Mechanika płynów 

 

 

1. 

Co to jest gęstość i ciężar właściwy płynu? 

Gęstość płynu 

 wiąże się z masą danego ośrodka i wyraża stosunkiem masy m do objętości 

V, jaką ta masa zajmuje: 

 = m  / V 

Definicja ta dotyczy ciał o masie równomiernie rozłożonej w całej objętości. Gęstość lokalną 

dla ciał niejednorodnych oblicza się ze wzoru   

dV

dm





 

Jednostką gęstości jest kg/m

3

. 

Ciężar właściwy 

 [N/m

3

] dla ciał jednorodnych wyraża się stosunkiem ciężaru ciała do jego 

objętości. Relację między gęstością a ciężarem właściwym określa równanie 





g



 

Objętość właściwa  [m

3

/kg] jest odwrotnością gęstości 





1



 . 

 
 
2. 

Który przepływ nazywamy nieściśliwym? 

Ściśliwością  płynu  jest  nazywana  jego  zdolność  do  zmiany  objętości  w  danej  temperaturze 
przy zmianie ciśnienia. Jej miarą jest współczynnik ściśliwości 



p

 [1/Pa] opisany zależnością 

definicyjną: 

)

(

const

T

dp

V

dV

p











 

(1.6 ) 

Współczynnik 



p

 określa, więc względną zmianę objętości płynu przypadającą  na  jednostkę 

przyrostu ciśnienia, dla stałej temperatury ośrodka. 
- przepływ, w którym można pominąć zmiany → gęstości płynu pod wpływem zmian 
ciśnienia. W przypadku cieczy zmiany jej gęstości można w zasadzie pominąć. W przypadku 
gazu można na ogół pominąć zmiany gęstości przy małych prędkościach przepływu. 
Przykładem prawie nieściśliwego przepływu jest ruch powietrza względem skrzydeł samolotu 
podczas lotu z prędkością dużo mniejszą od prędkości dźwięku. 
 

 

 
3. 

Objętościowe  i  masowe  natężenie  przepływu.  Podać  wzór  dla  rury  o  przekroju 
kołowym.   

średnie masowe natężenie przepływu (wydatek masowy): 
    stosunek przepływającej masy do czasu t, w którym ta masa przepłynęła 
 

                                              

t

m

m 



  [kg/s]                                                  (1) 

 
objętościowe natężenie przepływu (wydatek objętościowy)  

stosunek objętości płynu V do czasu t, w którym ta objętość przepłynęła 

 

                                             

w

A

ρ

m

t

V

V













    [m

3

/s]                                 (2)       

 
gdzie: A – pole powierzchni przekroju prostopadłego do kierunku przepływu  
           [m

2

], 

           w – prędkość przepływu [m/s] 

 
4. 

Który przepływ nazywamy barotropowym (paroklinowym)? 

Płyn, który charakteryzuje  się tym, że  jego gęstość  jest stała  lub  zależna tylko od ciśnienia, 
czyli 

 = f(p) nazywa się barotropowym. 

 
5. 

Który płyn nazywamy doskonałym (idealnym)? Równanie stanu gazu doskonałego. 
płyn nielepki (doskonały), w którym pomija się siły styczne podczas ruchu: 

 = 0; 

Płyn idealny (płyn doskonały) (ang. ideal fluid) – płyn 

nielepki

, w którym nie 

występują 

naprężenia

 

ścinające

 i 

transport ciepła

, a którego własności zależą jedynie od 

gęstości i ciśnienia. Model płynu doskonałego można w niektórych sytuacjach stosować do 
przybliżonego opisu powolnego przepływu 

cieczy

 o małej lepkości i 

gazów

, choć wskazana 

jest daleko idąca ostrożność w tym zakresie. 

 

gaz doskonały, w którym pomija się: objętość molekuł, siły spójności oraz lepkość, gaz ten 

ściśle spełnia równanie stanu gazu Clapeyrona. 

,  pV=mR’T 

p – ciśnienie, 

V – objętość, 

n – liczba moli gazu (będąca miarą liczby cząsteczek (ilości) rozważanego gazu), 

T – temperatura (bezwzględna), T [K]  = t [°C] + 273,15 

R’- indywidualna stała gazowa 

m - masa 

R – uniwersalna stała gazowa: R = N

A

k, gdzie: N

A

 – stała Avogadra (liczba Avogadra), k – 

stała Boltzmanna, R = 8,314 J/(mol·K). 

