Piotr Sielski

O warunkowej bliskości sigma-ciał

i zbieżności warunkowych wartości oczekiwanych

1

Spis treści

1

Wstęp

2

2

Podstawowe fakty i definicje

3

2.1

σ-ciała, uzupełnienia, funkcje ρ, ρ . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2

Warunkowa wartość oczekiwana . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3

Twierdzenia o otulaniu i przybliżaniu σ-ciał

9

3.1

Twierdzenie o otulaniu σ-ciał

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2

Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.3

Twierdzenie o warunkowym otulaniu σ-ciał . . . . . . . . . . .

11

3.4

Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.5

Twierdzenie o przybliżaniu σ-ciał . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.6

Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4

Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o.

19

4.1

Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o. . . . . . . . . . . .

19

4.2

Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.3

Wnioski z twierdzenia o odległości operatorów . . . . . . . . .

24

5

Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a zbieżność
σ-ciał w metryce ˜

d

26

5.1

Metryka ˜

d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

5.2

Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a zbieżność
σ-ciał w metryce ˜

d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

5.3

Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

6

Literatura

33

1

1

Wstęp

Celem pracy jest przedstawienie oraz rozwinięcie rezultatów dotyczą-

cych przybliżania i otulania σ-ciał. Pojęcia te zostały wprowadzone w pracy
R. Jajtego i A. Paszkiewicza (patrz [3]). Zdefiniowane są one przy pomocy
następujących wielkości:

ρ(B, A) = sup

B∈B

inf

A∈A

P (A4B)

ρ(B, A) = sup

B∈B

inf

A∈AA⊃B

P (A\B)

Powyższe definicje, jak również fakty z nimi związane zawarte są w rozdziale
drugim. Dalsza część pracy opiera się w znacznej mierze na twierdzeniach
udowodnionych w pracach [3] i [4]. Udowodniono w nich, że jeśli ρ(B, A) < 

to istnieje zbiór Z ∈ σ(A, B) taki, że P (Z) < 22, oraz B\Z ⊂ A

(F ,P)

\Z,

gdzie A, B ⊂ F . Podobne twierdzenie udowodniono również dla funkcji ρ.
Rozdział trzeci zawiera te twierdzenia oraz przykłady ilustrujące istotność
poczynionych założeń. Ponadto znajduje się w nim uogólnienie twierdzenia
dotyczącego otulania σ-ciał. Podobnymi metodami do użytych w pracach [3]
i [4] dowodzimy wersji warunkowej twierdzenia o otulanu σ-ciał. Rezultaty
te posłużyły w dalszej części pracy do zbadania odległości operatorów wa-
runkowej wartości oczekiwanej, w zależności od wielkości ρ i ρ. W rozdziale
czwartym dowodzimy, że jeśli E

A

, E

B

: L

∞

→ L

1

, to:

||E

A

− E

B

||

∞,1

¬ 264 max(ρ(A, B), ρ(B, A)).

Powyższe twierdzenie, ze zmienioną stałą, zachodzi również dla funkcji ρ. W
tym samym paragrafie zawarte są również oszacowania dla norm L

∞,p

.

W rozdziale piątym w rodzinie pod- σ-ciał F wprowadzona została, wedle
pomysłu dr Krzysztofa Kaniowskiego, następująca metryka:

˜

d(A, B) = max(ρ(A, B), ρ(B, A)).

Dowodzimy, że dla X ∈ L

∞

(Ω, F , P ) zbieżność ciągu σ-ciał A

n

⊂ F w tej

metryce implikuje zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych E(X|A

n

)

w przestrzeni L

p

. Okazuje się, że pewne wzmocnienie założeń daje nam znacz-

nie więcej, zbieżność prawie pewną ciągu E(X|A

n

). W tym samym rozdziale

dowodzimy również twierdzenia o zbieżności ciągu E(X|A

n

) w przestrzeni L

1

dla X ∈ L

1

(Ω, F , P ). Na zakończenie podajemy kilka przykładów ilustrują-

cych niezbędność poczynionych założeń.

2

Podstawowe fakty i definicje

W rozdziale tym zamieścimy definicje oraz twierdzenia wykorzystywane

w dalszej części pracy.

2.1

σ-ciała, uzupełnienia, funkcje ρ, ρ

Definicja 2.1.1 (σ-ciało) Rodzinę A podzbiorów Ω nazywamy σ-ciałem je-
żeli spełnia następujące trzy warunki:
1.

∅ ∈ A;

2.

Jeśli A ∈ A to A

c

∈ A;

3.

Jeśli A

i

∈ A dla i = 1, 2, . . . , to

S

∞
i=1

A

i

∈ A

Definicja 2.1.2 (Miara probabilistyczna) Miarą probabilistyczną będziemy
nazywać dowolną funkcję P , określoną na σ-ciele zdarzeń A ⊂ 2

Ω

, spełnia-

jącą warunki:
1.

P : A → R

+

∪ {0};

2.

P (Ω) = 1;

3.

Jeśli A

i

∈ A,

i = 1, 2, . . . oraz A

i

∩ Aj = ∅ dla i 6= j, to

P (

∞

[

i=1

A

i

) =

∞

X

i=1

P (A

i

).

W dalszej części pracy P będzie zawsze oznaczało miarę probabilistyczną.

Definicja 2.1.3 (Przestrzeń probabilistyczna) Przestrzenią probabilistyczną
nazywamy trójkę (Ω, A, P ), gdzie A jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω, zaś
P dowolną miarą probabilistyczną na A.

Definicja 2.1.4 Uzupełnieniem σ-ciała A względem miary P nazywamy ro-
dzinę podzbiorów Ω, dla których istnieją zbiory A

1

, A

2

∈ A takie, że A

1

⊂

A ⊂ A

2

oraz P (A

2

\A

1

) = 0. Rodzinę tę będziemy oznaczać A

P

lub, gdy nie

ma wątpliwości o jaką miarę chodzi, po prostu A.

Fakt 2.1.5 Rodzina A jest σ-ciałem.

Dowód :
Oczywiście ∅ ∈ A.
Jeśli A ∈ A to istnieją zbiory A

1

, A

2

∈ A takie, że A

1

⊂ A ⊂ A

2

oraz

P (A

2

\A

1

) = 0. Zatem A

c
2

⊂ A

c

⊂ A

c
1

oraz P (A

c
1

\A

c
2

) = 0, czyli A

c

∈ A.

Jeśli A

1

, A

2

, . . . ∈ A to dla dowolnego k ∈ N istnieją zbiory A

k
1

, A

k
2

∈ A takie,

że A

k
1

⊂ A

k

⊂ A

k
2

oraz P (A

k
2

\A

k
1

) = 0. Stąd

S

k∈N

A

k
1

⊂

S

k∈N

A

k

⊂

S

k∈N

A

k
2

oraz P (

S

k∈N

A

k
2

\

S

k∈N

A

k
1

) = 0, czyli

S

k∈N

A

k

∈ A.



Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zauważmy, że miarę
P można w naturalny sposób rozszerzyć na σ-ciało F . Zgodnie z definicją
2.1.4 jeśli F ∈ F , to istnieją zbiory F

1

⊂ F ⊂ F

2

takie, że P (F

2

\F

1

) = 0.

Kładąc P (F ) = P (F

1

) = P (F

2

) otrzymujemy rozszerzenie miary P na F .

Definicja 2.1.6 Uzupełnieniem σ-ciała A ⊂ F względem miary P i σ-ciała
F nazywamy następującą rodzinę zbiorów:

A

(F ,P )

=

n

A ∈ F :

∃

A

1

∈A

P (A4A

1

) = 0

o

.

Zdefiniowana powyżej rodzina jest σ-ciałem.
Dowód :
Oczywiście ∅ ∈ A

(F ,P )

.

Jeśli A ∈ A

(F ,P )

to istnieje zbiór A

1

∈ A taki, że P (A4A

1

) = 0. Oczywiście

A

c
1

∈ A oraz P (A

c

4A

c
1

) = 0, czyli A

c

∈ A

(F ,P )

.

Korzystając z definicji różnicy symetrycznej, oraz z faktu, że
(

S

∞
n=1

A

n

\

S

∞
n=1

B

n

) ⊂

S

∞
n=1

(A

n

\B

n

) otrzymujemy, że przeliczalna suma zbio-

rów należących do

A

(F ,P )

również należy do A

(F ,P )

.



Niech A, B będą σ-ciałami. Wprowadźmy dwie niesymetryczne funkcje ρ(B, A)
oraz ¯

ρ(B, A) w następujący sposób:

Definicja 2.1.7
1.

ρ(B, A) = sup

B∈B

inf

A∈A

P (A4B)

2.

