1. WIADOMO´

SCI WSTE,PNE.

1.1. Rachunek zda´

n.

W mowie potocznej formuÃlujemy takie zdania, o kt´orych mo˙zemy powiedzie´c, ˙ze
sa, prawdziwe ba,d´z faÃlszywe bez wzgle,du na to, jaka jest aktualna sytuacja w

otaczaja,cym nas ´swiecie. Na przykÃlad zdanie: ”Je´sli dzi´s jest ´sroda, to jutro

be,dzie czwartek” jest prawdziwe, a zdanie: ”3 jest liczba, parzysta,” jest faÃlszywe.

Natomiast ocena prawdziwo´sci zdania: ”Matematyka jest Ãlatwa” zale˙zy ju˙z od
subiektywnego odczucia osoby je wypowiadaja,cej. W dalszym cia,gu be,da, nas

interesowaÃly zdania pierwszego rodzaju. Przyjmiemy naste,puja,ce oznaczenia i

definicje.

Definicja 1.1.1.

Zdaniem nazywamy w logice wypowied´z orzekaja,ca,, kt´orej

mo˙zna przypisa´c jedna, z dw´och ocen: prawde, lub faÃlsz.

Prawdziwo´s´c i faÃlszywo´s´c nazywamy warto´sciami logicznymi zdania.
Prawde, oznaczamy cyfra, 1, a faÃlsz cyfra, 0.

Zdania be,dziemy oznacza´c symbolami p, q, r, s, a warto´s´c logiczna, zdania w(p).

W´owczas w(p) = 0 oznacza, ˙ze zdanie p jest faÃlszywe, a w(q) = 1 oznacza, ˙ze
zdanie q jest prawdziwe.

Z danych zda´

n mo˙zemy przy pomocy sp´ojnik´ow ”i”, ”lub”, ”je´sli ..., to ...”,

”wtedy i tylko wtedy, gdy ...”, ”nie” tworzy´c nowe zdania. Sp´ojniki te nazywamy
funktorami zdaniotw´orczymi.

Funktory zdaniotw´orcze oznaczamy naste,puja,cymi symbolami i nadajemy im

odpowiednio nazwy

”nie”

∼

negacja

”lub”

∨

alternatywa

”i”

∧

koniunkcja

”je´sli ..., to ...”

⇒

implikacja

”wtedy i tylko wtedy, gdy ...”

⇔

r´ownowa˙zno´s´c

Ze sp´ojnik´ow i zda´

n prostych mo˙zemy tworzy´c zdania zÃlo˙zone. Na mocy

przyje,tych poprzednio oznacze´n definicje, sp´ojnik´ow mo˙zemy zapisa´c przy u˙zyciu

naste,puja,cej tabelki

p

q

∼ p p ∧ q

p ∨ q

p ⇒ q

p ⇔ q

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

Zbudowane przy u˙zyciu zmiennych zdaniowych, funktor´ow zdaniotw´orczych

oraz nawias´ow wyra˙zenia rachunku zda´

n nazywamy tak˙ze formuÃlami rachunku

zda´

n albo schematami rachunku zda´

n. Ka˙zda formuÃla staje sie, zdaniem, gdy w

miejsce wyste,puja,cych w niej liter podstawiamy zdania. W´sr´od wszystkich formuÃl

rachunku zda´

n szczeg´olnie wa˙zna, role, peÃlnia, tautologie.

Definicja 1.1.2. Zdanie prawdziwe bez wzgÃledu na warto´sci logiczne zda´

n skÃla-

dowych nazywamy tautologia,.

Wa˙znym zagadnieniem rachunku zda´

n jest sprawdzenie, czy dana formuÃla jest

tautologia,. Najcze,´sciej stosowana, metoda, badania warto´sci logicznej wyra˙ze´n

rachunku zda´

n jest metoda zero-jedynkowa. Polega ona na rozpatrzeniu wszyst-

kich ukÃlad´ow warto´sci logicznych zmiennych zdaniowych wyste,puja,cych w danym

wyra˙zeniu. Metode, ta, zilustrujemy naste,puja,cym przykÃladem.

PrzykÃlad 1.1.1. Sprawdzi´c czy wyra˙zenie

¡

p ⇒ q

¢

⇒

h¡

q ⇒ r

¢

⇒

¡

p ⇒ r

¢i

jest tautologia,.

p q r p ⇒ q q ⇒ r p ⇒ r (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) (p ⇒ q) ⇒ [(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)]

1 1 1

1

1

1

1

1

1 1 0

1

0

0

1

1

1 0 1

0

1

1

1

1

0 1 1

1

1

1

1

1

1 0 0

0

1

0

0

1

0 1 0

1

0

1

1

1

0 0 1

1

1

1

1

1

0 0 0

1

1

1

1

1

Zadanie 1.1.1. Sprawdzi´c czy podane zdania sa, tautologiami

a) p ⇒

¡

q ⇒ p

¢

,

b)

h

p ⇒

¡

q ⇒ r

¢i

⇒

h¡

p ⇒ q

¢

⇒

¡

p ⇒ r

¢i

,

c) p ⇒

¡

∼ p ⇒ q

¢

,

d)

¡

∼ p ⇒ q

¢

⇒ p,

e)

¡

p ∨ q

¢

⇔

¡

∼ p ⇒ q

¢

,

f )

¡

p ∧ q

¢

⇔

¡

p ⇒∼ q

¢

,

g) ∼

¡

p ∧ q

¢

⇔

¡

∼ p∨ ∼ q

¢

- prawo de Morgana,

2

h) ∼

¡

p ∨ q

¢

⇔

¡

∼ p∧ ∼ q

¢

- prawo de Morgana,

i) ∼

¡

p ⇒ q

¢

⇔

¡

p∧ ∼ q

¢

,

j)

h

p ∧

¡

q ∨ r

¢i

⇔

h¡

p ∧ q

¢

∨

¡

p ∧ r

¢i

-prawo rozdzielno´sci koniunkcji wzgle,dem

alternatywy,
k)

h

p ∨

¡

q ∧ r

¢i

⇔

h¡

p ∨ q

¢

∧

¡

p ∨ r

¢i

-prawo rozdzielno´sci alternatywy wzgle,dem

koniunkcji.

Interptretacja fizyczna koniunkcji i alternatywy.

Niech p, q oznaczja, wyÃla,czniki, z kt´orych ka˙zdy mo˙ze by´c wÃla,czony (stan 1) albo

wyÃla,czony (stan 0). W stanie ”1” wyÃla,cznik przewodzi pra,d, natomiast w stanie

”0” wyÃla,cznik nie przewodzi pra,du. Stan ukÃladu utworzonego przez poÃla,czenie

szeregowe wyÃla,cznik´ow p i q zale˙zy od stanu wyÃla,cznika p i od stanu wyÃla,cznika

q tak, jak warto´s´c logiczna koniunkcji p ∧ q zale˙zy od warto´sci logicznych zda´

n p i

q. W zwia,zku z tym mo˙zna powiedzie´c, ˙ze

koniunkcje, realizuje poÃla,czenie szeregowe.

Podobnie stan ukÃladu utworzonego przez poÃla,czenie r´ownolegÃle wyÃla,cznik´ow p i q

zale˙zy od stanu wyÃla,cznika p lub od stanu wyÃla,cznika q tak, jak warto´s´c logiczna

alternatywy p ∨ q zale˙zy od warto´sci logicznych zda´

n p i q. W zwia,zku z tym

mo˙zna powiedzie´c, ˙ze

alternatywe, realizuje poÃla,czenie r´ownolegÃle.

Warunek konieczny i dostateczny.

Je˙zeli ze zdania p wynika zdanie q (p ⇒ q), to m´owimy, ˙ze

p jest warunkiem dostatecznym (wystarczaja,cym) dla q,

natomiast q jest warunkiem koniecznym dla p.

PrzykÃlad 1.1.2.

Podzielno´s´c liczby n przez 4 jest warunkiem dostatecznym

podzielno´sci liczby n przez 2.

4

±

n ⇒ 2

±

n

Podzielno´s´c liczby n przez 4 nie jest warunkiem koniecznym podzielno´sci

liczby n przez 2, o czym ´swiadczy przykÃlad liczby 6, kt´ora jest podzielna przez 2,
ale nie jest podzielna przez 4.

Mo˙ze sie, zda˙zy´c, ˙ze warunek konieczny jest jednocze´snie warunkiem dostatecznym.

M´owimy w´owczas, ˙ze jest to warunek konieczny i dostateczny.

PrzykÃlad 1.1.3. Podzielno´s´c liczby n przez 2 i przez 5 jest warunkiem koniecznym
i dostatecznym podzielno´sci liczby n przez 10.

¡

2

±

n ∧ 5

±

n

¢

⇒ 10

±

n

3

1.2. Rachunek zbior´

ow.

Poje,cie zbioru i nale˙zenia do zbioru przyjmujemy jako pierwotne i nie wyma-

gaja,ce definiowania.

Je˙zeli element a nale˙zy do zbioru A, to piszemy a ∈ A, w przeciwnym przy-

padku, gdy element a nie nale˙zy do zbioru A piszemy a 6∈ A.

Definicja 1.2.1. Zbi´or, kt´orego wszystkimi elementami sa, a

1

, a

2

, . . . , a

n

nazy-

wamy zbiorem sko´

nczonym.

Zbi´or, kt´ory posiada tylko jeden element nazywamy zbiorem jednoelemen-

towym.

Zbi´or, do kt´orego ˙zaden element nie nale˙zy nazywamy zbiorem pustym.
Zbi´or, kt´ory nie jest ani sko´

nczony, ani pusty nazywamy zbiorem niesko´

nczo-

nym.

Niech A i B be,da, dowolnymi zbiorami.

Definicja 1.2.2. M´owimy, ˙ze zbi´or A jest r´owny zbiorowi B, gdy ka˙zdy element
zbioru A jest elementem zbioru B i ka˙zdy element zbioru B jest elementem zbioru
A. Piszemy wtedy A = B.

Okre´slimy teraz dziaÃlania na zbiorach.

Definicja 1.2.3. Suma, zbior´ow A i B nazywamy zbi´or zÃlo˙zony ze wszystkich

element´ow, kt´ore nale˙za, do zbioru A lub do zbioru B.

a ∈

¡

A ∪ B

¢

⇔

h¡

a ∈ A

¢

∨

¡

a ∈ B

¢i

Definicja 1.2.4. Iloczynem zbior´ow A i B nazywamy zbi´or zÃlo˙zony z element´ow,
kt´ore jednocze´snie nale˙za, do zbioru A i do zbioru B.

a ∈

¡

A ∩ B

¢

⇔

h¡

a ∈ A

¢

∧

¡

a ∈ B

¢i

Definicja 1.2.5. R´o˙znica, zbior´ow A i B nazywamy zbi´or zÃlo˙zony z tych ele-

ment´ow, kt´ore nale˙za, do zbioru A i nie nale˙za, do zbioru B.

a ∈

¡

A \ B

¢

⇔

h¡

a ∈ A

¢

∧ ∼

¡

a ∈ B

¢i

Definicja 1.2.6. Je˙zeli ka˙zdy element zbioru A nale˙zy do zbioru B, to m´owimy,

˙ze zbi´or A zawiera sie, w zbiorze B.

a ∈

¡

A ⊂ B

¢

⇔

h¡

a ∈ A

¢

⇒

¡

a ∈ B

¢i

4

Definicja 1.2.7. Zbiory A i B nazywamy rozÃla,cznymi, je˙zeli nie maja, wsp´olnego

elementu, tzn. A ∩ B = ∅.

