Piotr Sielski
O warunkowej bliskości sigma-ciał
i zbieżności warunkowych wartości oczekiwanych
1
Spis treści
1
Wstęp
2
2
Podstawowe fakty i definicje
3
2.1
σ-ciała, uzupełnienia, funkcje ρ, ρ . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Warunkowa wartość oczekiwana . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Twierdzenia o otulaniu i przybliżaniu σ-ciał
9
3.1
Twierdzenie o otulaniu σ-ciał
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.3
Twierdzenie o warunkowym otulaniu σ-ciał . . . . . . . . . . .
11
3.4
Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.5
Twierdzenie o przybliżaniu σ-ciał . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.6
Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4
Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o.
19
4.1
Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o. . . . . . . . . . . .
19
4.2
Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
Wnioski z twierdzenia o odległości operatorów . . . . . . . . .
24
5
Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a zbieżność
σ-ciał w metryce ˜
d
26
5.1
Metryka ˜
d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2
Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a zbieżność
σ-ciał w metryce ˜
d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.3
Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
6
Literatura
33
1
1
Wstęp
Celem pracy jest przedstawienie oraz rozwinięcie rezultatów dotyczą-
cych przybliżania i otulania σ-ciał. Pojęcia te zostały wprowadzone w pracy
R. Jajtego i A. Paszkiewicza (patrz [3]). Zdefiniowane są one przy pomocy
następujących wielkości:
ρ(B, A) = sup
B∈B
inf
A∈A
P (A4B)
ρ(B, A) = sup
B∈B
inf
A∈AA⊃B
P (A\B)
Powyższe definicje, jak również fakty z nimi związane zawarte są w rozdziale
drugim. Dalsza część pracy opiera się w znacznej mierze na twierdzeniach
udowodnionych w pracach [3] i [4]. Udowodniono w nich, że jeśli ρ(B, A) <
to istnieje zbiór Z ∈ σ(A, B) taki, że P (Z) < 22, oraz B\Z ⊂ A
(F ,P)
\Z,
gdzie A, B ⊂ F . Podobne twierdzenie udowodniono również dla funkcji ρ.
Rozdział trzeci zawiera te twierdzenia oraz przykłady ilustrujące istotność
poczynionych założeń. Ponadto znajduje się w nim uogólnienie twierdzenia
dotyczącego otulania σ-ciał. Podobnymi metodami do użytych w pracach [3]
i [4] dowodzimy wersji warunkowej twierdzenia o otulanu σ-ciał. Rezultaty
te posłużyły w dalszej części pracy do zbadania odległości operatorów wa-
runkowej wartości oczekiwanej, w zależności od wielkości ρ i ρ. W rozdziale
czwartym dowodzimy, że jeśli E
A
, E
B
: L
∞
→ L
1
, to:
||E
A
− E
B
||
∞,1
¬ 264 max(ρ(A, B), ρ(B, A)).
Powyższe twierdzenie, ze zmienioną stałą, zachodzi również dla funkcji ρ. W
tym samym paragrafie zawarte są również oszacowania dla norm L
∞,p
.
W rozdziale piątym w rodzinie pod- σ-ciał F wprowadzona została, wedle
pomysłu dr Krzysztofa Kaniowskiego, następująca metryka:
˜
d(A, B) = max(ρ(A, B), ρ(B, A)).
Dowodzimy, że dla X ∈ L
∞
(Ω, F , P ) zbieżność ciągu σ-ciał A
n
⊂ F w tej
metryce implikuje zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych E(X|A
n
)
w przestrzeni L
p
. Okazuje się, że pewne wzmocnienie założeń daje nam znacz-
nie więcej, zbieżność prawie pewną ciągu E(X|A
n
). W tym samym rozdziale
dowodzimy również twierdzenia o zbieżności ciągu E(X|A
n
) w przestrzeni L
1
dla X ∈ L
1
(Ω, F , P ). Na zakończenie podajemy kilka przykładów ilustrują-
cych niezbędność poczynionych założeń.
2
Podstawowe fakty i definicje
W rozdziale tym zamieścimy definicje oraz twierdzenia wykorzystywane
w dalszej części pracy.
2.1
σ-ciała, uzupełnienia, funkcje ρ, ρ
Definicja 2.1.1 (σ-ciało) Rodzinę A podzbiorów Ω nazywamy σ-ciałem je-
żeli spełnia następujące trzy warunki:
1.
∅ ∈ A;
2.
Jeśli A ∈ A to A
c
∈ A;
3.
Jeśli A
i
∈ A dla i = 1, 2, . . . , to
S
∞
i=1
A
i
∈ A
Definicja 2.1.2 (Miara probabilistyczna) Miarą probabilistyczną będziemy
nazywać dowolną funkcję P , określoną na σ-ciele zdarzeń A ⊂ 2
Ω
, spełnia-
jącą warunki:
1.
P : A → R
+
∪ {0};
2.
P (Ω) = 1;
3.
Jeśli A
i
∈ A,
i = 1, 2, . . . oraz A
i
∩ Aj = ∅ dla i 6= j, to
P (
∞
[
i=1
A
i
) =
∞
X
i=1
P (A
i
).
W dalszej części pracy P będzie zawsze oznaczało miarę probabilistyczną.
Definicja 2.1.3 (Przestrzeń probabilistyczna) Przestrzenią probabilistyczną
nazywamy trójkę (Ω, A, P ), gdzie A jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω, zaś
P dowolną miarą probabilistyczną na A.
Definicja 2.1.4 Uzupełnieniem σ-ciała A względem miary P nazywamy ro-
dzinę podzbiorów Ω, dla których istnieją zbiory A
1
, A
2
∈ A takie, że A
1
⊂
A ⊂ A
2
oraz P (A
2
\A
1
) = 0. Rodzinę tę będziemy oznaczać A
P
lub, gdy nie
ma wątpliwości o jaką miarę chodzi, po prostu A.
Fakt 2.1.5 Rodzina A jest σ-ciałem.
Dowód :
Oczywiście ∅ ∈ A.
Jeśli A ∈ A to istnieją zbiory A
1
, A
2
∈ A takie, że A
1
⊂ A ⊂ A
2
oraz
P (A
2
\A
1
) = 0. Zatem A
c
2
⊂ A
c
⊂ A
c
1
oraz P (A
c
1
\A
c
2
) = 0, czyli A
c
∈ A.
Jeśli A
1
, A
2
, . . . ∈ A to dla dowolnego k ∈ N istnieją zbiory A
k
1
, A
k
2
∈ A takie,
że A
k
1
⊂ A
k
⊂ A
k
2
oraz P (A
k
2
\A
k
1
) = 0. Stąd
S
k∈N
A
k
1
⊂
S
k∈N
A
k
⊂
S
k∈N
A
k
2
oraz P (
S
k∈N
A
k
2
\
S
k∈N
A
k
1
) = 0, czyli
S
k∈N
A
k
∈ A.
Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zauważmy, że miarę
P można w naturalny sposób rozszerzyć na σ-ciało F . Zgodnie z definicją
2.1.4 jeśli F ∈ F , to istnieją zbiory F
1
⊂ F ⊂ F
2
takie, że P (F
2
\F
1
) = 0.
Kładąc P (F ) = P (F
1
) = P (F
2
) otrzymujemy rozszerzenie miary P na F .
Definicja 2.1.6 Uzupełnieniem σ-ciała A ⊂ F względem miary P i σ-ciała
F nazywamy następującą rodzinę zbiorów:
A
(F ,P )
=
n
A ∈ F :
∃
A
1
∈A
P (A4A
1
) = 0
o
.
Zdefiniowana powyżej rodzina jest σ-ciałem.
Dowód :
Oczywiście ∅ ∈ A
(F ,P )
.
Jeśli A ∈ A
(F ,P )
to istnieje zbiór A
1
∈ A taki, że P (A4A
1
) = 0. Oczywiście
A
c
1
∈ A oraz P (A
c
4A
c
1
) = 0, czyli A
c
∈ A
(F ,P )
.
Korzystając z definicji różnicy symetrycznej, oraz z faktu, że
(
S
∞
n=1
A
n
\
S
∞
n=1
B
n
) ⊂
S
∞
n=1
(A
n
\B
n
) otrzymujemy, że przeliczalna suma zbio-
rów należących do
A
(F ,P )
również należy do A
(F ,P )
.
Niech A, B będą σ-ciałami. Wprowadźmy dwie niesymetryczne funkcje ρ(B, A)
oraz ¯
ρ(B, A) w następujący sposób:
Definicja 2.1.7
1.
ρ(B, A) = sup
B∈B
inf
A∈A
P (A4B)
2.
ρ(B, A) = sup
B∈B
inf
A∈A
A⊃B
P (A\B)
Jeśli zachodzi ρ(B, A) = to mówimy, że σ-ciało A -przybliża σ-ciało B.
