PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
1.3 WYKŁAD
1.3 WYKŁAD
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
1.3 WYKŁAD
1.3 WYKŁAD
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2
2.2. CI
Ą
GŁE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIER’A
-
TRANSFORMATA FOURIER’A
-
DEF.:
Ci
ą
głym przekształceniem Fourier’a, lub krótko –
PRZEKSZTAŁCENIEM FOURIER’A, dokonanym
na funkcji f(t) nazywamy przekształcenie całkowe
o postaci:
∫
∞
∞
−
ω
−
⋅
=
ω
=
ℑ
dt
e
)
t
(
f
)
(
F
)}
t
(
f
{
t
j
( 2.2.1 )
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
3
2.2 CI
Ą
GŁE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIER’A
-
TRANSFORMATA FOURIER’A
-
ODWROTNYM PRZEKSZTAŁCENIEM
FOURIER’A, nazywamy przekształcenie całkowe
o postaci:
∫
∞
∞
−
ω
−
ω
⋅
⋅
ω
π
=
=
ω
ℑ
d
e
)
(
F
2
1
)
t
(
f
)}
(
F
{
t
j
1
( 2.2.2 )
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
4
2.2.
TRANSFORMATA FOURIER’A
-
Warunki istnienia -
WARUNKI DIRICHLETA
WARUNKI DIRICHLETA
-
funkcja f(t) jest jednowarto
ś
ciowa i ma w ka
Ŝ
dym
sko
ń
czonym przedziale czasowym sko
ń
czon
ą
liczb
ę
maksimów i minimów,
funkcja f(t) ma sko
ń
czon
ą
liczb
ę
nieci
ą
gło
ś
ci w
dowolnym sko
ń
czonym przedziale czasu,
funkcja f(t) jest bezwzgl
ę
dnie całkowalna:
∫
∞
∞
−
∞
<
dt
)
t
(
f
(2.2.3 )
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
5
2.2.
TRANSFORMATA FOURIER’A
-
Warunki istnienia - WARUNKI DIRICHLETA -
Warunek (2.2.3) bezwzgl
ę
dnej całkowalno
ś
ci funkcji f(t) jest
warunkiem wystarczaj
ą
cym ale NIE KONIECZNYM istnienia
transformaty Fouriera.
Istniej
ą
funkcje osobliwe (np.:
f. impulsowe
:
δ
(t),
1111
(t),
sin
ω
t
,
cos
ω
t
),
które nie s
ą
bezwzgl
ę
dnie całkowalne, lecz maj
ą
transformaty.
Funkcje, które nie spełniaj
ą
powy
Ŝ
szego warunku, i –
ś
ci
ś
le mówi
ą
c –
nie maja transformaty Fouriera, maj
ą
je w sensie dystrybucyjnym.
Wszystkie sygnały o sko
ń
czonej energii, czyli spełniaj
ą
ce warunek:
s
ą
transformowane w sensie Fouriera.
∫
∞
∞
−
∞
<
dt
)
t
(
f
2
( 2.2.4)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
6
2.2.
TRANSFORMATA FOURIER’A
- widmo amplitudowe i fazowe
Przez PRZEKSZTAŁCENIE FOURIER’A funkcji f(t)
mo
Ŝ
na przyporz
ą
dkowa
ć
jej transformat
ę
F(
ω
),
b
ę
d
ą
c
ą
FUNKCJ
Ą
ZESPOLON
Ą
zmiennej
rzeczywistej
ω
:
przy czym:
IF(
ω
)I - CI
Ą
GŁE WIDMO AMPLITUDOWE
ϕ
(
ω
)
- CI
Ą
GŁE WIDMO FAZOWE
)
(
j
e
)
(
F
)
(
F
ω
ϕ
⋅
ω
=
ω
( 2.2.5)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
7
2.2.
TRANSFORMATA FOURIER’A
- widmo amplitudowe i fazowe
Dla rzeczywistej funkcji f(t):
F(-
ω
)= F*(
ω
), co oznacza
IF(-
ω
)I= IF(
ω
)I
-
WIDMO AMPLITUDOWE
-
jest
PARZYSTĄ
funkcj
ą
ω
ϕ
(-
ω
) = -
ϕ
(
ω
)
-
WIDMO FAZOWE
-
jest
NIEPARZYSTĄ
funkcj
ą
ω
WIDMO AMPLITUDOWE
WIDMO FAZOWE
Rys. 2.2.1.
IF(
ω
)I
ω
1
k
k
ω
ω
=
π
/2
ω
ϕ
( )
ω
-
π
/2
ℑ
{f(t)}=
ℑ
{e
-t
1(t)}
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
8
2.2.
TRANSFORMATY FOURIER’A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
2. DWUSTRONNY SYGNAŁ WYKŁADNICZY
f (t) = e
-
α
ItI
1. JEDNOSTRONNY SYGNAŁ WYKŁADNICZY
f (t) = e
-
α
t
1(t)
α
ω
−
∞
∞
−
ω
+
α
−
∞
∞
−
ω
−
α
−
ω
+
α
=
ω
+
α
=
=
=
ω
∫
∫
jarctg
2
2
t
)
j
(
t
j
t
e
1
j
1
dt
e
dt
e
)
t
(
1
e
)
(
F
t
1
t
1
ω
1/
α
π
/2
-
π
/2
0
)
(
;
2
dt
e
dt
e
dt
e
e
)
(
F
2
2
0
t
)
j
(
0
t
)
j
(
t
j
t
=
ω
ϕ
ω
+
α
=
+
=
⋅
=
ω
∫
∫
∫
∞
ω
+
α
−
∞
−
ω
−
α
∞
∞
−
ω
−
α
−
F(
ω
)=IF(
ω
)I
ω
2/
α
IF(
ω
)I
ϕ
( )
ω
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
9
2.2.
TRANSFORMATY FOURIER’A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
4.
FUNKCJA (bramka) TRÓJKĄTNA
3.
FUNKCJA (bramka) PROSTOKĄTNA
}
2
{
Sa
2
2
sin
)
e
e
(
j
1
dt
e
1
)
(
F
2
j
2
j
2
2
t
j
ωτ
⋅
τ
=
ωτ
ωτ
τ
=
−
ω
=
⋅
=
ω
ωτ
−
ωτ
τ
τ
−
ω
−
∫
τ
−
−
τ
+
=
τ
>
τ
<
=
τ
Π
=
)
2
t
(
1
)
2
t
(
1
2
t
,
0
2
t
,
1
)
t
(
)
t
(
f
df
-
τ
/2
τ
/2
t
1
ω
τ
τ
π
2
τ
π
−
2
τ
π
−
4
τ
π
4
τ
π
6
τ
π
−
6
τ
>
τ
<
τ
−
=
τ
Λ
=
t
,
0
t
,
t
1
)
t
(
)
t
(
f
t
1
τ
-
τ
}
2
{
Sa
)
2
(
2
sin
dt
e
)
t
1
(
)
(
F
2
2
2
t
j
ωτ
⋅
τ
=
ωτ
ωτ
τ
=
⋅
τ
−
=
ω
∫
τ
τ
−
ω
−
ω
τ
τ
π
2
τ
π
4
τ
π
6
τ
π
−
2
τ
π
−
4
τ
π
−
6
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
10
2.2.
TRANSFORMATY FOURIER’A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
π
[
δ
(
ω
+
ω
0
)+
δ
(
ω
-
ω
0
)]
cos
ω
0
t
9.
j
π
[
δ
(
ω
+
ω
0
)-
δ
(
ω
-
ω
0
)]
sin
ω
0
t
10.
π δ
(
ω
)+(j
ω
)
-1
1
(t)
8.
2
π δ
(
ω
)
1
7.
11.
6.
5.
t
1
δ
(t)
F (
ω
)
f (t)
2
2
ω
−
}
2
t
{
Sa
2
⋅
τ
⋅
π
τ
}
{
τ
ω
Π
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
11
2.2.
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
PRZEKSZTAŁCENIE FOURIER’A jest pewnym
ś
rodkiem do
wyra
Ŝ
ania funkcji przez jej składowe wykładnicze o ró
Ŝ
nych
cz
ę
stotliwo
ś
ciach.
Transformata jest zatem innym sposobem przedstawiania tej
funkcji.
Mamy wi
ę
c dwa opisy tej samej funkcji:
w
DZIEDZINIE CZASU
DZIEDZINIE CZASU
i
w
DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI
.
Bardzo pogl
ą
dowe jest badanie efektu w jednej dziedzinie,
spowodowanego pewnymi operacjami (np. ró
Ŝ
niczkowania,
przesuwania w dziedzinie, skalowania, itp. ) na funkcji w innej
dziedzinie.
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
12
2.2.
2.2.
REPREZENTACJA SYGNAŁU W DWÓCH DZIEDZINACH
REPREZENTACJA SYGNAŁU W DWÓCH DZIEDZINACH
t
t
t
t
ω
2
ω
1
3
ω
1
4
ω
1
ω
1
T
1
=2
π
/
ω
1
T
2
=T
1
/2
T
3
=T
1
/3
T
4
=T
1
/4
IF
k
(k
ω
1
)I
f(t)
IF
(
ω
)I
Rys. 2.2.2.
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
13
2.2.