Przypu´s´cmy teraz, ˙ze wszystkie rozpatrywane przez nas zbiory, w ustalonym

zagadnieniu sa, podzbiorami jednego zbioru, kt´ory oznaczymy przez X. Wtedy

dla ka˙zdego rozpatrywanego zbioru A mamy: A ⊂ X. Zbi´or X nazywa´c be,dziemy

przestrzenia,.
Definicja 1.2.8. DopeÃlnieniem zbioru A (do przestrzeni X) nazywamy zbi´or
A

0

= X \ A.

x ∈ A

0

⇔

h¡

x ∈ X

¢

∧ ∼

¡

x ∈ A

¢i

PrzykÃlad 1.2.1. DopeÃlnieniem zbioru liczb ujemnych (do zbioru liczb rzeczy-
wistych) jest zbi´or liczb nieujemnych.

Ka˙zde dziaÃlanie w rachunku zbior´ow ma sw´oj odpowiednik w rachunku zda´

n

i na odwr´ot. Mo˙zemy to ustali´c por´ownuja,c okre´slenia odpowiednich dziaÃla´n. Na

przykÃlad iloczynowi zbior´ow odpowiada koniunkcja, gdy˙z a ∈ A ∩ B wtedy i tylko
wtedy, gdy a jest elementem zbioru A i (koniunkcja) jest elementem zbioru B.
Fakt ten prowadzi w konsekwencji do wykorzystania praw rachunku zda´

n przy

dowodzeniu praw rachunku zbior´ow.

Niech dane be,da, dwa dowolne i niepuste zbiory A i B oraz niech a ∈ A i b ∈ B.

Uporza,dkowana, pare, element´ow a i b be,dziemy oznaczali (a, b).
Definicja 1.2.8. Iloczynem kartezja´

nskim zbior´ow A i B nazywamy zbi´or upo-

rza,dkowanych par (a, b) takich, ˙ze a ∈ A i b ∈ B.

A × B = {(a, b) : a ∈ A ∩ b ∈ B}.

Zadanie 1.2.1. Udowodni´c podane r´owno´sci
a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
b) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
c) (A ∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

,

d) (A ∩ B)

0

= A

0

∪ B

0

,

e) (A \ B) ∩ B = ∅,
f ) A \ B = A ∩ B

0

,

g) A \ B = A \ (A ∩ B),
h) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B,
i) (A ∩ B) ∪ (A

0

∩ B) = B.

Zadanie 1.2.2. Podaj interpretacje, geometryczna, na pÃlaszczy´znie OXY naste,-

puja,cych zbior´ow

a) < 2, 3 > × < 1, 5 >,

b) N × {2},

c) R× < 1, ∞ >,

d) R × {π}.

5

1.3. Funkcje zdaniowe. Kwantyfikatory.

Definicja 1.3.1. Funkcja, zdaniowa, z jedna, zmienna,, okre´slona, w dziedzinie D

nazywamy takie wyra˙zenie zawieraja,ce ta, zmienna,, kt´ore staje sie, zdaniem, gdy

na miejsce zmiennej podstawimy dowolny element zbioru D.

PrzykÃlad 1.3.1.

”x jest liczba, pierwsza,”

Powy˙zsza funkcja zdaniowa ze zmienna, x okre´slona na zbiorze liczb rzeczy-

wistych, na przykÃlad dla x = 2 jest zdaniem prawdziwym, a dla x = 100 jest
zdaniem faÃlszywym.

PrzykÃlad 1.3.2. Ka˙zde r´ownanie oraz ka˙zda nier´owno´s´c sa, funkcjami zdaniowy-

mi.

W´sr´od wszystkich element´ow a z dziedziny D funkcji zdaniowej ϕ wyr´o˙zniamy

te, dla kt´orych zdanie ϕ(a) jest prawdziwe. O takich elementach m´owimy, ˙ze
speÃlniaja, funkcja, zdaniowa,.

Definicja 1.3.2. Funkcje, zdaniowa, nazywamy to˙zsamo´sciowa, , je˙zeli speÃlnia ja,

ka˙zdy element z jej dziedziny, natomiast nazywamy ja, sprzeczna,, je˙zeli nie speÃlnia

jej ˙zaden element z dziedziny.

Dwie funkcje zdaniowe nazywamy r´ownowa˙znymi , gdy maja, wsp´olna, dzie-

dzine, i gdy ka˙zdy element, kt´ory speÃlnia jedna, z nich, speÃlnia tak˙ze druga, i na

odwr´ot.

Je˙zeli dla ka˙zdego x ∈ D funkcja zdaniowa ϕ(x) o dziedzinie D jest zdaniem

prawdziwym, to fakt ten zapisujemy w naste,puja,cy spos´ob

^

x∈D

ϕ(x)

i odczytujemy: ”dla ka˙zdego x jest ϕ(x)”.

Je˙zeli w dziedzinie D istnieje co najmniej jeden element x, dla kt´orego funkcja

zdaniowa ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym, to piszemy

_

x∈D

ϕ(x)

i odczytujemy: ”istnieje taki x, ˙ze ϕ(x)”.

Definicja 1.3.3. Funktor

V

nazywamy kwantyfikatorem og´olnym, a funktor

W

-

kwantyfikatorem szczeg´oÃlowym.

6

Zauwa˙zmy, ˙ze kwantyfikator og´olny jest uog´olnieniem koniunkcji

^

x∈X

ϕ(x) ⇔

£

ϕ(x

1

) ∧ ϕ(x

2

) ∧ . . . ∧ ϕ(x

n

)

¤

.

Natomiast kwantyfikator szczeg´oÃlowy jest uog´olnieniem alternatywy

_

x∈X

ϕ(x) ⇔

£

ϕ(x

1

) ∨ ϕ(x

2

) ∨ . . . ∨ ϕ(x

n

)

¤

.

Podamy teraz kilka tautologii rachunku funkcji zdaniowych.
1.

W

x∈X

[ϕ(x) ∨ ψ(x)] ⇔

W

x∈X

ϕ(x) ∨

W

x∈X

ψ(x)

2.

W

x∈X

[ϕ(x) ∧ ψ(x)] ⇒

W

x∈X

ϕ(x) ∧

W

x∈X

ψ(x)

3.

V

x∈X

[ϕ(x) ∧ ψ(x)] ⇔

V

x∈X

ϕ(x) ∧

V

x∈X

ψ(x)

4.

V

x∈X

[ϕ(x) ∨ ψ(x)] ⇐

V

x∈X

ϕ(x) ∨

V

x∈X

ψ(x)

5. Prawa de Morgana dla kwantyfikator´ow
∼

h W

x∈X

ϕ(x)

i

⇔

V

x∈X

∼ ϕ(x)

∼

h V

x∈X

ϕ(x)

i

⇔

W

x∈X

∼ ϕ(x)

PrzykÃlad 1.3.1. Rozwa˙zmy dwa zdania
p =

V

x∈X

£

x ≥ 0 ∨ x < 0

¤

q =

V

x∈X

x ≥ 0 ∨

V

x∈X

x < 0.

Zauwa˙zmy, ˙ze w(p) = 1 oraz w(q) = 0. Zatem jedynie zdanie p mo˙ze wynika´c

ze zdania q (q ⇒ p). Niech teraz
p =

W

x∈X

£

x ≥ 0 ∧ x < 0

¤

q =

W

x∈X

x ≥ 0 ∧

W

x∈X

x < 0.

W tym przypadku w(p) = 0 oraz w(q) = 1. Zatem mo˙ze tylko zachodzi´c

p ⇒ q.

Zadanie 1.3.1. Kt´ore z podanych zda´

n sa, prawdziwe, a kt´ore faÃlszywe.

a)

V

x∈R

sin 2x = 2 sin x cos x,

b)

W

x∈R

sin 2x = 2 sin x,

c)

V

x∈R

√

x

2

= x,

d)

W

x∈R

√

x

2

= −x,

7

e)

V

x∈R

| x |≥ 0,

f )

W

x∈R

V

y∈R

y < x,

g)

V

x∈R

W

y∈R

y < x.

Zadanie 1.3.2. Zbuduj zaprzeczenie podanych zda´

n.

a)

V

x∈R

cos 2x = cos

2

x − sin

2

x,

b)

V

x∈R

W

y∈R

y < x,

c)

W

x∈R

V

y∈R

x < y,

b)

W

x∈R

x

2

− 2 ≤ 0.

1.4. Kres g´

orny i dolny zbioru.

W tym paragrafie be,dziemy rozwa˙za´c podzbiory przestrzeni liczb rzeczywis-

tych R. Niech Z be,dzie dowolnym podzbiorem przestrzeni R.

Definicja 1.4.1. Elementem najwie,kszym zbioru Z nazywamy te, liczbe,, kt´ora

nale˙zy do zbioru Z i jest wie,ksza od ka˙zdego z pozostaÃlych element´ow zbioru Z.

max Z = a ⇔

³

a ∈ Z ∧

^

x∈Z

x ≤ a

´

Elementem najmniejszym zbioru Z nazywamy te, liczbe,, kt´ora nale˙zy do zbioru Z

i jest mniejsza od ka˙zdego z pozostaÃlych element´ow zbioru Z.

min Z = b ⇔

³

b ∈ Z ∧

^

x∈Z

x ≥ b

´

PrzykÃlad 1.4.1. Elementem najmniejszym zbioru liczb naturalnych jest liczba
1.

Zbi´or liczb caÃlkowitych nie ma element´ow najmniejszego i najwie,kszego.

Niech A =< 2; 4 >. Wtedy max A = 4 oraz min A = 2. Je˙zeli A = (2, 4 >, to

min A nie istnieje.

Definicja 1.4.2. Liczbe, a nazywamy ograniczeniem g´ornym zbioru Z, je´sli

^

x∈Z

x ≤ a.

8

Liczbe, a nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru Z, je´sli

^

x∈Z

x ≥ a.

