1
Wykład 11. Elektrostatyka.
1. Prawo Coulomba
Elektromagnetyzm, jedno fundamentalnych 4 z fundamentalnych oddziaływań
występujących w przyrodzie
Rys. 1.1 Fundamentalne oddziaływania, przegląd: siła, zasięg, gdzie dominują.
Rys 1.2 Siły działające między dwoma ładunkami. Prawo Coulomba.
Weźmy dwa ładunki q
1
, q
2
odległe od siebie o r (patrz rysunek 1.2)
r
r
q
q
k
r
r
q
q
k
F
r
r
3
2
1
2
2
1
ˆ
=
=
,
(1.1)
2
gdzie k, w układzie SI (w próŜni):
=
=
2
2
2
9
0
10
988
.
8
4
1
C
m
N
x
k
ε
π
(1.2)
stała Coulomba.
W próŜni postać prawo Coulomba przyjmie postać:
r
r
q
q
F
r
r
3
2
1
0
4
1
ε
π
=
,
(1.1)
W ośrodku róŜnym od próŜni musimy uwzględnić przenikalność elektryczną
ośrodka, stąd:
r
ε
ε
ε
0
=
(1.3)
0
ε
- przenikalność elektryczna próŜni
r
ε
- względna przenikalność elektryczna ośrodka (stała bezwymiarowa)
Tabela 1 Wartości przenikalności elektrycznej dla kilku wybranych materiałów.
ośrodek
r
ε
przenikalność elektryczna
próŜnia
1
powietrze
1.0006
woda (H
2
O)
81
alkohol etyl. (C
2
H
5
OH)
27
NaleŜy pamiętać, o związku między elektrycznymi i magnetycznym
własnościami próŜni a prędkością światła:
0
0
1
µ
ε
=
c
,
gdzie ε
0
to podatność elektryczna, µ
0
podatność magnetyczna próŜni.
Oddziaływanie elektryczne ładunków zaleŜy od ośrodka, w którym ładunki się
znajdują. Ośrodek wpływa na oddziaływanie, ale teŜ pole elektryczne oddziałuje
na ośrodek (polaryzacja elektryczna ośrodka)
3
2. Pole elektryczne
Pojęcie pola elektrycznego. Ładunek oddziałuje z polem wytworzonym przez
drugi ładunek a nie oddziałują bezpośrednio ze sobą.
Pole elektryczne definiuje się jako siłę na jednostkę ładunku:
q
F
E
E
q
F
r
r
r
r
=
⋅
=
(2.1)
gdzie E – natęŜenie pola elektrycznego, F – siła z prawa Coulomba (równanie
1.1), q ładunek próbny (dodatni).
Równanie to jest prawdziwe tylko w przypadku, gdy ładunki są nieruchome
(elektrostatyka). JeŜeli ładunki się poruszają, zaleŜność między siła a
natęŜeniem pola elektrycznego opisuje prawo Lorentza.
(
)
B
x
v
E
q
F
r
r
r
r
+
=
(2.2).
Pola elektryczne dodają się wektorowo. JeŜeli mamy wiele ładunków, to
całkowite pole elektryczne jest równe:
∑
=
+
+
+
=
i
i
E
E
E
E
E
r
K
r
r
r
r
3
2
1
(2.3).
gdzie E
i
- natęŜenie ładunku punktowego dane jest przez równania 1.1 i 2.1:
r
r
q
E
ˆ
4
1
2
1
0
ε
π
=
r
,
(2.4)
W przypadku, gdy mamy bardzo duŜą (praktycznie nieskończoną) liczbę
ładunków, to równanie (2.4) przyjmuje postać równania całkowego:
∫
=
r
d
r
r
E
ˆ
ˆ
4
1
3
2
0
ρ
ε
π
r
(2.4a).
4
Rys. Pola elektryczne
Rys. 2.1 Przykłady pól wektorowych: pole ładunku ujemnego (lewy, dolny),
pole ładunku dodatniego (prawy, dolny).
Rys 2.2 Pole elektryczne otaczające ujemny i dodatni ładunek elektryczny, pole
dipola elektrycznego
Moment dipolowy:
d
q
p
r
r
⋅
=
5
Rys. Potencjał dipola elektrycznego: widok 3D oraz rzut na płaszczyznę.
Kwadrupol: układ czterech ładunków punktowych. Moment kwadrupolowy
Moment kwadrupolowy (i wyŜsze momenty) odgrywają bardzo waŜną rolę we
własnościach dielektrycznych materiałów.
Rys. Potencjał kwadropula elektrycznego: widok 3D oraz rzut na płaszczyznę.
6
NatęŜenie pola elektrycznego spełnia prawo odwrotności kwadratu odległości
2
1
r
E
≈
, patrz rysunek
Rys. 2.3 Pole elektryczne spełnia prawo odwrotności kwadratu odległości.
Inne wielkości spełniające tę zaleŜność: pole grawitacyjne, natęŜenie
promieniowania.