Jeśli zachodzi ρ(B, A) = to mówimy, że σ-ciało A -otula σ-ciało B.
Wprost z definicji kresu oraz określenia funkcji ρ otrzymujemy:
Fakt 2.1.8
Następujące warunki są równoważne:
1.
ρ(B, A) ¬ d
2.
∀
>0,B∈B
∃
A∈A
P (B4A) < d +
Wykorzystując fakt 2.1.8 udowodnimy następujące twierdzenie:
4
Twierdzenie 2.1.9 Niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami. Zachodzi równość:
ρ(A, B) = ρ(
A
(F ,P )
, B
(F ,P )
).
Dowód :
Wystarczy udowodnić, że dla każdego d 0 następujące dwa warunki są
równoważne:
1.
ρ(A, B) ¬ d
2.
ρ(A
(F ,P )
, B
(F ,P )
) ¬ d.
Załóżmy, że zachodzi 2. Niech A ∈ A. Oczywiście A ∈ A
(F ,P )
, więc zgod-
nie z faktem 2.1.8 dla dowolnego > 0 istnieje zbiór B
1
∈ B
(F ,P )
taki, że
P (A4B
1
) < d + . Jednocześnie według definicji 2.1.6 istnieje zbiór B ∈ B
taki, że P (B4B
1
) = 0. Zatem:
P (B4A) ¬ P (B4B
1
) + P (B
1
4A) < d + .
Stąd i z faktu 2.1.8 otrzymujemy ρ(A, B) ¬ d.
W analogiczny sposób dowodzimy implikacji w drugą stronę.
W dalszej części pracy będziemy rozpatrywali również wersję warunkową de-
finicji 2.1.7 p. 2:
Definicja 2.1.10
ρ
0
((B, A)|C) = sup
B∈B
inf
A∈A,A⊃B
ess sup
ω∈Ω
(P ((A\B)|C))(ω))
Niech A będzie σ-ciałem, zaś Z pewnym zbiorem. Przez A\Z będziemy ozna-
czać następującą rodzinę zbiorów:
A\Z = {A\Z :
A ∈ A}.
5
2.2
Warunkowa wartość oczekiwana
Na początku tego paragrafu podamy twierdzenie Radona-Nikodyma,
którego dowód można znaleźć w pozycjach [1] [2]. Twierdzenie to w znacznym
stopniu upraszcza dowód istnienia warunkowej wartości oczekiwanej.
Definicja 2.2.1 Niech µ i ν będą miarami na (Ω, A). Mówimy, że miara ν
jest absolutnie ciągła względem miary µ (w skrócie ν µ), jeśli dla każdego
A ∈ A z warunku µ(A) = 0 wynika równość ν(A) = 0.
Twierdzenie 2.2.2 (Twierdzenie Radona-Nikodyma)
Jeżeli µ i ν są takimi miarami skończonymi na (Ω, F ), że ν jest absolutnie
ciągła względem µ (ν µ), to istnieje taka nieujemna funkcja f, nazywana
gęstością, że ν(A) =
R
A
f dµ dla każdego A ∈ F . Dla dwóch takich gęstości f
i g mamy µ({f 6= g}) = 0.
Przejdźmy do zdefiniowania warunkowej wartości oczekiwanej.
Definicja 2.2.3 Niech X ∈ L
1
(Ω, F , P ). Warunkową wartością oczekiwaną
(w skrócie w.w.o.), zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała A, nazywamy
dowolną funkcję E(X|A) spełniającą następujące warunki:
∀
A∈A
Z
A
XdP =
Z
A
E(X|A)dP
(1)
E(X|A)
jest A mierzalna.
(2)
Funkcja ta jest wyznaczona jednoznacznie, z dokładnością do zbioru miary 0.
Należy przeprowadzić dowód istnienia i jednoznaczności w.w.o.
Dowód :
Najpierw udowodnimy jednoznaczność.
Przypuśćmy, że funkcje E
1
(X|A) i E
2
(X|A) spełniają warunki (1) i (2) de-
finicji 2.2.3. Z warunku (2) wynika, że obie funkcje są A - mierzalne, zatem
zbiory A
1
= {E
2
(X|A) > E
1
(X|A)} oraz A
2
= {E
2
(X|A) < E
1
(X|A)} na-
leżą do σ-ciała A. Stąd i z pierwszego warunku definicji w.w.o. otrzymujemy:
Z
A
1
E
2
(X|A)dP =
Z
A
1
XdP =
Z
A
1
E
1
(X|A)dP.
Zatem:
Z
A
1
(E
2
(X|A) − E
1
(X|A))dP = 0,
czyli P (A
1
) = 0. W analogiczny sposób dowodzimy, że P (A
2
) = 0. Reasumu-
jąc P (E
1
(X|A) 6= E
2
(X|A)) = P (A
1
∪ A
2
) = 0, co dowodzi jednoznaczności.
6
Przedstawimy teraz dowód istnienia w.w.o.
Przypuśćmy na początku, że X 0 p.p. Rozważmy skończoną miarę ν, na
σ -ciele A, określoną następującym wzorem:
ν(A) =
Z
A
XdP.
Jeśli P (A) = 0 to również ν(A) = 0, zatem ν jest absolutnie ciągła względem P .
Stąd z twierdzenia Radona-Nikodyma istnieje A -mierzalna gęstość g taka,
że dla A ∈ A:
Z
A
gdP = ν(A) =
Z
A
XdP.
Wystarczy przyjąć E(X|A) = g. Przejdźmy do przypadku ogólnego, gdy
X ∈ L
1
(Ω, F , P ). Rozkładając X na części nieujemną i niedodatnią X =
X
+
− X
−
mamy 0 ¬ X
+
, X
−
. Warunkową wartość oczekiwaną definujemy w
następujący sposób: E(X|A) = E(X
+
|A) − E(X
−
|A). Nietrudno sprawdzić,
że jest to wersja warunkowej wartości oczekiwanej.
Podamy teraz podstawowe własności w.w.o., wykorzystywane w dalszej części
pracy.
Własność 2.2.4 Niech X, Y ∈ L
1
(Ω, F , P ) oraz A ⊂ F będzie σ-ciałem.
Zachodzą następujące własności:
J eli
X 0
p.p.,
to
E(X|A) 0
p.p.
(3)
E(αX + βY |A) = αE(X|A) + βE(Y |A)
p.p.
dla
α, β ∈ R,
(4)
J eli
X ¬ Y
p.p.
to
E(X|A) ¬ E(Y |A)
p.p.
(5)
|E(X|A)| ¬ E(|X||A) p.p.
(6)
Dowód :
(3) Niech X 0 p.p. Mamy:
0 ¬
Z
E(X|A)<0
XdP =
Z
E(X|A)<0
E(X|A)dP ¬ 0.
7
Zatem E(X|A) 0 p.p.
(4) Oczywiście funkcja αE(X|A) + βE(Y |A) jest A -mierzalna. Dla A ∈ A
mamy:
Z
A
(αX + βY )dP = α
Z
A
XdP + β
Z
A
Y dP =
= α
Z
A
E(X|A)dP + β
Z
A
E(Y |A)dP =
Z
A
(αE(X|A) + βE(Y |A)).
Zatem funkcja αE(X|A)+βE(Y |A) jest wersją w.w.o. zmiennej losowej αX +
βY .
(5) Niech X ¬ Y p.p. Korzystając z punktów (3) i (4) otrzymujemy:
0 ¬ E(Y −X|A) = E(Y |A)−E(X|A) p.p.,
czyli
E(X|A) ¬ E(Y |A)
p.p.
(6) Oczywiście X ¬ |X| oraz −X ¬ |X|. Wykorzystując własności (4) i (5)
otrzymujemy:
E(X|A) ¬ E(|X||A)
i
− E(X|A) = E(−X|A) ¬ E(|X||A).
Zatem reasumując:
|E(X|A)| ¬ E(|X||A)
Na zakończenie tego paragrafu zdefiniujemy pojęcie prawdopodobieństwa wa-
runkowego względem σ-ciała.
Definicja 2.2.5 Prawdopodobieństwem warunkowym zbioru B pod warun-
kiem σ-ciała A nazywamy wersję warunkowej wartości oczekiwanej
P (B|A) = E(1
B
|A).
8
3
Twierdzenia o otulaniu i przybliżaniu σ-ciał
3.1
Twierdzenie o otulaniu σ-ciał
Przypomnijmy zamieszczoną w rozdziale drugim definicję -otulania (2.1.7).
Jeśli:
ρ(B, A) = sup
B∈B
inf
A∈AA⊃B
P (A\B) =
,
to powiemy, że σ-ciało A -otula σ-ciało B.