PrzykÃlad 1.4.2. Niech dane be,da, zbiory A = {

2n

n+1

: n ∈ N} i B = {

n

2n−1

:

n ∈ N}. Wtedy A = {1,

4
3

,

3
2

,

8
5

,

5
3

, . . .}. Zauwa˙zmy, ˙ze ograniczeniem dolnym

zbioru A moga, by´c mie,dzy innymi naste,puja,ce liczby: -100, -0.5, 0,

1
3

. Ponadto

B = {1,

2
3

,

3
5

,

4
7

, . . .}. W tym przypadku ograniczeniem g´ornym zbioru B sa, mie,dzy

innymi liczby: 1,

3
2

, 2, 101.

Definicja 1.4.3. Zbi´or Z nazywamy ograniczonym od g´ory , je˙zeli istnieje ogra-
niczenie g´orne zbioru Z.

_

M ∈R

^

x∈Z

x ≤ M

Zbi´or Z nazywamy ograniczonym od doÃlu, je˙zeli istnieje ograniczenie dolne zbioru
Z.

_

m∈R

^

x∈Z

x ≥ m

Zbi´or Z nazywamy ograniczonym, je´sli jest ograniczony od g´ory i od doÃlu. W
przeciwnym przypadku zbi´or Z nazywamy nieograniczonym.

PrzykÃlad 1.4.3.

Zbi´or liczb naturalnych jest ograniczony od doÃlu i nie jest

ograniczony od g´ory. Zbi´or odwrotno´sci liczb naturalnych jest ograniczony od
dolu (przez liczbe, 0) i od g´ory (przez liczbe, 1).

Definicja 1.4.4. Kresem g´ornym zbioru nazywamy najmniejsze z ogranicze´

n

g´ornych tego zbioru.

M = sup Z ⇔

^

x∈Z

x ≤ M ∧

^

ε>0

_

x

0

∈Z

x

0

> M − ε

Kresem dolnym zbioru nazywamy najwie,ksze z ogranicze´n dolnych tego zbioru.

m = inf Z ⇔

^

x∈Z

x ≥ m ∧

^

ε>0

_

x

0

∈Z

x

0

< m + ε

Zauwa˙zmy, ˙ze kres g´orny zbioru jest najmniejsza, liczba, ograniczaja,ca, ten zbi´or z

g´ory, za´s kres dolny zbioru jest najwie,ksza, liczba, ograniczaja,ca, ten zbi´or z doÃlu.

Ponadto najmniejszy element zbioru (o ile istnieje) jest jednocze´snie kresem dol-
nym tego zbioru, a najwie,kszy jego element (o ile istnieje) jest kresem g´onym.

9

PrzykÃlad 1.4.4. Rozwa˙zmy zbiory A i B z przykÃladu 1.4.2. Mamy

sup A = 2,

inf A = 1,

sup B = 1,

inf B =

1
2

.

Twierdzenie 1.4.1. (Aksjomat cia,gÃlo´sci Dedekinda) Ka˙zdy niepusty zbi´or ogra-

niczony z g´ory ma kres g´orny. Ka˙zdy niepusty zbi´or ograniczony z doÃlu ma kres
dolny.

Zadanie 1.4.1. Znale´z´c kresy podanych zbior´ow.
A = (−∞, 1 >,

B = (2, ∞),

C = {2

−n

: n ∈ N},

D = {

n

n+1

: n ∈ N},

E = {

n−1

2n

: n ∈ N}.

Definicja 1.4.5. Otoczeniem punktu x

0

o promieniu δ(δ > 0) nazywamy zbi´or

Q(x

0

, δ) = {x : 0 ≤| x − x

0

|< δ}.

Sa,siedztwem punktu x

0

o promieniu δ(δ > 0) nazywamy zbi´or

S(x

0

, δ) = {x : 0 <| x − x

0

|< δ}.

Z powy˙zszej definicji wynika, ˙ze

Q(x

0

, δ) = (x

0

− δ; x

0

+ δ) oraz S(x

0

, δ) = (x

0

− δ; x

0

+ δ) \ {x

0

}.

Zauw˙zmy, ˙ze w definicji 1.4.5. wykorzystano warto´s´c bezwzgle,dna,, kt´ora w

dalszej cze,´sci wykÃladu be,dzie sie, cze,sto pojawia´c. Przypomnimy wie,c definicje, i

pewne wÃlasno´sci warto´sci bezwzgle,dnej.

Definicja 1.4.6.

| x |=

½

x,

x ≥ 0,

−x, x < 0.

WÃla´sciwo´sci warto´sci bezwzgle,dnej:

1. | x |≥ 0,
2. | x |=| −x |,
3. | x |≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x ∈< −a; a >,
4. | x |≥ a ⇔ (x ≥ a ∨ x ≤ −a) ⇔ x ∈ (−∞; −a > ∪ < a; ∞),
5. | x · y |=| x | · | y |,
6. |

x
y

|=

|x|
|y|

, dla y 6= 0,

7. | x + y |≤| x | + | y | (nier´owno´s´c tr´ojka,ta),

10

8. | x − y |≤| x | + | y |,
9.

¯

¯

¯| x | − | y |

¯

¯

¯≤| x + y |,

10.

¯

¯

¯| x | − | y |

¯

¯

¯≤| x − y |.

Ponadto w dalszym cia,gu be,dziemy wykorzystywa´c symbol ”du˙zej sigmy”

Sume, n skÃladnik´ow zapisujemy kr´otko w naste,puja,cy spos´ob

a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

=

n

X

k=1

a

k

.

Litere, k nazywamy wska´znikiem sumacyjnym, n za´s - g´orna, granica, sumowania.

Zadanie 1.4.2. Zapisa´c kr´otko przy u˙zyciu symbolu du˙zej sigmy
a) sume, wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 80,

b) sume, odwrotno´sci wszystkich liczb naturalnych z przedziaÃlu (π; 14 >,

c) sume, kwadrat´ow wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 8,

d) sume, kwadrat´ow odwrotno´sci wszystkich liczb naturalnych z przedziaÃlu (0, 2π).

Zadanie 1.4.3. Oblicz

a)

4

P

k=0

k

2

,

b)

3

P

k=1

k

3

,

c)

3

P

k=0

1

k+1

,

d)

5

P

k=2

k+2

3

,

e)

4

P

k=1

k−1

2k

.

1.5. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne.

Definicja 1.5.1. M´owimy, ˙ze zbi´or A jest r´ownoliczny ze zbiorem B i piszemy
A ∼ B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja r´o˙znowarto´sciowa f : A → B,
kt´ora jest odwzorowaniem zbioru A na zbi´or B.

Zauwa˙zmy, ˙ze zbi´or sko´

nczony nie jest r´ownoliczny z ˙zadnym ze swoich pod-

zbior´ow. Istnieja, zbiory , kt´ore sa, r´ownoliczne ze swoimi podzbiorami. Na przy-

kÃlad zbi´or liczb naturalnych jest r´ownoliczny ze zbiorem liczb nieparzystych lub
ze zbiorem liczb podzielnych przez 3. Istotnie w obu tych przypadkach mo˙zemy
znale´z´c r´o˙znowarto´sciwa, funkcje, odwzorowuja,ca, zbi´or liczb naturalnych na jeden

11

z wymienionych zbior´ow. W przypadku zbioru liczb nieparzystych taka, funkcja,

jest f (x) = 2x + 1, x ∈ N, za´s w przypadku zbioru liczb podzielnych przez 3
f (x) = 3x, x ∈ N.

Definicja 1.5.2. Zbi´or Z nazywamy zbiorem niesko´

nczonym wtedy i tylko wtedy,

gdy jest on r´ownoliczny z pewnym swoim podzbiorem.

Na mocy poprzednich rozwa˙za´

n zauwa˙zmy, ˙ze zbi´or liczb naturalnych jest

niesko´

nczony.

Definicja 1.5.3. Zbi´or Z nazywamy zbiorem przeliczalnym wtedy i tylko wtedy,
gdy jest on r´ownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Oczywi´scie ka˙zdy zbi´or przeliczalny jest zbiorem niesko´

nczonym.

Cze,sto m´owi sie,, ˙ze zbi´or przeliczalny to zbi´or, kt´orego wszystkie elementy

mo˙zna ustawi´c w cia,g niesko´nczony, przy czym ka˙zdy element zbioru wysta,pi w

tym cia,gu tylko raz.

PrzykÃlad 1.5.1.

Rozwa˙zmy zbi´or liczb caÃlkowitych.

Elementy tego zbioru

ustawmy w naste,puja,cy cia,g

0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . .

W cia,gu tym ka˙zda liczba caÃlkowita wysta,pi tylko raz. Oznacza to, ˙ze zbi´or liczb

caÃlkowitych jest przeliczalny.

Definicja 1.5.4. Niepusty zbi´or Z, kt´ory nie jest ani sko´

nczony, ani przeliczalny

nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym.

12

2. CIA,GI LICZBOWE.

RozdziaÃl ten rozpoczniemy przypomnieniem podstawowych wiadomo´sci doty-

cza,cych funkcji.
Definicja 2.1. Funkcja f : X → Y odwzorowuja,ca zbi´or X w zbi´or Y jest to

przyporza,dkowanie ka˙zdemu elementowi ze zbioru X dokÃladnie jedenego elementu

ze zbioru Y .

Zbi´or X nazywamy dziedzina, funkcji, a zbi´or Y przeciwdziedzina, lub zbiorem

warto´sci. Elementy zbioru X nazywamy argumentami, a elementy zbioru Y -
warto´sciami funkcji.

Wykresem funkcji y = f (x) nazywamy zbi´or wszystkich punkt´ow (x, f (x)),

x ∈ X.

Czasami be,dziemy stosowa´c naste,puja,ce oznaczenie dziedziny funkcji D

f

.

Interesowa´c nas be,da, przede wszystkim funkcje, kt´orych dziedzina, i prze-

ciwdziedzina, sa, podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Takie funkcje nazywamy

funkcjami liczbowymi. Przy okre´slaniu tych funkcji niekiedy podajemy tylko przy-
porza,dkowanie nie ustalaja,c dziedziny. Obowia,zuje wtedy umowa, ˙ze za dziedzine,

nale˙zy przyja,´c podzbi´or zbioru liczb rzeczywistych, dla kt´orego wz´or ustalaja,cy

przyporza,dkowanie ma sens. Tak rozumiana, dziedzine, nazywamy dziedzina, natu-

ralna,.

Podamy teraz kilka szczeg´olnych wÃlasno´sci funkcji liczbowych.

Definicja 2.2. Funkcje, f nazywamy ograniczona, z doÃlu (z g´ory) na zbiorze A ⊂

D

f

, je˙zeli zbi´or jej warto´sci jest ograniczony z doÃlu (z g´ory), tzn.

_

m∈R

^

x∈A

f (x) ≥ (≤)m

Definicja 2.3. Funkcje, f nazywamy rosna,ca, na zbiorze A ⊂ D

f

, je˙zeli wie,kszej

warto´sci argumentu odpowiada wie,ksza warto´s´c funkcji, tzn.

^

x

1

,x

2

∈A

£

x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) < f (x

2

)

¤

(2.1)

Definicja 2.4. Funkcje, f nazywamy maleja,ca, na zbiorze A ⊂ D

f

, je˙zeli wie,kszej

warto´sci argumentu odpowiada mniejsza warto´s´c funkcji, tzn.

^

x

1

,x

2

∈A

£

x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) > f (x

2

)

¤

(2.2)

Je˙zeli w warunku (2.1) osÃlabimy druga, nier´owno´s´c, to funkcje, f be,dziemy nazywa´c

niemaleja,ca,. Je´sli za´s osÃlabimy druga, nier´owno´s´c w warunku (2.2), to funkcje,

be,dziemy nazywa´c nierosna,ca,.

13

Powiemy, ˙ze funkcja f jest monotoniczna, gdy jest rosna,ca, maleja,ca, nieros-

na,ca lub niemaleja,ca.

Definicja 2.5. Funkcje, f nazywamy parzysta,, je˙zeli

^

x∈D

f

¡

− x ∈ D

f

∧ f (−x) = f (x)

¢

.

Definicja 2.6. Funkcje, f nazywamy nieparzysta,, je˙zeli

^

x∈D

f

¡

− x ∈ D

f

∧ f (−x) = −f (x)

¢

.

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgle,dem osi OY , a wykres funkcji

nieparzystej jest symetryczny wzgle,dem pocza,tku ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych.

Definicja 2.7. Funkcje, f nazywamy okresowa,, je˙zeli

_

T >0

^

x∈D

f

£

x + T ∈ D

f

∧ f (x + T ) = f (x)].

Liczbe, T nazywamy wtedy okresem funkcji f.

Zadanie 2.1. Zbada´c monotoniczno´s´c podanych funkcji na wskazanych zbiorach

a) f (x) =

1

x

4

+ 1

, (−∞; 0 >;

b) f (x) =

√

x + 1, < −1; ∞);

c) f (x) =

1

1 + x

2

, < 0, ∞);

d) f (x) = x

2

− 2x, (−∞, 1 >.

Zadanie 2.2. Zbada´c, czy podane funkcje sa, parzyste, czy nieparzyste

a) f (x) = 2

x

+ 2

−x

;

b) f (x) =

sin x

x

3

;

c) f (x) =

2 + x

2

x

5

;

d) f (x) = 3

x

− 3

−x

.

Przypomnimy teraz definicje, cia,gu liczbowego.

Definicja 2.8.

Funkcje, odwzorowuja,ca, zbi´or liczb naturalnych w zbi´or liczb

rzeczywistych nazywamy cia,giem liczbowym.

Warto´sci tej funkcji nazywamy wyrazami cia,gu i oznaczamy f(n) = a

n

.

14

Na mocy tej definicji wÃlasno´sci funkcji, takie jak monotoniczno´s´c i ograniczo-

no´s´c w naturalny spos´ob mo˙zna przenie´s´c na cia,gi liczbowe.

Zadanie 2.3. Zbada´c monotoniczno´s´c podanych cia,g´ow

a) a

n

=

n − 1

n

;

b) a

n

= 5

n

− 3

n

;

c) a

n

=

p

n

2

+ 4 − n;

d) a

n

=

n

2

+ 1

n

2

.

Zadanie 2.4. Podaj przykÃlad cia,gu ograniczonego.

Wa˙zna, role, w zastosowaniach peÃlnia, cia,gi arytmetyczne i geometryczne, znane z

kursu matematyki w szkole ´sredniej. Przypomnijmy w tym miejscu kilka podsta-
wowych wiadomo´sci dotycza,cych tego zagadnienia.

Definicja 2.9. Cia,giem arytmetycznym nazywamy cia,g, w k´orym ka˙zdy wyraz,

z wyja,tkiem pierwszego, r´o˙zni sie, od wyrazu bezpo´srednio go poprzedzaja,cego o

staÃla, liczbe, r´o˙zna, od zera, zwana, r´o˙znica, cia,gu

_

r∈R

^

n∈N\{1}

a

n

− a

n−1

= r

ÃLatwo wykaza´c, ˙ze je˙zeli r > 0, to cia,g jest rosna,cy, a gdy r < 0, to cia,g jest

maleja,cy.

Ponadto dla cia,gu arytmetycznego prawdziwe sa, wzory

^

n∈N\{1}

a

n

= a

1

+ (n − 1)r,

^

n∈N\{1}

a

n

=

a

n−1

+ a

n+1

2

,

^

n∈N\{1}

S

n

= a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

=

a

1

+ a

n

2

n,

S

1

= a

1

.

Definicja 2.10.

Cia,giem geometrycznym nazywamy cia,g, w k´orym stosunek

dowolnego wyrazu, z wyja,tkiem pierwszego, do wyrazu bezpo´srednio go poprze-

dzaja,cego jest staÃly.

_

q∈R

^

n∈N\{1}

a

n

a

n−1

= q

15

Liczbe, q nazywamy ilorazem cia,gu.

Dla cia,gu geometrycznego prawdziwe sa, wzory

^

n∈N\{1}

a

n

= a

1

q

n−1

,

^

n∈N\{1}

S

n

= a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

= a

1

1 − q

n

1 − q

,

gdy q 6= 1,

^

n∈N\{1}

S

n

= n · a

1

,

gdy q = 1,

oraz

S

1

= a

1

.

Ponadto dla cia,gu o wyrazach dodatnich mamy

^

n∈N\{1}

a

n

=

√

a

n−1

· a

n+1

.

Je˙zeli w cia,gu geometrycznym o wyrazach dodatnich 0 < q < 1, to cia,g ten jest

maleja,cy, je´sli q > 1, to cia,g jest rosna,cy.

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze | q |< 1. W´owczas naste,puja,cym wzorem mo˙zemy zsumo-

wa´c wszystkie wyrazy cia,gu geometrycznego {a

n

}

S =

a

1

1 − q

.

Zadanie 2.5. Znale´z´c cia,g arytmetyczny, kt´orego pierwszy wyraz jest r´owny 1, a

suma pocza,tkowych pie,ciu wyraz´ow jest cztery razy mniejsza od sumy naste,pnych

pie,ciu wyraz´ow.

Zadanie 2.6. Sprawdzi´c, ˙ze je˙zeli {a

n

} jest cia,giem geometrycznym, to cia,g

{a

n

+ a

n+1

} jest tak˙ze cia,giem geometrycznym.

Zadanie 2.7. Obliczy´c sume, 1 −

1

√

2

+

1
2

−

1

2

√

2

+ ... .

Zadanie 2.8. Zamieni´c uÃlamek 0, 4(12) na uÃlamek zwykÃly.

Zadanie 2.9. Rozwia,za´c podane r´ownania i nier´owno´sci

a) 2

x

+ 2

2x

+ 2

3x

+ .. = 1,

16

b) (x + 1) + (x + 1)

2

+ (x + 1)

3

+ ... =

q

x +

3
2

,

c) 1 + a + a

2

+ a

3

+ ... + a

x

= (1 + a)(1 + a

2

)(1 + a

4

),

d) (x + 1) + (x + 4) + .. + (x + 28) = 155.

2.1. Granica cia,gu.

Definicja 2.1.1. Liczbe, g nazywamy granica, cia,gu {a

n

}, je˙zeli prawie wszystkie

wyrazy tego cia,gu nale˙za, do otoczenia liczy g o promieniu ε, tj.

lim

n→∞

a

n

= g ⇔

^

ε>0

_

δ

^

n>δ

| a

n

− g |< ε.

Je˙zeli cia,g {a

n

} ma granice, to nazywa´c go be,dziemy cia,giem zbie˙znym.

Definicje, granicy mo˙zna r´ownie˙z sformuÃlowa´c w naste,pujc,y spos´ob: Liczba

g jest granica, cia,gu, gdy wszystkie jego wyrazy r´o˙znia, sie, od g o dowolnie maÃla

liczbe, dodatnia, ε, pocza,wszy od pewnego wska´znika. Wa˙zna jest uwaga, ˙ze na og´oÃl

liczba δ, o kt´orej mowa w definicji, nie mo˙ze by´c ustalona na zawsze, ale zale˙zy od
wyboru ε.

Wa˙zna, role, odgrywa przypadek, gdy cia,g jest zbie˙zny do zera. W´owczas

mamy

lim

n→∞

a

n

= 0 ⇔

^

ε>0

_

δ

^

n>δ

| a

n

|< ε

co oznacza, ˙ze prawie wszystkie wyrazy cia,gu zbie˙znego do zera co do warto´sci

bezwzgle,dnej sa, mniejsze od pewnej maÃlej ustalonej liczby dodatniej ε.

Twierdzenie 2.1.1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbie˙zno´sci cia,gu

{a

n

} do liczby g jest zbie˙zno´s´c cia,gu {a

n

− g} do zera.

Dow´

od. Konieczno´s´c warunku wynika bezpo´srednio z definicji 2.1.1. granicy

cia,gu.

Aby dowie´s´c dostateczno´sci tego warunku zaÃl´o˙zmy, ˙ze cia,g α

n

= a

n

− g jest

zbie˙zny do zera. Mamy w´owczas

^

ε>0

_

δ

^

n>δ

| α

n

|< ε.

Zatem

^

ε>0

_

δ

^

n>δ

| a

n

− g |< ε.

Co ko´

nczy dow´od.

17

PrzykÃlad 2.1.1. Rozwa˙zmy cia,g {

n

√

n}. Poka˙zemy, ˙ze jest to cia,g zbie˙zny do 1.

Niech wie,c a

n

=

n

√

n − 1. Korzystaja,c ze wzoru Newtona mamy

n = (

n

√

n)

n

= (1 + a

n

)

n

= 1 + na

n

+

µ

n

2

¶

a

2

n

+ . . . + a

n

n

czyli

n − 1 = na

n

+

µ

n

2

¶

a

2

n

+ . . . + a

n

n

.

Niech n ≥ 2. Poniewa˙z a

n

> 0, wie,c

n − 1 >

n(n − 1)

2

a

2

n

czyli

a

2

n

<

2

n

.

Sta,d otrzymujemy

| a

n

|<

r

2

n

.

Zatem

|

n

√

n − 1 |<

r

2

n

.

Oznacza to, ˙ze dla dowolnie wybranego ε > 0 istnieje taka liczba δ =

2

ε

2

, ˙ze

^

n>δ

|

n

√

n − 1 |< ε.

Wobec tego mo˙zemy twierdzi´c, ˙ze

lim

n→∞

n

√

n = 1.

Twierdzenie 2.1.2. Ka˙zdy cia,g zbie˙zny jest ograniczony.

Dow´

od. Niech {a

n

} be,dzie cia,giem zbie˙znym do granicy g. Zatem dla ε = 1

istnieje taka liczba δ, ˙ze dla wszystkich n > δ speÃlniona jest nier´owno´s´c

| a

n

− g |< 1.

Wobec tego, na mocy nier´owno´sci tr´ojka,ta mamy

| a

n

|=| a

n

− g + g |≤| a

n

− g | + | g | .

18

Sta,d wynika, ˙ze dla wszystkich n > δ speÃlniona jest nier´owno´s´c

| a

n

|≤ 1+ | g | .

Dla n ≤ δ niech A oznacza najwie,ksza, z liczb | a

n

|. Niech ponadto M =

max

¡

A, 1+ | g |

¢

. Wtedy dla ka˙zdego n ∈ N mamy | a

n

|≤ M , co oznacza,

˙ze cia,g {a

n

} jest ograniczony.

Z twierdzenia 2.1.2. wynika, ˙ze warunkiem koniecznym zbie˙zno´sci cia,gu licz-

bowego jest jego ograniczono´s´c. Nie jest to jednak warunek dostateczny, o czym

´swiadczy naste,puja,cy przykÃlad.

PrzykÃlad 2.1.2. Niech dany be,dzie cia,g o wyrazie og´olnym a

n

= (−1)

n

. ÃLatwo

wida´c, ˙ze cia,g ten jest ograniczony, gdy˙z

^

n∈N

| (−1)

n

|≤ 1.

Z drugiej strony wyrazami tego cia,gu sa, liczby 1 lub −1. Jednak˙ze ˙zadna z nich

nie jest jego granica,, gdy˙z istnieja, takie otoczenia liczb 1 i −1, w kt´orych nie le˙za,

prawie wszystkie wyrazy cia,gu, np. S(1;

1
2

), S(−1 :

1
2

). Liczba r´o˙zna od 1 i −1

te˙z nie mo˙ze by´c granica, tego cia,gu, bo w jej otoczeniu o dostatecznie maÃlym

promieniu nie znajduje sie, ˙zaden wyraz tego cia,gu. Oznacza to, ˙ze cia,g {(−1)

n

}

nie ma granicy.

Z powy˙zszego przykÃladu wynika te˙z, ˙ze w´sr´od cia,g´ow liczbowych istnieja, takie

cia,gi, kt´ore nie posiadaja, granicy.

Ponadto mo˙zemy r´ownie˙z m´owi´c o cia,gach rozbie˙znych.

Definicja 2.1.2. M´owimy, ˙ze cia,g {a

n

} jest rozbie˙zny do plus niesko´

nczono´sci

wtedy i tylko wtedy, gdy

^

ε

_

δ

^

n>δ

a

n

> ε.

Definicja 2.1.3. M´owimy, ˙ze cia,g {a

n

} jest rozbie˙zny do minus niesko´

nczono´sci

wtedy i tylko wtedy, gdy

^

ε

_

δ

^

n>δ

a

n

< ε.

PrzykÃlad 2.1.3. Ka˙zdy cia,g arytmetyczny o r´o˙znicy dodatniej jest rozbie˙zny do

plus niesko´

nczono´sci. Ka˙zdy cia,g arytmetyczny o r´o˙znicy ujemniej jest rozbie˙zny

do minus niesko´

nczono´sci.

19

Zadanie 2.1.1. Korzystaja,c z definicji granicy cia,gu pokaza´c, ˙ze

a) lim

n→∞

2

n

2

n

−1

= 1,

b) lim

n→∞

3n−1
2n+1

=

3
2

,

lim

n→∞

q

n

=











+∞, q > 1,
1,

q = 1,

0,

| q |< 1.

2.2. DziaÃlania arytmetyczne na granicach cia,g´ow.

Niech dane be,da, cia,gi liczbowe {a

n

} i {b

n

}. Cia,gi

{a

n

+ b

n

},

{a

n

− b

n

},

{a

n

· b

n

}

nazywamy odpowiednio: suma,, r´o˙znica, i iloczynem cia,g´ow {a

n

} i {b

n

}. Je˙zeli

zaÃlo˙zymy dodatkowo, ˙ze

V

n∈N

b

n

6= 0, to cia,g

n a

n

b

n

o

nazywamy ilorazem cia,g´ow {a

n

} i {b

n

}.

Twierdzenie 2.2.1. (o dziaÃlaniach arytmetycznych na granicach cia,g´ow zbie˙z-

nych) Je˙zeli cia,gi {a

n

} i {b

n

} sa, zbie˙zne i

lim

n→∞

a

n

= a

i

lim

n→∞

b

n

= b,

to istnieja, granice cia,g´ow {a

n

+ b

n

}, {a

n

− b

n

}, {a

n

· b

n

} i

1. lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = a + b,

2. lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = a − b,

3. lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = a · b,

oraz przy zaÃlo˙zeniu, ˙ze

V

n∈N

b

n

6= 0 i b 6= 0 istnieje granica cia,gu

n a

n

b

n

o

i

4. lim

n→∞

a

n

b

n

=

a

b

.

Dow´

od.

Niech ε be,dzie dowolna, liczba, dodatnia,. Poniewa˙z lim

n→∞

a

n

= a i

lim

n→∞

b

n

= b, to istnieja, takie liczby δ

1

i δ

2

, ˙ze speÃlnione sa, naste,puja,ce warunki

^

n>δ

1

| a

n

− a |<

ε
2

^

n>δ

2

| b

n

− b |<

ε
2

.

20

Niech δ = max(δ

1

; δ

2

). Wtedy mamy

1. Dla ka˙zdego n > δ na mocy nier´owno´sci tr´ojka,ta

| (a

n

+ b

n

) − (a + b) |≤| a

n

− a | + | b

n

− b |<

ε
2

+

ε
2

= ε.

Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = a + b.

2. Dla ka˙zdego n > δ na mocy wÃla´sciwo´sci 8 warto´sci bezwzgle,dnej

| (a

n

− b

n

) − (a − b) |≤| a

n

− a | + | b

n

− b |<

ε
2

+

ε
2

= ε.

Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = a − b.

Aby dowie´s´c punktu 3 tego twierdzenia zauwa˙zmy, ˙ze z zaÃlo˙zenia lim

n→∞

a

n

= a

na mocy twierdzenia 2.1.2. wynika, ˙ze cia,g {a

n

} jest ograniczony, tzn.

_

M >0

^

n∈N

| a

n

|≤ M.

Ponadto z zaÃlo˙zenia lim

n→∞

a

n

= a i lim

n→∞

b

n

= b wynikaja, odpowiednio naste,puja,ce

warunki

^

n>δ

| a

n

− a |<

ε

2(| b | +1)

^

n>δ

| b

n

− b |<

ε

2M

.

Wobec tego mamy

| a

n

b

n

− ab |=| a

n

b

n

− a

n

b + a

n

b − ab |≤| a

n

| · | b

n

− b | + | b | · | a

n

− a |

≤ M · | b

n

− b | +(| b | +1)· | a

n

− a |

< M

ε

2M

+ (| b | +1) ·

ε

2(| b | +1)

= ε.

Otrzymali´smy zatem

^

ε>0

_

δ

^

n>δ

| a

n

b

n

− ab |< ε.

Dowodza,c punkt 4 twierdzenia zaÃl´o˙zmy, ˙ze

^

n∈N

b

n

6= 0 i

lim

n→∞

b

n

= b 6= 0.

Zatem inf | b · b

n

|= k > 0 oraz

^

ε>0

_

δ

^

n>δ

| b

n

− b |<

kε

2M

.

21

Ponadto z zaÃlo˙zenia lim

n→∞

a

n

= a mamy

_

M >0

^

n∈N

| a

n

|≤ M

oraz

^

ε>0

_

δ

^

n>δ

| a

n

− a |<

| b | ε

2

.

Sta,d dla n > δ otrzymujemy

¯

¯

¯

a

n

b

n

−

a

b

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

a

n

b − b

n

a

b

n

b

¯

¯

¯ =

| a

n

(b − b

n

) + b

n

(a

n

− a) |

| b

n

b |

≤

M

k

| b

n

− b | +

1

| b |

| a

n

− a |

<

M

k

kε

2M

+

1

| b |

| b | ε

2

= ε.

Zatem mamy

^

ε>0

_

δ

^

n>δ

¯

¯

¯

a

n

b

n

−

a

b

¯

¯

¯ < ε,

co ko´

nczy dow´od.

Czasami spotykamy sie, z zagadnieniem obliczenia granicy cia,gu w sytuacji,

gdy nie mo˙zna bezpo´srednio skorzysta´c z twierdzenia o dziaÃlaniach arytmety-
cznych na granicach cia,g´ow zbie˙znych. Taki przypadek ma miejsce, gdy jeden

z rozwa˙zanych cia,g´ow ma granice, niesko´nczona,. W obliczaniu takich granic mo˙ze

nam pom´oc poni˙zsza tabela.

22

Je˙zeli

to

lim

n→∞

a

n

= 0, a

n

> 0

lim

n→∞

1

a

n

= +∞

lim

n→∞

a

n

= 0, a

n

< 0

lim

n→∞

1

a

n

= −∞

lim

n→∞

a

n

= ±∞

lim

n→∞

1

a

n

= 0

lim

n→∞

a

n

= ±∞

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = ±∞

lim

n→∞

b

n

= b > 0

lim

n→∞

a

n

= ±∞

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = ∓∞

lim

n→∞

b

n

= b < 0

lim

n→∞

a

n

= ±∞

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = [0 · ∞] =?

lim

n→∞

b

n

= 0

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = +∞

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

b

n

= ±∞

lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = [∞ − ∞] =?

lim

n→∞

a

n

b

n

=

£

∞
∞

¤

=?

V

n∈N

| a

n

|< M,

lim

n→∞

b

n

= 0

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = 0

V

n∈N

| a

n

|< M,

lim

n→∞

b

n

= ±∞

lim

n→∞

a

n

b

n

= 0

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

b

n

= 0

lim

n→∞

a

n

b

n

=

£

0
0

i

=?

Znak zapytania oznacza, ˙ze bez bardziej szczeg´oÃlowych informacji o cia,gach

{a

n

} i {b

n

} nic nie mo˙zna powiedzie´c o danych granicach. Symbole z nawias´ow

kwadratowych: 0 · ∞, ∞ − ∞,

∞
∞

,

0
0

nazywamy symbolami nieoznaczonymi.

2.3. Twierdzenia o cia,gach monotonicznych i ograniczonych.

W paragrafie tym podamy pewne twierdzenia, kt´ore uÃlatwia, nam liczenie

granic niekt´orych cia,g´ow liczbowych.

23

Twierdzenie 2.3.1. Je˙zeli cia,g jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbie˙zny.

