SIMR Analiza 1, zadania: Zastosowania całki Riemanna, całka niewłaściwa
1. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi
(a) y = x
2
, y = x + 2 , y = 2 − x
(b) x = y
2
, x + 2y
2
= 3
(c) y = ln x , y = 0 , x = e
(d) y = arc tg x , y =
π
4
x
(e) x
2
+ y
2
= 2 , y = x
2
(f) xy = 2 , y = x , 4y = x
2
(g) y =
1
1 + x
2
, y =
x
2
2
2. Obliczyć długość krzywej:
(a) y = ln x, x ∈ [
√
3,
√
8]
(b) y = ln(1 − x
2
), x ∈ [0, 1/2]
(c) y = ln
e
x
+ 1
e
x
− 1
, x ∈ [a, b]
(d) y =
√
1 − x
2
+ arc sin x, x ∈ [−1, 1]
(e) x =
1
4
y
2
−
1
2
ln y, x ∈ [1, e]
(f) y = 1 − ln(cos x), x ∈ [0, π/4]
3. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu obszaru 0 ¬ y ¬ y(x) dookoła osi Ox
(a) y = x
2
, x ∈< 0, 2 >
(b) y =
4
√
4 − x
2
, x ∈< 0, 2 >
(c) y =
x
x
2
− 4
, x ∈< 0, 1 >
(d) y = sin
2
x , x ∈< 0, π >
(e) y =
q
| cos x|
1 + sin x
, x ∈< 0, π >
(f) y =
1
1 + e
x
, x ∈< 0, 1 >
(g) y = x
2
e
−x
2
, x ∈ [0, ∞)
(h) y =
1
1 + x
2
, x ∈ [0, ∞)
(i) y = 2x − x
2
, x ∈ [0, 2]
