

λ

2

2

cos(λ

2

t)

=

(A+1)C

AB

(

c

11

sin(λ

1

t) + c

12

cos(λ

1

t) + c

13

sin(λ

2

t) + c

14

cos(λ

2

t)

)

−

(A+1)C

AB

(

c

21

sin(λ

1

t) + c

22

cos(λ

1

t) + c

23

sin(λ

2

t) + c

24

cos(λ

2

t)

)

Nast˛epnie badamy warto´sci dla t

1

= 0 oraz takiego t

2

, ˙ze dla pewnego k

∈

Z spełnione jest:

sin(λ

1

t

2

) = sin(λ

2

t

2

)

6

= 0

Takie t

2

istnieje, bo ró ˙znica sin(λ

1

t

2

)

−

sin(λ

2

t

2

) przyjmuje warto´sci nieujemne w maksimach

sin(λ

1

t

2

) i niedodatnie w minimach tej funkcji. Z własno´sci Darboux wynika, ˙ze posiada

zero pomi˛edzy nimi lub w nich. Co wi˛ecej, istnieje takie zero tej funkcji, ˙ze sin(λ

1

t

2

)

6

= 0,

bo albo te funkcje si˛e pokrywaj ˛

a, albo zag˛eszczenia ich maksimów s ˛

a ró ˙zne, wi˛ec pomi˛edzy

zerem a maksimum jednej z tych funkcji wyst˛epuje maksimum drugiej. Zauwa ˙zmy, ˙ze dla
t

2

równie ˙z spełniona jest równo´s´c cosinusów.































































−

c

12

λ

2

1

−

c

14

λ

2

2

=

−

(A+1)C

A

(

c

12

+ c

14

)

+

C
A

(

c

22

+ c

24

)

−

c

22

λ

2

1

−

c

24

λ

2

2

=

(A+1)C

AB

(

c

12

+ c

14

) −

C
A

(

c

22

+ c

24

)

−

c

11

λ

2

1

sin(λ

1

t

2

)

−

c

12

λ

2

1

cos(λ

1

t

2

)

−

c

13

λ

2

2

sin(λ

1

t

2

)

−

c

14

λ

2

2

cos(λ

1

t

2

)

=

−

(A+1)C

A

(

c

11

sin(λ

1

t

2

) + c

12

cos(λ

1

t

2

) + c

13

sin(λ

1

t

2

) + c

14

cos(λ

1

t

2

)

)

+

C
A

(

c

21

sin(λ

1

t

2

) + c

22

cos(λ

1

t

2

) + c

23

sin(λ

1

t

2

) + c

24

cos(λ

1

t

2

)

)

−

c

21

λ

2

1

sin(λ

1

t

2

)

−

c

22

λ

2

1

cos(λ

1

t

2

)

−

c

23

λ

2

2

sin(λ

1

t

2

)

−

c

24

λ

2

2

cos(λ

1

t

2

)

=

(A+1)C

AB

(

c

11

sin(λ

1

t

2

) + c

12

cos(λ

1

t

2

) + c

13

sin(λ

1

t

2

) + c

14

cos(λ

1

t

2

)

)

−

(A+1)C

AB

(

c

21

sin(λ

1

t

2

) + c

22

cos(λ

1

t

2

) + c

23

sin(λ

1

t

2

) + c

24

cos(λ

1

t

2

)

)

Nast˛epnie odejmujemy od trzeciego i czwartego równania pierwsze i drugie pomno ˙zone
przez cos(λ

1

t

2

), a nast˛epnie dzielimy je przez sin(λ

1

t

2

). Ostatecznie otrzymujemy linio-

wy układ 4 równa ´n z 8 parametrami c

ij

. Doł ˛

aczmy do tego jeszcze warunki pocz ˛

atkowe

27

(ϕ

01

, ϕ

02

, ω

01

, ω

02

) dla t = 0:































































−

c

12

λ

2

1

−

c

14

λ

2

2

=

−

(A+1)C

A

(

c

12

+ c

14

)

+

C
A

(

c

22

+ c

24

)