ρ(B, A) = sup

B∈B

inf

A∈A

A⊃B

P (A\B)

Jeśli zachodzi ρ(B, A) =  to mówimy, że σ-ciało A -przybliża σ-ciało B.
Jeśli zachodzi ρ(B, A) =  to mówimy, że σ-ciało A -otula σ-ciało B.
Wprost z definicji kresu oraz określenia funkcji ρ otrzymujemy:

Fakt 2.1.8
Następujące warunki są równoważne:
1.

ρ(B, A) ¬ d

2.

∀

>0,B∈B

∃

A∈A

P (B4A) < d + 

Wykorzystując fakt 2.1.8 udowodnimy następujące twierdzenie:

4

Twierdzenie 2.1.9 Niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami. Zachodzi równość:

ρ(A, B) = ρ(

A

(F ,P )

, B

(F ,P )

).

Dowód :
Wystarczy udowodnić, że dla każdego d ­ 0 następujące dwa warunki są
równoważne:
1.

ρ(A, B) ¬ d

2.

ρ(A

(F ,P )

, B

(F ,P )

) ¬ d.

Załóżmy, że zachodzi 2. Niech A ∈ A. Oczywiście A ∈ A

(F ,P )

, więc zgod-

nie z faktem 2.1.8 dla dowolnego  > 0 istnieje zbiór B

1

∈ B

(F ,P )

taki, że

P (A4B

1

) < d + . Jednocześnie według definicji 2.1.6 istnieje zbiór B ∈ B

taki, że P (B4B

1

) = 0. Zatem:

P (B4A) ¬ P (B4B

1

) + P (B

1

4A) < d + .

Stąd i z faktu 2.1.8 otrzymujemy ρ(A, B) ¬ d.
W analogiczny sposób dowodzimy implikacji w drugą stronę.


W dalszej części pracy będziemy rozpatrywali również wersję warunkową de-
finicji 2.1.7 p. 2:

Definicja 2.1.10

ρ

0

((B, A)|C) = sup

B∈B

inf

A∈A,A⊃B

ess sup

ω∈Ω

(P ((A\B)|C))(ω))

Niech A będzie σ-ciałem, zaś Z pewnym zbiorem. Przez A\Z będziemy ozna-
czać następującą rodzinę zbiorów:

A\Z = {A\Z :

A ∈ A}.

5

2.2

Warunkowa wartość oczekiwana

Na początku tego paragrafu podamy twierdzenie Radona-Nikodyma,

którego dowód można znaleźć w pozycjach [1] [2]. Twierdzenie to w znacznym
stopniu upraszcza dowód istnienia warunkowej wartości oczekiwanej.

Definicja 2.2.1 Niech µ i ν będą miarami na (Ω, A). Mówimy, że miara ν
jest absolutnie ciągła względem miary µ (w skrócie ν  µ), jeśli dla każdego
A ∈ A z warunku µ(A) = 0 wynika równość ν(A) = 0.

Twierdzenie 2.2.2 (Twierdzenie Radona-Nikodyma)
Jeżeli µ i ν są takimi miarami skończonymi na (Ω, F ), że ν jest absolutnie
ciągła względem µ (ν  µ), to istnieje taka nieujemna funkcja f, nazywana
gęstością, że ν(A) =

R

A

f dµ dla każdego A ∈ F . Dla dwóch takich gęstości f

i g mamy µ({f 6= g}) = 0.

Przejdźmy do zdefiniowania warunkowej wartości oczekiwanej.

Definicja 2.2.3 Niech X ∈ L

1

(Ω, F , P ). Warunkową wartością oczekiwaną

(w skrócie w.w.o.), zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała A, nazywamy
dowolną funkcję E(X|A) spełniającą następujące warunki:

∀

A∈A

Z

A

XdP =

Z

A

E(X|A)dP

(1)

E(X|A)

jest A mierzalna.

(2)

Funkcja ta jest wyznaczona jednoznacznie, z dokładnością do zbioru miary 0.

Należy przeprowadzić dowód istnienia i jednoznaczności w.w.o.
Dowód :
Najpierw udowodnimy jednoznaczność.
Przypuśćmy, że funkcje E

1

(X|A) i E

2

(X|A) spełniają warunki (1) i (2) de-

finicji 2.2.3. Z warunku (2) wynika, że obie funkcje są A - mierzalne, zatem
zbiory A

1

= {E

2

(X|A) > E

1

(X|A)} oraz A

2

= {E

2

(X|A) < E

1

(X|A)} na-

leżą do σ-ciała A. Stąd i z pierwszego warunku definicji w.w.o. otrzymujemy:

Z

A

1

E

2

(X|A)dP =

Z

A

1

XdP =

Z

A

1

E

1

(X|A)dP.

Zatem:

Z

A

1

(E

2

(X|A) − E

1

(X|A))dP = 0,

czyli P (A

1

) = 0. W analogiczny sposób dowodzimy, że P (A

2

) = 0. Reasumu-

jąc P (E

1

(X|A) 6= E

2

(X|A)) = P (A

1

∪ A

2

) = 0, co dowodzi jednoznaczności.

6

Przedstawimy teraz dowód istnienia w.w.o.
Przypuśćmy na początku, że X ­ 0 p.p. Rozważmy skończoną miarę ν, na
σ -ciele A, określoną następującym wzorem:

ν(A) =

Z

A

XdP.

Jeśli P (A) = 0 to również ν(A) = 0, zatem ν jest absolutnie ciągła względem P .
Stąd z twierdzenia Radona-Nikodyma istnieje A -mierzalna gęstość g taka,
że dla A ∈ A:

Z

A

gdP = ν(A) =

Z

A

XdP.

Wystarczy przyjąć E(X|A) = g. Przejdźmy do przypadku ogólnego, gdy
X ∈ L

1

(Ω, F , P ). Rozkładając X na części nieujemną i niedodatnią X =

X

+

− X

−

mamy 0 ¬ X

+

, X

−

. Warunkową wartość oczekiwaną definujemy w

następujący sposób: E(X|A) = E(X

+

|A) − E(X

−

|A). Nietrudno sprawdzić,

że jest to wersja warunkowej wartości oczekiwanej.

Podamy teraz podstawowe własności w.w.o., wykorzystywane w dalszej części
pracy.

Własność 2.2.4 Niech X, Y ∈ L

1

(Ω, F , P ) oraz A ⊂ F będzie σ-ciałem.

Zachodzą następujące własności:

J eli

X ­ 0

p.p.,

to

E(X|A) ­ 0

p.p.

(3)

E(αX + βY |A) = αE(X|A) + βE(Y |A)

p.p.

dla

α, β ∈ R,

(4)

J eli

X ¬ Y

p.p.

to

E(X|A) ¬ E(Y |A)

p.p.

(5)

|E(X|A)| ¬ E(|X||A) p.p.

(6)

Dowód :
(3) Niech X ­ 0 p.p. Mamy:

0 ¬

Z

E(X|A)<0

XdP =

Z

E(X|A)<0

E(X|A)dP ¬ 0.

7

Zatem E(X|A) ­ 0 p.p.
(4) Oczywiście funkcja αE(X|A) + βE(Y |A) jest A -mierzalna. Dla A ∈ A
mamy:

Z

A

(αX + βY )dP = α

Z

A

XdP + β

Z

A

Y dP =

= α

Z

A

E(X|A)dP + β

Z

A

E(Y |A)dP =

Z

A

(αE(X|A) + βE(Y |A)).

Zatem funkcja αE(X|A)+βE(Y |A) jest wersją w.w.o. zmiennej losowej αX +
βY .
(5) Niech X ¬ Y p.p. Korzystając z punktów (3) i (4) otrzymujemy:

0 ¬ E(Y −X|A) = E(Y |A)−E(X|A) p.p.,

czyli

E(X|A) ¬ E(Y |A)

p.p.

(6) Oczywiście X ¬ |X| oraz −X ¬ |X|. Wykorzystując własności (4) i (5)
otrzymujemy:

E(X|A) ¬ E(|X||A)

i

− E(X|A) = E(−X|A) ¬ E(|X||A).

Zatem reasumując:

|E(X|A)| ¬ E(|X||A)


Na zakończenie tego paragrafu zdefiniujemy pojęcie prawdopodobieństwa wa-
runkowego względem σ-ciała.

Definicja 2.2.5 Prawdopodobieństwem warunkowym zbioru B pod warun-
kiem σ-ciała A nazywamy wersję warunkowej wartości oczekiwanej

P (B|A) = E(1

B

|A).