 
 
6. 

Siły masowe, przykład sił należących do nich. 

Siły masowe działają na każdy element płynu znajdującego się w polu tych sił. Siły te 

są proporcjonalne do całej masy płynu. Można do nich zaliczyć: 

-  siły grawitacji (ciężar płynu),  
-  siły  bezwładności  (d’Alemberta)  i  odśrodkowe  wywołane  ruchem  naczynia  z 

rozważanym płynem,  

-  siły  bezwładności  wynikające  z  ruchu  samego  płynu  z  przyśpieszeniem  (np.  w 

naczyniu), 

-  siły o naturze elektromagnetycznej. 

Miarą  sił  masowych  jest  jednostkowa  siła  masowa 

F



,  czyli  siła  przypadająca  na 

jednostkę  masy  rozważanego  płynu 

m=  V.  Jednostkowa  siła  masowa  F



  w  danym 

punkcie obszaru płynnego jest granicą, do której dąży stosunek działającej siły masowej 

R



  

do masy elementu 

m. 

 

m

R

F

m















0

lim

 

(1.24 ) 

 

Jednostkowa siła  masowa  ma wymiar przyspieszenia  m/s

2

. Na przykład  jednostkową 

siłą masową siły ciążenia jest przyspieszenie ziemskie 

g

F







. 

 

 
7. 

Siły powierzchniowe, przykład sił należących do nich. 

Siły  powierzchniowe  działają  na  powierzchni  wydzielonej  masy  płynu  i  są 

proporcjonalne do tej powierzchni. Do sił powierzchniowych należy zaliczyć: 

-  siłę ciśnieniową, 
-  siły tarcia wewnętrznego w płynie, 
-  siły tarcia płynu o ściany sztywne, 
-  siły parcia hydrostatycznego (np. napór cieczy na ścianę zbiornika).  
Szczególnym  przypadkiem  sił  powierzchniowych  jest  siła  spowodowana  napięciem 

powierzchniowym. Występuje ona na powierzchni rozgraniczającej dwa ośrodki. 

Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa 

n

p



 będąc, granicą 

stosunku siły powierzchniowej 

P



  do elementu powierzchni 

A



, na którą działa 

 

 

A

P

p

A

n















0

lim

 

 
8. 

Ciśnienie statyczne, hydrostatyczne, dynamiczne i całkowite. 

Ciśnienie statyczne- ρ-ciśnienie- statyczne jest to 

ciśnienie

 równe wartości 

siły

 działającej na 

jednostkę powierzchni, z jaką działają na siebie dwa stykające się elementy przepływającego 

lub  będącego  w  spoczynku 

płynu

,  które  znajdują  się  w  danej  chwili  w  rozpatrywanym 

punkcie przestrzeni. 

Ciśnienie hydrostatyczne – ciśnienie, wynikające z ciężaru cieczy znajdującej się w polu 
grawitacyjnym. Analogiczne ciśnienie w gazie określane jest mianem ciśnienia 
aerostatycznego. Ciśnienie hydrostatyczne nie zależy od wielkości i kształtu zbiornika, a 
zależy wyłącznie od głębokości. Ciśnienie określa wzór: 

P

atm

=ρgh

 

gdzie 

 

– gęstość cieczy – w układzie SI w kg/m³ 

 

– przyspieszenie ziemskie (grawitacyjne) – w układzie SI w m/s² 

 

– głębokość zanurzenia w cieczy (od poziomu zerowego) – w układzie SI w metrach 

(m). 

Ciśnienie dynamiczne to jednostkowa siła powierzchniowa, jaką przepływający 

płyn

 

wywiera na ciało w nim się znajdujące. Ciśnienie dynamiczne to różnica między ciśnieniem 
całkowitym i 

ciśnieniem statycznym

. 

  ρ-ciśnienie statyczne. 

Ciśnienie całkowite-

const

gz

p













2

2



. Suma tych członów nosi nazwę ciśnienia 

całkowitego P

0

 

 

 
9. 

Który przepływ nazywamy bezwirowym lub potencjalnym? 

Przepływ potencjalny, przepływ, w którym płyn porusza się ruchem postępowym lub 
podlega odkształceniom. W przepływie potencjalnym nie występują wiry. 
rotV

0

=0 

 
10.  Zapisać równanie Bernuolliego dla przepływu nieściśliwego w rurce poziomej (w rurce 

pionowej) w polu sił grawitacyjnych. 

