INSTYTUT METROLOGII I INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ

Politechniki Warszawskiej

Laboratorium Podstaw Metrologii

Semestr I

Ćwiczenie nr 6

Wykorzystanie dyfrakcji światła laserowego do pomiaru średnicy

cienkiego drutu

Warszawa

Wykorzystanie dyfrakcji światła laserowego do pomiaru średnicy cienkiego drutu

Opracował:
prof. nzw. dr hab. inż. Ryszard Jabłoński, prof. nzw. dr hab. inż. Roman Szewczyk

1.

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wyznaczaniem błędu pomiaru pośredniego na

przykładzie pomiaru średnicy cienkiego drutu z wykorzystaniem zjawiska ugięcia
promieniowania koherentnego na krawędziach przedmiotu oraz zaznajomienie się z
możliwościami laserowych technik pomiarowych.

2.

Wprowadzenie teoretyczne

Dyfrakcja powstaje na skutek ugięcia fali elektromagnetycznej na krawędziach

przysłony. Wynikiem tego zjawiska jest rozkład intensywności zwany obrazem
dyfrakcyjnym, który w istotny sposób zależy od kształtu i wymiarów przysłony. Dla
poszczególnych rodzajów przysłon, takich jak szczeliny, otwory, siatki itp. istnieją zależności
matematyczne otrzymane na gruncie teorii dyfrakcji Kirchoffa umożliwiające ścisłe
powiązanie pomiędzy wymiarami przysłony a rozkładem intensywności jej obrazu
dyfrakcyjnego. Zależności te wykorzystuje się w celach pomiarowych.

Zwykle mierzy się odległość pomiędzy wybranymi punktami ekstremalnymi rozkładu

dyfrakcyjnego, a znając długość fali światła i odległość przysłony od ekranu, na którym
obserwowany jest obraz dyfrakcyjny, można obliczyć wymiar mierzonego przedmiotu.

2.1. Dyfrakcja na szczelinie, drucie, taśmie

Z teorii dyfrakcji wynika, że dla nieskończenie długiej szczeliny ustawionej równolegle

do osi Xp (Rys. l), rozkład intensywności wzdłuż osi y opisuje zależność:

J

o

- intensywność w punkcie y = 0

d - szerokość szczeliny

λ

- długość fali światła

α

- kąt dyfrakcji

2

sin

sin

sin





































=

α

λ

πd

α

λ

πd

J

J

o

(1)

Rys. l. Dyfrakcja na szczelinie: Xp, Yp - płaszczyzna przedmiotu, x, y - płaszczyzna obrazu, d

– szerokość szczeliny, b - odległość płaszczyzny przedmiotu od płaszczyzny obrazu,

α

- kąt

dyfrakcji, a

n

- odległość między symetrycznie położonymi minimami rozkładu dyfrakcyjnego

Zgodnie z zasadą Babineta rozkład dyfrakcyjny szczeliny, przysłony typu otwartego,

jest tożsamy z rozkładem dyfrakcyjnym pochodzącym od przysłony typu zamkniętego, takiej
jak drut czy taśma. Oznacza to, że wyprowadzone poniżej zależności dotyczyć będą
jednakowo szerokości szczelin jak i średnicy drutów czy szerokości taśm.
Rozkład intensywności opisany zależnością (l) osiąga minima dla warunku:

gdzie n - jest rzędem ugięcia

Wiedząc, że kąt dyfrakcji:

gdzie: a

n

- odległość między symetrycznie położonymi minimami rozkładu

dyfrakcyjnego rzędu n

b - odległość mierzonego elementu od ekranu, na którym obserwowany jest

obraz dyfrakcyjny

szukany wymiar d określa zatem wzór:

(2)

(3)

2b

a

n

arctg

=

α

2b

a

arctg

n

sin

n

d

λ

=

(4)

π

±

=

α

λ

π

n

sin

d

Dla małych kątów ugięcia można przyjąć uproszczoną postać wzoru:

zwykle stosowaną w pomiarach warsztatowych.