8

3

Twierdzenia o otulaniu i przybliżaniu σ-ciał

3.1

Twierdzenie o otulaniu σ-ciał

Przypomnijmy zamieszczoną w rozdziale drugim definicję -otulania (2.1.7).

Jeśli:

ρ(B, A) = sup

B∈B

inf

A∈AA⊃B

P (A\B) = 

,

to powiemy, że σ-ciało A -otula σ-ciało B.

Twierdzenie 3.1.1 Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz
niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami. Istnieje zbiór Z ∈ A taki, że

P (Z) ¬ 4ρ(B, A)

oraz

B\Z ⊂ A\Z.

Twierdzenie to wynika z lematu o macierzach oraz serii lematów, które przy-
bliżają nas do ostatecznego dowodu. Tutaj podamy jedynie treść oraz dowód
lematu o macierzach (wedle pozycji [4]). W następnym paragrafie w podobny
sposób, wykorzystując analogiczne lematy i metody dowodowe udowodnimy
ogólniejsze twierdzenie o σ-otulaniu warunkowym.

Lemat 3.1.2 (Lemat o macierzach) Niech [a

i,j

]

n
i,j=1

będzie macierzą o wy-

razach rzeczywistych taką, że a

i,i

= 0 dla i = 1, . . . , n. Istnieje zbiór J ⊂

{1, 2, . . . , n} taki, że

X

i∈J,j6∈J

a

i,j

+

X

i6∈J,j∈J

a

i,j

­

1

2

n

X

i,j=1

a

i,j

.

Dowód :
Niech F : 2

{1,...,n}

→ R będzie funkcją zdefiniowaną w następujący sposób:

F (I) =

P

i∈I,j6∈I

a

i,j

+

P

i6∈I,j∈I

a

i,j

, dla I ⊂ {1, . . . , n}

Wybierzmy zbiór J ⊂ {1, 2, . . . , n}, który realizuje maksimum funkcji F,
to znaczy taki, że F (J ) = max{F (I) : I ⊂ {1, 2, . . . n}}. Należy pokazać, że
F (J ) ­

1
2

P

n
i,j=1

a

i,j

.

Dla k ∈ J mamy:

X

j6∈J

a

k,j

+

X

i6∈J

a

i,k

­

X

j∈J

a

k,j

+

X

i∈J

a

i,k

.

(7)

W przeciwnym razie, wykorzystując fakt, że a

k,k

= 0 mielibyśmy:

F (J ) =

X

i∈J,j6∈J

a

i,j

+

X

i6∈J,j∈J

a

i,j

=

X

i∈J \{k},j6∈J

a

i,j

+

X

i6∈J,j∈J \{k}

a

i,j

+

X

j6∈J

a

k,j

+

X

i6∈J

a

i,k

<

X

i∈J \{k},j6∈J

a

i,j

+

X

i6∈J,j∈J \{k}

a

i,j

+

X

j∈J

a

k,j

+

X

i∈J

a

i,k

=

X

i∈J \{k},j6∈J

a

i,j

+

X

i∈J \{k}

a

i,k

+

X

i6∈J,j∈J \{k}

a

i,j

+

X

j∈J \{k}

a

k,j

=

X

i∈J \{k},j6∈J \{k}

a

i,j

+

X

i6∈J \{k}j6∈J \{k}

a

i,j

= F (J \{k})

Czyli F (J ) < F (J \{k}), co jest sprzeczne z wyborem zbioru J.
Sumując teraz (7) po k ∈ J otrzymujemy:

F (J ) ­ 2

X

i,j∈J

a

i,j

.

(8)

Analogicznie dla k 6∈ J mamy:

X

j∈J

a

k,j

+

X

i∈J

a

i,k

­

X

j6∈J

a

k,j

+

X

i6∈J

a

i,k

(9)

Podobnie, sumując (9) po k 6∈ J otrzymujemy:

F (J ) ­ 2

X

i,j6∈J

a

i,j

(10)

Korzystając z nierówności (8) i (10) dostajemy:

1

2

n

X

i,j=1

a

i,j

=

1

2

(

X

i,j6∈J

a

i,j

+

X

i,j∈J

a

i,j

)+F (J )) ¬

1

2

(

1

2

F (J )+

1

2

F (J )+F (J )) = F (J ),

co kończy dowód.


3.2

Przykłady

Przykład 3.2.1 W twierdzeniu 3.1.1 uzupełnienie σ-ciała A względem miary
P jest konieczne. Istnieje przestrzeń (Ω, F , P ) oraz σ-ciała A, B ⊂ F takie,
że:

ρ(B, A) = 0,

zaś jedynym zbiorem Z ∈ A, dla którego zachodzi:

B\Z ⊂ A\Z,

10

jest cała przestrzeń Ω.
Rzeczywiście, niech:

Ω = [0, 1] × [0, 1],

F = Borel([0, 1] × [0, 1]),

P = λ

2

.

Wystarczy przyjąć:

A = {C × [0, 1];

C

lub

([0, 1]\C)

przeliczalny},

B = {C ⊂ [0, 1] × [0, 1];

C

lub

([0, 1] × [0, 1]\C)

przeliczalny}.

Wtedy

ρ(B, A) = 0. Rzeczywiście, jeśli zbiór B ∈ B jest przeliczalny, to

ma miarę 0, zatem za A wystarczy wziąć sumę odcinków {x

k

} × [0, 1], gdzie

x

k

, k ∈ N są rzutami punktów zbioru B na oś OX. Suma taka również ma

miarę 0 i zawiera zbiór A. Jeśli B ∈ B jest nieprzeliczalny to za A wystarczy
wziąć całą przestrzeń Ω. Jedynym zbiorem Z ∈ A takim, że B\Z ⊂ A\Z,
jest Z = [0, 1] × [0, 1]. Oczywiście B ⊂ A.


3.3

Twierdzenie o warunkowym otulaniu σ-ciał

W paragrafie tym, wykorzystując podobne metody jak w dowodzie twier-

dzenia 3.1.1, w pracy [4] udowodnimy ogólniejsze twierdzenie 3.3.3. Zgodnie
z definicją 2.1.10 mamy:

ρ

0

((B, A)|C) = sup

B∈B

inf

A∈AA⊃B

ess sup

ω∈Ω

(P ((A\B)|C))(ω))

Lemat 3.3.1 Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz
A, B, C ⊂ F będą σ-ciałami. Dla dowolnych parami rozłącznych zbiorów
B

1

, B

2

, . . . , B

n

∈ B takich, że

S

n
i=1

B

i

= Ω istnieją takie zbiory A

1

, A

2

, . . . , A

n

∈

A, że B

i

⊂ A

i

, dla i = 1, . . . , n oraz

P ((

n

[

i=1

(A

i

\B

i

))|C) ¬ 4ρ

0

((B, A)|C)

p.p.

Dowód :
Dla dowolnego zbioru B ∈ B niech B ∈ A oznacza dowolny ustalony element
σ-ciała A taki, że B ⊂ B oraz P ((B\B)|C) ¬ ρ

0

((B, A)|C) p.p.

Połóżmy:

A

i

=

\

I⊂{1,2,...,n},i∈I

[

j∈I

B

j

.

Oczywiście A

i

∈ A oraz B

i

⊂ A

i

dla i = 1, 2, . . . , n. Zachodzi również

S

i∈I

B

i

⊂

S

i∈I

A

i

⊂

S

i∈I

B

i

dla dowolnego I ⊂ {1, 2, . . . , n}. Stąd wynika,

11

że P ((

S

i∈I

A

i

\

S

i∈I

B

i

)|C) ¬ P ((

S

i∈I

B

i

\

S

i∈I

B

i

)|C) ¬ ρ

0

((B, A)|C) p.p. dla

I ⊂ {1, 2, . . . , n}.
Należy pokazać, że P ((

S

n
i=1

(A

i

\B

i

))|C) ¬ 4

ρ

0

((B, A)|C) p.p.

Z założenia, że

S

n
i=1

B

i

= Ω oraz B

i

∩ B

j

= ∅ dla j 6= i wynika, że:

n

[

i=1

(A

i

\B

i

) =

n

[

i=1

(A

i

∩

[

j6=i

B

i

) =

n

[

i=1

[

j6=i

(A

i

∩ B

j

).

Połóżmy:

C

i

j

=

(

∅

dla i=j,

B

j

∩ (A

i

\

S

k<i,k6=j

A

k

) dla i 6= j.

Zbiory C

i

j

są parami rozłączne, C

i

j

⊂ B

j

∩ A

i

oraz

S

n
i=1

C

i

j

= B

j

∩

S

i6=j

A

i

.

