79
Ć w i c z e n i e 9
Wyznaczanie reakcji strumienia cieczy na płaską płytkę
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest doświadczalne określenie reakcji wywieranej przez strumień
wody na płaską płytkę, a następnie porównanie wyników doświadczenia z wartością
reakcji uzyskaną na drodze teoretyczno-obliczeniowej.
2. Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej w oparciu o zasadę zmiany pędu
Siłę, z jaką strumień cieczy działa na przeszkodę ustawioną w linii jego działania
nazywamy reakcją hydrodynamiczną, która jest sumą geometryczną elementarnych
reakcji wywieranych przez poszczególne cząstki poruszającej się masy ciekłej.
RozwaŜmy strumień cieczy napływający stycznie na zakrzywioną nieruchomą
ścianę w sposób przedstawiony schematycznie na rysunku 1. Wprowadźmy
następujące załoŜenia:
- ruch cieczy jest ustalony,
- rozkład prędkości w poprzecznym przekroju strumienia jest jednorodny,
- strumień porusza się w ośrodku nie wywierającym wpływu na przebieg zjawiska,
- pomija się siły tarcia pomiędzy spływającym strumieniem a powierzchnią ściany,
- pomija się siły cięŜkości działające na elementy cieczy strumienia.
Przy powyŜszych załoŜeniach prędkość strumienia wzdłuŜ ściany nie ulega zmianie,
co ująć moŜna zapisem (rys. 1):
U
U
U
r
r
r
=
=
1
0
Jedyną siłą zewnętrzną wywołującą zmianę pędu jest siła oddziaływania
P
r
zakrzywionej płyty i zachodzi wówczas następująca równość:
P
R
r
r
−
=
Rys. 1. Reakcja strumienia na stycznie zakrzywioną nieruchomą ścianę
80
Z zasady zmiany ilości ruchu (zmiany pędu) wynika, Ŝe dla cieczy o gęstości ρ i
strumieniu objętości Q zmiana pędu między przekrojami kontrolnymi 0 − 0 i 1 − 1
będzie wynosiła:
(
)
1
0
U
U
Q
P
R
r
r
r
r
−
=
−
=
ρ
(1)
Wyprowadzenie związku (1) zostało przedstawione w dodatku do ćwiczenia.
Równanie wektorowe (1) moŜe być zapisane w postaci dwóch równań skalarnych na
składowe siły reakcji w przyjętym układzie współrzędnych (rys. 1):
(
)
(
)
y
y
y
x
x
x
U
U
Q
R
U
U
Q
R
1
0
1
0
−
=
−
=
ρ
ρ
(2)
Zgodnie z rysunkiem 1 składowe prędkości dla przekrojów kontrolnych wynoszą
odpowiednio:
ϑ
ϑ
sin
;
cos
;
U
U
U
U
U
U
U
y
y
x
x
=
=
=
=
1
0
1
0
0
co prowadzi do następujących zapisów składowych reakcji:
(
)
ϑ
ρ
ϑ
ρ
sin
cos
U
Q
R
U
Q
R
y
x
−
=
−
=
1
(3)
Moduł reakcji wypadkowej wynosi:
2
sin
2
2
2
ϑ
ρ
U
Q
R
R
R
y
x
=
+
=
.
(4)
W przypadku, gdy strumień uderza w płaską płytę ustawioną prostopadle do osi
strumienia (rys. 2), odpowiednie składowe prędkości zapisać moŜna następująco:
U
U
U
U
U
U
y
y
x
x
=
=
=
=
1
0
1
0
;
0
0
;
co po wykorzystaniu związków (2) pozwala określić składowe reakcji
hydrodynamicznej strumienia:
U
Q
R
U
Q
R
y
x
ρ
ρ
−
=
=
(5)
Rys. 2. Reakcja strumienia przy napływie na płaską płytę ustawioną prostopadle
81
Ale poniewaŜ strumień po uderzeniu w płytę rozdziela się promieniowo symetrycznie
względem osi x, więc elementarne składowe poprzeczne siły hydrodynamicznej
znoszą się i wypadkowa poprzeczna równa się zeru:
0
=
y
R
wówczas moduł reakcji wypadkowej równy jest jej składowej poziomej:
U
Q
R
R
x
ρ
=
=
(6)
3. Opis stanowiska pomiarowego
Schemat stanowiska badawczego słuŜącego do wyznaczania reakcji strumienia
przedstawiono na rysunku 3. Płyta 1 pod wpływem reakcji strumienia cieczy
wypływającej z dyszy 3 przemieszcza się, przy czym układ prętów 4 zapewnia
utrzymanie prostopadłego połoŜenia płyty względem napływającego strumienia
cieczy. Wielkość odchylenia prętów moŜna odczytać za pomocą wskaźnika 5, a
strumień objętości cieczy mierzony rotametrem 8 moŜna zmieniać przy pomocy
zaworu 7.
4. Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej w oparciu o zasadę prac
przygotowanych
Siły działające na badany układ zaznaczono schematycznie na rysunku 4, zaś w
obliczeniach wykorzystana zostanie zasada prac przygotowanych [2], stosowana
często w klasycznej mechanice ciała stałego, zgodnie z którą:
warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego jest, aby
suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i reakcji więzów przy dowolnym
przemieszczeniu przygotowanym układu była równa zeru, co moŜna zapisać
równaniem:
∑
=
=
⋅
n
i
i
i
r
P
1
0
δ
Reakcji strumienia cieczy R przeciwdziałają siły cięŜkości m·g elementów ruchomych,
które moŜna przyłoŜyć w ich środkach cięŜkości (dla uproszczenia pomijamy siły
reakcji więzów). Elementarne przesunięcia prętów o kąt δα pod wpływem
oddziaływania strumienia cieczy powodują przesunięcie ich środków cięŜkości.
Rys. 3. Schemat stanowiska pomiarowego
82
Przesunięcia przygotowane sił w kierunkach ich działania (zgodnie z rysunkiem 4)
wynoszą odpowiednio:
- dla siły cięŜkości odpowiadającej prętom pionowym (m
pr
· g):
α
δα
δ
sin
2
1
⋅
−
=
l
y
- dla siły cięŜkości płytki z ramką (m
p
+ m
r
)g:
α
δα
δ
sin
2
⋅
−
= l
y
- dla siły reakcji R:
α
δα
δ
cos
⋅
= l
x
Równanie bilansu prac przygotowawczych, pomijając siły tarcia, wynosi:
(
)
α
δα
α
δα
α
δα
sin
sin
2
2
cos
⋅
⋅
+
+
⋅
=
⋅
⋅
l
g
m
m
l
g
m
l
R
r
p
pr
,
co po uproszczeniu prowadzi do zaleŜności:
(
)
α
tg
g
m
m
m
R
r
p
pr
⋅
+
+
=
(7)
gdzie:
m
pr
= 0.017 kg - masa prętów,
m
p
= 0.122 kg
- masa płytki,
m
r
= 0.094 kg
- masa ramki,
g = 9.81 m/s
2
- przyspieszenie ziemskie,
α - kąt wychylenia układu.
Dla wyŜej podanych wartości mas poszczególnych elementów układu moŜna określić
wielkość siły R, która jest wyłącznie funkcją kąta α według zaleŜności:
N
,
28
,
2
α
tg
R
obl
=
(8)
Rys. 4. Schemat działania sił na elementy ruchome stanowiska
83
5. Metodyka pomiarów
Przed przystąpieniem do ćwiczenia naleŜy sprawdzić, czy układ prętów wychyla
się swobodnie. Pomiar naleŜy przeprowadzić dla dziewięciu ustalonych przez
prowadzącego wartości wychylenia płytki notując kaŜdorazowo w tabeli pomiarowej
wartość strumienia objętości wody odpowiadającą ustalonemu kątowi wychylenia.
Cały cykl pomiarowy powtórzyć naleŜy trzykrotnie, biorąc do dalszych obliczeń
średnią wartość strumienia wody dla kaŜdego z ustalonych wychyleń kątowych.
6. Metodyka obliczeń
Na podstawie danych pomiarowych uzyskanych w trakcie doświadczenia przy
wszystkich dziewięciu połoŜeniach płytki, obliczamy wartości siły reakcji ze wzoru
(8). Rezultat powyŜszych obliczeń porównać naleŜy z wielkościami obliczonymi
według zaleŜności (6), którą moŜna przekształcić do wygodniejszej postaci:
N
,
4
2
2
d
Q
QU
R
π
ρ
ρ
=
=
(9)
gdzie:
Q - uśredniony strumień objętości wody, m
3
/s,
ρ - masa właściwa wody, kg/m
3
,
d - średnica otworu dyszy (dla omawianego stanowiska d = 0,005 m).
Porównując reakcje R obliczone dwoma omawianymi metodami określić naleŜy
względną róŜnicę ich wartości, która wynosi:
%
,
100
obl
obl
R
R
R −
=
ε
(10)
Sprawozdanie z ćwiczenia naleŜy uzupełnić analizą wyników i własnymi
spostrzeŜeniami.
Literatura
1. Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1969
2. Leyko J.: Mechanika ogólna, PWN, Warszawa 1976
3. Prosnak W.J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1970
84
Tabela pomiarowo-obliczeniowa
Q
α
tgα
1
2
3
Q
R
R
obl
ε
Lp.
o
-
l/min
m
3
/s
N
N
%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
85
D o d a t e k B
do ćwiczenia nr 9
Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej strumienia cieczy napływającego
stycznie na zakrzywioną nieruchomą ściankę
Zasada zachowania pędu w mechanice płynów dla przypadku przepływu płynu
doskonałego (tzn. przy pominięciu napręŜeń stycznych) moŜe być zapisana w postaci
równania:
(
)
∫∫∫
∫∫
=
+
V
S
n
dV
F
dS
n
p
U
U
r
r
r
ρ
ρ
(B1)
gdzie:
U
r
- wektor prędkości,
S
- powierzchnia kontrolna ograniczająca wydzieloną część płynu,
U
n
- składowa wektora prędkości normalna do powierzchni kontrolnej,
definiowana jako:
( )
n
U
n
U
n
U
U
n
r
r
r
r
r
r
,
cos
=
•
=
p
- ciśnienie,
n
r
- jednostkowy wektor normalny do powierzchni kontrolnej, skierowany na
zewnątrz objętości płynu,
V
- objętość płynu ograniczona powierzchnią kontrolną S.
