WARUNKI RÓWNOWAGI

w-5

MT_SS - w 5

1

1. W

ogólnym przypadku sił

działających na ciało

sztywne równowaga możliwa jest tylko wtedy, gdy
suma geometryczna tych sił równa jest zeru oraz gdy
suma geometryczna ich momentów względem
dowolnego punktu 0 jest także równa zeru.

0

,

0

1

0

1

0

























n

i

i

n

i

i

M

M

P

W

MT_SS - w 5

2

W warunkach równowagi

• rzuty wektorów W i M

0

na trzy osie prostokątnego

układu współrzędnych równe są zeru

• obierając punkt 0 jako początek układu

współrzędnych otrzymujemy 6 skalarnych równań
równowagi,

równoważnym

2

warunkom

wektorowym.

,

0

,

0

,

0

,

0

,

0

,

0

1

1

1

1

1

1





































n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

z

z

y

y

x

x

M

P

M

P

M

P

MT_SS - w 5

3

2. Układ

par sił

będzie w równowadze tylko wtedy, gdy

moment wypadkowej pary sił będzie równy zeru, tzn.
gdy

0

1













n

i

i

M

M

W tym wypadku wektory M

1

, M

2

, ..., M

n

tworzą wielobok

zamknięty.

MT_SS - w 5

4

Ze wzoru wektorowego wynikają 3 skalarne równania
równowagi dla układu n par sił działających w dowolnych
płaszczyznach na ciało sztywne

.

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

z

y

x

M

M

M

MT_SS - w 5

5

3. Przestrzenny

układ

sił

zbieżnych

będzie

w

równowadze tylko wtedy, gdy wypadkowa tych sił
będzie równa zeru.

0

1









n

i

i

P

Wektorowemu równaniu odpowiadają następujące 3
równania skalarne

.

0

,

0

,

0

1

1

1

























n

i

i

z

n

i

i

y

n

i

i

x

z

y

x

P

P

P

P

P

P

MT_SS - w 5

6

4. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi

płaskiego

dowolnego układu sił jest zerowanie się

sumy geometrycznej tych sił oraz sumy algebraicznej
ich momentów względem dowolnego obranego
punktu tej płaszczyzny.

0

0

1

0

1

0





















n

i

i

n

i

i

M

M

P

W

=

0

,

0

,

0

1

1

1

0



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

M

P

P

y

x

MT_SS - w 5

7

uwaga:

a) warunki równowagi słuszne są dla dowolnego układu

xy i dowolnego punktu 0, można zatem sformułować
najwyżej trzy niezależne równania,

b) obierając różne układy xy i różne punkty 0, możemy

sformułować następujące ekwiwalentne związki
warunków równowagi:

1. x, y są dowolnymi osiami różnymi

x ≠ y

,

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

y

x

M

P

P

MT_SS - w 5

8

2. A, B to dwa dowolne punkty różne

x

ⱶ

AB

,

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

B

A

x

M

M

P

3. A, B, C to trzy dowolne punkty różne nie leżące

na jednej prostej

,

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

C

B

A

M

M

M

MT_SS - w 5

9

5. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi

sił na prostej jest znikanie sumy miar tych sił.

,

0

1







n

i

i

P

Oznacza to, że wypadkowa sił na prostej będącej w
równowadze równa jest zeru.

MT_SS - w 5

10

Podstawowe warunki równowagi układów sił

MT_SS - w 5

11

MT_SS - w 5

12

MT_SS - w 5

13

Podpory

Elementy konstrukcji budowlanych:

• belki,
• ramy,
• kratownice,
• Łuki

opierają się na innych konstrukcjach za pośrednictwem
specjalnych podpór.

Odpowiednia konstrukcja podpory unieruchamia płaski
element konstrukcyjny w ten sposób, że likwiduje tzw.
stopnie swobody. W systemie płaskim są to:

• przesunięcia poziome,
• przesunięcia pionowe,
• jeden obrót

MT_SS - w 5

14

W miejscach unieruchomienia konstrukcji, czyli w
miejscach podparcia, powstają siły zwane reakcjami.
Reakcje to siły bierne.

Siły reakcji podpór, czyli siły bierne, wraz z obciążeniami,
czyli siłami czynnymi, utrzymują system konstrukcyjny w
równowadze.

Spełnione są zatem warunki równowagi:

,

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

y

x

M

P

P

MT_SS - w 5

15

• Liczba warunków równowagi odpowiada liczbie stopni

swobody.

• W równaniach równowagi występują

znane obciążenia

oraz

nieznane reakcje

, które z tych równań wyznaczamy.

• Rozróżniamy trzy

zasadnicze podpory (więzy)

:

1. podpora przegubowo-nieprzesuwna,

2. podpora przegubowo-przesuwna,

3. sztywne utwierdzenie.

oraz

4. utwierdzenie przesuwne (teleskopowa)

1 2 3 4

MT_SS - w 5

16

1. Podpora przegubowo-nieprzesuwna

– łożysko stałe

Podpora przegubowo-nieprzesuwna:

 pozwala tylko na obrót,

 nie pozwala na:

 przesunięcie poziome,
 przesunięcie pionowe

Wskutek tego reakcja będzie:

 odchylona od pionu o kąt α i
 będzie przechodzić przez punkt podparcia.

Likwiduje dwa stopnie swobody układu (zawiera dwa więzy elementarne);

występują w niej dwie reakcje.

MT_SS - w 5

17

W podporze przegubowo-nieprzesuwnej występują zatem
dwie niewiadome podporowe.

Ta klasyczna podpora pozostawia jako

stopień swobody

obrót,

a

reakcje

są w pionie i w poziomie.

MT_SS - w 5

18

2. Podpora przegubowo-przesuwna

– łożysko ruchome

Podpora przegubowo-przesuwna:

 eliminuje przesunięcia w jednym kierunku,

 pozwala na swobodne przesunięcia w drugim

kierunku prostopadłym

 pozwala na swobodny obrót elementu podpartego.

Odbiera naszemu układowi (belce, ramie czy kracie) jeden stopień

swobody (jena więź elementarna); pojawia się w niej jedna reakcja.

MT_SS - w 5

19

w łożysku tym występuje zatem tylko jedna niewiadoma
podporowa (

jedna reakcja)

,

prostopadła do podstawy

łożyska (kierunek przesuwu).

Ta klasyczna podpora pozostawia jako

stopnie swobody

obrót i przesuw poziomy,

a

reakcja

jest w pionie.

MT_SS - w 5

20

3. Sztywne utwierdzenie (zamocowanie)

 przesunięcia poziome,

 przesunięcia pionowe,

 obrót.

Zatem jedno sztywne utwierdzenie od razu unieruchomi
element konstrukcyjny.

Przykład

:

Belka wspornikowa (sztywno utwierdzona)

 przesunięcia poziome,

 przesunięcia pionowe,

 obrót.

Obiera układowi trzy stopnie swobody (zawiera trzy więzy elementarne):

MT_SS - w 5

21

W sztywnym utwierdzeniu występują zatem trzy
niewiadome podporowe.

W takiej podporze nie ma ani jednego stopnia swobody, zatem nic

się nie rusza.

Reakcje: pionowa, pozioma i momentowa.

MT_SS - w 5

22

Występuje jako połączenie dwóch elementów (najczęściej dwóch prętów lub

tarcz).

W przegubie występują

reakcje

pionowe i poziome - co za tym idzie przekazywane

są siły Tnące i Normalne (osiowe).

Jako

stopień swobody

pozostaje moment, a w związku z tym suma momentów w

przegubie jest równa 0 (zero).

Przegub