Przyjmując taką wersję prawdopodobieństwa warunkowego, dla której P (∅|C)(ω) =
0 dla ω ∈ Ω oraz stosując lemat 3.1.2 do macierzy [P (C

i

j

|C)(ω)]

n
i,j=1

dla do-

wolnego ω ∈ Ω uzyskujemy zbiór J

ω

⊂ {1, 2, . . . , n} taki, że:

2

X

i∈J

ω

,j6∈J

ω

P (C

i

j

|C)(ω) + 2

X

i6∈J

ω

,j∈J

ω

P (C

i

j

|C)(ω) ­

n

X

i,j=1

P (C

i

j

|C)(ω)

(11)

Dla dowolnego zbioru I ⊂ {1, 2, . . . , n} przyjmijmy:

F

I

=

n

ω : 2

X

i∈I,j6∈I

P (C

i

j

|C)(ω) + 2

X

i6∈I,j∈I

P (C

i

j

|C)(ω) ­

n

X

i,j=1

P (C

i

j

|C)(ω)

o

Z (11) wnioskujemy, że

S

I⊂{1,2,...,n}

F

I

= Ω. Dla ustalonego zbioru J ⊂

{1, 2, . . . , n} oraz dla prawie każdego ω ∈ F

J

mamy:

P ((

n

[

i=1

(A

i

\B

i

))|C)(ω) = P ((

n

[

i,j=1

C

i

j

)|C)(ω) ¬ 2P ((

n

[

i∈J,j6∈J

C

i

j

)|C)(ω)+

+2P ((

n

[

i6∈J,j∈J

C

i

j

)|C)(ω) ¬ 2P ((

n

[

i∈J,j6∈J

(A

i

∩ B

j

))|C)(ω)+

2P ((

n

[

i6∈J,j∈J

(A

i

∩ B

j

))|C)(ω) = 2P ((

[

i∈J

A

i

\

[

j∈J

B

j

)|C)(ω)+

+2P ((

[

i6∈J

A

i

\

[

j6∈J

B

j

)|C)(ω) ¬ 2ρ

0

((B, A)|C) + 2ρ

0

((B, A)|C) =

= 4ρ

0

((B, A)|C)

12

Ponieważ

S

J ⊂{1,2,...,n}

F

J

= Ω oraz istnieje jedynie skończona ilość podzbio-

rów J, więc:

P ((

n

[

i=1

(A

i

\B

i

))|C)(ω) ¬ 4ρ

0

((B, A)|C)

p.p.

Co było do okazania.


Lemat 3.3.2 Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, oraz
A, B, C ⊂ F będą σ-ciałami. Dla dowolnych zbiorów B

1

, B

2

, . . . ∈ B istnieje

zbiór Z ∈ A taki, że P (Z|C) ¬ 4ρ

0

((B, A)|C) p.p. oraz B

i

∪ Z ∈ A dla

dowolnego i ∈ N.

Dowód :
Niech k ∈ N oraz B

k

1

, B

k

2

, . . . , B

k

n

k

będą wszystkimi atomami σ-ciała σ(B

1

, B

2

, . . . , B

k

).

Zgodnie z lematem 3.3.1 istnieją zbiory A

k
1

, A

k
2

, . . . , A

k
n

k

∈ A takie, że

B

k

i

⊂ A

k
i

dla

k ∈ N,

1 ¬ i ¬ n

k

oraz

P ((

n

k

[

i=1

(A

k
i

\B

k

i

))|C) ¬ 4ρ

0

((B, A)|C)

p.p.

dla

k ∈ N.

(12)

Mamy:

[

i6=j, 1¬i,j¬n

k

(A

k
i

∩ A

k
j

) =

[

i6=j, 1¬i,j¬n

k

(((A

k
i

\B

k

i

) ∪ B

k

i

) ∩ ((A

k
j

\B

k

j

) ∪ B

k

j

))) =

[

i6=j, 1¬i,j¬n

k

(((A

k
i

\B

k

i

)∩(A

k
j

\B

k

j

))∪((A

k
i

\B

k

i

)∩B

k

j

)∪((A

k
j

\B

k

j

)∩B

k

i

)∪(B

k

j

∩B

k

i

)) ⊂

[

i6=j, 1¬i,j¬n

k

((A

k
i

\B

k

i

) ∪ (A

k
i

∩ B

k

j

) ∪ (A

k
j

∩ B

k

i

)) =

n

k

[

i=1

(A

k
i

\B

k

i

)

Oczywiście zawieranie w drugą stronę również zachodzi, zatem reasumując:

n

k

[

i=1

(A

k
i

\B

k

i

) =

[

i6=j, 1¬i,j¬n

k

(A

k
i

∩ A

k
j

).

(13)

Niech

D

k

n

=

[

i:B

k

i

⊂B

n

A

k
i

∩

[

j:B

k

j

∩B

n

=∅

A

k
j

,

dla n ¬ k.

13

Oczywiście D

k

n

∈ A. Z (13) wynika, że

D

k

n

⊂

n

k

[

i=1

(A

k
i

\B

k

i

).

(14)

Mamy:

B

n

=

[

i:B

k

i

⊂B

n

B

k

i

⊂

[

i:B

k

i

⊂B

n

A

k
i

(15)

oraz

B

n

∪

[

j:B

k

j

∩B

n

=∅

A

k
j

⊃ B

n

∪

[

j:B

k

j

∩B

n

=∅

B

k

j

= B

n

∪ B

c

n

= Ω.

(16)

Wykorzystując (15) i (16) otrzymujemy:

B

n

∪ D

k

n

= B

n

∪ (

[

i:B

k

i

⊂B

n

A

k
i

∩

[

j:B

k

j

∩B

n

=∅

A

k
j

) =

= (B

n

∪

[

i:B

k

i

⊂B

n

A

k
i

) ∩ (B

n

∪

[

j:B

k

j

∩B

n

=∅

A

k
j

) =

=

[

i:B

k

i

⊂B

n

A

k
i

∩ Ω =

[

i:B

k

i

⊂B

n

A

k
i

∈ A

(17)

Połóżmy:

Z =

[

n∈N

\

k­n

D

k

n

∈ A.

Z faktu, że Z = Z ∪

T

k­n

D

k

n

oraz z (17) otrzymujemy:

B

n

∪ Z = Z ∪

\

k­n

(B

n

∪ D

k

n

) ∈ A,

dla n ∈ N.

Pozostało pokazać, że P (Z|C) ¬ 4

ρ

0

((B, A)|C).

Istotnie, wykorzystując (12) i (14) otrzymujemy:

P (Z|C) = P ((

[

n∈N

\

k­n

D

k

n

)|C) = lim

N →∞

P ((

N

[

n=1

\

k­n

D

k

n

)|C) ¬ lim inf

N →∞

P ((

N

[

n=1

D

N

n

)|C)

¬ lim inf

N →∞

P ((

n

N

[

n=1

(A

N
n

\B

N

n

))|C) ¬ 4ρ

0

((B, A)|C)

p.p.



14

Przejdźmy teraz do dowodu następującego twierdzenia będącego uogólnie-
niem twierdzenia 3.1.1:

Twierdzenie 3.3.3 Niech A, B, C ⊂ F będą σ-ciałami. Istnieje zbiór Z ∈ A
taki, że:

P (Z|C) ¬ 4ρ

0

((B, A)|C)

p.p.

oraz

B\Z ⊂ A\Z

Dowód :
Niech B = {B

α

:

α ∈ I}, dla pewnego zbioru indeksów I.

Niech 

α

=inf{P (D) :

D ∈ A, B

α

∪ D ∈ A}. Dla dowolnego α ∈ I i k ∈ N

rozważmy zbiory D

α,k

takie, że D

α,k

, B

α

∪ D

α,k

∈ A oraz P (D

α,k

) < 

α

+

1
k

.

Przyjmijmy teraz D

α

=

T

k­1

D

α,k

. Ponieważ B

α

∪ D

α

∈ A, więc:

P (D

α

) = 

α

,

D

α

, B

α

∪ D

α

∈ A.

Niech relacja ≺ ustanawia dobry porządek w zbiorze I. Za pomocą zasady
indukcji pozaskończonej zdefiniujemy rodzinę (G

j

, j ∈ I) ⊂ A spełniającą

następujące warunki:

P (G

j

) = 

j

,

G

j

∈ A, B

j

∪ G

j

∈ A,

(18)

[

k≺j

G

k

∈ A,

(19)

G

j

\

[

k≺j

G

k

= ∅

lub

P (G

j

\

[

k≺j

G

k

) > 0.

(20)

Niech α

0

będzie piewszym elementem dobrze uporządkowanego zbioru I.

