Kolokwium końcowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunek EiT gr. 1-8, 2 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału

zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=0

(−1)

n

(3x)

n

n

2

+ 5

[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = ∞. Odpowiedź
uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.

2. [4p.] Znaleźć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności

∞

X

n=1

x

n

n7

n

3. [4p.] a) Rozwinąć funkcję f (x) =

1

x

2

− x − 2

w szereg Maclaurina. Podać przedział

zbieżności otrzymanego szeregu.
[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych sinusów (bez wyznaczania go).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Rozwiązać równanie



y

0

−

y

x



arctg

y

x

= 1

przy zadanym warunku początkowym y(1) = 0.

5. [4p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+ x

2

y = x

2

spełniającą warunek począt-

kowy y(2) = 1.
[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego Bernoulli’ego i opisać sposób jego
rozwiązywania.

6. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe (ln y − 2x)dx +

x

y

− 2y

!

dy = 0 jest zupełne

i wyznaczyć jego całkę ogólną.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

+ 16y = e

2x

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y

0

(0) = 1.

Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace’a.