Twierdzenie 3.1.1 Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz
niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami. Istnieje zbiór Z ∈ A taki, że
P (Z) ¬ 4ρ(B, A)
oraz
B\Z ⊂ A\Z.
Twierdzenie to wynika z lematu o macierzach oraz serii lematów, które przy-
bliżają nas do ostatecznego dowodu. Tutaj podamy jedynie treść oraz dowód
lematu o macierzach (wedle pozycji [4]). W następnym paragrafie w podobny
sposób, wykorzystując analogiczne lematy i metody dowodowe udowodnimy
ogólniejsze twierdzenie o σ-otulaniu warunkowym.
Lemat 3.1.2 (Lemat o macierzach) Niech [a
i,j
]
n
i,j=1
będzie macierzą o wy-
razach rzeczywistych taką, że a
i,i
= 0 dla i = 1, . . . , n. Istnieje zbiór J ⊂
{1, 2, . . . , n} taki, że
X
i∈J,j6∈J
a
i,j
+
X
i6∈J,j∈J
a
i,j
1
2
n
X
i,j=1
a
i,j
.
Dowód :
Niech F : 2
{1,...,n}
→ R będzie funkcją zdefiniowaną w następujący sposób:
F (I) =
P
i∈I,j6∈I
a
i,j
+
P
i6∈I,j∈I
a
i,j
, dla I ⊂ {1, . . . , n}
Wybierzmy zbiór J ⊂ {1, 2, . . . , n}, który realizuje maksimum funkcji F,
to znaczy taki, że F (J ) = max{F (I) : I ⊂ {1, 2, . . . n}}. Należy pokazać, że
F (J )
1
2
P
n
i,j=1
a
i,j
.
Dla k ∈ J mamy:
X
j6∈J
a
k,j
+
X
i6∈J
a
i,k
X
j∈J
a
k,j
+
X
i∈J
a
i,k
.
(7)
W przeciwnym razie, wykorzystując fakt, że a
k,k
= 0 mielibyśmy:
F (J ) =
X
i∈J,j6∈J
a
i,j
+
X
i6∈J,j∈J
a
i,j
=
X
i∈J \{k},j6∈J
a
i,j
+
X
i6∈J,j∈J \{k}
a
i,j
+
X
j6∈J
a
k,j
+
X
i6∈J
a
i,k
<
X
i∈J \{k},j6∈J
a
i,j
+
X
i6∈J,j∈J \{k}
a
i,j
+
X
j∈J
a
k,j
+
X
i∈J
a
i,k
=
X
i∈J \{k},j6∈J
a
i,j
+
X
i∈J \{k}
a
i,k
+
X
i6∈J,j∈J \{k}
a
i,j
+
X
j∈J \{k}
a
k,j
=
X
i∈J \{k},j6∈J \{k}
a
i,j
+
X
i6∈J \{k}j6∈J \{k}
a
i,j
= F (J \{k})
Czyli F (J ) < F (J \{k}), co jest sprzeczne z wyborem zbioru J.
Sumując teraz (7) po k ∈ J otrzymujemy:
F (J ) 2
X
i,j∈J
a
i,j
.
(8)
Analogicznie dla k 6∈ J mamy:
X
j∈J
a
k,j
+
X
i∈J
a
i,k
X
j6∈J
a
k,j
+
X
i6∈J
a
i,k
(9)
Podobnie, sumując (9) po k 6∈ J otrzymujemy:
F (J ) 2
X
i,j6∈J
a
i,j
(10)
Korzystając z nierówności (8) i (10) dostajemy:
1
2
n
X
i,j=1
a
i,j
=
1
2
(
X
i,j6∈J
a
i,j
+
X
i,j∈J
a
i,j
)+F (J )) ¬
1
2
(
1
2
F (J )+
1
2
F (J )+F (J )) = F (J ),
co kończy dowód.
3.2
Przykłady
Przykład 3.2.1 W twierdzeniu 3.1.1 uzupełnienie σ-ciała A względem miary
P jest konieczne. Istnieje przestrzeń (Ω, F , P ) oraz σ-ciała A, B ⊂ F takie,
że:
ρ(B, A) = 0,
zaś jedynym zbiorem Z ∈ A, dla którego zachodzi:
B\Z ⊂ A\Z,
10
jest cała przestrzeń Ω.
Rzeczywiście, niech:
Ω = [0, 1] × [0, 1],
F = Borel([0, 1] × [0, 1]),
P = λ
2
.
Wystarczy przyjąć:
A = {C × [0, 1];
C
lub
([0, 1]\C)
przeliczalny},
B = {C ⊂ [0, 1] × [0, 1];
C
lub
([0, 1] × [0, 1]\C)
przeliczalny}.
Wtedy
ρ(B, A) = 0. Rzeczywiście, jeśli zbiór B ∈ B jest przeliczalny, to
ma miarę 0, zatem za A wystarczy wziąć sumę odcinków {x
k
} × [0, 1], gdzie
x
k
, k ∈ N są rzutami punktów zbioru B na oś OX. Suma taka również ma
miarę 0 i zawiera zbiór A. Jeśli B ∈ B jest nieprzeliczalny to za A wystarczy
wziąć całą przestrzeń Ω. Jedynym zbiorem Z ∈ A takim, że B\Z ⊂ A\Z,
jest Z = [0, 1] × [0, 1]. Oczywiście B ⊂ A.
3.3
Twierdzenie o warunkowym otulaniu σ-ciał
W paragrafie tym, wykorzystując podobne metody jak w dowodzie twier-
dzenia 3.1.1, w pracy [4] udowodnimy ogólniejsze twierdzenie 3.3.3. Zgodnie
z definicją 2.1.10 mamy:
ρ
0
((B, A)|C) = sup
B∈B
inf
A∈AA⊃B
ess sup
ω∈Ω
(P ((A\B)|C))(ω))
Lemat 3.3.1 Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz
A, B, C ⊂ F będą σ-ciałami. Dla dowolnych parami rozłącznych zbiorów
B
1
, B
2
, . . . , B
n
∈ B takich, że
S
n
i=1
B
i
= Ω istnieją takie zbiory A
1
, A
2
, . . . , A
n
∈
A, że B
i
⊂ A
i
, dla i = 1, . . . , n oraz
P ((
n
[
i=1
(A
i
\B
i
))|C) ¬ 4ρ
0
((B, A)|C)
p.p.
Dowód :
Dla dowolnego zbioru B ∈ B niech B ∈ A oznacza dowolny ustalony element
σ-ciała A taki, że B ⊂ B oraz P ((B\B)|C) ¬ ρ
0
((B, A)|C) p.p.
Połóżmy:
A
i
=
\
I⊂{1,2,...,n},i∈I
[
j∈I
B
j
.
Oczywiście A
i
∈ A oraz B
i
⊂ A
i
dla i = 1, 2, . . . , n. Zachodzi również
S
i∈I
B
i
⊂
S
i∈I
A
i
⊂
S
i∈I
B
i
dla dowolnego I ⊂ {1, 2, . . . , n}. Stąd wynika,
11
że P ((
S
i∈I
A
i
\
S
i∈I
B
i
)|C) ¬ P ((
S
i∈I
B
i
\
S
i∈I
B
i
)|C) ¬ ρ
0
((B, A)|C) p.p. dla
I ⊂ {1, 2, . . . , n}.
Należy pokazać, że P ((
S
n
i=1
(A
i
\B
i
))|C) ¬ 4
ρ
0
((B, A)|C) p.p.
Z założenia, że
S
n
i=1
B
i
= Ω oraz B
i
∩ B
j
= ∅ dla j 6= i wynika, że:
n
[
i=1
(A
i
\B
i
) =
n
[
i=1
(A
i
∩
[
j6=i
B
i
) =
n
[
i=1
[
j6=i
(A
i
∩ B
j
).
Połóżmy:
C
i
j
=
(
∅
dla i=j,
B
j
∩ (A
i
\
S
k<i,k6=j
A
k
) dla i 6= j.
Zbiory C
i
j
są parami rozłączne, C
i
j
⊂ B
j
∩ A
i
oraz
S
n
i=1
C
i
j
= B
j
∩
S
i6=j
A
i
.
Przyjmując taką wersję prawdopodobieństwa warunkowego, dla której P (∅|C)(ω) =
0 dla ω ∈ Ω oraz stosując lemat 3.1.2 do macierzy [P (C
i
j
|C)(ω)]
n
i,j=1
dla do-
wolnego ω ∈ Ω uzyskujemy zbiór J
ω
⊂ {1, 2, . . . , n} taki, że:
2
X
i∈J
ω
,j6∈J
ω
P (C
i
j
|C)(ω) + 2
X
i6∈J
ω
,j∈J
ω
P (C
i
j
|C)(ω)
n
X
i,j=1
P (C
i
j
|C)(ω)
(11)
Dla dowolnego zbioru I ⊂ {1, 2, . . . , n} przyjmijmy:
F
I
=
n
ω : 2
X
i∈I,j6∈I
P (C
i
j
|C)(ω) + 2
X
i6∈I,j∈I
P (C
i
j
|C)(ω)
n
X
i,j=1
P (C
i
j
|C)(ω)
o
Z (11) wnioskujemy, że
S
I⊂{1,2,...,n}
F
I
= Ω. Dla ustalonego zbioru J ⊂
{1, 2, . . . , n} oraz dla prawie każdego ω ∈ F
J
mamy:
P ((
n
[
i=1
(A
i
\B
i
))|C)(ω) = P ((
n
[
i,j=1
C
i
j
)|C)(ω) ¬ 2P ((
n
[
i∈J,j6∈J
C
i
j
)|C)(ω)+
+2P ((
n
[
i6∈J,j∈J
C
i
j
)|C)(ω) ¬ 2P ((
n
[
i∈J,j6∈J
(A
i
∩ B
j
))|C)(ω)+
2P ((
n
[
i6∈J,j∈J
(A
i
∩ B
j
))|C)(ω) = 2P ((
[
i∈J
A
i
\
[
j∈J
B
j
)|C)(ω)+
+2P ((
[
i6∈J
A
i
\
[
j6∈J
B
j
)|C)(ω) ¬ 2ρ
0
((B, A)|C) + 2ρ
0
((B, A)|C) =
= 4ρ
0
((B, A)|C)
12
Ponieważ
S
J ⊂{1,2,...,n}
F
J
= Ω oraz istnieje jedynie skończona ilość podzbio-
rów J, więc:
P ((
n
[
i=1
(A
i
\B
i
))|C)(ω) ¬ 4ρ
0
((B, A)|C)
p.p.
Co było do okazania.
Lemat 3.3.2 Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, oraz
A, B, C ⊂ F będą σ-ciałami. Dla dowolnych zbiorów B
1
, B
2
, . . . ∈ B istnieje
zbiór Z ∈ A taki, że P (Z|C) ¬ 4ρ
0
((B, A)|C) p.p. oraz B
i
∪ Z ∈ A dla
dowolnego i ∈ N.
Dowód :
Niech k ∈ N oraz B
k
1
, B
k
2
, . . . , B
k
n
k
będą wszystkimi atomami σ-ciała σ(B
1
, B
2
, . . . , B
k
).
Zgodnie z lematem 3.3.1 istnieją zbiory A
k
1
, A
k
2
, . . . , A
k
n
k
∈ A takie, że
B
k
i
⊂ A
k
i
dla
k ∈ N,
1 ¬ i ¬ n
k
oraz
P ((
n
k
[
i=1
(A
k
i
\B
k
i
))|C) ¬ 4ρ
0
((B, A)|C)
p.p.
dla
k ∈ N.
(12)
Mamy:
[
i6=j, 1¬i,j¬n
k
(A
k
i
∩ A
k
j
) =
[
i6=j, 1¬i,j¬n
k
(((A
k
i
\B
k
i
) ∪ B
k
i
) ∩ ((A
k
j
\B
k
j
) ∪ B
k
j
))) =
[
i6=j, 1¬i,j¬n
k
(((A
k
i
\B
k
i
)∩(A
k
j
\B
k
j
))∪((A
k
i
\B
k
i
)∩B
k
j
)∪((A
k
j
\B
k
j
)∩B
k
i
)∪(B
k
j
∩B
k
i
)) ⊂
[
i6=j, 1¬i,j¬n
k
((A
k
i
\B
k
i
) ∪ (A
k
i
∩ B
k
j
) ∪ (A
k
j
∩ B
k
i
)) =
n
k
[
i=1
(A
k
i
\B
k
i
)
Oczywiście zawieranie w drugą stronę również zachodzi, zatem reasumując:
n
k
[
i=1
(A
k
i
\B
k
i
) =
[
i6=j, 1¬i,j¬n
k
(A
k
i
∩ A
k
j
).
(13)
Niech
D
k
n
=
[
i:B
k
i
⊂B
n
A
k
i
∩
[
j:B
k
j
∩B
n
=∅
A
k
j
,
dla n ¬ k.
13
Oczywiście D
k
n
∈ A. Z (13) wynika, że
D
k
n
⊂
n
k
[
i=1
(A
k
i
\B
k
i
).
(14)
Mamy:
B
n
=
[
i:B
k
i
⊂B
n
B
k
i
⊂
[
i:B
k
i
⊂B
n
A
k
i
(15)
oraz
B
n
∪
[
j:B
k
j
∩B
n
=∅
A
k
j
⊃ B
n
∪
[
j:B
k
j
∩B
n
=∅
B
k
j
= B
n
∪ B
c
n
= Ω.
(16)
Wykorzystując (15) i (16) otrzymujemy:
B
n
∪ D
k
n
= B
n
∪ (
[
i:B
k
i
⊂B
n
A
k
i
∩
[
j:B
k
j
∩B
n
=∅
A
k
j
) =
= (B
n
∪
[
i:B
k
i
⊂B
n
A
k
i
) ∩ (B
n
∪
[
j:B
k
j
∩B
n
=∅
A
k
j
) =
=
[
i:B
k
i
⊂B
n
A
k
i
∩ Ω =
[
i:B
k
i
⊂B
n
A
k
i
∈ A
(17)
Połóżmy:
Z =
[
n∈N
\
kn
D
k
n
∈ A.
Z faktu, że Z = Z ∪
T
kn
D
k
n
oraz z (17) otrzymujemy:
B
n
∪ Z = Z ∪
\
kn
(B
n
∪ D
k
n
) ∈ A,
dla n ∈ N.
Pozostało pokazać, że P (Z|C) ¬ 4
ρ
0
((B, A)|C).
Istotnie, wykorzystując (12) i (14) otrzymujemy:
P (Z|C) = P ((
[
n∈N
\
kn
D
k
n
)|C) = lim
N →∞
P ((
N
[
n=1
\
kn
D
k
n
)|C) ¬ lim inf
N →∞
P ((
N
[
n=1
D
N
n
)|C)
¬ lim inf
N →∞
P ((
n
N
[
n=1
(A
N
n
\B
N
n
))|C) ¬ 4ρ
0
((B, A)|C)
p.p.
14
Przejdźmy teraz do dowodu następującego twierdzenia będącego uogólnie-
niem twierdzenia 3.1.1:
Twierdzenie 3.3.3 Niech A, B, C ⊂ F będą σ-ciałami. Istnieje zbiór Z ∈ A
taki, że:
P (Z|C) ¬ 4ρ
0
((B, A)|C)
p.p.
oraz
B\Z ⊂ A\Z
Dowód :
Niech B = {B
α
:
α ∈ I}, dla pewnego zbioru indeksów I.
Niech
α
=inf{P (D) :
D ∈ A, B
α
∪ D ∈ A}. Dla dowolnego α ∈ I i k ∈ N
rozważmy zbiory D
α,k
takie, że D
α,k
, B
α
∪ D
α,k
∈ A oraz P (D
α,k
) <
α
+
1
k
.
Przyjmijmy teraz D
α
=
T
k1
D
α,k
. Ponieważ B
α
∪ D
α
∈ A, więc:
P (D
α
) =
α
,
D
α
, B
α
∪ D
α
∈ A.
Niech relacja ≺ ustanawia dobry porządek w zbiorze I. Za pomocą zasady
indukcji pozaskończonej zdefiniujemy rodzinę (G
j
, j ∈ I) ⊂ A spełniającą
następujące warunki:
P (G
j
) =
j
,
G
j
∈ A, B
j
∪ G
j
∈ A,
(18)
[
k≺j
G
k
∈ A,
(19)
G
j
\
[
k≺j
G
k
= ∅
lub
P (G
j
\
[
k≺j
G
k
) > 0.
(20)
Niech α
0
będzie piewszym elementem dobrze uporządkowanego zbioru I.
Przyjmijmy G
α
0
= D
α
0
, jeśli P (D
α
0
) > 0 oraz G
α
0
= ∅, jeśli P (D
α
0
) = 0. Nie-
trudno zauważyć, zbiór G
α
0
spełnia warunki (18)-(20). Załóżmy, że warunki
(18)-(20) są spełnione dla zbiorów G
j
przy j ≺ i dla pewnego i ∈ I. Istnieje
co najwyżej przeliczalna liczba indeksów i takich, że P (G
i
\
S
k≺i
G
k
) > 0.
Połóżmy:
G
i
= D
i
,
jeśli
P (D
i
\
[
k≺i
G
k
) > 0,
(21)
G
i
= D
i
∩
[
k≺i
G
k
,
jeśli
P (D
i
\
[
k≺i
G
k
) = 0.
(22)
15
Powyższa definicja jest poprawna, gdyż:
[
j≺i
G
j
=
[
j≺i
(G
j
\
[
k≺j
G
k
) =
[
j≺i
P (Gj \
S
k≺j
Gk)>0
(G
j
\
[
k≺j
G
k
) ∈ A.
(23)
Oczywiście:
B
i
∪ D
i
∈ A
oraz
B
i
∪ (D
i
∩
[
k≺i
G
k
) = (B
i
∪ D
i
)\((D
i
\
[
k≺i
G
k
)\B
i
) ∈ A
Zatem z powyższego oraz z definicji zbioru G
i
wynika, że warunek (18) jest
spełniony również dla liczby porządkowej i. Warunek (19) wynika wprost z
(23), zaś (20) z definicji zbioru G
i
. Zbiór Z definujemy w następujący sposób:
Z =
[
j∈I
G
j
=
[
j∈I
Gj \
S
k≺j
Gk6=∅
G
j
.
(24)
Z określenia rodziny (G
j
, j ∈ I) wnioskujemy, że istnieje co najwyżej przeli-
czalna ilość indeksów j ∈ I spełniających warunek G
j
\
S
k≺j
G
k
6= ∅, zatem
Z ∈ A.
Wprost z określenia zbioru Z i rodziny (G
j
, j ∈ I) otrzymujemy, że B\Z ⊂
A\Z. Pozostaje pokazać, że P (Z|C) ¬ 4ρ
0
((B, A)|C).
Zgodnie z lematem 3.3.2 istnieje zbiór Z
0
∈ A taki, że B
j
∪ Z
0
∈ A,
P (Z
0
|C) ¬ 4ρ
0
((B, A)|C), dla j takich, że G
j
\
S
k≺j
G
k
6= ∅.
Niech j ∈ {j :
G
j
\
S
k≺j
G
k
6= ∅}. Z określenia D
j
, jako zbiorów o minimal-
nym prawdopodobieństwie spełniających warunek D
j
, B
j
∪ D
j
∈ A, mamy
P (D
j
) = P (D
j
∩ Z
0
). Z (21) i (22) wnioskujemy, że P (G
j
) = P (G
j
∩ Z
0
).
Ostatecznie otrzymujemy:
P (Z|C) = P (
[
j∈I
Gj \
S
k≺j
Gk6=∅
G
j
|C) = E(1
S
j∈I,Gj \
S
k≺j
Gk6=∅
G
j
|C) =
= E(1
S
j∈I,Gj \
S
k≺j
Gk6=∅
G
j
∩Z
0
|C) = P (
[
j∈I
Gj \
S
k≺j
Gk6=∅
G
j
∩ Z
0
|C) ¬
¬ 4ρ
0
((B, A)|C)
p.p.
Zauważmy, że twierdzenie 3.1.1 otrzymujemy z 3.3.3 podstawiając C = {∅, Ω}.
16
3.4
Przykłady
Przykład 3.4.1 W tezie twierdzenia 3.3.3 uzupełnienie σ-ciała A względem
miary P jest konieczne. Rzeczywiście, przyjmując Ω, A, B, F oraz miarę P
tak jak w przykładzie 3.2.1, oraz σ-ciało C = {∅, Ω} otrzymujemy:
ρ
0
((B, A)|C) = 0
p.p.,
zaś jedynym zbiorem Z ∈ A takim, że:
B\Z ⊂ A\Z,
jest cała przestrzeń Ω.
3.5
Twierdzenie o przybliżaniu σ-ciał
W paragrafie tym ograniczymy się do przedstawienia twierdzenia udo-
wodnionego w pracy [4]. Będzie nam ono potrzebne w następnych paragrafach
do udowodnienia pewnych zależności pomiędzy σ -przybliżaniem, a odległo-
ścią operatorów w L
p
. Zgodnie z definicją 2.1.7 mamy:
ρ(B, A) = sup
B∈B
inf
A∈A
P (A4B)
Twierdzenie 3.5.1 Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną,
A, B ⊂ F σ-ciałami. Jeżeli ρ(B, A) < , to istnieje zbiór Z ∈ σ(A, B) taki,
że P (Z) < 22, oraz B\Z ⊂ A
(F ,P)
\Z.
3.6
Przykłady
Przykład 3.6.1 W twierdzeniu 3.5.1 nie wystarczy uzupełnić σ-ciała A wzglę-
dem miary P . Istnieje przestrzeń (Ω, F , P ) oraz takie σ-ciała A, B, że:
ρ(B, A) = 0,
zaś dla każdego zbioru Z ∈ σ(A, B) takim, że:
B\Z ⊂ A\Z,
(25)
zachodzi P (Z) = 1.
Rzeczywiście, niech:
Ω = [0, 1],
F = Borel([0, 1]).
17
Wystarczy przyjąć:
A = {∅, Ω},
B = {B :
B
przeliczalny
lub
B
c
przeliczalny}.
Oczywiście ρ(B, A) = 0,
A = A, B ⊂ A
(F ,P )
. Jednak B\Z ⊂ A\Z jedynie
dla Z = Ω lub Z = Ω\{ω} dla pewnego ω ∈ Ω.
18
4
Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o.
4.1
Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o.
W paragrafie tym podamy wnioski dla odległości operatorów w.w.o. wy-
nikające z twierdzeń o otulaniu i przybliżaniu σ-ciał. Dowody głównych twier-
dzeń poprzedzimy serią lematów.
Lemat 4.1.1 Jeśli X ∈ L
∞
(Ω, F , P ), |X| ¬ 1 p.p. dla pewnych A, B ∈ F ,
to |
R
A
XdP −
R
B
XdP | ¬ P (A 4 B).
Dowód :
|
Z
A
XdP −
Z
B
XdP | = |
Z
A\B
XdP −
Z
B\A
XdP | ¬
Z
A4B
|X|dP ¬ P (A 4 B).
Lemat 4.1.2 Niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami, Z ⊂ Ω. Jeśli A\Z = B\Z,
to σ(A, B)\Z = A\Z = B\Z.
Dowód :
Oznaczmy:
M = {(A\Z) ∪ C : A ∈ A, C ⊂ Z}.
M jest σ-ciałem. Rzeczywiście:
1.
∅ ∈ M (Za A i C wystarczy wziąć ∅)
2.
Niech D ∈ M, czyli D = (A\Z) ∪ C, dla pewnych A ∈ A, C ⊂ Z.
Wtedy D
c
= (A
c
∪ Z) ∩ C
c
= (A
c
\C) ∪ (Z\C) = (A
c
\Z) ∪ (Z\C) ∈ M
3.
Niech D
1
, D
2
, . . . ∈ M, czyli D
i
= (A
i
\Z) ∪ C
i
,
C
i
⊂ Z i ∈ N.
Mamy
S
i∈N
D
i
= (
S
i∈N
A
i
\Z) ∪
S
i∈N
C
i
∈ M.
Oczywiście A ⊂ M. (Dla dowolnego zbioru D ∈ A przyjmujemy A = D, C =
Z ∩ A).
Niech B ∈ B, wtedy istnieje D ∈ A takie, że D\Z = B\Z.
Stąd przyjmując A = D, C = B ∩ Z otrzymujemy, że B ⊂ M. Reasumu-
jąc A, B ⊂ M, a ponieważ M jest σ-ciałem, więc σ(A, B) ⊂ M. Zatem
σ(A, B)\Z ⊂ M\Z = A\Z = B\Z. Z faktu, że A, B ⊂ σ(A, B) wynika, że
A\Z, B\Z ⊂ σ(A, B)\Z. Ostatecznie σ(A, B)\Z = A\Z = B\Z.
Lemat 4.1.3 Niech X, Y, V ∈ L
∞
(Ω, F , P ), oraz |X|, |Y |, |V | ¬ 1 p.p. Jeśli
A, B ⊂ F , oraz spełnione są warunki:
1.
A\Z = B\Z, dla pewnego Z ∈ F
2.
Dla dowolnych zbiorów B ∈ B, A ∈ A zachodzą równości
R
B
XdP =
R
B
V dP i
R
A
Y dP =
R
A
V dP , to:
|
Z
D
XdP −
Z
D
Y dP | ¬ 3P (Z),
dla dowolnego
D ∈ σ(A, B).
Dowód :
Niech D ∈ σ(A, B). Zgodnie z lematem 4.1.2 istnieją zbiory B ∈ B oraz
A ∈ A takie, że D\Z = B\Z = A\Z. Korzystając z lematu 4.1.1 otrzymu-
jemy:
|
Z
D
XdP −
Z
D
Y dP | = |
Z
B\Z
XdP −
Z
A\Z
Y dP +
Z
D∩Z
XdP −
Z
D∩Z
Y dP | =
= |
Z
B
XdP −
Z
B∩Z
XdP −
Z
A
Y dP +
Z
A∩Z
Y dP +
Z
D∩Z
XdP −
Z
D∩Z
Y dP | ¬
¬ |
Z
B
V dP −
Z
A
V dP | + |
Z
B∩Z
XdP −
Z
D∩Z
XdP |+
+|
Z
A∩Z
Y dP −
Z
D∩Z
Y dP | ¬ 3P (Z)
Lemat 4.1.4 Niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami. Jeśli istnieją zbiory
Z
1
∈ σ(A, B), Z
2
∈ σ(B, A) takie, że P (Z
1
), P (Z
2
) ¬ oraz
B\Z
1
⊂ A
(F ,P )
\Z
1
, A\Z
2
⊂ B
(F ,P )
\Z
2
, to istnieje zbiór Z ∈ σ(B
(F ,P )
, A
(F ,P )
)
taki, że P (Z) ¬ 2 oraz B
(F ,P )
\Z = A
(F ,P )
\Z.
Dowód :
Niech Z = Z
1
∪ Z
2
. Oczywiście Z ∈ σ(B
(F ,P )
, A
(F ,P )
) oraz P (Z) ¬ 2.
Pozostaje pokazać, że:
B
(F ,P )
\Z = A
(F ,P )
\Z.
Ponieważ B\Z
1
⊂ A
(F ,P )
\Z
1
oraz Z
1
⊂ Z, więc:
B\Z ⊂ A
(F ,P )
\Z.
(26)
Niech C ∈ B
(F ,P )
, czyli istnieje taki zbiór C
1
∈ B, że:
P (C
1
4 C) = 0.
20
Z (26) wynika, że C
1
\Z ∈ A
(F ,P )
\Z. Zatem istnieje taki zbiór A ∈ F , że
C
1
\Z = A\Z oraz A
1
∈ A taki, że P (A4A
1
) = 0. Ponieważ dla dowolnego
zbioru D ∈ F mamy:
P (A
1
4A) + P (A4D) P (A
1
4D),
więc wystarczy teraz znaleźć D ∈
F taki, że P (D4A) = 0 oraz D\Z = C\Z.
Połóżmy:
D = ((C ∩ A) ∪ (C\C
1
))\Z ∪ (A ∩ Z) ∈ F .
Korzystając z faktu, że C
1
\Z = A\Z, mamy:
D\Z = ((C ∩ A) ∪ (C\C
1
))\Z = (C ∩ A)\Z ∪ (C\C
1
)\Z =
= C ∩ (A\Z) ∪ (C\C
1
)\Z = C ∩ (C
1
\Z) ∪ (C\C
1
)\Z =
= (C ∩ C
1
∪ C\C
1
)\Z = C\Z.
(27)
Dalej:
D 4 A = (((C ∩ A) ∪ (C\C
1
))\Z ∪ (A ∩ Z)) 4 A =
= (((C ∩ A) ∪ (C\C
1
))\Z ∪ (A ∩ Z)) 4 (A\Z ∪ A ∩ Z) =
= ((C ∩ A) ∪ (C\C
1
))\Z 4 (A\Z) =
= (((C ∩ A) ∪ (C\C
1
)) 4 A)\Z =
= (((C ∩ A) ∪ (C\C
1
) ∪ A)\(((C ∩ A) ∪ (C\C
1
)) ∩ A))\Z =
= ((A∪(C\C
1
))\((A∩C)∪(A∩(C\C
1
))))\Z = ((A∪(C\C
1
))\(A∩C))\Z =
= ((A\C) ∪ (A
c
∩ (C\C
1
)))\Z =
= (A
c
∩ (C\C
1
))\Z ∪ (A\C)\Z =
= (A
c
∩ (C\C
1
))\Z ∪ (C
1
\C)\Z.
Oczywiście ze względu na P (C
1
4 C) = 0 mamy P (C
1
\C) = 0
oraz P (C\C
1
) = 0, stąd:
P (A 4 D) ¬ P ((A
c
∩ (C\C
1
))\Z) + P ((C
1
\C)\Z) ¬
¬ 2P (C\C
1
) + P (C\C
1
) = 0.
Reasumując P (A
1
4 D) = 0. Stąd wynika, że D ∈ A
(F ,P )
, co wobec (27)
daje:
C\Z ∈ A
(F ,P )
\Z.
21
Pokazaliśmy więc, że
B
(F ,P )
\Z ⊂ A
(F ,P )
\Z.
Analogicznie pokazujemy zawieranie w drugą stronę, otrzymując ostatecznie
tezę lematu:
B
(F ,P )
\Z = A
(F ,P )
\Z.
Twierdzenie 4.1.5 Jeśli ρ(A, B) < , ρ(B, A) < oraz E
A
, E
B
: L
∞
→ L
1
,
to:
||E
A
− E
B
||
∞,1
¬ 264.
Dowód :
Zgodnie z twierdzeniem 3.5.1 istnieją zbiory Z
1
∈ σ(A, B), Z
2
∈ σ(B, A)
takie, że:
P (Z
1
), P (Z
2
) ¬ 22,
B\Z
1
⊂ A
(F ,P )
\Z
1
, A\Z
2
⊂ B
(F ,P )
\Z
2
.
Korzystając teraz z lematu 4.1.3 otrzymujemy zbiór Z ∈ σ(B
(F ,P )
, A
(F ,P )
)
taki, że:
P (Z) ¬ 44,
B
(F ,P )
\Z = A
(F ,P )
\Z.
Weźmy teraz dowolne X ∈ L
∞
(Ω, F , P ) takie, że |X| ¬ 1 p.p. Zgodnie z
własnością 2.2.4
|E(X|A)| ¬ 1 p.p.,
|E(X|B)| ¬ 1 p.p.
Oczywiście
R
B
E(X|B)dP =
R
B
XdP ,
R
A
E(X|A)dP =
R
A
XdP , dla dowol-
nych B ∈ B, A ∈ A. Z definicji uzupełnienia wynika, że jest to również
prawda dla zbiorów B ∈ B
(F ,P )
i A ∈ A
(F ,P )
.
Zauważmy jeszcze, że zbiory:
D
1
= {ω ∈ Ω :
E(X|A)(ω) ¬ E(X|B)(ω)}
D
2
= {ω ∈ Ω :
E(X|A)(ω) > E(X|B)(ω)}
należą do sigma ciała σ(A, B).
Mamy:
Z
Ω
|E(X|B)−E(X|A)|dP =
Z
D
1
(E(X|B)−E(X|A))dP +
Z
D
2
(E(X|A)−E(X|B))dP.
22
Stosując teraz lemat 4.1.3 dla zbiorów D
1
, D
2
, zmiennych losowych E(X|A),
E(X|B), X oraz σ-ciał B
(F ,P )
i A
(F ,P )
otrzymujemy:
Z
D
1
(E(X|B) − E(X|A))dP ¬ 3P (Z) ¬ 132
oraz
Z
D
2
(E(X|A) − E(X|B))dP ¬ 3P (Z) ¬ 132.
Sumując nierówności stronami, z dowolności X dostajemy tezę twierdzenia,
czyli:
||E
A
− E
B
||
∞,1
¬ 264
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika następujący wniosek:
Wniosek 4.1.6 Jeśli E
A
, E
B
: L
∞
→ L
1
, to:
||E
A
− E
B
||
∞,1
¬ 264 max(ρ(B, A), ρ(A, B)).
4.2
Przykłady
Przykład 4.2.1 Twierdzenie 4.1.5 nie jest prawdziwe, jeśli będziemy rozpa-
trywać normę || · ||
1,1
. Więcej, dla dowolnego 0 < <
1
2
istnieje przestrzeń
(Ω, F , P ) oraz σ-ciała A, B ∈ F takie, że ρ(A, B) ¬ oraz ρ(B, A) ¬ , a
jednocześnie:
||E
A
− E
B
||
1,1
> 1.
Przyjmijmy:
Ω = [0, 1],
P = λ
1
,
F = B([0, 1])
oraz
A = {∅, [0,
1
2
], (
1
2
, 1], Ω}
B = {∅, [0,
1
2
+ ], (
1
2
+ , 1], Ω}.
Oczywiście ρ(A, B) = oraz ρ(B, A) = . Niech Z = [
1
2
,
1
2
+ ], A = [
1
2
, 1],
B = [0,
1
2
+ ]. Określmy X ∈ L
1
(Ω, F , P ) następującym wzorem:
X =
1
1
Z
.
Wprost z określenia E|X| =
R
Z
XdP = 1. Jednocześnie:
Z
Ω
|E
A
X − E
B
X|dP =
Z
Ω
|1
A
1
P (A)
Z
A
XdP − 1
B
1
P (B)
Z
B
XdP |dP =
23
= 1 − 2 +
1
1 + 2
+
4
1 + 2
= 1 − 2 +
4
2
+ 1
2 + 1
> 1.
Przykład 4.2.2 Przyjmijmy Ω = [0, 1],
P = λ
1
,
F = B([0, 1]). Niech
0 <
n
<
1
2
oraz
n
< δ będą liczbami rzeczywistymi.
A = {∅, [0,
1
2
], (
1
2
, 1], Ω}
A
n
= {∅, [0,
1
2
+
n
], (
1
2
+
n
, 1], Ω}.
Oczywiście ρ(A, A
n
) ¬
n
oraz ρ(A
n
, A) ¬
n
. Niech Z = [
1
2
,
1
2
+ δ], A =
[
1
2
, 1], A
n
= [0,
1
2
+
n
]. Określmy X ∈ L
1
(Ω, F , P ) następującym wzorem:
X = M 1
Z
,
M ∈ R
+
.
Zauważmy, że założenia są podobne do założeń w przykładzie 4.2.1, jednak
zamiast σ-ciała B mamy σ-ciało A
n
. Nietrudno obliczyć, że
E
A
X = 2δM 1
A
,
E
A
n
X = M
2
n
1 + 2
n
1
A
n
+ M
2(δ −
n
)
1 − 2
n
1
A
c
n
.
Jeśli teraz
n
→ 0 to E
A
n
X → E
A
X p.p. W paragrafie 4 udowodnimy ogólną
zależność pomiędzy zbieżnością σ-ciał, a prawie pewną zbieżnością w.w.o.
4.3
Wnioski z twierdzenia o odległości operatorów
Wniosek 4.3.1 Jeśli ρ(A, B) < , ρ(B, A) < , oraz E
A
, E
B
: L
∞
→ L
p
, dla
p 1, to:
||E
A
− E
B
||
∞,p
¬ 2
1−
1
p
(264)
1
p
Dowód :
Weźmy dowolne X ∈ L
∞
(Ω, F , P ) takie, że |X| ¬ 1 p.p. Zgodnie z własnością
2.2.4
|E(X|A)| ¬ 1 p.p.,
|E(X|B)| ¬ 1 p.p.
Stąd i z twierdzenia 4.1.5 otrzymujemy:
Z
Ω
|E
A
X − E
B
X|
p
1
p
dP = 2
Z
Ω
|E
A
X − E
B
X|
2
p
!
1
p
dP ¬
24
¬ 2
Z
Ω
|E
A
X − E
B
X|
2
!
1
p
dP ¬ 2
1−
1
p
(264)
1
p
Wniosek 4.3.2 Jeśli
ρ(A, B) ¬ , ρ(B, A) ¬ oraz E
A
, E
B
: L
∞
→ L
p
, to:
||E
A
− E
B
||
∞,p
¬ 2
1−
1
p
(48)
1
p
W szczególności, gdy p = 1:
||E
A
− E
B
||
∞,1
¬ 48
Dowód :
Zgodnie z twierdzeniem 3.1.1 istnieją zbiory Z
1
∈ A, Z
2
∈ B takie, że:
P (Z
1
), P (Z
2
) ¬ 4,
B\Z
1
⊂ A\Z
1
, A\Z
2
⊂ B\Z
2
.
Postępując analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 4.1.5 otrzymujemy tezę.
25
5
Zbieżność warunkowych wartości oczekiwa-
nych, a zbieżność σ-ciał w metryce ˜
d
5.1
Metryka ˜
d
Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś F rodziną wszyst-
kich pod-σ-ciał F . W rodzinie F wprowadzamy następującą relację r:
ArB
⇔
A
(F ,P )
= B
(F ,P )
,
A, B ∈ F .
Relacja r jest relacją równoważności w zbiorze F, dzieli go zatem na klasy
abstrakcji. W dalszym ciągu pisząc "σ-ciało" będziemy mieli na myśli dowol-
nego reprezentanta klasy abstrakcji wyznaczonej przez to σ-ciało oraz relację
r. Niech F
0
= {[F ] :
F ∈ F}. Zgodnie z przyjętą konwencją elementy F
0
będę
nazywał σ-ciałami. Rozważmy następującą funkcję ˜
d : F
0
× F
0
→ R
+
∪ {0}:
˜
d(A, B) = max(ρ(A, B), ρ(B, A)).
Oczywiście ρ(A, B) = ρ(A
(F ,P )
, B
(F ,P )
), zatem funkcja ρ jest poprawnie zde-
finiowana.
Funkcja ˜
d jest metryką w F. Oczywiście:
∀
A,B∈F
0
˜
d(A, B) 0.
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A = B. Rzeczywiście, jeśli ˜
d(A, B) =
0 to z lematu 4.1.4 oraz twierdzenia 3.5.1 wynika, że A = B. Oczywiście im-
plikacja w drugą stronę również zachodzi. Wprost z definicji wynika, że:
∀
A,B∈F
0
˜
d(A, B) = ˜
d(B, A).
Pozostaje pokazać, że ˜
d spełnia warunek trójkąta. Weźmy dowolne sigma
ciała A, B, C ∈ F
0
, oraz > 0. Mamy:
∀
>0,A∈A
∃
C∈C
P (A4C) < ˜
d(A, C) +
2
(28)
Teraz dla dobranego uprzednio oraz znalezionego zbioru C istnieje zbiór
B ∈ B taki, że:
P (B4C) < ˜
d(B, C) +
2
(29)
Dodając nierówności (28) i (29) stronami otrzymujemy:
P (A4C) + P (C4B) < ˜
d(A, C) + ˜
d(C, B) + .
(30)
Dla dowolnych zbiorów A, B, C mamy:
(A4C) ∪ (C4B) = (A ∪ B)\C ∪ C\(A ∩ B) ⊃
⊃ (A ∪ B)\(A ∩ B) = A4B
Stąd i z (30) otrzymujemy:
∀
>0,A∈A
∃
B∈B
P (A4B) < ˜
d(A, C) + ˜
d(C, B) +
(31)
Postępując analogicznie otrzymujemy:
∀
>0,B∈B
∃
A∈A
P (A4B) < ˜
d(B, C) + ˜
d(C, A) +
(32)
Warunki (31) i (32) mówią nam odpowiednio, że:
ρ(A, B) ¬ ˜
d(A, C) + ˜
d(C, B)
oraz
ρ(B, A) ¬ ˜
d(B, C) + ˜
d(C, A)
Reasumując:
˜
d(A, B) ¬ ˜
d(A, C) + ˜
d(C, B)
Zatem ˜
d jest metryką.
Zbadamy teraz zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych względem σ-
ciał zbieżnych w metryce ˜
d.
5.2
Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a
zbieżność σ-ciał w metryce ˜
d
Twierdzenie 5.2.1 Niech X ∈ L
∞
(Ω, F , P ), A, A
n
∈ F
0
, dla n ∈ N. Jeśli
lim
n→∞
˜
d(A, A
n
) = 0 to:
E(X|A
n
)
n→∞
−→ E(X|A)
w L
p
,
dla dowolnego p 1.
Dowód :
Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że |X| ¬ 1 p.p. Jeśli lim
n→∞
˜
d(A, A
n
) =
0 to istnieje ciąg
n
zbieżny do zera taki, że:
ρ(A
n
, A) <
n
ρ(A, A
n
) <
n
Korzystając z wniosku (4.3.1) otrzymujemy nierówność:
||E
A
n
− E
A
||
∞,p
¬ 2
1−
1
p
(264
n
)
1
p
27
Zatem z założenia |X| ¬ 1 p.p. wynika, że
||E(X|A
n
) − E(X|A)||
p
¬ 2
1−
1
p
(264
n
)
1
p
Stąd i ze zbieżności
n
do zera otrzymujemy tezę.
Z podanego twierdzenia wynika zbieżność w.w.o. według prawdopodobień-
stwa. Powstaje pytanie, czy ciąg jest również zbieżny prawie pewnie? Okazuje
się, że pewne wzmocnienie założeń daje zbieżność prawie pewną.
Twierdzenie 5.2.2 Niech X ∈ L
∞
(Ω, F , P ), A, A
n
∈ F
0
, d
n
= ˜
d(A, A
n
),
dla n ∈ N. Jeśli
P
∞
n=1
d
n
< ∞, to:
E(X|A
n
)
n→∞
−→ E(X|A)
p.p.
Dowód :
Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że |X| ¬ 1 p.p. Weźmy dowolny
> 0. Mamy:
P (|E(X|A
n
) − E(X|A)| ) =
Z
{|E(X|A
n
)−E(X|A)|)}
dP ¬
¬
Z
{|E(X|A
n
)−E(X|A)|)}
|E(X|A
n
) − E(X|A)|dP ¬ ||E
A
− E
A
n
||
∞,1
.
Korzystając teraz z twierdzenia 4.1.5 otrzymujemy:
P
|E(X|A
n
) − E(X|A)|
¬
264d
n
.
(33)
Ponieważ z założenia mamy
P
∞
n=1
d
n
< ∞, więc korzystając z (33) i z lematu
Borela-Cantelliego mamy dla dowolnego > 0:
P
lim sup
n∈N
{|E(X|A
n
) − E(X|A)| }
= 0,
co jest równoważne:
P
lim inf
n∈N
{|E(X|A
n
) − E(X|A)| < }
= 1.
Czyli:
P
lim sup
n∈N
|E(X|A
n
) − E(X|A)| ¬
= 1.
Zatem z dowolności :
E(X|A
n
)
n→∞
−→ E(X|A) p.p.
Na koniec podamy uogólnienie twierdzenia 5.2.1.
28
Twierdzenie 5.2.3 Niech X ∈ L
1
(Ω, F , P ), A, A
n
∈ F
0
, dla n ∈ N. Jeśli
lim
n→∞
˜
d(A, A
n
) = 0 to:
E(X|A
n
)
n→∞
−→ E(X|A)
w L
1
.
Dowód :
Niech X ∈ L
1
(Ω, F , P ). Rozważmy następujące ciągi zmiennych losowych:
X
0
k
= X1
X¬k
oraz
X
k
= X1
X>k
Dla dowolnego k ∈ N zachodzi: X
k
+ X
0
k
= X, X
k
∈ L
1
(Ω, F , P ) oraz
X
0
k
∈ L
∞
(Ω, F , P ). Stąd i z określenia X
k
mamy:
∀
>0
∃
k
0
1
∀
kk
0
Z
Ω
|X
k
|dP ¬ .
(34)
Korzystając z twierdzenia 5.2.1 dla p=1 i zmiennej losowej X
0
k
otrzymujemy:
∀
>0,k∈N
∃
n
0
1
∀
nn
0
Z
Ω
|E(X
0
k
|A
n
) − E(X
0
k
|A)|dP ¬ .
(35)
Weźmy dowolny > 0. Zgodnie z (34) dla
1
4
istnieje takie k
0
, że:
Z
Ω
|X
k
0
|dP ¬
1
4
,
(36)
zaś zgodnie z (35) dla
1
2
istnieje takie n
0
, że dla n n
0
:
Z
Ω
|E(X
0
k
0
|A
n
) − E(X
0
k
0
|A)|dP ¬
1
2
.
(37)
Wykorzystując (36) i (37) otrzymujemy, dla n n
0
:
Z
Ω
|E(X|A
n
) − E(X|A)|dP ¬
Z
Ω
|E(X
0
k
0
|A
n
) − E(X
0
k
0
|A)|dP +
+
Z
Ω
|E(X
k
0
|A
n
) − E(X
k
0
|A)|dP ¬
1
2
+ 2
Z
Ω
|X
k
0
|dP ¬ .
Czyli reasumując:
∀
>0
∃
n
0
1
∀
nn
0
Z
Ω
|E(X|A
n
) − E(X|A)|dP ¬ .
Wykorzystując podobą metodę dowodową można udowodnić następujące twier-
dzenie:
29
Twierdzenie 5.2.4 Niech X ∈ L
1
(Ω, F , P ), A, A
n
∈ F
0
, dla n ∈ N. Jeśli
lim
n→∞
˜
d(A, A
n
) = 0 to:
E(X|A
n
)
n→∞
−→ E(X|A) w L
p
,
dla
p 1.
Dowód :
Analogiczny do dowodu twierdzenia 5.2.3, należy jedynie w końcowych sza-
cowaniach, skorzystać z nierówności Minkowskiego.
5.3
Przykłady
Przykład 5.3.1 Rozpatrzmy przykład analogiczny do 4.2.2.
Niech Ω = [0, 1],
P = λ
1
oraz
A = {∅, [0,
1
2
], (
1
2
, 1], Ω}
A
n
= {∅, [0,
1
2
+ d
n
], (
1
2
+ d
n
, 1], Ω}.
Oczywiście ρ(A, A
n
) ¬ d
n
oraz ρ(A
n
, A) ¬ d
n
. Niech Z = [
1
2
,
1
2
+ δ], A =
[
1
2
, 1], A
n
= [0,
1
2
+ d
n
]. Określmy X ∈ L
1
(Ω, F , P ) następującym wzorem:
X = M 1
Z
,
M ∈ R
+
.
Jak udowodniliśmy w przykładzie 4.2.2
E(X|A
n
)
n→∞
−→ E(X|A)
p.p.
Nie muszą być jednak spełnione założenia twierdzenia 5.2.2. Wystarczy przy-
jąć d
n
=
1
n
.
Przykład 5.3.2
W twierdzeniu 5.2.2 założenie
P
∞
n=1
˜
d(A, A
n
) =
P
∞
n=1
d
n
< ∞ jest istotne,
nie wystarczy by lim
n→∞
d
n
= 0.
Rozpatrzmy następujący ciąg przedziałów:
B
n
= [
1
2
+
n
X
k=1
1
k
,
1
2
+
n+1
X
k=1
1
k
),
dla
n = 3, . . . , N
1
− 1,
gdzie N
1
jest indeksem takim, że:
1
2
+
N
1
X
k=1
1
k
< 1
oraz
1
2
+
N
1
+1
X
k=1
1
k
> 1
30
Zbiór B
N
1
definiujemy następująco:
B
N
1
= [
1
2
+
N
1
X
k=1
1
k
, 1).
Konstrukcję zbiorów B
n
kontynuujemy następująco:
B
n
= [
1
2
+
n
X
k=N
1
+1
1
k
,
1
2
+
n+1
X
k=N
1
+1
1
k
),
dla
N
1
+ 1, . . . , N
2
− 1,
gdzie N
2
jest indeksem takim, że:
1
2
+
N
2
X
k=N
1
+1
1
k
< 1
oraz
1
2
+
N
2
+1
X
k=N
1
+1
1
k
> 1
Tak jak poprzednio określamy zbiór B
N
2
:
B
N
2
= [
1
2
+
N
2
X
k=N
1
+1
1
k
, 1).
W analogiczny sposób określamy zbiory B
n
dla N
k
¬ n ¬ N
k+1
. Ponieważ
szereg
P
∞
n=3
1
n
jest rozbieżny, więc istnieje nieskończony ciąg indeksów N
k
.
Niech teraz (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, gdzie:
Ω = [0, 1],
F = Borel([0, 1]),
P = λ
1
.
Niech A = [0,
1
2
) oraz A = {∅, Ω, A, A
c
}. Określmy następujący ciąg σ-ciał:
A
n
= {∅, Ω, A ∪ B
n
, A
c
\B
n
}
Wprost z określenia mamy:
0 ¬ lim
n→∞
˜
d(A, A
n
) ¬ lim
n→∞
1
n + 1
= 0.
Czyli lim
n→∞
d
n
= 0.
Określimy teraz zmienną losową X w następujący sposób:
X(ω) = 1
(
1
2
,
3
4
)
(ω).
Nietrudno zauważyć, że:
E(X|A) =
1
2
1
A
c
=
1
2
1
[
1
2
,1]
.
(38)
31
Z rozbieżności szeregu
P
∞
n=3
d
n
wnioskujemy, że dla dowolnego N > 3, N ∈ N
istnieją indeksy k
0
, n
0
∈ N, k
0
, n
0
> N takie, że:
(
9
12
,
10
12
) ⊂
n
0
[
n=k
0
B
n
⊂ (
3
4
, 1).
(39)
Teraz dla n ∈ [k
0
, n
0
] mamy:
E(X|A
n
) =
n + 1
2n − 2
1
A
c
\B
n
.
Czyli:
E(X|A
n
)(ω) = 0
dla
ω ∈ B
n
.
Stąd wykorzystując (38) i (39) mamy:
P
E(X|A
n
) → E(X|A)
¬
11
12
,
Czyli nie zachodzi prawie pewna zbieżność w.w.o.
32
6
Literatura
[1] P. Billingsley, "Prawdopodobieństwo i miara", PWN, Warszawa 1987
[2] J. Jakubowski, R. Sztencel, "Wstęp do teorii prawdopodobieństwa", SCRIPT,
Warszawa 2001
[3] R. Jajte, A. Paszkiewicz, "Pseudo-martingales", Probability and Mathe-
matical Statistics Vol. 19, Fasc. 1(1999), pp. 181-201
[4] A. Komisarski, A. Paszkiewicz, "On aproximation of σ-fields", W przy-
gotowaniu do druku
[5] D. Revuz, M. Yor, "Continuous martingales and Brownian motion", 3ed.,
Springer, 1999
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron