Politechnika Warszawska

Instytut Automatyki i Robotyki

Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny

PODSTAWY AUTOMATYKI

część 14

Układy liniowe dyskretne w czasie

2

Układy liniowe dyskretne (impulsowe)

Układami dyskretnymi regulacji automatycznej nazywamy układy, w których

informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów dyskretnych
(nieciągłych) w poziomie lub w czasie.

Kwantowaniem sygnału nazywa się przekształcanie sygnału ciągłego

w dyskretny.

Kwantowanie sygnału w czasie nazywa się próbkowaniem.

Układy z kwantowaniem sygnału w czasie nazywa się układami

impulsowymi. W układach tych informacja przekazywana jest tylko
w dyskretnych chwilach, tzw. chwilach impulsowania.

W układach impulsowych liniowych wartości sygnałów w dyskretnych

chwilach czasu są związane zależnościami liniowymi.

Modulacją impulsów nazywa się przedstawienie funkcji ciągłej w postaci

ciągu impulsów, których amplituda, szerokość lub położenie wewnątrz
okresu próbkowania - zwanego te okresem impulsowania T

i

- zależą od

wartości tej funkcji w dyskretnych chwilach czasu t = nT

i

(n=0,1,2,...).

3

Układy liniowe dyskretne (impulsowe)

Układ z modulacją amplitudy impulsów o liniowej części ciągłej jest
układem liniowym, a układ z modulacją szerokości impulsów -
nieliniowym. Jeżeli jednak największa szerokość impulsu jest o wiele
mniejsza od okresu impulsowania, to układ taki (o liniowej części ciągłej)
można w przybliżeniu traktować jak układ liniowy.

Schemat blokowy jednowymiarowego układu impulsowego regulacji automatycznej

4

Impulsator

Impulsator idealny jest elementem (nierealizowalnym ściśle fizycznie)
przekształcającym funkcje ciągłą czasu e(t) w ciąg impulsów Diraca:

przesuniętych względem siebie o okres impulsowania T

i

, o polach

impulsów równych wartościom funkcji e(t) w chwilach impulsowania t=nT

i

(n=0, l, 2, ...).

Proces modulacji realizowany przez impulsator idealny jest równoważny
(matematycznie) pomnożeniu funkcji e(t) przez tzw. funkcje impulsowania
S(t):

Biorąc pod uwagę, że e(t)=0 dla t<0, można napisać:

5

Ciąg impulsów, funkcja schodkowa

Ciąg impulsów prostokątnych (a) lub funkcję schodkową (b) można
traktować jako przykładowe odpowiedzi układów zwanych elementami
formującymi, na wymuszenia w postaci ciągu impulsów Diraca.

Impuls prostokątny g(t) o amplitudzie jednostkowej i szerokości t można
zapisać:

6

Ciąg impulsów, funkcja schodkowa

Odpowiedź układu o transmitancji G(s) na wymuszenie w postaci
impulsu σ(t) ma postać impulsu prostokątnego g(t), a na wymuszenie
w postaci ciągu impulsów Diraca postać ciągu impulsów prostokątnych
f

1

(t):

W przypadku szczególnym gdy

τ=T

i

z ciągu impulsów prostokątnych

otrzymujemy funkcje schodkowa, a gdy

τ →0 - funkcją dyskretną.

Dla zapisu przebiegów występujących w układach impulsowych stosuje
się funkcje dyskretne lub funkcje schodkowe. W punktach nieciągłości
wartość funkcji schodkowej jest równa jej prawostronnej granicy w tym
punkcie.

Dalej rozpatrywać będziemy funkcje dyskretne dla T

i

=1

7

Różnica

Różnica pierwszego rzędu ∆f(m) funkcji dyskretnej f(n) w punkcie n=m jest
analogiem pochodnej funkcji ciągłej:

Różnica k-tego rzędu:

Dla k=2:

Suma φ(m) funkcji dyskretnej f(n) jest analogiem całki funkcji ciągłej:

8

Liniowe równanie różnicowe

Gdy f(n)=0 - równanie jednorodne, gdy f(n)

≠0 – niejednorodne.

Warunki początkowe:

Wprowadzając nowe zmienne:

możemy podane równanie różnicowe zapisać w postaci układu równań
różnicowych pierwszego rzędu:

9

Równania stanu

10

Przekształcenie Z, transmitancja dyskretna

Transformacja Z:

przyporządkowuje funkcji dyskretnej f(n), (f(n)=0 dla n<0) funkcje F(z)
zmiennej zespolonej z.

Nazwy:

f(t) - oryginał ciągły

f(n) - oryginał dyskretny

F(z) - transformata Z funkcji f(n)

F(z) istnieje jeżeli szereg jest zbieżny. Transformaty Z istnieją dla
funkcji dyskretnych, które rosną nie szybciej od funkcji wykładniczych.

11

Przekształcenie Z, , transmitancja dyskretna

Twierdzenie o wartości początkowej f(0) funkcji dyskretnej f(n):

Twierdzenie o wartości końcowej funkcji dyskretnej f(n):

Transmitancja dyskretna G(z) układu nazywamy stosunek transformaty Z
odpowiedzi Y(z) do transformaty Z wymuszenia U(z) przy założeniu, że
warunki początkowe są zerowe.

12

Tablica transformat

13

Tablica transformat

14

Dyskretne odpowiedzi układu

Dyskretną charakterystyką (odpowiedzią) impulsową g(n) nazywamy
dyskretną odpowiedź układu impulsowego na wymuszenie w postaci
funkcji Diraca przy zerowych warunkach początkowych.

Pomiędzy dyskretną charakterystyką impulsową g(n) i ciągłą
charakterystyką impulsową g(t) układu impulsowego zachodzi zależność:

Transmitancją dyskretną G(z) jest transformata Z dyskretnej
charakterystyki impulsowej g(n) tego układu:

Dyskretną charakterystyką (odpowiedzią) skokową h(n) nazywamy
dyskretna odpowiedź układu impulsowego na wymuszenie 1(t) przy
zerowych warunkach początkowych

15

Stabilność

Równanie charakterystyczne:

Układ impulsowy nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeżeli dyskretne
wartości składowej przejściowej odchyłki (uchybu) regulacji w chwilach
impulsowania maleją do zera dla n

→∝.

Liniowy stacjonarny układ impulsowy jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy
pierwiastki z

i

równania charakterystycznego M(z)=0 tego układu spełniają

warunek:

tzn. leżą na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z wewnątrz okręgu o
promieniu równym jedności i o środku w początku układu współrzędnych.

16

Stabilność

Jeżeli dany układ dyskretny opisany jest równaniem stanu:

przy czym x(n) i u(n) są odpowiednio wektorami stanu i sterowania, a A i
B macierzami o stałych, niezależnych od n elementach, to jest on
stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne z

i

macierzy A czyli

pierwiastki równania leżą na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z
wewnątrz okręgu o promieniu jedności i środku w początku układu
współrzędnych.

Funkcja

odwzorowuje obszar
koła o promieniu r = 1
i środku 0 w lewą
półpłaszczyznę
płaszczyzny zmiennej
zespolonej w.