WARUNKI RÓWNOWAGI 

w-5 

MT_SS - w 5 

1 

1. W 

ogólnym  przypadku  sił 

działających  na  ciało 

sztywne  równowaga  możliwa  jest  tylko  wtedy,  gdy 
suma  geometryczna  tych  sił  równa  jest  zeru  oraz  gdy 
suma  geometryczna  ich  momentów  względem 
dowolnego punktu 0 jest także równa zeru. 

0

,

0

1

0

1

0

























n

i

i

n

i

i

M

M

P

W

MT_SS - w 5 

2 

W warunkach równowagi 

 

• rzuty  wektorów  W  i  M

0

  na  trzy  osie  prostokątnego 

układu współrzędnych równe są zeru 

 

• obierając  punkt  0  jako  początek  układu 

współrzędnych  otrzymujemy  6  skalarnych  równań 
równowagi, 

równoważnym 

2 

warunkom 

wektorowym. 

,

0

,

0

,

0

,

0

,

0

,

0

1

1

1

1

1

1





































n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

z

z

y

y

x

x

M

P

M

P

M

P

MT_SS - w 5 

3 

2. Układ 

par  sił 

będzie  w  równowadze  tylko  wtedy,  gdy 

moment  wypadkowej  pary  sił  będzie  równy  zeru,  tzn. 
gdy 

0

1













n

i

i

M

M

W tym wypadku wektory M

1

, M

2

, ..., M

n

 tworzą wielobok 

zamknięty. 

MT_SS - w 5 

4 

Ze  wzoru  wektorowego  wynikają  3  skalarne  równania 
równowagi dla układu n par sił działających w dowolnych 
płaszczyznach na ciało sztywne 

.

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

z

y

x

M

M

M

MT_SS - w 5 

5 

3. Przestrzenny 

układ 

sił 

zbieżnych 

będzie 

w 

równowadze  tylko  wtedy,  gdy  wypadkowa  tych  sił 
będzie równa zeru. 

0

1









n

i

i

P

Wektorowemu  równaniu  odpowiadają  następujące  3 
równania skalarne 

.

0

,

0

,

0

1

1

1

























n

i

i

z

n

i

i

y

n

i

i

x

z

y

x

P

P

P

P

P

P

MT_SS - w 5 

6 

4. Warunkiem  koniecznym  i  wystarczającym  równowagi 

płaskiego

  dowolnego  układu  sił  jest  zerowanie  się 

sumy  geometrycznej  tych  sił  oraz  sumy  algebraicznej 
ich  momentów  względem  dowolnego  obranego 
punktu tej płaszczyzny. 

0

0

1

0

1

0





















n

i

i

n

i

i

M

M

P

W

= 

0

,

0

,

0

1

1

1

0



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

M

P

P

y

x

MT_SS - w 5 

7 

uwaga: 

 

a) warunki równowagi słuszne są dla dowolnego układu 

xy i dowolnego punktu 0, można zatem sformułować 
najwyżej trzy niezależne równania, 

 

b) obierając  różne  układy  xy  i  różne  punkty  0,  możemy 

sformułować  następujące  ekwiwalentne  związki 
warunków równowagi: 

1. x, y są dowolnymi osiami różnymi  

x ≠ y 

,

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

y

x

M

P

P

MT_SS - w 5 

8 

2. A, B to dwa dowolne punkty różne   

x 

ⱶ

 AB 

,

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

B

A

x

M

M

P

3. A, B, C to trzy dowolne punkty różne  nie leżące 

na jednej prostej 

,

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

C

B

A

M

M

M

MT_SS - w 5 

9 

5. Warunkiem  koniecznym  i  wystarczającym  równowagi 

sił na prostej jest znikanie sumy miar tych sił. 

,

0

1







n

i

i

P

Oznacza  to,  że  wypadkowa  sił  na  prostej  będącej  w 
równowadze równa jest zeru. 

MT_SS - w 5 

10 

Podstawowe warunki równowagi układów sił 

MT_SS - w 5 

11 

MT_SS - w 5 

12 

MT_SS - w 5 

13 

Podpory 

Elementy konstrukcji budowlanych: 

 

• belki, 
• ramy, 
• kratownice, 
• Łuki 

 

opierają się na innych konstrukcjach za pośrednictwem 
specjalnych podpór. 