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
a
1
F
1
(
ω
)+ a
2
F
2
(
ω
)
a
1
f
1
(t)+a
2
f
2
(t)
LINIOWŚĆ
LINIOWŚĆ
1
f (at)
PODOBIEŃSTWO
PODOBIEŃSTWO
2
f(t) e
-j
ω
o
t
f (t – t
0
)
f (t)
F(
ω
-
ω
0
)
PRZESUNIĘCIE
PRZESUNIĘCIE
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
-
-
Tw
Tw
. O MODULACJI
. O MODULACJI
4
F(
ω
) e
-j
ω
t
o
PRZESUNIĘCIE
PRZESUNIĘCIE
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
3
F (
ω
)
WŁA
Ś
CIWO
ŚĆ
L.p
)
a
(
F
a
1
ω
Poni
Ŝ
ej przedstawimy przegl
ą
d wła
ś
ciwo
ś
ci przekształcenia
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
14
2.2.
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
(- jt)
n
f (t)
RÓśNICZKOWANIE
RÓśNICZKOWANIE
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
6
(j
ω
)
n
F (
ω
)
RÓśNICZKOWANIE
RÓśNICZKOWANIE
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
5
CAŁKOWANIE
CAŁKOWANIE
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
7
f (t)
F (
ω
)
WŁA
Ś
CIWO
ŚĆ
L.p
)
dt
)
t
(
f
d
n
n
τ
⋅
τ
∫
d
)
(
f
t
0
)
(
F
j
1
ω
⋅
ω
)
d
)
(
F
d
n
n
ω
ω
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
15
2.2.
WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER’A
F
1
(
ω
) · F
2
(
ω
)
SPLOT
SPLOT
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
8
f
1
(t)·
f
2
(t)
SPLOT
SPLOT
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
9
G
Ę
STO
ŚĆ
WIDMOWA
ENARGII
ENARGIA
[R=1
Ω
; i(t) lub u(t) = f(t)]
ENERGIA
ENERGIA
-
-
wzór
wzór
PARSEVAL’A
PARSEVAL’A
10
f (t)
F (
ω
)
WŁA
Ś
CIWO
ŚĆ
L.p
)]
(
F
)
(
F
[
2
1
2
1
ω
∗
ω
⋅
π
∫
∞
∞
−
dt
)
t
(
f
2
∫
∞
∞
−
ω
ω
π
d
)
(
F
2
1
2
∫
∞
−∞
=
τ
τ
⋅
τ
−
⋅
τ
=
∗
d
)
t
(
f
)
(
f
)
t
(
f
)
t
(
f
2
1
2
1
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
16
Niech pobudzenie pewnego STABILNEGO układu SLS o
charakterystyce impulsowej*
/
h(t) b
ę
dzie bezwzgl
ę
dnie
całkowaln
ą
funkcj
ą
czasu.
Reakcj
ę
układu na pobudzenie p(t) mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
stosuj
ą
c CAŁK
Ę
SPLOTU:
r(t) = p(t) * h(t)
Po
ℑ
- przekształceniu tej równo
ś
ci otrzymujemy:
R(
ω
) = P(
ω
) H(j
ω
)
gdzie: R(
ω
)=
ℑ
{r(t)}, P(
ω
)=
ℑ
{p(t)}, H(j
ω
)=
ℑ
{h(t)}
2.2.1.
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
( 2.2.6)
( 2.2.7)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
17
Wielko
ść
H(j
ω
) nazywa si
ę
CHARAKTERYSTYK
CHARAKTERYSTYK
Ą
Ą
WIDMOW
WIDMOW
Ą
Ą
układu
Zespolon
ą
funkcj
ę
zmiennej rzeczywistej
ω
mo
Ŝ
na
zapisa
ć
w postaci:
H(j
ω
) = IH(j
ω
)I e
j
θ
(
ω
)
przy czym:
IH(j
ω
ω
ω
ω
)I
=
A(
ω
ω
ω
ω
)
–
AMPLITUDOWA CHARAKTERYSTYKA
WIDMOWA
θθθθ
(
ω
ω
ω
ω
)
-
FAZOWA CHARAKTERYSTYKA
WIDMOWA
2.2.1.
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
( 2.2.8)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
18
B
ę
dziemy rozwa
Ŝ
a
ć
tylko układy
ś
ci
ś
le stabilne, tj. takie
dla których
2.2.1.
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW PRZEZ UKŁADY
∫
∞
∞
−
∞
<
dt
)
t
(
h
( 2.2.9)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
19
CHARAKTERYSTYKĄ IMPULSOWĄ
h(t) lub
REAKCJĄ IMPULSOWĄ
układu,
nazywamy reakcj
ę
wywołan
ą
przez pobudzenie
p(t) =
δ
(t)
Uwzgl
ę
dniaj
ą
c,
Ŝ
e
ℑ
{
δ
(t)}=1,z równania R(s) = H(s) P(s)
otrzymujemy:
h(t) =
ℑ
-1
{H (s)}
REAKCJA IMPULSOWA
h(t) jest zatem równa odwrotnej
transformacie Laplace’a funkcji układu H(s):
2.2.2.
CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKŁADU
CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKŁADU
∫
∫
+
+
−
−
−
τ
⋅
τ
⋅
τ
−
=
τ
⋅
τ
⋅
τ
−
=
=
∗
=
⋅
ℑ
=
t
0
t
0
1
d
)
(
p
)
t
(
h
d
)
(
h
)
t
(
p
)
t
(
p
)
t
(
h
)}
s
(
P
)
s
(
H
{
)
t
(
r
( 2.2.10)
( 2.2.11)
( 2.2.12)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
20
2.2.3.
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
2.2.3.
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
Cz
ę
sto w praktyce konstruuje si
ę
układy, które w
sposób celowy powinny wprowadza
ć
zniekształcenia
(przekształcenie) sygnału wej
ś
ciowego.
Przykładem mog
ą
by
ć
UKŁADY RÓ
ś
NICZKUJ
Ą
CE,
UKŁADY CAŁKUJ
Ą
CE,
UKŁADY MNO
śĄ
CE,
UKŁADY SUMUJ
Ą
CE,
UKŁADY ODWRACAJ
Ą
CE,
ITP.
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
21
2.2.4.
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁAD RÓ
ś
NICZKUJ
Ą
CY
Reakcja r(t) układu ró
Ŝ
niczkuj
ą
cego powinna by
ć
proporcjonalna do pochodnej pobudzenia p(t):
τ
r
jest współczynnikiem proporcjonalno
ś
ci o wymiarze czasu.
Dokonuj
ą
c przekształcenia Fourier’a na (15.12)
otrzymujemy:
Co oznacza,
Ŝ
e charakterystyka widmowa układu
ró
Ŝ
niczkuj
ą
cego jest wyra
Ŝ
ona wzorem
)
t
(
p
dt
d
)
t
(
r
r
⋅
τ
=
( 2.2.13)
)
(
P
j
)
(
R
r
r
ω
⋅
ωτ
=
ω
r
r
j
)
j
(
H
ωτ
=
ω
( 2.2.14)
( 2.2.15)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
22
2.2.4. UKŁAD RÓ
ś
NICZKUJ
Ą
CY
Schemat układu ró
Ŝ
niczkuj
ą
cego
przedstawiono na rys. 15.3.
Charakterystyka widmowa układu:
Je
ś
li parametry dobierze si
ę
tak,
Ŝ
e
ω
RC<<1,
Układ mo
Ŝ
e w przybli
Ŝ
eniu realizowa
ć
operacj
ę
ró
Ŝ
niczkowania
Przy czym:
-
stała czasowa MUSI by
ć
jak najmniejsza
r
j
RC
j
)
j
(
H
ωτ
=
ω
≅
ω
RC
j
1
RC
j
)
j
(
H
r
ω
+
ω
=
ω
PRZYKŁAD 2.2.1
PRZYKŁAD 2.2.1
Rys. 2.2.3.
U
2
C
R
U
1
max
r
1
RC
ω
<<
=
τ
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
23
2.2.5.
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁADY KSZTAŁTUJĄCE
UKŁAD CAŁKUJ
Ą
CY
Reakcja r(t) układu całkuj
ą
cego powinna by
ć
proporcjonalna do całki pobudzenia p(t):
lub
Charakterystyka widmowa układu całkuj
ą
cego jest zatem
wyra
Ŝ
ona wzorem:
dt
)
t
(
p
k
)
t
(
r
⋅
⋅
≈
∫
( 2.2.16)
)
(
P
j
1
)
(
R
)
t
(
p
)
t
(
r
dt
d
r
c
{.}
C
ω
⋅
ωτ
=
ω
=
τ
↔
ℑ
C
C
j
1
)
j
(
H
ωτ
=
ω
( 2.2.17)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
24
Schemat układu całkuj
ą
cego przedstawiono na rys.
15.4.
Charakterystyka widmowa układu:
Je
ś
li parametry dobierze si
ę
tak,
Ŝ
e
ω
RC>>1,
Układ mo
Ŝ
e w przybli
Ŝ
eniu realizowa
ć
operacj
ę
całkowania, poniewa
Ŝ
Przy czym:
-
stała czasowa MUSI by
ć
jak najwi
ę
ksza
2.2.5. UKŁAD CAŁKUJ
Ą
CY
min
C
1
RC
ω
>>
=
τ
C
C
j
1
RC
j
1
)
j
(
H
ωτ
=
ω
≅
ω
Rys. 2.2.4.
U
2
C
R
U
1
RC
j
1
1
)
j
(
H
ω
+
=
ω
PRZYKŁAD 2.2.2
PRZYKŁAD 2.2.2