2.2. Dyfrakcja na otworze

Rozkład intensywności w płaszczyźnie obrazu dyfrakcyjnego kołowego otworu

(Rys. 2) opisuje zależność:

gdzie: Fi - funkcja Bessela pierwszego stopnia pierwszego rodzaju

Rozkład ten osiąga minimum, gdy funkcja Fi zeruje się:

Fi(z)=0,

a ma to miejsce dla następujących wartości argumentu z:

Z

1

=3,83171

Z

2

=7,01559

Z

3

=10,17347

Z

4

=13,32369

Z

5

= 16,47063

Ogólnie można to zapisać w postaci:

gdzie: Z

n

- n-ta wartość argumentu funkcji Bessela, dla którego Fi(z

n

) = O

D

n

- średnica n-tego pierścienia minimum dyfrakcyjnego

Z zależności powyższej można wyznaczyć wartość szukanej średnicy otworu kołowego:

n

a

nb

2

d

λ

=

2

1

sin

sin





































=

α

λ

πd

α

λ

πd

2F

J

J

o

o

o

2b

D

n

arctg

sin

d

sin

d

z

o

o

n

λ

π

=

α

λ

π

=

(5)

(6)

(7)

(8)

Dla małych rzędów ugięcia można przyjąć zależność upraszczającą:

Rys. 2. Dyfrakcja na otworze: Xp, Yp - płaszczyzna przedmiotu, x, y - płaszczyzna obrazu, d

o

- średnica otworu,
b - odległość płaszczyzny przedmiotu od płaszczyzny obrazu,

α

- kąt dyfrakcji, D

n

-

średnica pierścienia
minimum dyfrakcyjnego


2.3.

Niepewność pomiaru w pomiarach pośrednich

Przyjmijmy, że pomiar wartości y realizowany jest pośrednio, poprzez pomiar wartości x

1

, x

2

,

… x

n

, zaś wartość y wyznaczana jest z zależności:

y = f(x

1

, x

2

, … , x

n

)

(11)

W takim przypadku niepewność e

y

pomiaru y można wyznaczyć z zależności:

2b

D

n

arctg

sin

z

d

n

o

π

λ

=

n

n

o

D

z

b

2

d

π

λ

=

(9)

(10)

(12)

gdzie:

- to pochodna cząstkowa funkcji y po x

i

,

e

xi

– niepewność wyznaczenia wartości x

i

.

3.

Opis stanowiska

W ćwiczeniu wykorzystuje się stanowisko badawcze zbudowane na stole optycznym.
Stanowisko składa się z trzech zespołów:
-

koherentnego źródła światła (lasera He-Ne) zamocowanego w specjalnym uchwycie

-

zespołu mocującego element mierzony (cienki drut)

-

specjalnego ekranu do obserwacji rozkładu dyfrakcyjnego i pomiaru odległości między
minimami

Istnieje możliwość zmiany odległości pomiędzy zespołami, a tym samym pomiędzy laserem i
przedmiotem mierzonym oraz ekranem.

4.

Wykonanie ćwiczenia i opracowanie wyników

1)

Przeprowadzić adjustację układu pomiarowego. Zamocować mierzony obiekt.

2)

Dla trzech położeń b ekranu zmierzyć średnicę d przedmiotu z wykorzystaniem
pierwszego, drugiego, środkowego i ostatniego widocznego prążka dyfrakcyjnego.

3)

Wyznaczyć niepewność e

d

każdego z pomiarów d korzystając z zależności na

niepewność w pomiarach pośrednich.

4)

Wskazać optymalne warunki pomiaru, w których pomiar d obciążony jest najmniejszą
niepewnością.

6. Treść sprawozdania

W sprawozdaniu należy zamieścić:

1)

Schemat układu pomiarowego z oznaczeniami stosowanymi w obliczeniach

2)

Protokół pomiarów

3)

Wyniki obliczeń

4)

Wnioski dotyczące możliwości zwiększenia dokładności pomiaru.

Literatura

1.

J. R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego. Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 1995

2.

J. Arendarski: Niepewność pomiarów. Oficyna Wyd. P W, Warszawa, 2003

3.

L. W. Sawieliew, Wykłady z fizyki Tom 2 (Elektryczność i magnetyzm. Fal. Optyka)
Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 1998

4.

J. Jaworski, R. Morawski, J. Olędzki: Wstęp do metrologii i techniki eksperymentu. W N-
T, Warszawa 1992

5.

R. Jóźwicki, Optyka laserów, WNT, Warszawa, 1981

6.

P. H. Sydenham: Podręcznik metrologii. Wyd. Komunikacji i Łączności. Warszawa 1990