Odpowiednia konstrukcja podpory unieruchamia płaski 
element konstrukcyjny w ten sposób, że likwiduje tzw. 
stopnie swobody. W systemie płaskim są to: 

• przesunięcia poziome, 
• przesunięcia pionowe, 
• jeden obrót 

MT_SS - w 5 

14 

W  miejscach  unieruchomienia  konstrukcji,  czyli  w 
miejscach  podparcia,  powstają  siły  zwane  reakcjami. 
Reakcje to siły bierne. 

 

Siły  reakcji  podpór,  czyli  siły  bierne,  wraz  z  obciążeniami, 
czyli  siłami  czynnymi,  utrzymują  system  konstrukcyjny  w 
równowadze. 

 

Spełnione są zatem warunki równowagi: 

,

0

,

0

,

0

1

1

1



















n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

y

x

M

P

P

MT_SS - w 5 

15 

• Liczba  warunków  równowagi  odpowiada  liczbie  stopni 

swobody. 

• W  równaniach  równowagi  występują 

znane  obciążenia 

oraz 

nieznane reakcje

, które z tych równań wyznaczamy. 

• Rozróżniamy trzy 

zasadnicze podpory (więzy)

: 

 

1. podpora przegubowo-nieprzesuwna, 

 

2. podpora przegubowo-przesuwna, 

 

3. sztywne utwierdzenie. 

 
oraz 
 

4.  utwierdzenie przesuwne (teleskopowa) 

1           2               3             4 

MT_SS - w 5 

16 

1. Podpora przegubowo-nieprzesuwna 

– łożysko stałe 

Podpora przegubowo-nieprzesuwna: 

 

 pozwala tylko na obrót, 

 

 nie pozwala na: 

 

 przesunięcie poziome, 
 przesunięcie pionowe 

 

Wskutek tego reakcja będzie: 

 

 odchylona od pionu o kąt α i 
 będzie przechodzić przez punkt podparcia. 

Likwiduje dwa stopnie swobody układu (zawiera dwa więzy elementarne); 

występują w niej dwie reakcje. 

MT_SS - w 5 

17 

W  podporze  przegubowo-nieprzesuwnej  występują  zatem 
dwie niewiadome podporowe. 

Ta klasyczna podpora pozostawia jako 

stopień swobody

 

obrót, 

a

 

reakcje

 

są w pionie i w poziomie. 

MT_SS - w 5 

18 

2. Podpora przegubowo-przesuwna 

– łożysko ruchome 

Podpora przegubowo-przesuwna: 

 

 eliminuje przesunięcia w jednym kierunku, 

 

 pozwala  na  swobodne  przesunięcia  w  drugim 

kierunku prostopadłym 

 

 pozwala na swobodny obrót elementu podpartego. 

Odbiera naszemu układowi (belce, ramie czy kracie) jeden stopień 

swobody (jena więź elementarna); pojawia się w niej jedna reakcja. 

MT_SS - w 5 

19 

w łożysku tym występuje zatem tylko jedna niewiadoma 
podporowa (

jedna reakcja)

,

 

prostopadła do podstawy 

łożyska (kierunek   przesuwu). 

Ta klasyczna podpora pozostawia jako 

stopnie swobody

 

obrót i przesuw poziomy, 

a

 

reakcja

 

jest w pionie.  

MT_SS - w 5 

20 

3. Sztywne utwierdzenie (zamocowanie)

 

 

 przesunięcia poziome, 

  

 przesunięcia pionowe, 

 

 obrót. 

Zatem jedno sztywne utwierdzenie od razu unieruchomi 
element konstrukcyjny.  

Przykład

: 

Belka wspornikowa (sztywno utwierdzona) 

 przesunięcia poziome, 

  

 przesunięcia pionowe, 

 

 obrót. 

Obiera układowi trzy stopnie swobody (zawiera trzy więzy elementarne): 

MT_SS - w 5 

21 

W  sztywnym  utwierdzeniu  występują  zatem  trzy  
niewiadome podporowe. 

W takiej podporze nie ma ani jednego stopnia swobody, zatem nic 

się nie rusza. 

Reakcje:  pionowa, pozioma i momentowa. 

MT_SS - w 5 

22 

 

Występuje jako połączenie dwóch elementów (najczęściej dwóch prętów lub 

tarcz). 

 

W przegubie występują 

reakcje

 

pionowe i poziome - co za tym idzie przekazywane 

są siły Tnące i Normalne (osiowe). 

 

Jako 

stopień swobody 

pozostaje moment, a w związku z tym suma momentów w 

przegubie jest równa 0 (zero). 

Przegub