INSTYTUT METROLOGII I INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ
Politechniki Warszawskiej
Laboratorium Podstaw Metrologii
Semestr I
Ćwiczenie nr 6
Wykorzystanie dyfrakcji światła laserowego do pomiaru średnicy
cienkiego drutu
Warszawa
Wykorzystanie dyfrakcji światła laserowego do pomiaru średnicy cienkiego drutu
Opracował:
prof. nzw. dr hab. inż. Ryszard Jabłoński, prof. nzw. dr hab. inż. Roman Szewczyk
1.
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wyznaczaniem błędu pomiaru pośredniego na
przykładzie pomiaru średnicy cienkiego drutu z wykorzystaniem zjawiska ugięcia
promieniowania koherentnego na krawędziach przedmiotu oraz zaznajomienie się z
możliwościami laserowych technik pomiarowych.
2.
Wprowadzenie teoretyczne
Dyfrakcja powstaje na skutek ugięcia fali elektromagnetycznej na krawędziach
przysłony. Wynikiem tego zjawiska jest rozkład intensywności zwany obrazem
dyfrakcyjnym, który w istotny sposób zależy od kształtu i wymiarów przysłony. Dla
poszczególnych rodzajów przysłon, takich jak szczeliny, otwory, siatki itp. istnieją zależności
matematyczne otrzymane na gruncie teorii dyfrakcji Kirchoffa umożliwiające ścisłe
powiązanie pomiędzy wymiarami przysłony a rozkładem intensywności jej obrazu
dyfrakcyjnego. Zależności te wykorzystuje się w celach pomiarowych.
Zwykle mierzy się odległość pomiędzy wybranymi punktami ekstremalnymi rozkładu
dyfrakcyjnego, a znając długość fali światła i odległość przysłony od ekranu, na którym
obserwowany jest obraz dyfrakcyjny, można obliczyć wymiar mierzonego przedmiotu.
2.1. Dyfrakcja na szczelinie, drucie, taśmie
Z teorii dyfrakcji wynika, że dla nieskończenie długiej szczeliny ustawionej równolegle
do osi Xp (Rys. l), rozkład intensywności wzdłuż osi y opisuje zależność:
J
o
- intensywność w punkcie y = 0
d - szerokość szczeliny
λ
- długość fali światła
α
- kąt dyfrakcji
2
sin
sin
sin
=
α
λ
πd
α
λ
πd
J
J
o
(1)
Rys. l. Dyfrakcja na szczelinie: Xp, Yp - płaszczyzna przedmiotu, x, y - płaszczyzna obrazu, d
– szerokość szczeliny, b - odległość płaszczyzny przedmiotu od płaszczyzny obrazu,
α
- kąt
dyfrakcji, a
n
- odległość między symetrycznie położonymi minimami rozkładu dyfrakcyjnego
Zgodnie z zasadą Babineta rozkład dyfrakcyjny szczeliny, przysłony typu otwartego,
jest tożsamy z rozkładem dyfrakcyjnym pochodzącym od przysłony typu zamkniętego, takiej
jak drut czy taśma. Oznacza to, że wyprowadzone poniżej zależności dotyczyć będą
jednakowo szerokości szczelin jak i średnicy drutów czy szerokości taśm.
Rozkład intensywności opisany zależnością (l) osiąga minima dla warunku:
gdzie n - jest rzędem ugięcia
Wiedząc, że kąt dyfrakcji:
gdzie: a
n
- odległość między symetrycznie położonymi minimami rozkładu
dyfrakcyjnego rzędu n
b - odległość mierzonego elementu od ekranu, na którym obserwowany jest
obraz dyfrakcyjny
szukany wymiar d określa zatem wzór:
(2)
(3)
2b
a
n
arctg
=
α
2b
a
arctg
n
sin
n
d
λ
=
(4)
π
±
=
α
λ
π
n
sin
d
Dla małych kątów ugięcia można przyjąć uproszczoną postać wzoru:
zwykle stosowaną w pomiarach warsztatowych.
