WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA  

 

ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO 

 

 

 

 

 

Ćwiczenie laboratoryjne: 

BADANIE STABILNOŚCI UKŁADÓW DYNAMICZNYCH 

 

 

 

 

 

 
 

Warszawa 2009 

 

2 

1. Wstęp 

 
Układy  nadążne  położenia  lub  siły  nazywamy  serwomechanizmami.  Zadanie  sterowania 

układów  nadążnych  (śledzących)  nie  jest  z  góry  określone,  lecz  zależy  od  wyników  pomiarów  
w innym procesie, np. układ sterownia lufą działa – śledzi poruszający się cel. 

Serwomechanizm  –  układ  regulacji  nadążnej  służący  do  precyzyjnego  sterowania  ruchem 

obiektu, działającym na  zasadzie objęcia ujemnym  sprzężeniem zwrotnym  układu wykonawczego 
(silnik  elektryczny,  siłownik  hydrauliczny).  Układy  wykonawczy  sterowany  jest  sygnałem 
odchylenia sygnału wyjściowego od wejściowego. 

Serwomechanizmy możemy podzielić w zależności od: 

a)  rodzaju energii zasilania: 

- elektryczne; 
- hydrauliczne; 
- pneumatyczne. 

b)  rodzaju przemieszczenia elementu wykonawczego: 

- o ruchu obrotowym; 
- o ruchu postępowym. 

c)  sygnału wyjściowego: 

- serwomechanizm przemieszczenia; 
- serwomechanizm siły. 

 

WW

EW

SZ

Z

y

e

1

y

1

x

e

-

 

Rys. 1. Schemat blokowy serwomechanizmu 

 
Schemat  blokowy  serwomechanizmu  przedstawiony  jest  na  rys.  1.,  gdzie  układ 

wykonawczy  składający  się  ze  wzmacniacza  wstępnego  WW  i  elementu  wykonawczego  (silnika) 
EW,  objęty  jest  układem  ujemnego  sprzężenia  zwrotnego  SZ.  Na  układ  działają  zakłócenia  Z, 
najczęściej w postaci sił obciążenia serwomechanizmu. 

 

2. Schemat blokowy i transmitancja serwomechanizmu. 
 

W trakcie ćwiczenia modelowany będzie serwomechanizm który składa się z: 

-  elementu wykonawczego w postaci pneumatycznego układu rozdzielacz – siłownik; 
-  wzmacniacza wstępnego; 
-  układu sprzężenia zwrotnego. 

a

b

K

1

K

X

1   

T

h

s+1

A

K

V

   

s(T

m

s+1)

b

×s

y

-

-

x

e

e

1

P

-

F

 

Rys. 2. Schemat blokowy modelowanego serwomechanizmu 

 

3 

Schemat blokowy rozpatrywanego układu przedstawiony jest na rys. 2. Wielkości występujące 

na rysunku: 

a

 – wzmocnienie wejściowe; 

K

1

 – wzmocnienie wzmacniacza wstępnego; 

K

X

 – wzmocnienie położeniowe rozdzielacza; 

T

h

 – płynowa stała czasu siłownika; 

A – powierzchnia czynna tłoka; 
P – różnica ciśnień na powierzchni tłoka; 
F – zakłócenia; 
K

V

 – wzmocnienie elementu wykonawczego 

T

m

 – stała czasu elementu wykonawczego 

b – wzmocnienie prędkościowe; 

b

 – wzmocnienie sprzężenia zwrotnego. 

 

Do analizy  dynamiki  układu należy przekształcić podany  schemat.  Przekształcenie polega na 

przeniesieniu  zakłócenia  F  z  trzeciego  węzła  sumacyjnego  do  drugiego  węzła  sumacyjnego. 
Następnie obliczamy transmitancję układu objętego wewnętrznym sprzężeniem zwrotnym. 

Schemat po przekształceniu będzie miał postać 

a

b

K

1

K

X

y

-

x

F





2

0

0

2

2

0

2











s

s

s

K





1

1



s

T

A

h

-

 

Rys. 3. Schemat blokowy serwomechanizmu po przekształceniach (1 etap) 

Transmitancja zastępcza układu objętego wewnętrznym sprzężeniem zwrotnym: 





2

0

0

2

2

0

2













s

s

K

G

z

 

gdzie: 

b

AK

A

K

V





1

, 

m

h

m

h

T

T

T

T





0

2



, 

m

h

V

T

T

b

AK





1

2

0



. 

