PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
1.3 WYKŁAD
1.3 WYKŁAD
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2
2.2. CI
Ą
GŁE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIER’A
-
TRANSFORMATA FOURIER’A
-
DEF.:
Ci
ą
głym przekształceniem Fourier’a, lub krótko –
PRZEKSZTAŁCENIEM FOURIER’A, dokonanym
na funkcji f(t) nazywamy przekształcenie całkowe
o postaci:
∫
∞
∞
−
ω
−
⋅
=
ω
=
ℑ
dt
e
)
t
(
f
)
(
F
)}
t
(
f
{
t
j
( 2.2.1 )
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
3
2.2 CI
Ą
GŁE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIER’A
-
TRANSFORMATA FOURIER’A
-
ODWROTNYM PRZEKSZTAŁCENIEM
FOURIER’A, nazywamy przekształcenie całkowe
o postaci:
∫
∞
∞
−
ω
−
ω
⋅
⋅
ω
π
=
=
ω
ℑ
d
e
)
(
F
2
1
)
t
(
f
)}
(
F
{
t
j
1
( 2.2.2 )
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
4
2.2.
TRANSFORMATA FOURIER’A
-
Warunki istnienia -
WARUNKI DIRICHLETA
WARUNKI DIRICHLETA
-
funkcja f(t) jest jednowarto
ś
ciowa i ma w ka
ż
dym
sko
ń
czonym przedziale czasowym sko
ń
czon
ą
liczb
ę
maksimów i minimów,
funkcja f(t) ma sko
ń
czon
ą
liczb
ę
nieci
ą
gło
ś
ci w
dowolnym sko
ń
czonym przedziale czasu,
funkcja f(t) jest bezwzgl
ę
dnie całkowalna:
∫
∞
∞
−
∞
<
dt
)
t
(
f
(2.2.3 )
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
5
2.2.
TRANSFORMATA FOURIER’A
-
Warunki istnienia - WARUNKI DIRICHLETA -
Warunek (2.2.3) bezwzgl
ę
dnej całkowalno
ś
ci funkcji f(t) jest
warunkiem wystarczaj
ą
cym ale NIE KONIECZNYM istnienia
transformaty Fouriera.
Istniej
ą
funkcje osobliwe (np.:
f. impulsowe
:
δ
(t),
1111
(t),
sin
ω
t
,
cos
ω
t
),
które nie s
ą
bezwzgl
ę
dnie całkowalne, lecz maj
ą
transformaty.
Funkcje, które nie spełniaj
ą
powy
ż
szego warunku, i –
ś
ci
ś
le mówi
ą
c –
nie maja transformaty Fouriera, maj
ą
je w sensie dystrybucyjnym.
Wszystkie sygnały o sko
ń
czonej energii, czyli spełniaj
ą
ce warunek:
s
ą
transformowane w sensie Fouriera.
∫
∞
∞
−
∞
<
dt
)
t
(
f
2
( 2.2.4)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
6
2.2.
TRANSFORMATA FOURIER’A
- widmo amplitudowe i fazowe
Przez PRZEKSZTAŁCENIE FOURIER’A funkcji f(t)
mo
ż
na przyporz
ą
dkowa
ć
jej transformat
ę
F(
ω
),
b
ę
d
ą
c
ą
FUNKCJ
Ą
ZESPOLON
Ą
zmiennej
rzeczywistej
ω
:
przy czym:
IF(
ω
)I - CI
Ą
GŁE WIDMO AMPLITUDOWE
ϕ
(
ω
)
- CI
Ą
GŁE WIDMO FAZOWE
)
(
j
e
)
(
F
)
(
F
ω
ϕ
⋅
ω
=
ω
( 2.2.5)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
7
2.2.
TRANSFORMATA FOURIER’A
- widmo amplitudowe i fazowe
Dla rzeczywistej funkcji f(t):
F(-
ω
)= F*(
ω
), co oznacza
IF(-
ω
)I= IF(
ω
)I
-
WIDMO AMPLITUDOWE
-
jest
PARZYSTĄ
funkcj
ą
ω
ϕ
(-
ω
) = -
ϕ
(
ω
)
-
WIDMO FAZOWE
-
jest
NIEPARZYSTĄ
funkcj
ą
ω
WIDMO AMPLITUDOWE
WIDMO FAZOWE
Rys. 2.2.1.
IF(
ω
)I
ω
1
k
k
ω
ω
=
π
/2
ω
ϕ
( )
ω
-
π
/2
ℑ
{f(t)}=
ℑ
{e
-t
1(t)}
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
8
2.2.