W przypadku przepływu gazów, a takŜe przepływu cieczy w przewodach poziomych
lub nieznaczne pochylonych moŜna - bez popełnienia większego błędu - pominąć siły
masowe (grawitacyjne) i wówczas równanie (B1) przyjmie postać:
(
)
0
=
+
∫∫
S
n
dS
n
p
U
U
r
r
ρ
(B2)
W przypadku stycznego napływu swobodnego strumienia cieczy na wygiętą
powierzchnię ciała stałego, powierzchnię kontrolną S (patrz rys. B1) moŜna podzielić
na powierzchnie składowe:
-
powierzchnie S
0
i S
1
okrywające się z przekrojami poprzecznymi strugi na
wlocie i na wylocie wygiętej powierzchni ciała,
-
powierzchnię swobodną strugi S
a
,
-
powierzchnię styku strugi i ciała S
c
.
Rys. B1. Definicja objętości kontrolnej płynu
86
Dla tak zdefiniowanej powierzchni kontrolnej zasada zmiany pędu (B2) przyjmuje
następującą postać:
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
=
+
+
+
+
+
+
+
+
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
c
a
c
c
a
a
S
c
c
c
S
a
a
a
S
a
S
a
S
c
n
S
a
n
S
n
S
n
dS
n
p
dS
n
p
dS
n
p
dS
n
p
dS
U
U
dS
U
U
dS
U
U
dS
U
U
r
r
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
ρ
ρ
(B2)
gdzie ciśnienia pod znakami całek są ciśnieniami bezwzględnymi. PoniewaŜ
rozpatrujemy oddziaływanie strugi swobodnej to na powierzchniach kontrolnych S
0
, S
1
i S
a
, a takŜe pod powierzchnią ciała panuje ciśnienia p
a
, więc występujące na
powierzchni S
c
nadciśnienie jest róŜnicą
p = p
c
– p
a
(B3)
Struga cieczy oddziałuje na powierzchnię ciała stałego (powierzchnię kontrolną S
c
) z
siłą reakcji hydrodynamicznej
R
r
, równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną do
siły oddziaływania
P
r
, i jest wypadkową elementarnych sił ciśnieniowych od
nadciśnienia p występującego na powierzchni S
c
:
∫∫
=
−
=
c
S
c
c
dS
n
p
P
R
r
r
r
(B4)
Wykorzystując wyraŜenia (B3) i (B4), ostatnią całkę równania (B2) moŜna
przekształcić do postaci:
(
)
R
dS
n
p
dS
n
p
p
dS
n
p
c
c
c
S
c
c
a
S
c
c
a
S
c
c
c
r
r
r
r
∫∫
∫∫
∫∫
+
=
+
=
(B5)
PoniewaŜ składowe normalne prędkości U
n
na powierzchni prądu S
a
i na powierzchni
S
c
(równieŜ będącą linią prądu) równe są zero, zatem przez powierzchnie te nie
odbywa się wymiana pędu:
0
=
=
∫∫
∫∫
c
c
a
a
S
c
n
S
a
n
dS
U
U
dS
U
U
r
r
ρ
ρ
(B6)
Zakładając, Ŝe strumień jest jednorodny w przekrojach S
0
i S
1
,
dwie pierwsze całki
równania (B2) moŜemy napisać w postaci:
(
)
(
)
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
>
=
<
−
=
∫∫
∫∫
n
S
n
n
S
n
U
U
Q
dS
U
U
U
U
Q
dS
U
U
r
r
r
r
ρ
ρ
ρ
ρ
(B7)
gdzie:
1
0
1
0
S
U
S
U
Q
n
n
=
=
- strumień objętościowy strugi.
Wykorzystując powyŜsze uproszczenia, wyraŜenie (B2) moŜna zatem przepisać w
postaci:
∫∫
+
+
+
=
+
+
+
−
c
a
S
S
S
S
a
R
dS
n
p
U
Q
U
Q
1
0
0
1
0
r
r
r
r
ρ
ρ
(B8)
Całka w powyŜszym równaniu jest równa zeru jako całka normalnej jednostkowej
wzdłuŜ powierzchni zamkniętej, ostatecznie więc równanie (B8) moŜna zapisać:
87
0
1
0
=
+
+
−
R
U
Q
U
Q
r
r
r
ρ
ρ
(B9)
Stąd wyraŜenie na reakcję hydrodynamiczna strugi przyjmie ostateczną postać:
(
)
1
0
U
U
Q
R
r
r
r
−
=
ρ
(B10)
Literatura
1. Prosnak W., J.: Mechanika płynów, tom 1, PWN, Warszawa 1970