2. Ładunek elektryczny.
Atomy, cząsteczki zbudowane są z elektronów, protonów i neutronów; dwa
ostatnie, zwane nukleonami, tworzą jądro atomowe. Elektrony, protony oraz
neutrony posiadają następujące ładunki elektryczne:
e
n
p
e
q
x
x
q
C
x
q
C
x
q
21
19
19
10
1
.
1
4
.
0
]
[
10
)
49
000
000
.
0
33
177
602
.
1
(
]
[
10
)
49
000
000
.
0
33
177
602
.
1
(
−
−
−
±
−
=
±
+
=
±
−
=
(2.1)
Ładunki protonu i elektronu są sobie równe, w granicy błędu pomiarowego. Dla
wygody definiujemy ładunek elementarny (ujemny)
p
e
q
q
e
−
=
=
:
]
[
10
602
.
1
19
C
x
e
−
−
=
(2.2)
KaŜdy ładunek elektryczny, z którym mamy do czynienia jest całkowitą
wielokrotnością ładunku elementarnego.
7
Rys. 2.4 Neutron i proton – budowa nukleonów.
Masa neutronu jest o około 0.2 % większa od masy protonu. Odpowiada to
energii 1.29 MeV. Proton jest „wieczny”. Wolny neutron ma czas Ŝycia 10.3
minuty. Ale w jądrze atomu jest stabilny. Kanał rozpadu neutronu pokazano
poniŜej. Jest to przykład „słabego” oddziaływania
Rys. Rozpad neutronu
Rozpad protonu skojarzmy jest z przekształceniem kwarku d w kwark u. Czy
proton moŜe zamienić się w neutron? Tak, ale naleŜy dostarczyć energię 1.29
MeV. Bardzo krótko po Wielkim Wybuchu (Big Bang), kiedy energia termiczna
była o większa od tej wartości, przejścia n <-> p zachodziły w obu kierunkach, a
ilość n i p była jednakowa.
Przykład: w naszych gniazdkach mamy napięcie U = 220 [V], jeŜeli
podłączymy do niego urządzenie o mocy 220 [W], np. bardzo mocną Ŝarówkę,
to przez to urządzenie popłynie prąd 1 [A]. 1 [C] (Coulomb) to ładunek, jakie
przepływa przez to urządzenie w ciągu 1 s!
8
3. Potencjał pola elektrostatycznego.
Pole elektryczne jest polem wektorowym (rys. 2.1, 2.2) ale równieŜ polem
skalarnym.
Pole elektryczne jest polem zachowawczym – praca wykonana przez pole
elektryczne nie zaleŜy od drogi, lecz od połoŜeń punktu początkowego i
końcowego. Dlatego praca wykonana dla drogi zamkniętej jest równa zero.
0
=
=
∫
∫
r
d
E
q
r
d
F
r
r
r
r
,
(3.1)
Równanie 3.1 jest prawdziwe dla kaŜdego pola zachowawczego (np. pola
grawitacyjne). JeŜeli pole jest polem zachowawczym, to znaczy, Ŝe dla takiego
pola istnieje potencjał i energia potencjalna.
Energię potencjalną w punkcie
r
r
, czyli
)
(r
U
r
definiujemy jako:
∫
∫
∫
∞
∞
∞
−
=
=
=
r
r
r
r
d
E
q
r
d
E
q
r
d
F
r
U
r
r
r
r
r
r
r
)
(
,
(3.2),
jest to praca wykonaną przez siły zewnętrzne przy przenoszeniu ładunku
punktowego q z nieskończoności do punktu
r
r
.
Przykład: dla dwóch ładunków punktowych odległych o r, energia potencjalna
takiego układu ładunków wynosi:
r
q
q
r
d
E
q
r
d
F
r
U
r
r
2
1
0
1
4
1
)
(
ε
π
=
=
=
∫
∫
∞
∞
r
r
r
r
r
,
(3.3),
Praca wykonana przez siły pola przy przesunięciu ładunki z r
1
do r
2
wynosi:
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
r
U
r
U
r
d
F
r
d
F
r
d
F
r
r
W
r
r
r
r
−
=
−
=
=
→
∫
∫
∫
∞
∞
r
r
r
r
r
r
r
r
(3.4),
i jest równa róŜnicy energii potencjalnej w tych punktach.
Ogólna zaleŜność między siłą a energią potencjalną jest następująca:
)
(
)
(
r
U
r
U
grad
F
−∇
=
−
=
r
,
(3.5);
Operator róŜniczkowy
∇
, zwany operatorem Hamiltona albo operatorem nabla
1
,
w układzie współrzędnych kartezjańskich
]
,
,
[
z
y
x
ma szczególnie prostą postać:
1
nabla z semickiego – harfa, przypomina staroegipską harfę
9
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇
z
y
x
,
,
(3.6).
w układzie sferycznym
]
,
,
[
ϕ
θ
r
wygląda tak:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇
ϕ
θ
θ
sin
1
,
1
,
r
r
r
(3.7).
