Moduł 6 – Wzrost długookresowy

W okresie długim wzrost gospodarczy zależy od czynników podażowych, zupełnie

odmiennie niż w okresie krótkim, w którym siłę napędową gospodarki stanowiły czynniki

popytowe. Funkcja produkcji, znana z mikroekonomii, stanowi podstawę długookresowych

modeli wzrostu gospodarczego. Dlatego też rozumowanie nasze rozpoczniemy od krótkiego

opisu właściwości funkcji produkcji.

Ogólna postad funkcji produkcji przedstawia się następująco:

Y=f (K, N),

gdzie:

K – nakłady kapitałowe

N – nakłady pracy (zatrudnienie)

Funkcja produkcji jest rosnąca zarówno względem kapitału, jak i zatrudnienia. Ceteris paribus

im wyższy poziom kapitału tym wyższy poziom produkcji (dochodu), im wyższy poziom

zatrudnienia tym wyższy poziom produkcji (dochodu), co można zapisad:

Dla celów przedstawienia funkcji produkcji często jest wykorzystywana - ze względu na jej

właściwości - funkcja Cobba-Douglasa. Funkcja produkcji wyrażona za pomocą funkcji Cobba-

Douglasa przedstawia się następująco:

gdzie:

A – postęp technologiczny

0

0















N

Y

K

Y





N

AK

Y



 

0

1

,

0









A





Mówimy, że ta funkcja jest jednorodna stopnia α+β.

Przykład

Mówimy, że funkcja jest jednorodna stopnia γ (gamma) jeżeli pomnożenie każdego z

argumentów funkcji przez dowolną liczbę n spowoduje zmianę wartości funkcji w proporcji

n

γ

. Na przykład kiedy funkcja jest jednorodna trzeciego stopnia:

W powyższym przykładzie jeżeli n=2 wówczas wartośd funkcji wzrośnie ośmiokrotnie (2

3

)

podczas gdy każdy z argumentów funkcji wzrasta tylko dwukrotnie.

Stopieo jednorodności funkcji pozwala nam określid charakter tzw. efektów skali.

Jeżeli

1

)

(









, wówczas mamy do czynienia z tzw. rosnącymi efektami skali.

Jeżeli

1

)

(









wówczas mamy do czynienia z tzw. stałymi efektami skali.

Jeżeli

1

)

(









wówczas mamy do czynienia z tzw. malejącymi efektami skali.

Stałe efekty skali – kiedy zmiana wszystkich nakładów prowadzi do proporcjonalnej zmiany

wielkości produkcji.

Malejące efekty skali – kiedy zmiana wszystkich nakładów prowadzi do mniej niż

proporcjonalnej zmiany wielkości produkcji.

Rosnące efekty skali – gdy zmiana wszystkich nakładów prowadzi do więcej niż

proporcjonalnego wzrostu produkcji. Taki przypadek nazywamy korzyściami skali.

Posługując się funkcją produkcji, wykorzystując jej właściwości, dokonamy analizy

długookresowego wzrostu gospodarczego. W tym celu dzielimy funkcję produkcji przez

liczbę zatrudnionych osób w gospodarce i otrzymujemy następującą jej postad:





























1

,

,

N

K

f

N

N

N

K

f

N

Y





z

x

x

z

x

f





2

6

,

,

3









   





z

x

f

n

nz

n

nx

nx

nz

n

nx

f

,

,

2

)

(

6

,

,

3

3

















   





z

x

f

n

nz

n

nx

nx

nz

n

nx

f

,

,

2

)

(

6

,

,

3

3













Zamiast posługiwad się wielkościami absolutnymi - tj. poziomem zagregowanej produkcji od

tego miejsca będziemy posługiwad się terminem produktu na pracownika













N

Y

.

W gospodarce zamkniętej, jak pamiętamy z modelu IS-LM zachodzi tożsamośd: I = S.

Po uwzględnieniu istnienia sektora rządowego w gospodarce tożsamośd powyższa przyjmuje

następującą postad:

I = S + (T – G)

Dla uproszczenia przyjmujemy zasadę zrównoważonego budżetu tj: T = G.