Serwomechanizm  traktujemy jako układ wielowymiarowy o jednym  sygnale wyjściowym  y i 

dwóch 

sygnałach 

wejściowych: 

sygnał 

sterujący 

x 

oraz  

zakłócający  F.  W  celu  wyraźnego  przedstawienia  wpływu  sygnałów  wejściowych  na  dynamikę 
układu, schemat można przekształcić do postaci: 

b

K

1

K

X

y

-

x

F





2

0

0

2

2

0

2











s

s

s

K





1

1



s

T

A

h

-

a

K

1

K

X

 

Rys. 4. Schemat blokowy serwomechanizmu po przekształceniach (2 etap) 

 
 

 

4 

W trakcie ćwiczenia należy wyznaczyć transmitancje: 

 

 

 

 

 

 

s

F

s

Y

s

G

s

X

s

Y

s

G

yf

yx





 

 

3. Badanie dynamiki układu w pakiecie Matlab – Simulink 
 

Pakiet Matlab – Simulink daje szerokie możliwości analizy dynamiki układów automatycznej 

regulacji. 

W pakiecie tym wykorzystywane są następujące postaci liniowych modeli dynamicznych: 



 

Równania stanu; 



 

Macierze 

transmitancji dla układów SIMO (jedno wejście wiele wyjść); 



 

Macierze transmitancji (układy SIMO) w postaci iloczynu zer, biegunów i wzmocnienia.  

Transmitancja układu dynamicznego jest funkcją wymierną operatora s (dla układów ciągłych) 

lub z (dla układów dyskretnych). W bibliotece Control Toolbox transmitancję podaje się w postaci 
pary wektorów zawierających współczynników licznika i mianownika, przy czym umieszcza się je 
tam wg. malejących potęg operatorów s lub z, np.: L=[1 2]; M=[1 3 2]; 

Takiemu zapisowi odpowiada transmitancja: 

 

2

3

2

2









s

s

s

s

G

. Aby określić transmitancję układu 

SIMO należy: 



 

Podać wektor współczynników mianownika transmitancji; 



 

Podać  macierz  zawierającą  w  kolejnych  wierszach  współczynniki  liczników 
odpowiadających kolejnym wyjściom układu. 

Na przykład, zapis L=[1 2; 3 1]; M=[1 3 2] odpowiada transmitancji: 

 



































2

3

1

3

2

3

2

2

2

s

s

s

s

s

s

s

G

. 

W  programie  MATLAB  posługujemy  się  wyłącznie  transmitancjami  spełniającymi  warunek 

mówiący, ze stopień mianownika powinien być większy od stopnia licznika. Aby określić macierz 
transmitancji przez podanie zer, biegunów i wzmocnienia należy podać: 



 

Kolumnowy wektor biegunów transmitancji P (ang. poles); 



 

Macierz  Z  (ang.  zeros)  zawierającą  w  kolejnych  kolumnach  zera  odpowiadające  kolejnym 
wyjściom układu; 



 

Podać wektor kolumnowy G (ang. gains) zawierający wzmocnienia odpowiadające kolejnym 
wyjściom układu. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

5 

W pakiecie Matlab – Simulink wykorzystujemy następujące polecenia: 
 

Skrót 

Zapis 

Opis 

impulse 
dimpulse 
 

impulse(A,B,C,D,iu,t) 
impulse(L,M,t) 

Funkcje te wyznaczają odpowiedź układu ciągłego (dimpulse- dyskretnego) na 
impuls  jednostkowy.  W  przypadku  układu  opisanego  równaniami  stanu 
kreślona  jest  odpowiedź  wszystkich  wyjść  na  impuls  pojawiający  się  na 
wejściu  o  numerze  iu.  Dla  układów  ciągłych  można  dołączyć  własny  wektor 
czasu  symulacji  odpowiedzi.  W  przypadku  pominięcia  parametru  t  wektor 
czasu zostanie pominięty. 

initial 
dinitial 

initial(A,B,C,D,X0,T) 
 

Funkcja  ta  wyznacza  odpowiedź  układu  opisanego  równaniami  stanu  na 
warunek początkowy określony parametrem X0. Czas symulacji i wektor chwil 
czasu jest określany automatycznie lub przez użytkownika (parametr T). 

step 
dstep 

step(A,B,C,D,iu) 
step(A,B,C,D,iu,t) 
step(L,M) 

Funkcja  ta  wyznacza  odpowiedź  układu  ciągłego  na  skok  jednostkowy.  W 
przypadku  układu  opisanego  równaniami  stanu  kreślona  jest  odpowiedź 
wszystkich wyjść na skok jednostkowy  pojawiający się na wejściu o numerze 
iu.  Dla  układów  ciągłych  można  dołączyć  własny  wektor  czasu  symulacji 
odpowiedzi.  W  przypadku  pominięcia  parametru  t  wektor  czasu  zostanie 
pominięty. 

bode 

bode(A,B,C,D,iu,w) 
bode(L,M,w) 

Funkcja ta wyznacza charakterystykę częstotliwościową Bode. Częstotliwości i 
liczba  punktów  dobierana  jest  automatycznie  lub  zgodnie  z  wymaganiami 
użytkownika  (parametr  w).  W przypadku układu  opisanego równaniami stanu 
kreślona  jest  odpowiedź  wszystkich  wyjść  na  skok  jednostkowy    pojawiający 
się na wejściu o numerze iu. 