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

gz

v

gz

v























 

11.  Współczynnik lepkości dynamicznej i kinematycznej. Płyny newtonowskie. 
Współczynnik  proporcjonalności 

  we  wzorze  jest  miarą  lepkości  płynu  i  nazywa  się 

dynamicznym współczynnikiem lepkości. Jego jednostką jest kg/(m s). 

Stosunek  dynamicznego  współczynnika  lepkości  do  gęstości  płynu  nazywa  się 

kinematycznym współczynnikiem lepkości v [m

2

/s]: 

 





 

 

Płyny  Newtonowskie-Stosunek  siły  stycznej 

F

  do  powierzchni  A,  na  której  ona 

działa,  określa  naprężenie  styczne 

.  Zgodnie  ze  wzorem  Newtona  naprężenie    jest 

proporcjonalne  do  pochodnej  prędkości  u

x

  obliczanej  w  kierunku  normalnym  n  do  tej 

powierzchni. 

 





















dn

d

x

 

(1.17 ) 

Pochodna 

dn

d

x



  jest  nazywana  również  prędkością  odkształcenia  kątowego  lub 

prędkością ścinania.  

Współczynnik proporcjonalności 

 we wzorze jest miarą lepkości płynu i nazywa się 

dynamicznym współczynnikiem lepkości. Jego jednostką jest kg/(m s).  

Należy podkreślić, że tylko część płynów zachowuje się zgodnie z podanym wzorem. 

Nazywane  są  one  płynami  newtonowskimi.  Do  płynów  tych  można  zaliczyć  wszystkie  gazy 
oraz większość cieczy, w tym wodę. 

Lepkość płynów  newtonowskich  zależy głównie  od temperatury oraz  nieznacznie od 

ciśnienia.  Dla  cieczy  lepkość  maleje  ze  wzrostem  temperatury,  dla  gazów  zaś  występuje 
odwrotna tendencja. Zależność dynamicznego współczynnika lepkości cieczy od temperatury 
można opisać wzorem 

 

n

o

o

T

T





















 

 
12.  Podać wzór liczby Reynoldsa. Co charakteryzuje krytyczna liczba Re? 
. Liczba Re wyraża stosunek sił bezwładności do sił lepkości. 

 

o

o

o

o

o

o

l

l

Re













   

 

Krytyczna  liczba  Reynoldsa  -liczby  Reynoldsa,  poniżej  której  dany  przepływ  jest 
zawsze  laminarny.  Powyżej  tej  wartości  przepływ  może  utracić  stateczność  zależnie 
od  poziomu  zaburzeń  wstępnych  strumienia  napływającego.  Ta  wartość  liczby 
Reynoldsa nosi nazwę krytycznej liczby Reynoldsa Re

kr

. 

W  najczęściej  występujących  przypadkach  dla  przepływu  w  przewodach  (rurach)  o 

przekroju kołowym krytyczna liczba Reynoldsa wynosi 2300. 
W  przewodach  płaskich  o  wysokości  (grubości)  h  krytyczna  liczba  Reynoldsa  jest 
równa ≈ 2000. 

 
 
13.  Przepływ laminarny i turbulentny.  
Przepływ  laminarny  charakteryzuje  się  znaczną  przewagą  sił  lepkości  nad  siłami 

bezwładności. Cechą tych przepływów jest to, że poszczególne warstwy przemieszczają 
się  równolegle  względem  siebie  lub  jak  gdyby  "ślizgają"  się  po  sobie.  Przepływy  te 
często noszą nazwę przepływów uwarstwionych. W przypadku przepływu w przewodzie 
o przekroju kołowym warstwy płynu mają oczywiście kształt współosiowy 

Przepływ  turbulentny,  zwany  również  przepływem  burzliwym,  występuje  powszechnie  w 

przyrodzie (przepływ w rzekach, ruch powietrza atmosferycznego) i technice (przepływ 
w  przewodach  i  maszynach,  tj.  pompach,  dmuchawach,  turbinach  itp.).  Ruch 
turbulentny  charakteryzuje  się  tym,  że  jest  to  ruch  zdecydowanie  przestrzenny 
(trójwymiarowy), podczas którego elementy płynu poruszają się  w sposób  nieustalony 
[4,6]. Elementy  płynu  w  ruchu  turbulentnym  przemieszczają  się  w  głównym  kierunku 
transportu  masy,  wykonując  przy  tym  jednocześnie  trudne  do  przewidzenia  ruchy 
pulsacyjne w różnych kierunkach. 