Dow´

od. Niech cia,g {a

n

} be,dzie cia,giem niemaleja,cym i ograniczonym. Na pod-

stawie aksjomatu cia,gÃlo´sci Dedekinda, zbi´or jego wyraz´ow posiada kres g´orny

a = sup{a

n

: n ∈ N}. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

a

n

= a. Niech wie,c ε be,dzie dowolna,

liczba, dodatnia,. Z definicji 1.4.4. kresu g´ornego wynika, ˙ze

^

n≥n

1

a

n

≤ a ∧

_

n

0

a

n

0

> a − ε.

Niech δ = max(n

0

, n

1

). Wtedy z monotoniczno´sci cia,gu {a

n

} mamy

^

n>δ

(a

n

≤ a < a + ε ∧ a − ε < a

n

0

≤ a

n

).

Wobec tego

^

n>δ

a − ε < a

n

< a + ε,

co oznacza, ˙ze

^

ε>0

_

δ

^

n>δ

| a

n

− a |< ε.

W przypadku, gdy cia,g {a

n

} jest nierosna,cy dow´od przebiega w spos´ob analogicz-

ny.

Twierdzenie 2.3.2. Je˙zeli cia,g jest monotoniczny i nieograniczony, to jest roz-

bie˙zny.

Twierdzenie 2.3.3. (o trzech cia,gach) Je˙zeli cia,gi {a

n

} i {c

n

} sa, zbie˙zne do tej

samej granicy oraz

_

n

0

^

n>n

0

a

n

≤ b

n

≤ c

n

,

(2.3.1)

to cia,g {b

n

} jest zbie˙zny do tej samej granicy, co cia,gi {a

n

} i {c

n

}.

Dow´

od. Niech ε be,dzie dowolna, liczba, dodatnia, i niech

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= g.

Wtedy istnieje liczba δ taka, ˙ze

^

n>δ

a

n

∈ O(g, ε) ∧ c

n

∈ O(g, ε).

24

Poniewa˙z cia,g {b

n

} speÃlnia nier´owno´s´c (2.3.1), to

V

n∈N

b

n

∈ O(g, ε).

Twierdzenie 2.3.4. (o dw´och cia,gach) Je˙zeli cia,g {a

n

} jest rozbie˙zny do plus

niesko´

nczono´sci i cia,g {b

n

} speÃlnia warunek

_

n

0

^

n>n

0

a

n

≤ b

n

,

to lim

n→∞

b

n

= +∞.

Twierdzenie 2.3.5. (o dw´och cia,gach) Je˙zeli cia,g {a

n

} jest rozbie˙zny do minus

niesko´

nczono´sci i cia,g {b

n

} speÃlnia warunek

_

n

0

^

n>n

0

a

n

≥ b

n

,

to lim

n→∞

b

n

= −∞.

Zadanie 2.3.1.

Cia,g {a

n

} o wyrazach dodatnich jest maleja,cy. Co mo˙zna

powiedzie´c o zbie˙zno´sci tego cia,gu?

Zadanie 2.3.2. Wykaza´c, ˙ze cia,g

2

n

n!

jest zbie˙zny.

Zadanie 2.3.3. Wykaza´c, ˙ze je˙zeli cia,g {a

n

} jest cia,giem ograniczonym, a cia,g

{b

n

} jest zbie˙zny do zera, to cia,g {a

n

b

n

} ma granice, r´owna, 0.

Zadanie 2.3.4. Oblicz granice cia,g´ow o naste,puja,cych wyrazach og´olnych
a

n

=

n

√

2

n

+ 3

n

+ 5

n

,

b

n

=

n

p

(2 + sin n)

n

+ (2 − cos n)

n

+ 3

n

,

c

n

=

n

r³

3
5

´

n

+

³ 2

7

´

n

,

d

n

=

n +

√

n

√

n

5

+ n

+

n +

√

n + 1

√

n

5

+ n

+ . . . +

n +

√

n + 2n + 1

√

n

5

+ n

.

Zadanie 2.3.5. Oblicz podane granice

a) lim

n→∞

p

2n

2

+

√

n

n

,

i) lim

n→∞

³ 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 1

n + 1

− n

´

,

b) lim

n→∞

³p

9n

2

+ 1 − 3n

´

,

j) lim

n→∞

³p

4n

2

+ 3n + 1 − 2n

´

,

c) lim

n→∞

³

n −

√

n

´

,

k) lim

n→∞

1 − 4n

2

2 + 4 + 6 + . . . + 2n

,

d) lim

n→∞

1 +

1
2

+

1
4

+

1
8

+ .. +

¡

1
2

¢

n

1 +

1
3

+

1
9

+

1

27

+ ... +

¡

1
2

¢

n

.

l) lim

n→∞

√

n

q

n +

p

n +

√

n

,

e) lim

n→∞

³ 1

2n

cos n

3

−

3n

6n + 1

´

,

Ãl) lim

n→∞

³ 2n

1 − 3n

− sin n!

n

n

2

+ 1

´

.

25

2.4. Poje,cie podcia,gu. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 2.4.1. Niech dany be,dzie cia,g liczbowy

{a

n

} = {a

1

, a

2

, a

3

, . . .}

oraz rosna,cy cia,g liczb naturalnych

{n

k

} = {n

1

, n

2

, n

3

, . . .}.

Cia,g

{a

n

k

} = {a

n

1

, a

n

2

, a

n

3

, . . .}

nazywamy podcia,giem cia,gu {a

n

}.

PrzykÃlad 2.4.1. Podcia,gami cia,gu {a

n

} sa, mie,dzy innymi naste,puja,ce cia,gi

{a

2n

} = {a

2

, a

4

, a

6

, . . .};

{a

n+6

} = {a

7

, a

8

, a

9

, . . .};

{a

2n−1

} = {a

1

, a

3

, a

5

, . . .};

{a

3

n

} = {a

3

, a

9

, a

27

, . . .}.

Podamy teraz bez dowodu kilka twierdze´

n dotycza,cych wÃlasno´sci podcia,g´ow.

Twierdzenie 2.4.1. Je˙zeli cia,g {a

n

} jest zbie˙zny do granicy a, to ka˙zdy jego

podcia,g jest zbie˙zny do granicy a.

Twierdzenie 2.4.2. Je˙zeli cia,g {a

n

} jest rozbie˙zny, to ka˙zdy jego podcia,g jest

te˙z rozbie˙zny.

Z twierdze´

n 2.4.1 i 2.4.2 wynika, ˙ze odrzucenie dowolnie wielu wyraz´ow cia,gu

nie zmienia jego granicy. R´ownie˙z doÃla,cznie do cia,gu jednego wyrazu nie zmienia

granicy tego cia,gu. Jednak doÃla,czenie do danego cia,gu niesko´nczenie wielu wyra-

z´ow mo˙ze spowodowa´c zmiane, jego granicy.

Wa˙znym twierdzeniem, kt´ore mo˙zemy wykorzysta´c przy liczeniu granic pew-

nych cia,g´ow jest naste,puja,ce twierdzenie

Twierdzenie 2.4.3. Ka˙zdy cia,g ograniczony zawiera podcia,g zbie˙zny.

Z tego twierdzenia wynika naste,puja,cy wniosek

26

Wniosek 2.4.1. Je´sli wszystkie podcia,gi zbie˙zne danego cia,gu ograniczonego

maja, te, sama, granice,, to dany cia,g jest zbie˙zny do tej granicy.

Zauwa˙zmy, ˙ze wniosek ten mo˙zna wykorzysta´c do pokazania, ˙ze cia,g nie ma

granicy. Wystarczy bowiem wybra´c z tego cia,gu dwa podcia,gi zbie˙zne do dw´och

r´o˙znych granic.

2.5. Liczba e.

Rozwa˙zany cia,g liczbowy o wyrazie og´olnym a

n

=

³

1 +

1

n

´

n

. Zauwa˙zmy, ˙ze gdy

n → ∞, to wyrazy tego cia,gu daja, nam symbol nieoznaczony 1

∞

.

Zauwa˙zmy, ˙ze korzystaja,c z dwumianu Newtona mamy

a

n

= 1 +

µ

n

1

¶

1

n

+

µ

n

2

¶

1

n

2

+ . . . +

µ

n
n

¶

1

n

n

= 1 + 1 +

n(n − 1)

2!

1

n

2

+ . . . +

n(n − 1) . . . [n − (n − 1)]

n!

1

n

n

= 1 + 1 +

1

2!

³

1 −

1

n

´

+ . . . +

1

n!

³

1 −

1

n

´³

1 −

2

n

´

· . . . ·

³

1 −

n − 1

n

´

.

Sta,d otrzymujemy

a

n+1

= 1+1+

1

2!

³

1−

1

n + 1

´

+. . .+

1

(n + 1)!

³

1−

1

n + 1

´³

1−

2

n + 1

´

·. . .·

³

1−

n

n + 1

´

.

Wobec tego mamy a

n

< a

n+1

. Oznacza to, .,ze cia,g

n³

1 +

1

n

´

n

o

jest cia,giem

rosna,cym.

Ponadto zauwa˙zmy, ˙ze

a

n

≤ 2 +

1

2!

+

1

3!

+ . . . +

1

n!

.

Korzystaja,c z faktu, ˙ze

^

k∈N

k! ≥ 2

k−1

otrzymujemy

a

n

≤ 2 +

1
2

+

1

2

2

+ . . . +

1

2

n−1

= 2 +

1
2

1 −

¡

1
2

¢

n−1

1 −

1
2

= 2 +

h

1 −

¡ 1

2

¢

n−1

i

< 3.

27

Oznacza to, ˙ze cia,g

n³

1 +

1

n

´

n

o

jest cia,giem ograniczonym od g´ory.

Zatem na mocy twierdzenia 2.3.1 wnioskujemy, ˙ze cia,g o wyrazie og´olnym

a

n

=

³

1 +

1

n

´

n

ma granice,. Granica, tego cia,gu jest liczba niewymierna, kt´ora,

oznaczamy przez e. Mo˙zna wykaza´c, ˙ze e = 2, 718281828459045 . . . .

Zadanie 2.5.1. Oblicz granice cia,g´ow o wyrazach og´olnych

a) lim

n→∞

³

1 −

2

n

´

n

,

d) lim

n→∞

³ n + 6

n

´

n

,

b) lim

n→∞

³ n

2

+ 5

n

2

´

n

2

,

e) lim

n→∞

³ 2 + n

3 + n

´

n

,

c) lim

n→∞

³ n

3

+ 1

2n

3

´

n

3

,

f ) lim

n→∞

³ n

2

+ 7

n + 1

´

n

.

28

3. FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ.

W rozdziale tym om´owimy podstawowe wÃlasno´sci funkcji rzeczywistych jednej

zmiennej rzeczywistej, kt´ore nie byÃly wymienione w rozdziale 2.