Przyjmijmy G

α

0

= D

α

0

, jeśli P (D

α

0

) > 0 oraz G

α

0

= ∅, jeśli P (D

α

0

) = 0. Nie-

trudno zauważyć, zbiór G

α

0

spełnia warunki (18)-(20). Załóżmy, że warunki

(18)-(20) są spełnione dla zbiorów G

j

przy j ≺ i dla pewnego i ∈ I. Istnieje

co najwyżej przeliczalna liczba indeksów i takich, że P (G

i

\

S

k≺i

G

k

) > 0.

Połóżmy:

G

i

= D

i

,

jeśli

P (D

i

\

[

k≺i

G

k

) > 0,

(21)

G

i

= D

i

∩

[

k≺i

G

k

,

jeśli

P (D

i

\

[

k≺i

G

k

) = 0.

(22)

15

Powyższa definicja jest poprawna, gdyż:

[

j≺i

G

j

=

[

j≺i

(G

j

\

[

k≺j

G

k

) =

[

j≺i

P (Gj \

S

k≺j

Gk)>0

(G

j

\

[

k≺j

G

k

) ∈ A.

(23)

Oczywiście:

B

i

∪ D

i

∈ A

oraz

B

i

∪ (D

i

∩

[

k≺i

G

k

) = (B

i

∪ D

i

)\((D

i

\

[

k≺i

G

k

)\B

i

) ∈ A

Zatem z powyższego oraz z definicji zbioru G

i

wynika, że warunek (18) jest

spełniony również dla liczby porządkowej i. Warunek (19) wynika wprost z
(23), zaś (20) z definicji zbioru G

i

. Zbiór Z definujemy w następujący sposób:

Z =

[

j∈I

G

j

=

[

j∈I

Gj \

S

k≺j

Gk6=∅

G

j

.

(24)

Z określenia rodziny (G

j

, j ∈ I) wnioskujemy, że istnieje co najwyżej przeli-

czalna ilość indeksów j ∈ I spełniających warunek G

j

\

S

k≺j

G

k

6= ∅, zatem

Z ∈ A.
Wprost z określenia zbioru Z i rodziny (G

j

, j ∈ I) otrzymujemy, że B\Z ⊂

A\Z. Pozostaje pokazać, że P (Z|C) ¬ 4ρ

0

((B, A)|C).

Zgodnie z lematem 3.3.2 istnieje zbiór Z

0

∈ A taki, że B

j

∪ Z

0

∈ A,

P (Z

0

|C) ¬ 4ρ

0

((B, A)|C), dla j takich, że G

j

\

S

k≺j

G

k

6= ∅.

Niech j ∈ {j :

G

j

\

S

k≺j

G

k

6= ∅}. Z określenia D

j

, jako zbiorów o minimal-

nym prawdopodobieństwie spełniających warunek D

j

, B

j

∪ D

j

∈ A, mamy

P (D

j

) = P (D

j

∩ Z

0

). Z (21) i (22) wnioskujemy, że P (G

j

) = P (G

j

∩ Z

0

).

Ostatecznie otrzymujemy:

P (Z|C) = P (

[

j∈I

Gj \

S

k≺j

Gk6=∅

G

j

|C) = E(1

S

j∈I,Gj \

S

k≺j

Gk6=∅

G

j

|C) =

= E(1

S

j∈I,Gj \

S

k≺j

Gk6=∅

G

j

∩Z

0

|C) = P (

[

j∈I

Gj \

S

k≺j

Gk6=∅

G

j

∩ Z

0

|C) ¬

¬ 4ρ

0

((B, A)|C)

p.p.



Zauważmy, że twierdzenie 3.1.1 otrzymujemy z 3.3.3 podstawiając C = {∅, Ω}.

16

3.4

Przykłady

Przykład 3.4.1 W tezie twierdzenia 3.3.3 uzupełnienie σ-ciała A względem
miary P jest konieczne. Rzeczywiście, przyjmując Ω, A, B, F oraz miarę P
tak jak w przykładzie 3.2.1, oraz σ-ciało C = {∅, Ω} otrzymujemy:

ρ

0

((B, A)|C) = 0

p.p.,

zaś jedynym zbiorem Z ∈ A takim, że:

B\Z ⊂ A\Z,

jest cała przestrzeń Ω.


3.5

Twierdzenie o przybliżaniu σ-ciał

W paragrafie tym ograniczymy się do przedstawienia twierdzenia udo-

wodnionego w pracy [4]. Będzie nam ono potrzebne w następnych paragrafach
do udowodnienia pewnych zależności pomiędzy σ -przybliżaniem, a odległo-
ścią operatorów w L

p

. Zgodnie z definicją 2.1.7 mamy:

ρ(B, A) = sup

B∈B

inf

A∈A

P (A4B)

Twierdzenie 3.5.1 Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną,
A, B ⊂ F σ-ciałami. Jeżeli ρ(B, A) < , to istnieje zbiór Z ∈ σ(A, B) taki,

że P (Z) < 22, oraz B\Z ⊂ A

(F ,P)

\Z.

3.6

Przykłady

Przykład 3.6.1 W twierdzeniu 3.5.1 nie wystarczy uzupełnić σ-ciała A wzglę-
dem miary P . Istnieje przestrzeń (Ω, F , P ) oraz takie σ-ciała A, B, że:

ρ(B, A) = 0,

zaś dla każdego zbioru Z ∈ σ(A, B) takim, że:

B\Z ⊂ A\Z,

(25)

zachodzi P (Z) = 1.
Rzeczywiście, niech:

Ω = [0, 1],

F = Borel([0, 1]).

17

Wystarczy przyjąć:

A = {∅, Ω},

B = {B :

B

przeliczalny

lub

B

c

przeliczalny}.

Oczywiście ρ(B, A) = 0,

A = A, B ⊂ A

(F ,P )

. Jednak B\Z ⊂ A\Z jedynie

dla Z = Ω lub Z = Ω\{ω} dla pewnego ω ∈ Ω.



18

4

Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o.

4.1

Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o.

W paragrafie tym podamy wnioski dla odległości operatorów w.w.o. wy-

nikające z twierdzeń o otulaniu i przybliżaniu σ-ciał. Dowody głównych twier-
dzeń poprzedzimy serią lematów.

Lemat 4.1.1 Jeśli X ∈ L

∞

(Ω, F , P ), |X| ¬ 1 p.p. dla pewnych A, B ∈ F ,

to |

R

A

XdP −

R

B

XdP | ¬ P (A 4 B).

Dowód :

|

Z

A

XdP −

Z

B

XdP | = |

Z

A\B

XdP −

Z

B\A

XdP | ¬

Z

A4B

|X|dP ¬ P (A 4 B).



Lemat 4.1.2 Niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami, Z ⊂ Ω. Jeśli A\Z = B\Z,
to σ(A, B)\Z = A\Z = B\Z.

Dowód :

Oznaczmy:

M = {(A\Z) ∪ C : A ∈ A, C ⊂ Z}.

M jest σ-ciałem. Rzeczywiście:
1.

∅ ∈ M (Za A i C wystarczy wziąć ∅)

2.

Niech D ∈ M, czyli D = (A\Z) ∪ C, dla pewnych A ∈ A, C ⊂ Z.

Wtedy D

c

= (A

c

∪ Z) ∩ C

c

= (A

c

\C) ∪ (Z\C) = (A

c

\Z) ∪ (Z\C) ∈ M

3.

Niech D

1

, D

2

, . . . ∈ M, czyli D

i

= (A

i

\Z) ∪ C

i

,

C

i

⊂ Z i ∈ N.

Mamy

S

i∈N

D

i

= (

S

i∈N

A

i

\Z) ∪

S

i∈N

C

i

∈ M.

Oczywiście A ⊂ M. (Dla dowolnego zbioru D ∈ A przyjmujemy A = D, C =
Z ∩ A).
Niech B ∈ B, wtedy istnieje D ∈ A takie, że D\Z = B\Z.
Stąd przyjmując A = D, C = B ∩ Z otrzymujemy, że B ⊂ M. Reasumu-
jąc A, B ⊂ M, a ponieważ M jest σ-ciałem, więc σ(A, B) ⊂ M. Zatem
σ(A, B)\Z ⊂ M\Z = A\Z = B\Z. Z faktu, że A, B ⊂ σ(A, B) wynika, że
A\Z, B\Z ⊂ σ(A, B)\Z. Ostatecznie σ(A, B)\Z = A\Z = B\Z.


Lemat 4.1.3 Niech X, Y, V ∈ L

∞

(Ω, F , P ), oraz |X|, |Y |, |V | ¬ 1 p.p. Jeśli

A, B ⊂ F , oraz spełnione są warunki:
1.