−

c

22

λ

2

1

−

c

24

λ

2

2

=

(A+1)C

AB

(

c

12

+ c

14

) −

C
A

(

c

22

+ c

22

)

−

c

11

λ

2

1

−

c

13

λ

2

2

=

−

(A+1)C

A

(

c

11

+ c

13

)

+

C
A

(

c

21

+ c

23

)

−

c

21

λ

2

1

−

c

23

λ

2

2

=

(A+1)C

AB

(

c

11

+ c

13

) −

C
A

(

c

21

+ c

23

)

ϕ

01

= c

12

+ c

14

ϕ

02

= c

22

+ c

24

ω

01

= λ

1

c

11

+ λ

2

c

13

ω

02

= λ

1

c

21

+ λ

2

c

23

Ten liniowy układ b˛edziemy rozwi ˛

azywa´c korzystaj ˛

ac z programu wxMaxima. Najlepiej

rozwi ˛

aza´c go po podstawieniu stałych, bo rozwi ˛

azanie z u ˙zyciem symboli daje bardzo skom-

plikowany wynik:































































































c

11

=

−

((

ω

01

A+ω

01

)

B

−

ω

01

A

−

ω

01

)

C

2

+

(

ω

01

λ

1

λ

2

A

2

+

(

(−

ω

02

−

ω

01

)

λ

2

2

+

(

ω

01

−

ω

02

)

λ

1

λ

2

)

A

)

BC

−

ω

01

λ

1

λ

2

3

A

2

B

(((

λ

2

−

λ

1

)

A+λ

2

−

λ

1

)

B+

(

λ

1

−

λ

2

)

A

−

λ

2

+λ

1

)

C

2

+

((

λ

1

λ

2

2

−

λ

1

2

λ

2

)

A

2

+

(

2λ

1

λ

2

2

−

2λ

1

2

λ

2

)

A

)

BC+

(

λ

1

2

λ

2

3

−

λ

1

3

λ

2

2

)

A

2

B

c

12

=

−

(

ϕ

01

A+ϕ

01

−

ϕ

02

)

C

−

λ

2

2

ϕ

01

A

(

λ

2

2

−

λ

1

2

)

A

c

13

=

((

ω

01

A+ω

01

)

B

−

ω

01

A

−

ω

01

)

C

2

+

(

ω

01

λ

1

λ

2

A

2

+

(

(

ω

01

−

ω

02

)

λ

1

λ

2

+

(−

ω

02

−

ω

01

)

λ

1

2

)

A

)

BC

−

ω

01

λ

1

3

λ

2

A

2

B

(((

λ

2

−

λ

1

)

A+λ

2

−

λ

1

)

B+

(

λ

1

−

λ

2

)

A

−

λ

2

+λ

1

)

C

2

+

((

λ

1

λ

2

2

−

λ

1

2

λ

2

)

A

2

+

(

2λ

1

λ

2

2

−

2λ

1

2

λ

2

)

A

)

BC+

(

λ

1

2

λ

2

3

−

λ

1

3

λ

2

2

)

A

2

B

c

14

=

(

ϕ

01

A+ϕ

01

−

ϕ

02

)

C

−

λ

1

2

ϕ

01

A

(

λ

2

2

−

λ

1

2

)

A

c

21

=

−

((

ω

02

A+ω

02

)

B

−

ω

02

A

−

ω

02

)

C

2

+

(((

ω

02

λ

1

λ

2

−

ω

02

λ

2

2

)

A

−

ω

02

λ

2

2

A

2

)

B+

(

−

ω

01

λ

2

2

−

ω

01

λ

1

λ

2

)

A

2

+

(

−

ω

01

λ

2

2

−

ω

01

λ

1

λ

2

)

A

)

C

−

ω

02

λ

1

λ

2

3

A

2

B

(((

λ

2

−

λ

1

)

A+λ

2

−

λ

1

)

B+

(

λ

1

−

λ

2

)

A

−

λ

2

+λ

1

)

C

2

+

((

λ

1

λ

2

2

−

λ

1

2

λ

2

)

A

2

+

(

2λ

1

λ

2

2

−

2λ

1

2

λ

2

)