W szkole ´sredniej analizowane byÃly takie funkcje elementarne jak funkcja li-

niowa i kwadratowa, wielomiany, funkcje wymierne, pote,gowe, wykÃladnicze, loga-

rytmiczne i trygonometryczne. Oczywi´scie opr´ocz wymienionych funkcji istnieja,

inne funkcje elementarne takie jak funkcje cyklometryczne i hiperboliczne, kt´ore
kr´otko om´owimy w tym rozdziale oraz funkcje nie elementarne. Do najcze,´sciej

spotykanych funkcji nie elementarnych zaliczy´c mo˙zemy mie,dzy innymi

1. funkcje, cze,´s´c caÃlkowita Ent : R → Z dana, wzorem

Ent(x) =















































...

,

−2, dla − 2 ≤ x < −1,
−1, dla − 1 ≤ x < 0,
0,

dla 0 ≤ x < 1,

1,

dla 1 ≤ x < 2,

2,

dla 2 ≤ x < 3,

...

;

2. funkcje, signum sgn : R → {−1, 0, 1} dana, wzorem

sgn(x) =











−1, dla x < 0,
0,

dla x = 0,

1,

dla x > 0;

3. funkcje, Dirichleta D : R → {0, 1} dana, wzorem

D(x) =

½

0, dla x 6∈ Q,
1, dla x ∈ Q.

W dalszej cze,´sci wykÃladu be,dziemy cze,sto posÃlugiwa´c sie, takimi poje,ciami jak

superpozycja funkcji i funkcja odwrotna, dlatego te˙z w naste,pnych paragrafach

zdefiniujemy te poje,cia.

3.1. Superpozycja funkcji.

Niech dane be,da, dwie funkcje f : X → Y oraz g : Z → T. Niech ponadto Y ⊂

Z. Je˙zeli ka˙zdemu elementowi x ∈ X przyporza,dkujemy dokÃladnie jeden element

z ∈ T taki, ˙ze z = g(f (x)), to zdefiniujemy w ten spos´ob funkcje, h : X → T

29

okre´slona, r´owno´scia, h(x) = g(f(x)) i zwana, superpozycja, funkcji f i g lub funkcja,

zÃlo˙zona,. Superpozycje, funkcji oznaczamy symbolem g ◦ f. Funkcje, f nazywamy

funkcja, wewne,trzna,, a funkcje, g funkcja, zewne,trzna,.

PrzykÃlad 3.1.1. Niech f (x) = tgx i g(x) = x

2

. W´owczas f : R \ {

π

2

+ kπ; k ∈

Z} → R, g : R → R

+

∪ {0}. Zatem w tym przypadku X = R \ {

π

2

+ kπ; k ∈ Z},

Y = R, Z = R i T = R

+

∪ {0}. Istnieje zatem g ◦ f : R \ {

π

2

+ kπ, k ∈ Z} →

R

+

∪ {0}, przy czym g ◦ f (x) = g(f (x)) = tg

2

x.

Ponadto je´sli zawe,zimy przeciwdziedzine, funkcji g tak aby T ⊂ X, to be,dzie-

my mogli okre´sli´c superpozycje, f ◦ g(x) = f(g(x)) = tg(x

2

).

Oczywi´scie f ◦ g 6= g ◦ f .

3.2. Funkcja odwrotna.

Niech dana be,dzie funkcja f : X → Y i niech A ⊂ X.

Definicja 3.2.1. Funkcje, f nazywamy r´o˙znowarto´sciowa, na zbiorze A wtedy i

tylko wtedy, gdy

^

x

1

,x

2

∈A

³

x

1

6= x

2

⇒ f (x

1

) 6= f (x

2

)

´

.

PrzykÃlad 3.2.1. Funkcja f (x) = x

3

jest r´o˙znowarto´sciowa w caÃlej swojej dzie-

dzinie naturalnej.

Funkcja f (x) = x

2

nie jest r´o˙znowarto´sciowa w swojej dziedzinie natural-

nej, bo na przykÃlad f (−2) = 4 i f (2) = 4. Jednak˙ze funkcja f (x) = x

2

, x ∈

(−∞, 0 > jest r´o˙znowarto´sciowa. Podobnie funkcja f (x) = x

2

, x ∈ (0, ∞) jest

r´o˙znowarto´sciowa.

Definicja 3.2.2. Niech f : X → Y be,dzie funkcja, r´o˙znowarto´sciowa,. Funkcje,

f

−1

: Y → X taka,, ˙ze

f (f

−1

(x)) = f

−1

(f (x)) = x

nazywamy funkcja, odwrotna, do funkcji f.

Zauwa˙zmy, ˙ze tylko funkcje r´o˙znowarto´sciowe posiadaja, funkcje odwrotne.

Funkja odwrotna do danej funkcji ma wykres symetryczny wzgle,dem prostej

y = x.

PrzykÃlad 3.2.2. Niech dana be,dzie funkcja f(x) = x

2

+ 2x − 1. Funkcja ta nie

jest r´o˙znowarto´sciowa w swojej dziedzinie naturalnej, a zatem nie istnieje funkcja
odwrotna do niej.

30

Je´sli zawe,zimy dziedzine, tej funkcji tak, aby byÃla ona r´o˙znowarto´sciowa, to

be,dziemy mogli znale´z´c funkcje, do niej odwrotna,. Zauwa˙zmy, ˙ze

f (x) = (x + 1)

2

− 2, a zatem mo˙zemy dziedzine, zawe,zi´c do jednego ze zbior´ow

(−∞, −1 > lub < −1, ∞).

Rozwa˙zmy, wie,c funkcje, f(x) = x

2

+ 2x − 1, x ∈< −1, ∞). Funkcja ta

jest r´o˙znowarto´sciowa w swojej dziedzinie. Wobec tego istnieje funkcja do niej
odwrotna, kt´ora, mo˙zemy znale´z´c rozwia,zuja,c wzgle,dem x r´ownanie y = x

2

+2x−1.

Korzystaja,c z postaci kanonicznej tr´ojmianu kwadratowego mamy y = (x+1)

2

−2,

a zatem x =

√

y + 2 − 1. Szukana, funkcja, jest wie,c funkcja f

−1

(x) =

√

x + 2 − 1,

kt´orej dziedzina, jest przeciwdziedzina funkcji f, tj < −2, ∞).

Zadanie 3.2.1. Zawe,zi´c dziedzine, podanych funkcji tak, aby byÃly one r´o˙znowar-

to´sciowe, a naste,pnie znale´z´c funkcje odwrotne dla tych funkcji.

a) f (x) = x

2

− 4x + 5,

c) f (x) = 2 −

5

√

x + 1,

b) f (x) = log (x − 4) + 6,

d) f (x) = 3

2x+3

,

3.3. Funkcje cyklometryczne i hiperboliczne.

Wiadomo, ˙ze funkcje trygonometryczne nie sa, r´o˙znowarto´sciowe w swoich dzie-
dzinach naturalnych. Jednak˙ze funkcja sinus na przykÃlad na zbiorze

D

−

π

2

,

π

2

E

jest r´o˙znowarto´sciowa, a zatem na tym zbiorze istnieje funkcja do niej odwrotna.
Podobnie inne funkcje trygonometryczne sa, r´o˙znowarto´sciowe na pewnych prze-

dziaÃlach. Wobec tego istnieja, funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

Funkcje te nazywamy funkcjami cyklometrycznymi lub koÃlowymi, a ich definicje
sa, naste,puja,ce.

Definicja 3.3.1.
Funkcje, odwrotna, do funkcji f(x) = sin x, x ∈

D

−

π

2

,

π

2

E

, nazywamy funkcja, arcus

sinus i piszemy f

−1

(x) = arcsin x, f

−1

:< −1, 1 >→

D

−

π

2

,

π

2

E

.

Funkcje, odwrotna, do funkcji f(x) = cos x, x ∈

D

0, π

E

, nazywamy funkcja, arcus

cosinus i piszemy f

−1

(x) = arccos x, f

−1

:< −1, 1 >→

D

0, π

E

.

Funkcje, odwrotna, do funkcji f(x) = tgx, x ∈

³

−

π

2

,

π

2

´

, nazywamy funkcja, arcus

tangens i piszemy f

−1

(x) = arctgx, f

−1

: R →

³

−

π

2

,

π

2

´

.

Funkcje, odwrotna, do funkcji f(x) = ctgx, x ∈ (0, π), nazywamy funkcja, arcus

cotangens i piszemy f

−1

(x) = arcctgx, f

−1

: R → (0, π).

31

Podamy teraz definicje, funkcji hiperbolicznych.

Definicja 3.3.2.
Funkcje, sinus hiperboliczny okre´slamy wzorem

sinh x =

e

x

− e

−x

2

, x ∈ R.

Funkcje, cosinus hiperboliczny okre´slamy wzorem

cosh x =

e

x

+ e

−x

2

, x ∈ R.

Funkcje, tangens hiperboliczny okre´slamy wzorem

tghx =

sinh x

cosh x

=

e

x

− e

−x

e

x

+ e

−x

, x ∈ R.

Funkcje, cotangens hiperboliczny okre´slamy wzorem

ctghx =

cosh x

sinh x

=

e

x

+ e

−x

e

x

− e

−x

, x ∈ R \ {0}.

32

3.4. Granica i cia,gÃlo´s´c funkcji jednej zmiennej.

W paragrafie tym podamy r´ownowa˙zne definicje Heinego i Cauch’ego granicy
funkcji wÃla´sciwej i niewÃla´sciwej w punkcie wÃla´sciwym oraz niewÃla´sciwym. Be,-

dziemy m´owi´c, ˙ze granica jest wÃla´sciwa, gdy be,dzie ona liczba, sko´nczona,, a nie-

wÃla´sciwa, gdy be,dzie r´owna niesko´nczono´sci.

Niech funkcja rzeczywista f zmiennej rzeczywistej x be,dzie okre´slona w pew-

nym sa,siedztwie S(x

0

, δ) punktu x

0

. ZakÃladamy, ˙ze funkcja f w punkcie x

0

mo˙ze

by´c lub nie by´c okre´slona.

Przypomnimy definicje, Heinego zwana, inaczej definicja, cia,gowa,, granicy wÃla-

´sciwej funkcji f w punkcie wÃla´sciwym x

0

.

Definicja 3.4.1. M´owimy, ˙ze funkcja f ma granice, wÃla´sciwa, g w punkcie wÃla´sci-

wym x

0

, je´sli dla ka˙zdego cia,gu {x

n

} o wyrazach nale˙za,cych do sa,siedztwa S(x

0

, δ)

i zbie˙znego do punktu x

0

cia,g {f(x

n

)} jest zbie˙zny do liczby g.

lim

x→x

0

f (x) = g ⇔

^

{x

n

}

h¡

{x

n

} ⊂ S(x

0

, δ) ∧ lim

n→∞

x

n

= x

0

¢

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g

i

(3.4.1)

R´ownowa˙zna, definicje, granicy funkcji podaÃl inny matematyk Cauchy. Definicje, ta,

czasami nazywa sie, definicja, epsilonowa,.