A\Z = B\Z, dla pewnego Z ∈ F

2.

Dla dowolnych zbiorów B ∈ B, A ∈ A zachodzą równości

R

B

XdP =

R

B

V dP i

R

A

Y dP =

R

A

V dP , to:

|

Z

D

XdP −

Z

D

Y dP | ¬ 3P (Z),

dla dowolnego

D ∈ σ(A, B).

Dowód :
Niech D ∈ σ(A, B). Zgodnie z lematem 4.1.2 istnieją zbiory B ∈ B oraz
A ∈ A takie, że D\Z = B\Z = A\Z. Korzystając z lematu 4.1.1 otrzymu-
jemy:

|

Z

D

XdP −

Z

D

Y dP | = |

Z

B\Z

XdP −

Z

A\Z

Y dP +

Z

D∩Z

XdP −

Z

D∩Z

Y dP | =

= |

Z

B

XdP −

Z

B∩Z

XdP −

Z

A

Y dP +

Z

A∩Z

Y dP +

Z

D∩Z

XdP −

Z

D∩Z

Y dP | ¬

¬ |

Z

B

V dP −

Z

A

V dP | + |

Z

B∩Z

XdP −

Z

D∩Z

XdP |+

+|

Z

A∩Z

Y dP −

Z

D∩Z

Y dP | ¬ 3P (Z)



Lemat 4.1.4 Niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami. Jeśli istnieją zbiory
Z

1

∈ σ(A, B), Z

2

∈ σ(B, A) takie, że P (Z

1

), P (Z

2

) ¬  oraz

B\Z

1

⊂ A

(F ,P )

\Z

1

, A\Z

2

⊂ B

(F ,P )

\Z

2

, to istnieje zbiór Z ∈ σ(B

(F ,P )

, A

(F ,P )

)

taki, że P (Z) ¬ 2 oraz B

(F ,P )

\Z = A

(F ,P )

\Z.

Dowód :
Niech Z = Z

1

∪ Z

2

. Oczywiście Z ∈ σ(B

(F ,P )

, A

(F ,P )

) oraz P (Z) ¬ 2.

Pozostaje pokazać, że:

B

(F ,P )

\Z = A

(F ,P )

\Z.

Ponieważ B\Z

1

⊂ A

(F ,P )

\Z

1

oraz Z

1

⊂ Z, więc:

B\Z ⊂ A

(F ,P )

\Z.

(26)

Niech C ∈ B

(F ,P )

, czyli istnieje taki zbiór C

1

∈ B, że:

P (C

1

4 C) = 0.

20

Z (26) wynika, że C

1

\Z ∈ A

(F ,P )

\Z. Zatem istnieje taki zbiór A ∈ F , że

C

1

\Z = A\Z oraz A

1

∈ A taki, że P (A4A

1

) = 0. Ponieważ dla dowolnego

zbioru D ∈ F mamy:

P (A

1

4A) + P (A4D) ­ P (A

1

4D),

więc wystarczy teraz znaleźć D ∈

F taki, że P (D4A) = 0 oraz D\Z = C\Z.

Połóżmy:

D = ((C ∩ A) ∪ (C\C

1

))\Z ∪ (A ∩ Z) ∈ F .

Korzystając z faktu, że C

1

\Z = A\Z, mamy:

D\Z = ((C ∩ A) ∪ (C\C

1

))\Z = (C ∩ A)\Z ∪ (C\C

1

)\Z =

= C ∩ (A\Z) ∪ (C\C

1

)\Z = C ∩ (C

1

\Z) ∪ (C\C

1

)\Z =

= (C ∩ C

1

∪ C\C

1

)\Z = C\Z.

(27)

Dalej:

D 4 A = (((C ∩ A) ∪ (C\C

1

))\Z ∪ (A ∩ Z)) 4 A =

= (((C ∩ A) ∪ (C\C

1

))\Z ∪ (A ∩ Z)) 4 (A\Z ∪ A ∩ Z) =

= ((C ∩ A) ∪ (C\C

1

))\Z 4 (A\Z) =

= (((C ∩ A) ∪ (C\C

1

)) 4 A)\Z =

= (((C ∩ A) ∪ (C\C

1

) ∪ A)\(((C ∩ A) ∪ (C\C

1

)) ∩ A))\Z =

= ((A∪(C\C

1

))\((A∩C)∪(A∩(C\C

1

))))\Z = ((A∪(C\C

1

))\(A∩C))\Z =

= ((A\C) ∪ (A

c

∩ (C\C

1

)))\Z =

= (A

c

∩ (C\C

1

))\Z ∪ (A\C)\Z =

= (A

c

∩ (C\C

1

))\Z ∪ (C

1

\C)\Z.

Oczywiście ze względu na P (C

1

4 C) = 0 mamy P (C

1

\C) = 0

oraz P (C\C

1

) = 0, stąd:

P (A 4 D) ¬ P ((A

c

∩ (C\C

1

))\Z) + P ((C

1

\C)\Z) ¬

¬ 2P (C\C

1

) + P (C\C

1

) = 0.

Reasumując P (A

1

4 D) = 0. Stąd wynika, że D ∈ A

(F ,P )

, co wobec (27)

daje:

C\Z ∈ A

(F ,P )

\Z.

21

Pokazaliśmy więc, że

B

(F ,P )

\Z ⊂ A

(F ,P )

\Z.

Analogicznie pokazujemy zawieranie w drugą stronę, otrzymując ostatecznie
tezę lematu:

B

(F ,P )

\Z = A

(F ,P )

\Z.



Twierdzenie 4.1.5 Jeśli ρ(A, B) < , ρ(B, A) <  oraz E

A

, E

B

: L

∞

→ L

1

,

to:

||E

A

− E

B

||

∞,1

¬ 264.

Dowód :
Zgodnie z twierdzeniem 3.5.1 istnieją zbiory Z

1

∈ σ(A, B), Z

2

∈ σ(B, A)

takie, że:

P (Z

1

), P (Z

2

) ¬ 22,

B\Z

1

⊂ A

(F ,P )

\Z

1

, A\Z

2

⊂ B

(F ,P )

\Z

2

.

Korzystając teraz z lematu 4.1.3 otrzymujemy zbiór Z ∈ σ(B

(F ,P )

, A

(F ,P )

)

taki, że:

P (Z) ¬ 44,

B

(F ,P )

\Z = A

(F ,P )

\Z.

Weźmy teraz dowolne X ∈ L

∞

(Ω, F , P ) takie, że |X| ¬ 1 p.p. Zgodnie z

własnością 2.2.4

|E(X|A)| ¬ 1 p.p.,

|E(X|B)| ¬ 1 p.p.

Oczywiście

R

B

E(X|B)dP =

R

B

XdP ,

R

A

E(X|A)dP =

R

A

XdP , dla dowol-

nych B ∈ B, A ∈ A. Z definicji uzupełnienia wynika, że jest to również

prawda dla zbiorów B ∈ B

(F ,P )

i A ∈ A

(F ,P )

.

Zauważmy jeszcze, że zbiory:

D

1

= {ω ∈ Ω :

E(X|A)(ω) ¬ E(X|B)(ω)}

D

2

= {ω ∈ Ω :

E(X|A)(ω) > E(X|B)(ω)}

należą do sigma ciała σ(A, B).
Mamy:

Z

Ω

|E(X|B)−E(X|A)|dP =

Z

D

1

(E(X|B)−E(X|A))dP +

Z

D

2

(E(X|A)−E(X|B))dP.

22

Stosując teraz lemat 4.1.3 dla zbiorów D

1

, D

2

, zmiennych losowych E(X|A),

E(X|B), X oraz σ-ciał B

(F ,P )

i A

(F ,P )

otrzymujemy:

Z

D

1

(E(X|B) − E(X|A))dP ¬ 3P (Z) ¬ 132

oraz

Z

D

2

(E(X|A) − E(X|B))dP ¬ 3P (Z) ¬ 132.

Sumując nierówności stronami, z dowolności X dostajemy tezę twierdzenia,
czyli:

||E

A

− E

B

||

∞,1

¬ 264



Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika następujący wniosek:

Wniosek 4.1.6 Jeśli E

A

, E

B

: L

∞

→ L

1

, to:

||E

A

− E

B

||

∞,1

¬ 264 max(ρ(B, A), ρ(A, B)).

4.2

Przykłady

Przykład 4.2.1 Twierdzenie 4.1.5 nie jest prawdziwe, jeśli będziemy rozpa-
trywać normę || · ||

1,1

. Więcej, dla dowolnego 0 <  <

1
2

istnieje przestrzeń

(Ω, F , P ) oraz σ-ciała A, B ∈ F takie, że ρ(A, B) ¬  oraz ρ(B, A) ¬ , a
jednocześnie:

||E

A

− E

B

||

1,1

> 1.

