79

Ć w i c z e n i e 9

Wyznaczanie reakcji strumienia cieczy na płaską płytkę

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest doświadczalne określenie reakcji wywieranej przez strumień

wody na płaską płytkę, a następnie porównanie wyników doświadczenia z wartością
reakcji uzyskaną na drodze teoretyczno-obliczeniowej.

2. Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej w oparciu o zasadę zmiany pędu

Siłę, z jaką strumień cieczy działa na przeszkodę ustawioną w linii jego działania

nazywamy reakcją hydrodynamiczną, która jest sumą geometryczną elementarnych
reakcji wywieranych przez poszczególne cząstki poruszającej się masy ciekłej.

Rozważmy strumień cieczy napływający stycznie na zakrzywioną nieruchomą

ścianę w sposób przedstawiony schematycznie na rysunku 1. Wprowadźmy
następujące założenia:
- ruch cieczy jest ustalony,
- rozkład prędkości w poprzecznym przekroju strumienia jest jednorodny,
- strumień porusza się w ośrodku nie wywierającym wpływu na przebieg zjawiska,
- pomija się siły tarcia pomiędzy spływającym strumieniem a powierzchnią ściany,
- pomija się siły ciężkości działające na elementy cieczy strumienia.
Przy powyższych założeniach prędkość strumienia wzdłuż ściany nie ulega zmianie,
co ująć można zapisem (rys. 1):

U

U

U

r

r

r

=

=

1

0

Jedyną siłą zewnętrzną wywołującą zmianę pędu jest siła oddziaływania

P

r

zakrzywionej płyty i zachodzi wówczas następująca równość:

P

R

r

r

−

=

Rys. 1. Reakcja strumienia na stycznie zakrzywioną nieruchomą ścianę

80

Z zasady zmiany ilości ruchu (zmiany pędu) wynika, że dla cieczy o gęstości ρ i
strumieniu objętości Q zmiana pędu między przekrojami kontrolnymi 0 − 0 i 1 − 1
będzie wynosiła:

(

)

1

0

U

U

Q

P

R

r

r

r

r

−

=

−

=

ρ

(1)

Wyprowadzenie związku (1) zostało przedstawione w dodatku do ćwiczenia.
Równanie wektorowe (1) może być zapisane w postaci dwóch równań skalarnych na
składowe siły reakcji w przyjętym układzie współrzędnych (rys. 1):

(

)

(

)

y

y

y

x

x

x

U

U

Q

R

U

U

Q

R

1

0

1

0

−

=

−

=

ρ

ρ

(2)

Zgodnie z rysunkiem 1 składowe prędkości dla przekrojów kontrolnych wynoszą
odpowiednio:

ϑ

ϑ

sin

;

cos

;

U

U

U

U

U

U

U

y

y

x

x

=

=

=

=

1

0

1

0

0

co prowadzi do następujących zapisów składowych reakcji:

(

)

ϑ

ρ

ϑ

ρ

sin

cos

U

Q

R

U

Q

R

y

x

−

=

−

=

1

(3)

Moduł reakcji wypadkowej wynosi:

2

sin

2

2

2

ϑ

ρ

U

Q

R

R

R

y

x

=

+

=

.

(4)

W przypadku, gdy strumień uderza w płaską płytę ustawioną prostopadle do osi
strumienia (rys. 2), odpowiednie składowe prędkości zapisać można następująco:

U

U

U

U

U

U

y

y

x

x

=

=

=

=

1

0

1

0

;

0

0

;

co po wykorzystaniu związków (2) pozwala określić składowe reakcji
hydrodynamicznej strumienia:

U

Q

R

U

Q

R

y

x

ρ

ρ

−

=

=

(5)

Rys. 2. Reakcja strumienia przy napływie na płaską płytę ustawioną prostopadle

81

Ale ponieważ strumień po uderzeniu w płytę rozdziela się promieniowo symetrycznie
względem osi x, więc elementarne składowe poprzeczne siły hydrodynamicznej
znoszą się i wypadkowa poprzeczna równa się zeru:

0

=

y

R

wówczas moduł reakcji wypadkowej równy jest jej składowej poziomej:

U

Q

R

R

x

ρ

=

=

(6)

3. Opis stanowiska pomiarowego

Schemat stanowiska badawczego służącego do wyznaczania reakcji strumienia

przedstawiono na rysunku 3. Płyta 1 pod wpływem reakcji strumienia cieczy
wypływającej z dyszy 3 przemieszcza się, przy czym układ prętów 4 zapewnia
utrzymanie prostopadłego położenia płyty względem napływającego strumienia
cieczy. Wielkość odchylenia prętów można odczytać za pomocą wskaźnika 5, a
strumień objętości cieczy mierzony rotametrem 8 można zmieniać przy pomocy
zaworu 7.

4. Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej w oparciu o zasadę prac

przygotowanych

Siły działające na badany układ zaznaczono schematycznie na rysunku 4, zaś w

obliczeniach wykorzystana zostanie zasada prac przygotowanych [2], stosowana
często w klasycznej mechanice ciała stałego, zgodnie z którą:
warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego jest, aby
suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i reakcji więzów przy dowolnym
przemieszczeniu przygotowanym układu była równa zeru, co można zapisać
równaniem:

∑

=

=

⋅

n

i

i

i

r

P

1

0

δ

Reakcji strumienia cieczy R przeciwdziałają siły ciężkości m·g elementów ruchomych,
które można przyłożyć w ich środkach ciężkości (dla uproszczenia pomijamy siły
reakcji więzów). Elementarne przesunięcia prętów o kąt δα pod wpływem
oddziaływania strumienia cieczy powodują przesunięcie ich środków ciężkości.

Rys. 3. Schemat stanowiska pomiarowego

82

Przesunięcia przygotowane sił w kierunkach ich działania (zgodnie z rysunkiem 4)
wynoszą odpowiednio:
- dla siły ciężkości odpowiadającej prętom pionowym (m

pr

· g):

α

δα

δ

sin

2

1

⋅

−

=

l

y

- dla siły ciężkości płytki z ramką (m

p

+ m

r

)g:

α

δα

δ

sin

2

⋅

−

= l

y

- dla siły reakcji R:

α

δα

δ

cos

⋅

= l

x

Równanie bilansu prac przygotowawczych, pomijając siły tarcia, wynosi:

(

)

α

δα

α

δα

α

δα

sin

sin

2

2

cos

⋅

⋅

+

+

⋅

=

⋅

⋅

l

g

m

m

l

g

m

l

R

r

p

pr

,

co po uproszczeniu prowadzi do zależności:

(

)

α

tg

g

m

m

m

R

r

p

pr

⋅

+

+

=

(7)

gdzie:
m

pr

= 0.017 kg - masa prętów,

m

p

= 0.122 kg

- masa płytki,

m

r

= 0.094 kg

- masa ramki,

g = 9.81 m/s

2

- przyspieszenie ziemskie,

α - kąt wychylenia układu.
Dla wyżej podanych wartości mas poszczególnych elementów układu można określić
wielkość siły R, która jest wyłącznie funkcją kąta α według zależności:

N

,

28

,

2

α

tg

R

obl

=

(8)

Rys. 4. Schemat działania sił na elementy ruchome stanowiska

83

5. Metodyka pomiarów

Przed przystąpieniem do ćwiczenia należy sprawdzić, czy układ prętów wychyla

się swobodnie. Pomiar należy przeprowadzić dla dziewięciu ustalonych przez
prowadzącego wartości wychylenia płytki notując każdorazowo w tabeli pomiarowej
wartość strumienia objętości wody odpowiadającą ustalonemu kątowi wychylenia.
Cały cykl pomiarowy powtórzyć należy trzykrotnie, biorąc do dalszych obliczeń
średnią wartość strumienia wody dla każdego z ustalonych wychyleń kątowych.

6. Metodyka obliczeń

Na podstawie danych pomiarowych uzyskanych w trakcie doświadczenia przy

wszystkich dziewięciu położeniach płytki, obliczamy wartości siły reakcji ze wzoru
(8). Rezultat powyższych obliczeń porównać należy z wielkościami obliczonymi
według zależności (6), którą można przekształcić do wygodniejszej postaci:

N

,

4

2

2

d

Q

QU

R

π

ρ

ρ

=

=

(9)

gdzie:
Q - uśredniony strumień objętości wody, m

3

/s,

ρ - masa właściwa wody, kg/m

3

,

d - średnica otworu dyszy (dla omawianego stanowiska d = 0,005 m).
Porównując reakcje R obliczone dwoma omawianymi metodami określić należy
względną różnicę ich wartości, która wynosi:

%

,

100

obl

obl

R

R

R −

=

ε

(10)

Sprawozdanie z ćwiczenia należy uzupełnić analizą wyników i własnymi
spostrzeżeniami.


Literatura

1. Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1969
2. Leyko J.: Mechanika ogólna, PWN, Warszawa 1976
3. Prosnak W.J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1970

84

Tabela pomiarowo-obliczeniowa

Q

α

tgα

1

2

3

Q

R

R

obl

ε

Lp.

o

-

l/min

m

3

/s

N

N

%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

85

D o d a t e k B

do ćwiczenia nr 9

Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej strumienia cieczy napływającego

stycznie na zakrzywioną nieruchomą ściankę

Zasada zachowania pędu w mechanice płynów dla przypadku przepływu płynu

doskonałego (tzn. przy pominięciu naprężeń stycznych) może być zapisana w postaci
równania:

(

)

∫∫∫

∫∫

=

+

V

S

n

dV

F

dS

n

p

U

U

r

r

r

ρ

ρ

(B1)

gdzie:

U

r

- wektor prędkości,

S

- powierzchnia kontrolna ograniczająca wydzieloną część płynu,

U

n

- składowa wektora prędkości normalna do powierzchni kontrolnej,

definiowana jako:

( )

n

U

n

U

n

U

U

n

r

r

r

r

r

r

,

cos

=

•

=

p

- ciśnienie,

n

r

- jednostkowy wektor normalny do powierzchni kontrolnej, skierowany na

zewnątrz objętości płynu,

V

- objętość płynu ograniczona powierzchnią kontrolną S.