2.2. Dyfrakcja na otworze
Rozkład intensywności w płaszczyźnie obrazu dyfrakcyjnego kołowego otworu
(Rys. 2) opisuje zależność:
gdzie: Fi - funkcja Bessela pierwszego stopnia pierwszego rodzaju
Rozkład ten osiąga minimum, gdy funkcja Fi zeruje się:
Fi(z)=0,
a ma to miejsce dla następujących wartości argumentu z:
Z
1
=3,83171
Z
2
=7,01559
Z
3
=10,17347
Z
4
=13,32369
Z
5
= 16,47063
Ogólnie można to zapisać w postaci:
gdzie: Z
n
- n-ta wartość argumentu funkcji Bessela, dla którego Fi(z
n
) = O
D
n
- średnica n-tego pierścienia minimum dyfrakcyjnego
Z zależności powyższej można wyznaczyć wartość szukanej średnicy otworu kołowego:
n
a
nb
2
d
λ
=
2
1
sin
sin
=
α
λ
πd
α
λ
πd
2F
J
J
o
o
o
2b
D
n
arctg
sin
d
sin
d
z
o
o
n
λ
π
=
α
λ
π
=
(5)
(6)
(7)
(8)
Dla małych rzędów ugięcia można przyjąć zależność upraszczającą:
Rys. 2. Dyfrakcja na otworze: Xp, Yp - płaszczyzna przedmiotu, x, y - płaszczyzna obrazu, d
o
- średnica otworu,
b - odległość płaszczyzny przedmiotu od płaszczyzny obrazu,
α
- kąt dyfrakcji, D
n
-
średnica pierścienia
minimum dyfrakcyjnego
2.3.
Niepewność pomiaru w pomiarach pośrednich
Przyjmijmy, że pomiar wartości y realizowany jest pośrednio, poprzez pomiar wartości x
1
, x
2
,
… x
n
, zaś wartość y wyznaczana jest z zależności:
y = f(x
1
, x
2
, … , x
n
)
(11)
W takim przypadku niepewność e
y
pomiaru y można wyznaczyć z zależności:
2b
D
n
arctg
sin
z
d
n
o
π
λ
=
n
n
o
D
z
b
2
d
π
λ
=
(9)
(10)
(12)
gdzie:
- to pochodna cząstkowa funkcji y po x
i
,
e
xi
– niepewność wyznaczenia wartości x
i
.
3.
Opis stanowiska
W ćwiczeniu wykorzystuje się stanowisko badawcze zbudowane na stole optycznym.
Stanowisko składa się z trzech zespołów:
-
koherentnego źródła światła (lasera He-Ne) zamocowanego w specjalnym uchwycie
-
zespołu mocującego element mierzony (cienki drut)
-
specjalnego ekranu do obserwacji rozkładu dyfrakcyjnego i pomiaru odległości między
minimami
Istnieje możliwość zmiany odległości pomiędzy zespołami, a tym samym pomiędzy laserem i
przedmiotem mierzonym oraz ekranem.
4.
Wykonanie ćwiczenia i opracowanie wyników
1)
Przeprowadzić adjustację układu pomiarowego. Zamocować mierzony obiekt.
2)
Dla trzech położeń b ekranu zmierzyć średnicę d przedmiotu z wykorzystaniem
pierwszego, drugiego, środkowego i ostatniego widocznego prążka dyfrakcyjnego.
3)
Wyznaczyć niepewność e
d
każdego z pomiarów d korzystając z zależności na
niepewność w pomiarach pośrednich.
4)
Wskazać optymalne warunki pomiaru, w których pomiar d obciążony jest najmniejszą
niepewnością.
6. Treść sprawozdania
W sprawozdaniu należy zamieścić:
1)
Schemat układu pomiarowego z oznaczeniami stosowanymi w obliczeniach
2)
Protokół pomiarów
3)
Wyniki obliczeń
4)
Wnioski dotyczące możliwości zwiększenia dokładności pomiaru.
Literatura
1.
J. R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego. Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 1995
2.
J. Arendarski: Niepewność pomiarów. Oficyna Wyd. P W, Warszawa, 2003
3.
L. W. Sawieliew, Wykłady z fizyki Tom 2 (Elektryczność i magnetyzm. Fal. Optyka)
Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 1998
4.
J. Jaworski, R. Morawski, J. Olędzki: Wstęp do metrologii i techniki eksperymentu. W N-
T, Warszawa 1992
5.
R. Jóźwicki, Optyka laserów, WNT, Warszawa, 1981
6.
P. H. Sydenham: Podręcznik metrologii. Wyd. Komunikacji i Łączności. Warszawa 1990