Przyjmijmy:

Ω = [0, 1],

P = λ

1

,

F = B([0, 1])

oraz

A = {∅, [0,

1

2

], (

1

2

, 1], Ω}

B = {∅, [0,

1

2

+ ], (

1

2

+ , 1], Ω}.

Oczywiście ρ(A, B) =  oraz ρ(B, A) = . Niech Z = [

1
2

,

1
2

+ ], A = [

1
2

, 1],

B = [0,

1
2

+ ]. Określmy X ∈ L

1

(Ω, F , P ) następującym wzorem:

X =

1



1

Z

.

Wprost z określenia E|X| =

R

Z

XdP = 1. Jednocześnie:

Z

Ω

|E

A

X − E

B

X|dP =

Z

Ω

|1

A

1

P (A)

Z

A

XdP − 1

B

1

P (B)

Z

B

XdP |dP =

23

= 1 − 2 +

1

1 + 2

+ 

4

1 + 2

= 1 − 2 +

4

2

+ 1

2 + 1

> 1.

Przykład 4.2.2 Przyjmijmy Ω = [0, 1],

P = λ

1

,

F = B([0, 1]). Niech

0 < 

n

<

1
2

oraz 

n

< δ będą liczbami rzeczywistymi.

A = {∅, [0,

1

2

], (

1

2

, 1], Ω}

A

n

= {∅, [0,

1

2

+ 

n

], (

1

2

+ 

n

, 1], Ω}.

Oczywiście ρ(A, A

n

) ¬ 

n

oraz ρ(A

n

, A) ¬ 

n

. Niech Z = [

1
2

,

1
2

+ δ], A =

[

1
2

, 1], A

n

= [0,

1
2

+ 

n

]. Określmy X ∈ L

1

(Ω, F , P ) następującym wzorem:

X = M 1

Z

,

M ∈ R

+

.

Zauważmy, że założenia są podobne do założeń w przykładzie 4.2.1, jednak
zamiast σ-ciała B mamy σ-ciało A

n

. Nietrudno obliczyć, że

E

A

X = 2δM 1

A

,

E

A

n

X = M

2

n

1 + 2

n

1

A

n

+ M

2(δ − 

n

)

1 − 2

n

1

A

c

n

.

Jeśli teraz 

n

→ 0 to E

A

n

X → E

A

X p.p. W paragrafie 4 udowodnimy ogólną

zależność pomiędzy zbieżnością σ-ciał, a prawie pewną zbieżnością w.w.o.


4.3

Wnioski z twierdzenia o odległości operatorów

Wniosek 4.3.1 Jeśli ρ(A, B) < , ρ(B, A) < , oraz E

A

, E

B

: L

∞

→ L

p

, dla

p ­ 1, to:

||E

A

− E

B

||

∞,p

¬ 2

1−

1
p

(264)

1
p

Dowód :
Weźmy dowolne X ∈ L

∞

(Ω, F , P ) takie, że |X| ¬ 1 p.p. Zgodnie z własnością

2.2.4

|E(X|A)| ¬ 1 p.p.,

|E(X|B)| ¬ 1 p.p.

Stąd i z twierdzenia 4.1.5 otrzymujemy:



Z

Ω

|E

A

X − E

B

X|

p



1
p

dP = 2

 

Z

Ω



|E

A

X − E

B

X|

2



p

!

1
p

dP ¬

24

¬ 2

 

Z

Ω

|E

A

X − E

B

X|

2

!

1
p

dP ¬ 2

1−

1
p

(264)

1
p



Wniosek 4.3.2 Jeśli

ρ(A, B) ¬ , ρ(B, A) ¬  oraz E

A

, E

B

: L

∞

→ L

p

, to:

||E

A

− E

B

||

∞,p

¬ 2

1−

1
p

(48)

1
p

W szczególności, gdy p = 1:

||E

A

− E

B

||

∞,1

¬ 48

Dowód :
Zgodnie z twierdzeniem 3.1.1 istnieją zbiory Z

1

∈ A, Z

2

∈ B takie, że:

P (Z

1

), P (Z

2

) ¬ 4,

B\Z

1

⊂ A\Z

1

, A\Z

2

⊂ B\Z

2

.

Postępując analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 4.1.5 otrzymujemy tezę.



25

5

Zbieżność warunkowych wartości oczekiwa-
nych, a zbieżność σ-ciał w metryce ˜

d

5.1

Metryka ˜

d

Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś F rodziną wszyst-

kich pod-σ-ciał F . W rodzinie F wprowadzamy następującą relację r:

ArB

⇔

A

(F ,P )

= B

(F ,P )

,

A, B ∈ F .

Relacja r jest relacją równoważności w zbiorze F, dzieli go zatem na klasy
abstrakcji. W dalszym ciągu pisząc "σ-ciało" będziemy mieli na myśli dowol-
nego reprezentanta klasy abstrakcji wyznaczonej przez to σ-ciało oraz relację
r. Niech F

0

= {[F ] :

F ∈ F}. Zgodnie z przyjętą konwencją elementy F

0

będę

nazywał σ-ciałami. Rozważmy następującą funkcję ˜

d : F

0

× F

0

→ R

+

∪ {0}:

˜

d(A, B) = max(ρ(A, B), ρ(B, A)).

Oczywiście ρ(A, B) = ρ(A

(F ,P )

, B

(F ,P )

), zatem funkcja ρ jest poprawnie zde-

finiowana.
Funkcja ˜

d jest metryką w F. Oczywiście:

∀

A,B∈F

0

˜

d(A, B) ­ 0.

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A = B. Rzeczywiście, jeśli ˜

d(A, B) =

0 to z lematu 4.1.4 oraz twierdzenia 3.5.1 wynika, że A = B. Oczywiście im-
plikacja w drugą stronę również zachodzi. Wprost z definicji wynika, że:

∀

A,B∈F

0

˜

d(A, B) = ˜

d(B, A).

Pozostaje pokazać, że ˜

d spełnia warunek trójkąta. Weźmy dowolne sigma

ciała A, B, C ∈ F

0

, oraz  > 0. Mamy:

∀

>0,A∈A

∃

C∈C

P (A4C) < ˜

d(A, C) +



2

(28)

Teraz dla dobranego uprzednio  oraz znalezionego zbioru C istnieje zbiór
B ∈ B taki, że:

P (B4C) < ˜

d(B, C) +



2

(29)

Dodając nierówności (28) i (29) stronami otrzymujemy:

P (A4C) + P (C4B) < ˜

d(A, C) + ˜

d(C, B) + .

(30)

Dla dowolnych zbiorów A, B, C mamy:

(A4C) ∪ (C4B) = (A ∪ B)\C ∪ C\(A ∩ B) ⊃

⊃ (A ∪ B)\(A ∩ B) = A4B

Stąd i z (30) otrzymujemy:

∀

>0,A∈A

∃

B∈B

P (A4B) < ˜

d(A, C) + ˜

d(C, B) + 

(31)

Postępując analogicznie otrzymujemy:

∀

>0,B∈B

∃

A∈A

P (A4B) < ˜

d(B, C) + ˜

d(C, A) + 

(32)

Warunki (31) i (32) mówią nam odpowiednio, że:

ρ(A, B) ¬ ˜

d(A, C) + ˜

d(C, B)

oraz

ρ(B, A) ¬ ˜

d(B, C) + ˜

d(C, A)

Reasumując:

˜

d(A, B) ¬ ˜

d(A, C) + ˜

d(C, B)

Zatem ˜

d jest metryką.

Zbadamy teraz zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych względem σ-
ciał zbieżnych w metryce ˜

d.

5.2

Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a
zbieżność σ-ciał w metryce ˜

d

Twierdzenie 5.2.1 Niech X ∈ L

∞

(Ω, F , P ), A, A

n

∈ F

0

, dla n ∈ N. Jeśli

lim

n→∞

˜

d(A, A

n

) = 0 to:

E(X|A

n

)

n→∞

−→ E(X|A)

w L

p

,

dla dowolnego p ­ 1.

Dowód :
Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że |X| ¬ 1 p.p. Jeśli lim

n→∞

˜

d(A, A

n

) =

0 to istnieje ciąg 

n

zbieżny do zera taki, że:

ρ(A

n

, A) < 

n

ρ(A, A

n

) < 

n

Korzystając z wniosku (4.3.1) otrzymujemy nierówność:

||E

A

n

− E

A

||

∞,p

¬ 2

1−

1
p

(264

n

)

1
p

27

Zatem z założenia |X| ¬ 1 p.p. wynika, że

||E(X|A

n

) − E(X|A)||

p

¬ 2

1−

1
p

(264

n

)

1
p

Stąd i ze zbieżności 

n

do zera otrzymujemy tezę.