W przypadku przepływu gazów, a także przepływu cieczy w przewodach poziomych
lub nieznaczne pochylonych można - bez popełnienia większego błędu - pominąć siły
masowe (grawitacyjne) i wówczas równanie (B1) przyjmie postać:

(

)

0

=

+

∫∫

S

n

dS

n

p

U

U

r

r

ρ

(B2)

W przypadku stycznego napływu swobodnego strumienia cieczy na wygiętą
powierzchnię ciała stałego, powierzchnię kontrolną S (patrz rys. B1) można podzielić
na powierzchnie składowe:

-

powierzchnie S

0

i S

1

okrywające się z przekrojami poprzecznymi strugi na

wlocie i na wylocie wygiętej powierzchni ciała,

-

powierzchnię swobodną strugi S

a

,

-

powierzchnię styku strugi i ciała S

c

.

Rys. B1. Definicja objętości kontrolnej płynu

86

Dla tak zdefiniowanej powierzchni kontrolnej zasada zmiany pędu (B2) przyjmuje
następującą postać:

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

=

+

+

+

+

+

+

+

+

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

c

a

c

c

a

a

S

c

c

c

S

a

a

a

S

a

S

a

S

c

n

S

a

n

S

n

S

n

dS

n

p

dS

n

p

dS

n

p

dS

n

p

dS

U

U

dS

U

U

dS

U

U

dS

U

U

r

r

r

r

r

r

r

r

ρ

ρ

ρ

ρ

(B2)

gdzie ciśnienia pod znakami całek są ciśnieniami bezwzględnymi. Ponieważ
rozpatrujemy oddziaływanie strugi swobodnej to na powierzchniach kontrolnych S

0

, S

1

i S

a

, a także pod powierzchnią ciała panuje ciśnienia p

a

, więc występujące na

powierzchni S

c

nadciśnienie jest różnicą

p = p

c

– p

a

(B3)

Struga cieczy oddziałuje na powierzchnię ciała stałego (powierzchnię kontrolną S

c

) z

siłą reakcji hydrodynamicznej

R

r

, równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną do

siły oddziaływania

P

r

, i jest wypadkową elementarnych sił ciśnieniowych od

nadciśnienia p występującego na powierzchni S

c

:

∫∫

=

−

=

c

S

c

c

dS

n

p

P

R

r

r

r

(B4)

Wykorzystując wyrażenia (B3) i (B4), ostatnią całkę równania (B2) można
przekształcić do postaci:

(

)

R

dS

n

p

dS

n

p

p

dS

n

p

c

c

c

S

c

c

a

S

c

c

a

S

c

c

c

r

r

r

r

∫∫

∫∫

∫∫

+

=

+

=

(B5)

Ponieważ składowe normalne prędkości U

n

na powierzchni prądu S

a

i na powierzchni

S

c

(również będącą linią prądu) równe są zero, zatem przez powierzchnie te nie

odbywa się wymiana pędu:

0

=

=

∫∫

∫∫

c

c

a

a

S

c

n

S

a

n

dS

U

U

dS

U

U

r

r

ρ

ρ

(B6)

Zakładając, że strumień jest jednorodny w przekrojach S

0

i S

1

,

dwie pierwsze całki

równania (B2) możemy napisać w postaci:

(

)

(

)

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

>

=

<

−

=

∫∫

∫∫

n

S

n

n

S

n

U

U

Q

dS

U

U

U

U

Q

dS

U

U

r

r

r

r

ρ

ρ

ρ

ρ

(B7)

gdzie:

1

0

1

0

S

U

S

U

Q

n

n

=

=

- strumień objętościowy strugi.

Wykorzystując powyższe uproszczenia, wyrażenie (B2) można zatem przepisać w
postaci:

∫∫

+

+

+

=

+

+

+

−

c

a

S

S

S

S

a

R

dS

n

p

U

Q

U

Q

1

0

0

1

0

r

r

r

r

ρ

ρ

(B8)

Całka w powyższym równaniu jest równa zeru jako całka normalnej jednostkowej
wzdłuż powierzchni zamkniętej, ostatecznie więc równanie (B8) można zapisać:

87

0

1

0

=

+

+

−

R

U

Q

U

Q

r

r

r

ρ

ρ

(B9)

Stąd wyrażenie na reakcję hydrodynamiczna strugi przyjmie ostateczną postać:

(

)

1

0

U

U

Q

R

r

r

r

−

=

ρ

(B10)

Literatura

1. Prosnak W., J.: Mechanika płynów, tom 1, PWN, Warszawa 1970