A

)

BC+

(

λ

1

2

λ

2

3

−

λ

1

3

λ

2

2

)

A

2

B

c

22

=

−

(

ϕ

02

B

−

ϕ

01

A

−

ϕ

01

)

C

−

ϕ

02

λ

2

2

AB

(

λ

2

2

−

λ

1

2

)

AB

c

23

=

((

ω

02

A+ω

02

)

B

−

ω

02

A

−

ω

02

)

C

2

+

(((

ω

02

λ

1

λ

2

−

ω

02

λ

1

2

)

A

−

ω

02

λ

1

2

A

2

)

B+

(

−

ω

01

λ

1

λ

2

−

ω

01

λ

1

2

)

A

2

+

(

−

ω

01

λ

1

λ

2

−

ω

01

λ

1

2

)

A

)

C

−

ω

02

λ

1

3

λ

2

A

2

B

(((

λ

2

−

λ

1

)

A+λ

2

−

λ

1

)

B+

(

λ

1

−

λ

2

)

A

−

λ

2

+λ

1

)

C

2

+

((

λ

1

λ

2

2

−

λ

1

2

λ

2

)

A

2

+

(

2λ

1

λ

2

2

−

2λ

1

2

λ

2

)

A

)

BC+

(

λ

1

2

λ

2

3

−

λ

1

3

λ

2

2

)

A

2

B

c

24

=

(

ϕ

02

B

−

ϕ

01

A

−

ϕ

01

)

C

−

ϕ

02

λ

1

2

AB

(

λ

2

2

−

λ

1

2

)

AB

W poł ˛

aczeniu z (3.10) mamy kompletne rozwi ˛

azanie tego przypadku zlinearyzowanego.

Analiza rozwi ˛

azania

Zbadajmy okresowo´s´c rozwi ˛

azania posługuj ˛

ac si˛e definicj ˛

a okresu podan ˛

a w rozdziale 1.

Udowodnijmy najpierw poni ˙zszy lemat i twierdzenie.

Lemat 1. Je˙zeli ci ˛

agła funkcja f ma niewspółmierne okresy T

a

i T

b

to jest stała.

Dowód. Zauwa ˙zmy, ˙ze zbiór:

P =

{

kT

a

+ lT

b

: k, l

∈

Z

}

jest g˛esty w

R. W takim razie na zbiorze P funkcja f ma warto´s´c równ ˛a f (0). Ze wzgl˛edu na

g˛esto´s´c P i ci ˛

agło´s´c f , f musi posiada´c warto´s´c f (0) na całym

R, wi˛ec jest stała.

Twierdzenie 1. Suma ciagłych funkcji okresowych f i g posiadaj ˛

acych okresy T

f

i T

g

jest funkcj ˛

a

okresow ˛

a wtedy i tylko wtedy gdy ich okresy s ˛

a współmierne lub przynajmniej jedna z nich jest stała.

Dowód.

⇒

)

Niech f i g s ˛

a funkcjami jak wy ˙zej. Je ˙zeli jedna z nich jest stała, to oczywi´scie ich suma

jest okresowa. Załó ˙zmy, ˙ze

T

f

T

g

∈

Q. Niech:

T

f

T

g

=

a
b

28

Wtedy:

f t + bT

f

+ g t + bT

f

= f t + bT

f

+ g t + aT

g

= f (t) + g (t)

Zatem ta funkcja jest okresowa. Mo ˙zna te ˙z zauwa ˙zy´c, ˙ze bT

f

jest okresem tej funkcji. Do tej

cz˛e´sci dowodu nie jest potrzebna ci ˛

agło´s´c tych funkcji.

⇐

)

Załó ˙zmy, ˙ze okresy f i g s ˛

a niewspółmierne oraz ˙ze obie te funkcje nie s ˛

a stałe. Załó ˙zmy,

˙ze f + g jest okresowa z okresem T. Innymi słowy:

∃

T

∀

k

∈

Z

∀

t

f (t) + g (t) = f (t + kT) + g (t + kT)

Przekształ´cmy powy ˙zszy wzór:

∀

k

∈

Z

h (t) = f (t)

−

f (t + kT) = g (t + kT)

−

g (t)

Mo ˙zemy zauwa ˙zy´c, ˙ze funkcja h ma niewspółmierne okresy T

f

i T

g

. Z lematu 1 wynika, ˙ze

jest ona stała. W takim razie dla pewnej stałej c:

∀

k

∈

Z

f (t + kT) = f (t) + c

(

f

(

t + 2T

)

= f

((

t + T

)

+ T

)

= f

(

t + T

)

+ c

f

(

t + 2T

)

= f

(

t

)

+ c

c = 2c = 0

⇒

f (t + T) = f (t)

Zatem f jest funkcj ˛

a o okresie T. Analogicznie stwierdzamy, ˙ze g jest równie ˙z funkcj ˛

a o okre-

sie T. Poniewa ˙z T

f

i T

g

s ˛

a niewspółmierne, to jedna z funkcji f lub g ma jednocze´snie dwa

niewspółmierne okresy, zatem z lematu 1 wynika, ˙ze jest stała. Otrzymujemy sprzeczno´s´c z
zało ˙zeniem, zatem f + g nie jest okresowa.

Patrz ˛

ac si˛e na posta´c rozwi ˛

azania (3.10) wida´c, ˙ze jest ono sum ˛

a dwóch ci ˛

agłych funk-

cji okresowych. Zauwa ˙zmy, ˙ze współczynniki λ

i

s ˛

a ró ˙zne od zera. Aby okresowe funkcje

składowe w rozwi ˛

azaniu nie były stałe musi spełnione by´c:

(c

11

6

= 0

∨

c

12

6

= 0)

∧

(c

13

6

= 0

∨

c

13

6

= 0)

Je ˙zeli nie jest to spełnione lub λ

1

jest współmierna z λ

2

, to rozwi ˛

azanie jest okresowe. W

przeciwnym wypadku nie jest okresowe.

3.2.5. Wykresy i ich analiza

Rozpatrzmy pewien konkretny przypadek. Niech:































m

1

= 16

m

2

= 9

l

1

= 1

l

2

= 1

g = 10











A =

16

9

B = 1
C = 10

29

Wtedy:

λ

1

= 5

λ

2

=

5
2

Ze wzgl˛edu na współmierno´s´c tych warto´sci, przypadek zlinearyzowany b˛edzie okresowy.
Jego okres podstawowy jest równy

4
5

π

. Ustalmy warunki pocz ˛

atkowe na:























ϕ

01

=

−

1

100

ϕ

02

=

−

1

100

ω

01

= 0

ω

02

=

1

100

Liczymy stałe dla przypadku zlinearyzowanego:































































c

11

=

−

1

1000

c

12

=

−

1

500

c

13

=

1

500

c

14

=

−

1

125

c

21

=

−

1

1000

c

22

=

13

1500

c

23

=

3

500

c

24

=

−

7

375

Dla przypadku zlinearyzowanego mamy wi˛ec:























ϕ

1

(t) =

−

1

1000

sin(5t)

−

1

500

cos(5t) +

1

500

sin(

5
2

t)

−

1

125

cos(

5
2

t)

ω

1

(t) =

−

1

200

cos(5t) +

1

100

sin(5t) +

1

200

cos(

5
2

t) +

1

50

sin(

5
2

t)

ϕ

2

(t) =

−

1

1000

sin(5t) +

13

1500

cos(5t) +

3

500

sin(

5
2

t)

−

7

375

cos(

5
2

t)

ω

2

(t) =

−

1

200

cos(5t)

−

13

300

sin(5t) +

3

200

cos(

5
2

t) +

7

150

sin(

5
2

t)

Narysujmy wykres ϕ

2

(ϕ

1

) dla t

∈

[0,

4
5

π

] w przypadkach zlinearyzowanym (wprost ze wzo-

rów) oraz niezlinearyzowanym (licz ˛

ac za pomoc ˛

a ´srodowiska do oblicze ´n numerycznych

Octave).