14.  Straty ciśnienia w rurociągach, straty liniowy i straty miejscowe.  

Przepływy w przewodach pod ciśnieniem 
W cieczy  lepkiej występują opory tarcia, powodujące straty ciśnienia. Straty ciśnienia 

obejmują straty liniowe, proporcjonalne do długości odcinka, oraz straty miejscowe (lokalne), 
powstałe w wyniku lokalnego zaburzenia przepływu, np. w armaturze przewodu. 

  
Straty liniowe 
Straty  liniowe,  nazywane  też  oporami  liniowymi,  oblicza  się  ze  wzoru  Darcy'ego-

Weisbacha 

 

2

2

2

1

sr

D

L

p

p

p













 

(5.29) 

 
Wysokość  tych  strat  jest  równa  stosunkowi  spadku  ciśnienia  do  ciężaru  właściwego 

strumienia 

 

g

D

L

p

p

h

sr

2

2

2

1













 

Straty miejscowe  
Podczas  przepływu  mogą  wystąpić  lokalne  zaburzenia  wywołane  zmianą  kierunku 

ruchu, gwałtownym rozszerzeniem bądź zwężeniem, dzieleniem lub łączeniem się strumieni. 
Zaburzenia  te  rozpraszają  część  energii  strumienia,  co  ujawnia  się  w  postaci  strat 
miejscowych. 

Wysokość strat ciśnienia przy przepływie płynu przez przeszkody lokalne oblicza się 

ze wzoru 

 

g

p

h

sr

m

2

2













 

(5.38) 

 
gdzie ζ - współczynnik oporu miejscowego. 

 
 
15.  Współczynnik filtracji, co charakteryzuję i od czego zależy?  

Współczynnik filtracji charakteryzuje zdolność przesączania wody będącej w ruchu 
laminarnym przez skały porowate i jest miarą przepuszczalności hydraulicznej skał 
(gruntów). Przesączanie odbywa się siecią kanalików utworzonych z porów gruntowych. 
Grunt stawia opór przesączającej się wodzie, opór ten i współczynnik filtracji zależy od 
właściwości gruntu: 

 

rodzaju ośrodka gruntowego 

 

porowatości 

 

uziarnienia 

 

struktury gruntu 

 

właściwości filtrującej cieczy – lepkości. 

 

16.  Prędkość dźwięku. Dysza de Lavala 

Prędkość dźwięku w określonym ośrodku jest 

prędkością

 rozchodzenia się w nim 

zaburzenia mechanicznego. 

Prędkość dźwięku w substancjach zależy od prędkości przekazywania kolejnym 
cząsteczkom tej substancji prędkości cząsteczek zwiększonej ciśnieniem dźwięku. Dla 
małych natężeń dźwięku ta dodatkowa prędkość jest znacznie mniejsza od prędkości 
ruchu cieplnego cząsteczek, dlatego prędkość dźwięku nie zależy od jego natężenia. 

W powietrzu w temperaturze 15°C przy normalnym ciśnieniu prędkość rozchodzenia 
się dźwięku jest równa 340,3 m/s ≈ 1225 km/h. 

Dysza de Lavala – kanał aerodynamiczny dzięki któremu można uzyskać 

przepływ 

naddźwiękowy

 wykorzystywany w niektórych typach 

turbin parowych

, w 

silnikach 

odrzutowych

 i 

rakietowych

. Wynalazcą urządzenia jest 

Gustaf de Laval

 (1845-1883), 

szwedzki inżynier i przemysłowiec. 

Przekrój 

dyszy

 Lavala w początkowym odcinku ulega zwężeniu, następnie rozszerza 

się. W części zwężającej się następuje 

przyspieszenie

 

gazu

 od 

prędkości

 początkowej 

do 

prędkości dźwięku

. W końcowej części następuje dalsze przyspieszanie powyżej 

prędkości dźwięku, chociaż przyspieszenie stopniowo maleje. Na całej długości dyszy 
gaz 

rozpręża

 się i ma miejsce wzrost jego prędkości. Podczas pracy naddźwiękowej 

przekrój najwęższy jest przekrojem krytycznym, a parametry gazu w nim występujące 
– 

parametrami krytycznymi

.