nyquist 

nyquist(A,B,C,D,iu,w) 
nyquist(L,M,w) 

Funkcja  ta  wyznacza  charakterystykę  Nyquista.  Częstotliwości  i  liczba 
punktów dla których kreślona jest charakterystyka dobierane są automatycznie 
lub zgodnie  z  wymaganiami  użytkownika  (parametr  w).  W przypadku  układu 
opisanego równaniami stanu kreślona jest odpowiedź wszystkich wyjść na skok 
jednostkowy  pojawiający się na wejściu o numerze iu. 

 

Skrót 

Zapis 

Opis 

margin 
 

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(A,B,C,D) 
[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(L,M) 

Funkcja ta oblicza zapas amplitudy (Gm) i fazy (Pm) dla 
układu  opisanego  równaniami  stanu  lub  transmitancją 
oraz  odpowiadające  im  częstotliwosci  graniczne- 
odpowiednio Wcg i Wcp. 

imargin 

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(ampl,faza,w) 

Funkcja ta działa podobnie jak funkcja margin z tym, że 
obliczenia  opierają  się  o  zadane  wektory  amplitudy  i 
fazy oraz odpowiadające im częstotliwości, które można 
uzyskać funkcją bode lub dbode, dzięki czemu funkcja ta 
działa zarówno dla układów ciągłych, jak i dyskretnych. 

rlocus 

rlocus(A,B,C,D) 
rlocus(L,M) 
rlocus (L,M,K) 
rlocus(A,B,C,D,K) 

Funkcja  ta  wyznacza  drogi  pierwiastków  układu 
otwartego. 

rlocfind 

[K,R]=rlocfind(A,B,C,D) 
[K,R]=rlocfind (L,M) 
[K,R]=rlocfind (L,M,n) 
[K,R]=rlocfind (A,B,C,D,n) 

Jeżeli w aktywnym oknie znajduje się wykres zależności 
położenia  biegunów  od  wzmocnienia  uzyskany  funkcją 
rlocus,  to  funkcja  rlocfind  umożliwia  wybranie  myszką 
żądanego bieguna układu SISO opisanego transmitancją 
lub równaniami stanu. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

6 

4. Przebieg ćwiczenia. 

 
W skład stanowiska laboratoryjnego wchodzi komputer z zainstalowanym pakietem Matlab  – 

Simulink. 
A. Przed rozpoczęciem obliczeń należy wyznaczyć transmitancje  

 

 

 

 

 

 

s

F

s

Y

s

G

s

X

s

Y

s

G

yf

yx





 

zgodnie z rys. 4. 
 
B. Danymi wejściowymi do obliczeń będą: 

a

 – wzmocnienie wejściowe; 

K

1

 – wzmocnienie wzmacniacza wstępnego; 

K

X

 – wzmocnienie położeniowe rozdzielacza; 

T

h

 – płynowa stała czasu siłownika; 

A – powierzchnia czynna tłoka; 
K

V

 – wzmocnienie elementu wykonawczego 

T

m

 – stała czasu elementu wykonawczego 

b – wzmocnienie prędkościowe; 

b

 – wzmocnienie sprzężenia zwrotnego. 

 
C. Obliczyć pozostałe parametry 

b

AK

A

K

V





1

, 

m

h

m

h

T

T

T

T





0

2



, 

m

h

V

T

T

b

AK





1

2

0



. 

D. Przeprowadzić analizę dynamiki układu oddzielnie dla transmitancji G

yx

(s) i G

yf

(s). 

Należy  określić  wektory  współczynników  licznika  L  i  mianownika  M  analizowanej 

transmitancji. 

W  celu  analizy  dynamiki  i  stabilności  układu  korzystamy  z  poleceń  przedstawionych  

w  punkcie  3  instrukcji.  Analizę  prowadzimy  dla  kolejnych  wartości  danych  wejściowych,  
do momentu gdy układ znajdzie się na granicy stabilności. Uzyskane wykresy należy archiwizować 
np. w postaci plików graficznych, oraz zanotować przyjęte do obliczeń dane. 

 

5. Wytyczne do wykonania sprawozdania. 
 

Sprawozdanie powinno zawierać: 

1) w części teoretycznej 
- schemat blokowy układu; 
- wyprowadzenie transmitancji G

yx

(s) i G

yf

(s). 

 
2) w części praktycznej 
- zapis opracowanego programu („skryptu”) 
-  uzyskane  wybrane  wykresy  obrazujące  zmianę  stabilności  układu  w  zależności  od  przyjętych 
danych; do każdego wykresu powinny być dołączone dane, dla jakich prowadzone były obliczenia. 
 
3) wnioski