Jednocześnie keynesowskiej funkcji oszczędności wyrażona jest następującą formułą: S = s Y

gdzie:

s – stopa oszczędności.

Teraz wracamy do pierwszej tożsamości, wstawiając w miejsce oszczędności powyższy wzór i

jednocześnie uwzględniając czas:

I

t

= s Y

t

Jak widzimy inwestycje są proporcjonalne w stosunku do dochodu, co wykorzystamy w

dalszych rozważaniach.

Jak wiemy z mikroekonomii w okresie długim możemy obserwowad zmiany produkcji

wywołane zmianami kapitału. Analogicznie dla wzrostu PKB w okresie długim będzie mied

znaczenie proces akumulacji kapitału. Czyli ilośd kapitału zgromadzonego w gospodarce w

kolejnych okresach. A zatem właściwe zrozumienie procesu akumulacji kapitału w

gospodarce pozwoli nam lepiej rozpoznad czynniki mające wpływ na wzrost gospodarczy w

okresie długim. Żeby kapitał mógł przyrastad trzeba najpierw odtworzyd jego częśd, która

podlega deprecjacji. Zakładając, ze kapitał podlega procesowi deprecjacji w tempie równym

δ (delta), inaczej δ to stopa deprecjacji kapitału. Oczywiście nie wystarczy odtworzyd części

kapitału równej

t

K



aby zapewnid gospodarce wzrost w okresie długim. Do tego niezbędne

są inwestycje. Powyższe zależności zostały zapisane w następującym równaniu:

Zasób kapitału na początku roku t+1 równy jest zasobowi kapitału na początku roku t dodad

nowy zasób kapitału utworzony w trakcie roku t, to znaczy inwestycje poczynione w trakcie

roku t.

Teraz możemy wykorzystad wcześniej wyprowadzone zależności pomiędzy dochodem a

inwestycjami jednocześnie dzieląc obie strony równania przez liczbę zatrudnionych N:

Następnie przekształcamy powyższe równanie tak by otrzymad po lewej stronie zmianę

zasobu kapitału na zatrudnionego dla dwóch różnych okresów, a zatem otrzymujemy:

Równanie to mówi nam, że zmiana w zasobie kapitału na zatrudnionego zależy od stopy

oszczędności i stopy deprecjacji kapitału.

Jeżeli wykorzystamy pierwotną postad funkcji produktu na zatrudnionego, wówczas

otrzymamy następujące równanie:

Reasumując zmiana kapitału na zatrudnionego zależy od:





t

t

t

I

K

K











1

1





N

Y

s

N

K

N

K

t

t

t











1

1

N

K

N

Y

s

N

K

N

K

t

t

t

t











1

N

K

N

K

sf

N

K

N

K

N

K

f

N

Y

N

K

N

Y

s

N

K

N

K

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t



















































1

1



Inwestycji na zatrudnionego sf(K

t

/N). Poziom kapitału na zatrudnionego w danym

roku wpływa na poziom produktu na zatrudnionego w tym samym roku. Przy danej

stopie oszczędności product na zatrudnionego z kolei determinuje oszczędności na

zatrudnionego a zatem określa poziom inwestycji na zatrudnionego w tym samym

roku.



Deprecjacja na zatrudnionego δ(K

t

/N). Zasób kapitału na zatrudnionego określa

wielkośd deprecjacji na zatrudnionego.

A zatem dochodzimy do wniosku, że jeżeli inwestycje na zatrudnionego będą większe niż

deprecjacja na zatrudnionego nastąpi przyrost kapitału w czasie i odwrotnie.

Równowagę długookresową można zdefiniowad, jako sytuację, w której produkt na

zatrudnionego i kapitał na zatrudnionego już nie podlegają zmianom, a zasób kapitału na

zatrudnionego w równowadze wynosi dokładnie tyle, że oszczędności na zatrudnionego są

wystarczające by pokryd deprecjację na zatrudnionego, co można zapisad:

N

K

N

K

sf



















