Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Całka podwójna - zastosowania - ciąg dalszy

Zad.1 Za pomocą całki podwójnej oblicz pole płata powierzchniowego:

1.1 części sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 2 zawartej wewnątrz stożka x

2

+ y

2

= z

2

1.2 części sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 4 zawartej wewnątrz walca x

2

+ 4y

2

= 4

1.3 części paraboloidy z = 1 − x

2

− y

2

zawartej wewnątrz walca x

2

+ y

2

= 1

1.4 części walca x

2

+ z

2

= 9 zawartej wewnątrz walca x

2

+ y

2

= 9

1.5 części stożka z =

p

x

2

+ y

2

zawartej wewnątrz walca x

2

+ y

2

= 4

1.6 części sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 4 zawartej wewnątrz walca x

2

+ y

2

= 2x

1.7 części paraboloidy z =

x

2

9

+

y

2

4

zawartej wewnątrz walca

x

2

9

+

y

2

4

= 1

Zad.2 Oblicz pole powierzchni 2x + 2y + z = 8 odciętej płaszczyznami układu współrzędnych.

Zad.3 Oblicz pole powierzchni walcowej z = x

2

odciętej płaszczyznami y = 2x, y = 3x, x =

√

2.

Zad.4 Oblicz pole powierzchni z = 3x + 4y + 5 odciętej płaszczyznami x = 0, = 1, y = 0, y = 1.

Zad.5 Oblicz masy obszarów o podanych gęstościach:

5.1 D =

 (x, y) ∈ R

2

: 0 6 x 6 π, 0 6 y 6 sin x

,

%(x, y) = x

5.2 D =

 (x, y) ∈ R

2

: x > 0, y > 0, x + y 6 2

,

%(x, y) = xy

5.3 D =

 (x, y) ∈ R

2

: 1 6 x

2

+ y

2

6 4, y > 0

,

%(x, y) = |x|

5.4 D =

n

(x, y) ∈ R

2

: 1 6

x

2

16

+ y

2

6 3, x > 0, y >

x

4

o

,

%(x, y) =

x

y

5

Zad.6 Oblicz współrzędne środka ciężkości obszarów jednorodnych ograniczonych krzywymi:

6.1 x + y = 5, x = 0, y = 0

6.2 y = ln x, y = 0, x = e

6.3 y =

√

1 − x

2

, x = 0, y = 0, dla x > 0

6.4

x

2

+ y

2

2

= 2xy dla x, y > 0

6.5 r = 1 + cos ϕ dla ϕ ∈ [0, π]

6.6 r = 2 sin 2ϕ dla 0 6 ϕ 6

π

2

Zad.7 Oblicz momenty bezwładności jednorodnego kwadratu o boku 1 względem jego przekątnych.

Zad.8 Oblicz moment bezwładności względem początku układu współrzędnych jednorodnego koła x

2

+ y

2

= 2x.