30

Rysunek 3.5: Trajektoria rozwi ˛

azania we współrz˛ednych (ϕ

1

, ϕ

2

) dla wahadła podwójnego

w przypadku zlinearyzowanym dla małych energii

Rysunek 3.6: Trajektoria rozwi ˛

azania we współrz˛ednych (ϕ

1

, ϕ

2

) dla wahadła podwójnego

w przypadku niezlinearyzowanym dla małych energii

Wida´c, ˙ze w przypadku niezlinearyzowanym rozwi ˛

azanie jest w okresie czasu równym

okresowi wła´sciwemu przypadku zlinearyzowanego bliskie rozwi ˛

azaniu periodycznemu.

Ponadto kształt trajektorii jest podobny w obu przypadkach. Zobaczmy jeszcze wykresy

ϕ

1

(t) i ϕ

2

(t) w przypadku zlinearyzowanym i niezlinearyzowanym.

31

Rysunek 3.7: Wykresy ϕ

1

(t) i ϕ

2

(t) dla wahadła podwójnego w przypadku zlinearyzowa-

nym dla małych energii

Rysunek 3.8: Wykresy ϕ

1

(t) i ϕ

2

(t) dla wahadła podwójnego w przypadku niezlinearyzowa-

nym dla małych energii

32

Zobaczmy jeszcze inny przypadek, w którym wyst˛epuj ˛

a du ˙ze energie. Niech stałe A, B,

C b˛ed ˛

a takie, jak w poprzednim wypadku, a warunki pocz ˛

atkowe b˛ed ˛

a nast˛epuj ˛

ace:























ϕ

01

=

2
3

π

ϕ

02

= π

ω

01

= 0

ω

02

= 0

Stosowanie linearyzacji mija si˛e w tym wypadku z celem. Poni ˙zej znajduj ˛

a si˛e wykresy nu-

merycznych rozwi ˛

aza ´n ϕ

2

(ϕ

1

), ϕ

1

(t) i ϕ

2

(t) dla t

∈

[0, 100]:

Rysunek 3.9: Trajektoria rozwi ˛

azania we współrz˛ednych (ϕ

1

, ϕ

2

) dla wahadła podwójnego

w przypadku niezlinearyzowanym dla du ˙zych energii

33

Rysunek 3.10: Wykresy ϕ

1

(t) i ϕ

2

(t) dla wahadła podwójnego w przypadku niezlinearyzo-

wanym dla du ˙zych energii

Du ˙ze skoki warto´sci ϕ oznaczaj ˛

a, ˙ze wahadło wykonało pełen obrót. Jak wida´c, ci˛e ˙zsze

wewn˛etrzne wahadło du ˙zo rzadziej przekracza pozycj˛e pionow ˛

a górn ˛

a. Wida´c równie ˙z, ˙ze

to rozwi ˛

azanie nie ma okresu

4
5

π

. Mo ˙zna zaobserwowa´c, ˙ze ruch tego wahadła dla wyso-

kich energii jest bardzo nieregularny. Ze wzgl˛edu na du ˙z ˛

a ró ˙znic˛e w sposobie poruszania

si˛e układu w zale ˙zno´sci od kierunku ruchu po osi ˛

agni˛eciu poło ˙zenia bliskiego pionowemu

górnemu przez które´s z wahadeł, dla du ˙zych energii układ jest bardzo wra ˙zliwy na warto´sci
pocz ˛

atkowe.

Je ˙zeli b˛edziemy bada´c poło ˙zenie punktów materialnych w tych wahadłach, b˛edzie nas

interesowa´c tylko sinus i cosinus k ˛

atów ϕ

i

. Mo ˙zemy umie´sci´c (ϕ

1

, ϕ

2

) na torusie, tzn. prze-

34

strzeni [

−

π

, π], w której naprzeciwległe brzegi s ˛

a poł ˛

aczone. Zobaczmy jak wygl ˛

ada po-

wy ˙zszy wykres ϕ

2

(ϕ

1

) w takiej przestrzeni dla t

∈

[0, 1000]:

Rysunek 3.11: Trajektoria rozwi ˛

azania we współrz˛ednych (ϕ

1

, ϕ

2

) na torusie dla wahadła

podwójnego w przypadku niezlinearyzowanym dla du ˙zych energii

Mo ˙zna podejrzewa´c, ˙ze dla długiego przedziału czasu zbiór (ϕ

1

, ϕ

2

) b˛edzie wypełniał

wi˛eksz ˛

a cz˛e´s´c przestrzeni mo ˙zliwych energetycznie rozwi ˛

aza ´n. Mo ˙zna podejrzewa´c nawet,

˙ze b˛edzie w niej g˛esty. Warunek na periodyczno´s´c rozwi ˛

aza ´n w przypadku zlinearyzowa-

nym i du ˙za wra ˙zliwo´s´c na warunki pocz ˛

atkowe pozwala nam podejrzewa´c, ˙ze ruch tego

wahadła jest chaotyczny, ale wymaga to gł˛ebszego zbadania.

35

Rozdział 4

Podsumowanie

Wahadło podwójne mimo prostej konstrukcji posiada bardzo zło ˙zony opis matematyczny.
Dla du ˙zych energii mo ˙zna zaobserwowa´c w nim bardzo du ˙z ˛

a wra ˙zliwo´sc na warunki po-

cz ˛

atkowe. Mo ˙zna to potwierdzi´c do´swiadczalnie - pokazywanie zupełnie innego ruchu wa-

hadła podwójnego dla bardzo podobnych warunków pocz ˛

atkowych jest dosy´c znanym do-

´swiadczeniem.

W pracy mamy pewne przesłanki, które daj ˛

a nam podstawy do stwierdzenia, ˙ze ruch

tego układu mo ˙ze by´c chaotyczny dla du ˙zych energii. Mo ˙zna spróbowa´c to udowodni´c.
Jednak ze wzgl˛edu na skomplikowanie matematyczne tego modelu mog ˛

a by´c potrzebne

bardziej zaawansowane techniki jako´sciowego badania równa ´n ró ˙zniczkowych oraz mo ˙ze
okaza´c si˛e konieczne badanie konkretnego przypadku z ustalonymi stałymi proporcji mas,
długo´sci i ilorazu przyspieszenia ziemskiego do długo´sci jednego z wahadeł.

37

Bibliografia

[Olch] I. I. Olchowski, Równania Lagrange’a, PWN, 1974, mechanika teoretyczna, s. 176–

222.

[Arn] W. I. Arnold, Mechanika Lagrange’a na rozmaito´sciach, Warszawa, PWN, 1981, ISBN

83-01-00143-7, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, s. 74–94.

[WDP] Double pendulum. (2011, czerwiec 2). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Dost˛ep

21:36, lipiec 6, 2011, Dost˛epny w Internecie: http://en.wikipedia.org/w/index.php?
title=Double_pendulum&oldid=432217825

[WPM] Pendulum (mathematics). (2011, czerwiec 28). In Wikipedia, The Free Encyclope-

dia. Dost˛ep 21:38, lipiec 6, 2011, Dost˛epny w Internecie: http://en.wikipedia.org/w/
index.php?title=Pendulum_(mathematics)&oldid=436659901

[WP] Pendulum. (2011, lipiec 1). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Dost˛ep 21:39, li-

piec 6, 2011, Dost˛epny w Internecie: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=
Pendulum&oldid=437252130

[E] Energia (fizyka). (2011, czerwiec 20). Wikipedia, wolna encyklopedia. Dost˛ep 04:48, li-

piec 28, 2011, Dost˛epny w Internecie: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=
Energia_(fizyka)&oldid=26902561

[EK] Energia kinetyczna. (2011, lipiec 24). Wikipedia, wolna encyklopedia. Dost˛ep 04:47, li-

piec 28, 2011, Dost˛epny w Internecie: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=
Energia_kinetyczna&oldid=27371619

[EP] Energia potencjalna. (2011, czerwiec 24). Wikipedia, wolna encyklopedia. Dost˛ep

04:46, lipiec 28, 2011, Dost˛epny w Internecie: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?
title=Energia_potencjalna&oldid=26941763

39