Definicja 3.4.2. M´owimy, ˙ze funkcja f ma granice, wÃla´sciwa, g w punkcie wÃla´sci-

wym x

0

, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje takie sa,siedztwo S(x

0

, δ), ˙ze dla ka˙zdego

x ∈ S(x

0

, δ) speÃlniona jest nier´owno´s´c | f (x) − g |< ε.

lim

x→x

0

f (x) = g ⇔

^

ε>0

_

δ>0

^

x∈D

f

³

0 <| x − x

0

|< δ ⇒| f (x) − g |< ε

´

(3.4.2)

Wyka˙zemy teraz, ˙ze istotnie obie definicje sa, r´ownowa˙zne. ZaÃl´o˙zmy na pocza,tku,

˙ze zachodzi warunek (3.4.2) istnienia granicy funkcji. Niech cia,g {x

n

} speÃlnia

warunki (3.4.1). Poniewa˙z lim

n→∞

x

n

= x

0

, wie,c dla dowolnej liczby δ > 0 istnieje

taka liczba k, ˙ze

^

n>k

0 <| x

n

− x

0

|< δ.

Zatem z (3.4.2) otrzymujemy

| f (x

n

) − g |< ε.

33

Oznacza to, ˙ze granica, funkcji f w punkcie x

0

jest liczba g. Zatem pokazali´smy,

˙ze z definicji Cauchy’ego wynika definicja Heinego.

Aby wykaza´c implikacje, odwrotna, udowodnimy, ˙ze negacja warunku (3.4.2) z

definicji Cauchy’ego implikuje negacje, warunku (3.4.1) z definicji Heinego. Negacja

warunku (3.4.2) ma posta´c

_

ε>0

^

δ>0

_

x∈D

f

³

0 <| x − x

0

|< δ∧ | f (x) − g |≥ ε

´

.

Przyjmuja,c zatem δ =

1

n

mo˙zemy okre´sli´c cia,g {x

n

} argument´ow speÃlniaja,cych

nier´owno´sci

0 <| x

n

− x

0

|<

1

n

oraz

| f (x

n

) − g |≥ ε.

Cia,g {x

n

} jest wie,c cia,giem zbie˙znym do x

0

, ale cia,g odpowiadaja,cych mu warto´sci

funkcji {f (x

n

)} nie speÃlnia warunku (3.4.1). Zatem skoro z negacji warunku

(3.4.2) wynika negacja (3.4.1), to znaczy, ˙ze z definicji Heinego wynika definicja
Cauchy’ego.

PrzykÃlad 3.4.1. Udowodnimy, ˙ze je˙zeli x jest miara, Ãlukowa, ka,ta, to lim

x→0

sin x

x

= 1.

Poniewa˙z x → 0, wie,c wystarczy rozwa˙zy´c funkcje, f(x) =

sin x

x

w sa,siedztwie o

promieniu

π

2

punktu 0. Zauwa˙zmy ponadto, ˙ze funkcja f jest parzysta, gdy˙z

f (−x) =

sin(−x)

−x

=

− sin x

−x

=

sin x

x

= f (x). Ograniczymy zatem nasze rozwa˙zania

do prawostronnego sa,siedztwa punktu 0.

34

Na rysunku wida´c, ˙ze pole tr´ojka,ta OAP jest mniejsze od pola wycinka koÃlowego

OAP, a to zn´ow jest mniejsze od pola tr´ojka,ta OAT, czyli

1
2

r

2

sin x <

1
2

r

2

x <

1
2

r

2

tgx.

Wobec tego dla 0 < x <

π

2

mamy

0 < sin x < x < tgx.

Sta,d po podzieleniu wszystkich stron tych nier´owno´sci przez sin x otrzymujemy

1 <

sin x

x

<

1

cos x

,

a przechodza,c do odwrotno´sci mamy

cos x <

sin x

x

< 1.

Mno˙za,c przez −1, a naste,pnie dodaja,c do wszystkich stron 1 dostajemy

0 < 1 −

sin x

x

< 1 − cos x.

Poniewa˙z

1 − cos x = 2 sin

2

x

2

< 2 sin

x

2

< 2

x

2

= x,

wie,c ostatecznie mamy

0 < 1 −

sin x

x

< x.

Aby wykaza´c, ˙ze lim

x→0

sin x

x

= 1 zastosujemy definicje, Cauchy’ego granicy funkcji.

Niech wie,c ε be,dzie dowolna, liczba, dodatnia,. nale˙zy udowodni´c, ˙ze istnieje taka

liczba δ i˙z

^

x

0 <| x |< δ ⇒

¯

¯

¯

sin x

x

− 1

¯

¯

¯ < ε,

co na mocy wcze´sniejszych rozwa˙za´

n, zachodzi wtedy, gdy x < ε. Zatem liczba, δ,

kt´orej istnienie nale˙zaÃlo wykaza´c, jest δ = ε.

Z wylicze´

n zawartych w tym przykÃladzie otrzymujemy bardzo przydatne nie-

r´owno´sci

^

0<x<

π

2

0 < sin x < x < tgx,

35

^

x∈R

| sin x |≤| x | .

Podamy teraz definicje cia,gowe i epsilonowe granic niewÃla´sciwych w punktach

wÃla´sciwych.

Definicja 3.4.3. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym x

0

granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

n

} ⊂ S(x

0

, δ) zbie˙znemu do

punktu x

0

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

n

) rozbie˙zny do +∞.

lim

x→x

0

f (x) = +∞ ⇔

^

{x

n

}

h¡

{x

n

} ⊂ S(x

0

, δ) ∧ lim

n→∞

x

n

= x

0

¢

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = +∞

i

Definicja 3.4.4. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym x

0

granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

n

} ⊂ S(x

0

, δ) zbie˙znemu do

punktu x

0

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

n

) rozbie˙zny do −∞.

lim

x→x

0

f (x) = −∞ ⇔

^

{x

n

}

h¡

{x

n

} ⊂ S(x

0

, δ) ∧ lim

n→∞

x

n

= x

0

¢

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = −∞

i

Definicja 3.4.5. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sci-
wym x

0

granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje takie sa,siedztwo

S(x

0

, δ), ˙ze dla ka˙zdego x ∈ S(x

0

, δ) speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) > ε.

lim

x→x

0

f (x) = +∞ ⇔

^

ε>0

_

δ>0

^

x∈D

f

³

0 <| x − x

0

|< δ ⇒ f (x) > ε

´

Definicja 3.4.6. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sci-
wym x

0

granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje takie sa,siedztwo

S(x

0

, δ), ˙ze dla ka˙zdego x ∈ S(x

0

, δ) speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) < ε.

lim

x→x

0

f (x) = −∞ ⇔

^

ε>0

_

δ>0

^

x∈D

f

³

0 <| x − x

0

|< δ ⇒ f (x) < ε

´

Naste,pne definicje okre´slaja, poje,cie granicy funkcji w niesko´nczono´sci.

Definicja 3.4.7.

(Heinego) M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-

wym +∞ granice, wÃla´sciwa, g, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

n

} rozbie˙znemu do +∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

n

) zbie˙zny do g.

lim

x→+∞

f (x) = g ⇔

^

{x

n

}

h

lim

n→∞

x

n

= +∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g

i

36

Definicja 3.4.8.

(Heinego) M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-

wym −∞ granice, wÃla´sciwa, g, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

n

} rozbie˙znemu do −∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

n

) zbie˙zny do g.

lim

x→−∞

f (x) = g ⇔

^

{x

n

}

h

lim

n→∞

x

n

= −∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g

i

Definicja 3.4.9. (Cauchy’ego). M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-
wym +∞ granice, wÃla´sciwa, g, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, ˙ze dla

ka˙zdego argumentu x > δ speÃlniona jest nier´owno´s´c | f (x) − g |< ε.

lim

x→+∞

f (x) = g ⇔

^

ε>0

_

δ>0

^

x∈D

f

³

x > δ ⇒| f (x) − g |< ε

´

Definicja 3.4.10. (Cauchy’ego). M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-
wym −∞ granice, wÃla´sciwa, g, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, ˙ze dla

ka˙zdego argumentu x < δ speÃlniona jest nier´owno´s´c | f (x) − g |< ε.

lim

x→−∞

f (x) = g ⇔

^

ε>0

_

δ>0

^

x∈D

f

³

x < δ ⇒| f (x) − g |< ε

´

PrzykÃlad 3.4.2. Wyka˙zemy, ˙ze lim

x→+∞

³

1 +

1

x

´

x

= e. Z uwagi na to, ˙ze x → +∞

mo˙zemy zaÃlo˙zy´c i˙z x > 1. Niech n = Entx, w´owczas n ≤ x < n + 1. Sta,d mamy

1

n + 1

<

1

x

<

1

n

i w konsekwencji

³

1 +

1

n + 1

´

n

<

³

1 +

1

x

)

x

<

³

1 +

1

n

´

n+1

.

Zauwa˙zmy, ˙ze

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

³

1 +

1

n + 1

´

n

= e

i

lim

n→∞

b

n

= lim

n→∞

³

1 +

1

n

´

n+1

= e.

Wobec tego dla dowolnej lizcby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze

^

n>δ

| a

n

− e |< ε∧ | b

n

− e |< ε.

37

Zatem dla ka˙zdego x takiego, ˙ze x ≥ Entx = n > δ mamy

¯

¯

¯

³

1 +

1

x

)

x

− e

¯

¯

¯ < ε.

Tym samym wykazali´smy istnienie liczby δ, kt´ora wyste,puje w definicji Cauchy’ego

granicy w punkcie niewÃla´sciwym.

Zdefinujemy teraz granice niewÃla´sciwe funkcji w niesko´

nczono´sciach.

Definicja 3.4.11. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sciwym
+∞ granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

n

} rozbie˙znemu do +∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

n

) rozbie˙zny do +∞.

lim

x→+∞

f (x) = +∞ ⇔

^

{x

n

}

h

lim

n→∞

x

n

= +∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = +∞

i

Definicja 3.4.12. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sciwym
−∞ granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

n

} rozbie˙znemu do −∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

n

) rozbie˙zny do +∞.

lim

x→−∞

f (x) = +∞ ⇔

^

{x

n

}

h

lim

n→∞

x

n

= −∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = +∞

i

Definicja 3.4.13. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sciwym
+∞ granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

n

} rozbie˙znemu do +∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

n

) rozbie˙zny do −∞.

lim

x→+∞

f (x) = −∞ ⇔

^

{x

n

}

h

lim

n→∞

x

n

= +∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = −∞

i

Definicja 3.4.14. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sciwym
−∞ granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

n

} rozbie˙znemu do −∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

n

) rozbie˙zny do −∞.

lim

x→−∞

f (x) = −∞ ⇔

^

{x

n

}

h

lim

n→∞

x

n

= −∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = −∞

i

38