Z podanego twierdzenia wynika zbieżność w.w.o. według prawdopodobień-
stwa. Powstaje pytanie, czy ciąg jest również zbieżny prawie pewnie? Okazuje
się, że pewne wzmocnienie założeń daje zbieżność prawie pewną.

Twierdzenie 5.2.2 Niech X ∈ L

∞

(Ω, F , P ), A, A

n

∈ F

0

, d

n

= ˜

d(A, A

n

),

dla n ∈ N. Jeśli

P

∞
n=1

d

n

< ∞, to:

E(X|A

n

)

n→∞

−→ E(X|A)

p.p.

Dowód :
Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że |X| ¬ 1 p.p. Weźmy dowolny
 > 0. Mamy:

P (|E(X|A

n

) − E(X|A)| ­ ) =

Z

{|E(X|A

n

)−E(X|A)|­)}

dP ¬

¬

Z

{|E(X|A

n

)−E(X|A)|­)}

|E(X|A

n

) − E(X|A)|dP ¬ ||E

A

− E

A

n

||

∞,1

.

Korzystając teraz z twierdzenia 4.1.5 otrzymujemy:

P



|E(X|A

n

) − E(X|A)| ­ 



¬

264d

n



.

(33)

Ponieważ z założenia mamy

P

∞
n=1

d

n

< ∞, więc korzystając z (33) i z lematu

Borela-Cantelliego mamy dla dowolnego  > 0:

P



lim sup

n∈N

{|E(X|A

n

) − E(X|A)| ­ }



= 0,

co jest równoważne:

P



lim inf

n∈N

{|E(X|A

n

) − E(X|A)| < }



= 1.

Czyli:

P



lim sup

n∈N

|E(X|A

n

) − E(X|A)| ¬ 



= 1.

Zatem z dowolności :

E(X|A

n

)

n→∞

−→ E(X|A) p.p.


Na koniec podamy uogólnienie twierdzenia 5.2.1.

28

Twierdzenie 5.2.3 Niech X ∈ L

1

(Ω, F , P ), A, A

n

∈ F

0

, dla n ∈ N. Jeśli

lim

n→∞

˜

d(A, A

n

) = 0 to:

E(X|A

n

)

n→∞

−→ E(X|A)

w L

1

.

Dowód :
Niech X ∈ L

1

(Ω, F , P ). Rozważmy następujące ciągi zmiennych losowych:

X

0

k

= X1

X¬k

oraz

X

k

= X1

X>k

Dla dowolnego k ∈ N zachodzi: X

k

+ X

0

k

= X, X

k

∈ L

1

(Ω, F , P ) oraz

X

0

k

∈ L

∞

(Ω, F , P ). Stąd i z określenia X

k

mamy:

∀

>0

∃

k

0

­1

∀

k­k

0

Z

Ω

|X

k

|dP ¬ .

(34)

Korzystając z twierdzenia 5.2.1 dla p=1 i zmiennej losowej X

0

k

otrzymujemy:

∀

>0,k∈N

∃

n

0

­1

∀

n­n

0

Z

Ω

|E(X

0

k

|A

n

) − E(X

0

k

|A)|dP ¬ .

(35)

Weźmy dowolny  > 0. Zgodnie z (34) dla

1
4

 istnieje takie k

0

, że:

Z

Ω

|X

k

0

|dP ¬

1

4

,

(36)

zaś zgodnie z (35) dla

1
2

 istnieje takie n

0

, że dla n ­ n

0

:

Z

Ω

|E(X

0

k

0

|A

n

) − E(X

0

k

0

|A)|dP ¬

1

2

.

(37)

Wykorzystując (36) i (37) otrzymujemy, dla n ­ n

0

:

Z

Ω

|E(X|A

n

) − E(X|A)|dP ¬

Z

Ω

|E(X

0

k

0

|A

n

) − E(X

0

k

0

|A)|dP +

+

Z

Ω

|E(X

k

0

|A

n

) − E(X

k

0

|A)|dP ¬

1

2

 + 2

Z

Ω

|X

k

0

|dP ¬ .

Czyli reasumując:

∀

>0

∃

n

0

­1

∀

n­n

0

Z

Ω

|E(X|A

n

) − E(X|A)|dP ¬ .



Wykorzystując podobą metodę dowodową można udowodnić następujące twier-
dzenie:

29

Twierdzenie 5.2.4 Niech X ∈ L

1

(Ω, F , P ), A, A

n

∈ F

0

, dla n ∈ N. Jeśli

lim

n→∞

˜

d(A, A

n

) = 0 to:

E(X|A

n

)

n→∞

−→ E(X|A) w L

p

,

dla

p ­ 1.

Dowód :
Analogiczny do dowodu twierdzenia 5.2.3, należy jedynie w końcowych sza-
cowaniach, skorzystać z nierówności Minkowskiego.

5.3

Przykłady

Przykład 5.3.1 Rozpatrzmy przykład analogiczny do 4.2.2.
Niech Ω = [0, 1],

P = λ

1

oraz

A = {∅, [0,

1

2

], (

1

2

, 1], Ω}

A

n

= {∅, [0,

1

2

+ d

n

], (

1

2

+ d

n

, 1], Ω}.

Oczywiście ρ(A, A

n

) ¬ d

n

oraz ρ(A

n

, A) ¬ d

n

. Niech Z = [

1
2

,

1
2

+ δ], A =

[

1
2

, 1], A

n

= [0,

1
2

+ d

n

]. Określmy X ∈ L

1

(Ω, F , P ) następującym wzorem:

X = M 1

Z

,

M ∈ R

+

.

Jak udowodniliśmy w przykładzie 4.2.2

E(X|A

n

)

n→∞

−→ E(X|A)

p.p.

Nie muszą być jednak spełnione założenia twierdzenia 5.2.2. Wystarczy przy-
jąć d

n

=

1

n

.



Przykład 5.3.2
W twierdzeniu 5.2.2 założenie

P

∞
n=1

˜

d(A, A

n

) =

P

∞
n=1

d

n

< ∞ jest istotne,

nie wystarczy by lim

n→∞

d

n

= 0.

Rozpatrzmy następujący ciąg przedziałów:

B

n

= [

1

2

+

n

X

k=1

1

k

,

1

2

+

n+1

X

k=1

1

k

),

dla

n = 3, . . . , N

1

− 1,

gdzie N

1

jest indeksem takim, że:

1

2

+

N

1

X

k=1

1

k

< 1

oraz

1

2

+

N

1

+1

X

k=1

1

k

> 1

30

Zbiór B

N

1

definiujemy następująco:

B

N

1

= [

1

2

+

N

1

X

k=1

1

k

, 1).

Konstrukcję zbiorów B

n

kontynuujemy następująco:

B

n

= [

1

2

+

n

X

k=N

1

+1

1

k

,

1

2

+

n+1

X

k=N

1

+1

1

k

),

dla

N

1

+ 1, . . . , N

2

− 1,

gdzie N

2

jest indeksem takim, że:

1

2

+

N

2

X

k=N

1

+1

1

k

< 1

oraz

1

2

+

N

2

+1

X

k=N

1

+1

1

k

> 1

Tak jak poprzednio określamy zbiór B

N

2

:

B

N

2

= [

1

2

+

N

2

X

k=N

1

+1

1

k

, 1).

W analogiczny sposób określamy zbiory B

n

dla N

k

¬ n ¬ N

k+1

. Ponieważ

szereg

P

∞
n=3

1

n

jest rozbieżny, więc istnieje nieskończony ciąg indeksów N

k

.

Niech teraz (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, gdzie:

Ω = [0, 1],

F = Borel([0, 1]),

P = λ

1

.

Niech A = [0,

1
2

) oraz A = {∅, Ω, A, A

c

}. Określmy następujący ciąg σ-ciał:

A

n

= {∅, Ω, A ∪ B

n

, A

c

\B

n

}

Wprost z określenia mamy:

0 ¬ lim

n→∞

˜

d(A, A

n

) ¬ lim

n→∞

1

n + 1

= 0.

Czyli lim

n→∞

d

n

= 0.

Określimy teraz zmienną losową X w następujący sposób:

X(ω) = 1

(

1
2

,

3
4

)

(ω).

Nietrudno zauważyć, że:

E(X|A) =

1

2

1

A

c

=

1

2

1

[

1
2

,1]

.

(38)

31