Kolokwium końcowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunek IBM gr. 1-3, 2 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału

zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(−x)

n

5

n−1

√

n

[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = ∞. Odpowiedź
uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.

2. [4p.] Znaleźć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności

∞

X

n=0

n + 1

7

n

x

n

3. [4p.] a) Rozwinąć funkcję f (x) =

2x − 1

x

2

− 2x − 3

w szereg Maclaurina. Podać przedział

zbieżności otrzymanego szeregu.
[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych cosinusów (bez wyznaczania go).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Rozwiązać równanie

y

0

sin

y

x

=

y

x

sin

y

x

+ 1

przy zadanym warunku początkowym y(1) = 0.

5. [4p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+

x

1 + x

2

y = x spełniającą warunek

początkowy y(0) =

1

3

.

[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego liniowego niejednorodnego i opisać
sposób jego rozwiązywania.

6. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe 3x

2

e

y

dx + (x

3

e

y

− 1) dy = 0 jest zupełne i

wyznaczyć jego całkę ogólną.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

− 3y

0

+ 2y = e

3x

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 1, y

0

(0) = 0.

Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace’a.