MoŜna go traktować jako wektor.
Działanie operatora gradientu na pole skalarne przedstawia rys. 3.1
Rys. 3.1 Pole skalarne zaznaczono przez czerń (wysoka wartość) i biel (niska
wartość). Gradient – niebieskie strzałki wskazują wysokie wartości pola
skalarnego.
Wzór ten się znacząco upraszcza, gdy siła zaleŜy tylko od odległości między
oddziałującymi punktami, a nie zaleŜy od kątów, a tak jest np. w przypadku siły
Coulomba. NaleŜy zwrócić uwagę, Ŝe prawo Coulomba jest napisane w układzie
sferycznym! Siła
)
(
r
F
r
r
zaleŜy tylko od r. Stosują postać operatora Hamiltona z
równania 3.7 do równania 3.5 otrzymamy zaleŜność:
r
dr
r
U
d
F
ˆ
)
(
−
=
r
,
(3.8);
10
Równanie to jest uproszczoną wersją równania 3.5, prawdziwą jedynie dla pól
sferycznie symetrycznych, takich jak pole ładunku punktowego. Pozwala ono
policzyć siłę działającą na ładunek umieszczony w punkcie o energii
potencjalnej U(r). JeŜeli znamy siłę, a chcemy obliczyć energię potencjalną
posłuŜymy się zaleŜnością wynikającą z równania 3.4:
∫
=
−
2
1
)
(
)
(
2
1
r
r
r
d
F
r
U
r
U
r
r
(3.9),
Równania 3.4 – 3.8 są słuszne dla kaŜdego pola zachowawczego, np. pola
elektrycznego, pola grawitacyjnego.
Potencjał
)
(r
r
φ
jest to energia potencjalna przypadająca na jednostkowy ładunek.
Związek między potencjałem potencjałów energią potencjalną jest oczywisty:
q
r
U
r
)
(
)
(
=
φ
(3.10),
RóŜnica potencjałów w dwóch punktach jest zatem równa:
q
r
r
W
q
r
U
r
U
r
r
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
→
=
−
=
−
=
∆
φ
φ
φ
(3.11),
i jest nazywana napięciem. W układzie SI jednostką napięcia jest 1 V [volt].
Podstawiając do równania 3.11 definicję energii potencjalnej (równ. 3.4)
otrzymamy potencjał będzie określony przez zaleŜność:
∫
∫
∞
∞
−
=
=
r
r
r
d
E
r
d
E
r
r
r
r
r
r
)
(
φ
,
(3.12).
Równanie 3.12 jest równaniem całkowym. Związek między potencjałem a
wektorem natęŜenia pola elektrycznego moŜna równieŜ przedstawić w postaci
równania róŜniczkowego, analogicznego do równ. 3.5:
)
(
)
(
r
r
grad
E
φ
φ
−∇
=
−
=
r
,
(3.4).
Przykład: dla ładunku punktowego q potencjał wyniesie:
r
q
r
d
E
r
r
0
4
1
)
(
ε
π
φ
=
=
∫
∞
r
r
r
(3.5).
11
Wielkościami charakteryzującymi pole oraz związki między nim i zebrano w
tabeli 1. Związki te są analogiczne dla związków pola grawitacyjnego.
Przykład: dla ładunku punktowego powierzchnie ekwipotencjalne to zbiór
współśrodkowych sfer w środku, których znajduje się ładunek punktowy.
Przedstawiono to na rys. 3.2.
Rys. 3.2 Pole ładunku punktowego, powierzchnia ekwipotencjalna oraz pole
wektorowe.
Powierzchnie ekwipotencjalne – powierzchnie stałego potencjału, spełniające
równanie
const
r
=
)
(
r
φ
Praca
przy
przesunięciu
ładunku
na
pow.
ekwipotencjalnej = 0!
Praca wykonana przy przesunięciu ładunku między róŜnymi powierzchniami
ekwipotencjalnymi jest róŜna od zera!
Zadanie: Jakie powierzchnie ekwipotencjalne ma nieskończona, jednorodnie
naładowana nić?
Związki między polem a własnościami ładunków, między wielkościami
wektorowymi oraz wielkościami skalarnymi ukazuje poniŜsza tabelka.
12
Tabela 1. Związki między wielkościami charakteryzującymi pole elektryczne.
własności
ładunków
powiązania
własności pola
wielkości
wektorowe
siła:
r
r
q
q
F
ˆ
4
1
2
2
1
0
ε
π
=
r
E
q
F
r
r
=
pole elektryczne
r
r
q
E
ˆ
4
1
2
1
0
ε
π
=
r
związki
między
nimi
)
(r
U
F
−∇
=
r
)
(r
E
φ
−∇
=
r
wielkości skalarne energia
potencjalna:
r
q
q
r
U
2
1
0
4
1
)
(
ε
π
=
)
(
)
(
r
q
r
U
φ
=
potencjał;
r
q
r
0
4
1
)
(
ε
π
φ
=
r