TRANSFORMATY FOURIER’A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
2. DWUSTRONNY SYGNAŁ WYKŁADNICZY
f (t) = e
-
α
ItI
1. JEDNOSTRONNY SYGNAŁ WYKŁADNICZY
f (t) = e
-
α
t
1(t)
α
ω
−
∞
∞
−
ω
+
α
−
∞
∞
−
ω
−
α
−
ω
+
α
=
ω
+
α
=
=
=
ω
∫
∫
jarctg
2
2
t
)
j
(
t
j
t
e
1
j
1
dt
e
dt
e
)
t
(
1
e
)
(
F
t
1
t
1
ω
1/
α
π
/2
-
π
/2
0
)
(
;
2
dt
e
dt
e
dt
e
e
)
(
F
2
2
0
t
)
j
(
0
t
)
j
(
t
j
t
=
ω
ϕ
ω
+
α
=
+
=
⋅
=
ω
∫
∫
∫
∞
ω
+
α
−
∞
−
ω
−
α
∞
∞
−
ω
−
α
−
F(
ω
)=IF(
ω
)I
ω
2/
α
IF(
ω
)I
ϕ
( )
ω
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
9
2.2.
TRANSFORMATY FOURIER’A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
4.
FUNKCJA (bramka) TRÓJKĄTNA
3.
FUNKCJA (bramka) PROSTOKĄTNA
}
2
{
Sa
2
2
sin
)
e
e
(
j
1
dt
e
1
)
(
F
2
j
2
j
2
2
t
j
ωτ
⋅
τ
=
ωτ
ωτ
τ
=
−
ω
=
⋅
=
ω
ωτ
−
ωτ
τ
τ
−
ω
−
∫
τ
−
−
τ
+
=
τ
>
τ
<
=
τ
Π
=
)
2
t
(
1
)
2
t
(
1
2
t
,
0
2
t
,
1
)
t
(
)
t
(
f
df
-
τ
/2
τ
/2
t
1
ω
τ
τ
π
2
τ
π
−
2
τ
π
−
4
τ
π
4
τ
π
6
τ
π
−
6
τ
>
τ
<
τ
−
=
τ
Λ
=
t
,
0
t
,
t
1
)
t
(
)
t
(
f
t
1
τ
-
τ
}
2
{
Sa
)
2
(
2
sin
dt
e
)
t
1
(
)
(
F
2
2
2
t
j
ωτ
⋅
τ
=
ωτ
ωτ
τ
=
⋅
τ
−
=
ω
∫
τ
τ
−
ω
−
ω
τ
τ
π
2
τ
π
4
τ
π
6
τ
π
−
2
τ
π
−
4
τ
π
−
6
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
10
2.2.
TRANSFORMATY FOURIER’A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
π
[
δ
(
ω
+
ω
0
)+
δ
(
ω
-
ω
0
)]
cos
ω
0
t
9.
j
π
[
δ
(
ω
+
ω
0
)-
δ
(
ω
-
ω
0
)]
sin
ω
0
t
10.
π δ
(
ω
)+(j
ω
)
-1
1
(t)
8.
2
π δ
(
ω
)
1
7.
11.
6.
5.
t
1
δ
(t)
F (
ω
)
f (t)
2
2
ω
−
}
2
t
{
Sa
2
⋅
τ
⋅
π
τ
}
{
τ
ω
Π
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
11
2.2.
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
PRZEKSZTAŁCENIE FOURIER’A jest pewnym
ś
rodkiem do
wyra
ż
ania funkcji przez jej składowe wykładnicze o ró
ż
nych
cz
ę
stotliwo
ś
ciach.
Transformata jest zatem innym sposobem przedstawiania tej
funkcji.
Mamy wi
ę
c dwa opisy tej samej funkcji:
w
DZIEDZINIE CZASU
DZIEDZINIE CZASU
i
w
DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI
.
Bardzo pogl
ą
dowe jest badanie efektu w jednej dziedzinie,
spowodowanego pewnymi operacjami (np. ró
ż
niczkowania,
przesuwania w dziedzinie, skalowania, itp. ) na funkcji w innej
dziedzinie.
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
12
2.2.
2.2.
REPREZENTACJA SYGNAŁU W DWÓCH DZIEDZINACH
REPREZENTACJA SYGNAŁU W DWÓCH DZIEDZINACH
t
t
t
t
ω
2
ω
1
3
ω
1
4
ω
1
ω
1
T
1
=2
π
/
ω
1
T
2
=T
1
/2
T
3
=T
1
/3
T
4
=T
1
/4
IF
k
(k
ω
1
)I
f(t)
IF
(
ω
)I
Rys. 2.2.2.
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
13
2.2.
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
a
1
F
1
(
ω
)+ a
2
F
2
(
ω
)
a
1
f
1
(t)+a
2
f
2
(t)
LINIOWŚĆ
LINIOWŚĆ
1
f (at)
PODOBIEŃSTWO
PODOBIEŃSTWO
2
f(t) e
-j
ω
o
t
f (t – t
0
)
f (t)
F(
ω
-
ω
0
)
PRZESUNIĘCIE
PRZESUNIĘCIE
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
-
-
Tw
Tw
. O MODULACJI
. O MODULACJI
4
F(
ω
) e
-j
ω
t
o
PRZESUNIĘCIE
PRZESUNIĘCIE
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
3
F (
ω
)
WŁA
Ś
CIWO
ŚĆ
L.p
)
a
(
F
a
1
ω
Poni
ż
ej przedstawimy przegl
ą
d wła
ś
ciwo
ś
ci przekształcenia
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
14
2.2.
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
(- jt)
n
f (t)
RÓśNICZKOWANIE
RÓśNICZKOWANIE
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
6
(j
ω
)
n
F (
ω
)
RÓśNICZKOWANIE
RÓśNICZKOWANIE
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
5
CAŁKOWANIE
CAŁKOWANIE
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
7
f (t)
F (
ω
)
WŁA
Ś
CIWO
ŚĆ
L.p
)
dt
)
t
(
f
d
n
n
τ
⋅
τ
∫
d
)
(
f
t
0
)
(
F
j
1
ω
⋅
ω
)
d
)
(
F
d
n
n
ω
ω
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
15
2.2.
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
F
1
(
ω
) · F
2
(
ω
)
SPLOT
SPLOT
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
8
f
1
(t)·
f
2
(t)
SPLOT
SPLOT
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
9
G
Ę
STO
ŚĆ
WIDMOWA
ENARGII
ENARGIA
[R=1
Ω
; i(t) lub u(t) = f(t)]
ENERGIA
ENERGIA
-
-
wzór
wzór
PARSEVAL’A
PARSEVAL’A
10
f (t)
F (
ω
)
WŁA
Ś
CIWO
ŚĆ
L.p
)]
(
F
)
(
F
[
2
1
2
1
ω
∗
ω
⋅
π
∫
∞
∞
−
dt
)
t
(
f
2
∫
∞
∞
−
ω
ω
π
d
)
(
F
2
1
2
∫
∞
−∞
=
τ
τ
⋅
τ
−
⋅
τ
=
∗
d
)
t
(
f
)
(
f
)
t
(
f
)
t
(
f
2
1
2
1
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
16
Niech pobudzenie pewnego STABILNEGO układu SLS o
charakterystyce impulsowej*
/
h(t) b
ę
dzie bezwzgl
ę
dnie
całkowaln
ą
funkcj
ą
czasu.
Reakcj
ę
układu na pobudzenie p(t) mo
ż
na wyznaczy
ć
stosuj
ą
c CAŁK
Ę
SPLOTU:
r(t) = p(t) * h(t)
Po
ℑ
- przekształceniu tej równo
ś
ci otrzymujemy:
R(
ω
) = P(
ω
) H(j
ω
)
gdzie: R(
ω
)=
ℑ
{r(t)}, P(
ω
)=
ℑ
{p(t)}, H(j
ω
)=
ℑ
{h(t)}
2.2.1.
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
( 2.2.6)
( 2.2.7)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
17
Wielko
ść
H(j
ω
) nazywa si
ę
CHARAKTERYSTYK
CHARAKTERYSTYK
Ą
Ą
WIDMOW
WIDMOW
Ą
Ą
układu
Zespolon
ą
funkcj
ę
zmiennej rzeczywistej
ω
mo
ż
na
zapisa
ć
w postaci:
H(j
ω
) = IH(j
ω
)I e
j
θ
(
ω
)
przy czym:
IH(j
ω
ω
ω
ω
)I
=
A(
ω
ω
ω
ω
)
–
AMPLITUDOWA CHARAKTERYSTYKA
WIDMOWA
θθθθ
(
ω
ω
ω
ω
)
-
FAZOWA CHARAKTERYSTYKA
WIDMOWA
2.2.1.
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
( 2.2.8)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
18
B
ę
dziemy rozwa
ż
a
ć
tylko układy
ś
ci
ś
le stabilne, tj. takie
dla których
2.2.1.
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
∫
∞
∞
−
∞
<
dt
)
t
(
h
( 2.2.9)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
19
CHARAKTERYSTYKĄ IMPULSOWĄ
h(t) lub
REAKCJĄ IMPULSOWĄ
układu,
nazywamy reakcj
ę
wywołan
ą
przez pobudzenie
p(t) =
δ
(t)
Uwzgl
ę
dniaj
ą
c,
ż
e
ℑ
{
δ
(t)}=1,z równania R(s) = H(s) P(s)
otrzymujemy:
h(t) =
ℑ
-1
{H (s)}
REAKCJA IMPULSOWA
h(t) jest zatem równa odwrotnej
transformacie Laplace’a funkcji układu H(s):
2.2.2.
CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKŁADU
CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKŁADU
∫
∫
+
+
−
−
−
τ
⋅
τ
⋅
τ
−
=
τ
⋅
τ
⋅
τ
−
=
=
∗
=
⋅
ℑ
=
t
0
t
0
1
d
)
(
p
)
t
(
h
d
)
(
h
)
t
(
p
)
t
(
p
)
t
(
h
)}
s
(
P
)
s
(
H
{
)
t
(
r
( 2.2.10)
( 2.2.11)
( 2.2.12)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
20
2.2.3.
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
2.2.3.
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
Cz
ę
sto w praktyce konstruuje si
ę
układy, które w
sposób celowy powinny wprowadza
ć
zniekształcenia
(przekształcenie) sygnału wej
ś
ciowego.
Przykładem mog
ą
by
ć
UKŁADY RÓ
ś
NICZKUJ
Ą
CE,
UKŁADY CAŁKUJ
Ą
CE,
UKŁADY MNO
śĄ
CE,
UKŁADY SUMUJ
Ą
CE,
UKŁADY ODWRACAJ
Ą
CE,
ITP.
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
21
2.2.4.
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁAD RÓ
ś
NICZKUJ
Ą
CY
Reakcja r(t) układu ró
ż
niczkuj
ą
cego powinna by
ć
proporcjonalna do pochodnej pobudzenia p(t):
τ
r
jest współczynnikiem proporcjonalno
ś
ci o wymiarze czasu.
Dokonuj
ą
c przekształcenia Fourier’a na (15.12)
otrzymujemy:
Co oznacza,
ż
e charakterystyka widmowa układu
ró
ż
niczkuj
ą
cego jest wyra
ż
ona wzorem
)
t
(
p
dt
d
)
t
(
r
r
⋅
τ
=
( 2.2.13)
)
(
P
j
)
(
R
r
r
ω
⋅
ωτ
=
ω
r
r
j
)
j
(
H
ωτ
=
ω
( 2.2.14)
( 2.2.15)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
22
2.2.4. UKŁAD RÓ
ś
NICZKUJ
Ą
CY
Schemat układu ró
ż
niczkuj
ą
cego
przedstawiono na rys. 15.3.
Charakterystyka widmowa układu:
Je
ś
li parametry dobierze si
ę
tak,
ż
e
ω
RC<<1,
Układ mo
ż
e w przybli
ż
eniu realizowa
ć
operacj
ę
ró
ż
niczkowania
Przy czym:
-
stała czasowa MUSI by
ć
jak najmniejsza
r
j
RC
j
)
j
(
H
ωτ
=
ω
≅
ω
RC
j
1
RC
j
)
j
(
H
r
ω
+
ω
=
ω
PRZYKŁAD 2.2.1
PRZYKŁAD 2.2.1
Rys. 2.2.3.
U
2
C
R
U
1
max
r
1
RC
ω
<<
=
τ
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
23
2.2.5.
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁAD CAŁKUJ
Ą
CY
Reakcja r(t) układu całkuj
ą
cego powinna by
ć
proporcjonalna do całki pobudzenia p(t):
lub
Charakterystyka widmowa układu całkuj
ą
cego jest zatem
wyra
ż
ona wzorem:
dt
)
t
(
p
k
)
t
(
r
⋅
⋅
≈
∫
( 2.2.16)
)
(
P
j
1
)
(
R
)
t
(
p
)
t
(
r
dt
d
r
c
{.}
C
ω
⋅
ωτ
=
ω
=
τ
↔
ℑ
C
C
j
1
)
j
(
H
ωτ
=
ω
( 2.2.17)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
24
Schemat układu całkuj
ą
cego przedstawiono na rys.
15.4.
Charakterystyka widmowa układu:
Je
ś
li parametry dobierze si
ę
tak,
ż
e
ω
RC>>1,
Układ mo
ż
e w przybli
ż
eniu realizowa
ć
operacj
ę
całkowania, poniewa
ż
Przy czym:
-
stała czasowa MUSI by
ć
jak najwi
ę
ksza
2.2.5. UKŁAD CAŁKUJ
Ą
CY
min
C
1
RC
ω
>>
=
τ
C
C
j
1
RC
j
1
)
j
(
H
ωτ
=
ω
≅
ω
Rys. 2.2.4.
U
2
C
R
U
1
RC
j
1
1
)
j
(
H
ω
+
=
ω
PRZYKŁAD 2.2.2
PRZYKŁAD 2.2.2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron