UKSW ALGEBRA LINIOWA
Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita

1

Kolokwium 2 - zakres, typowy zestaw zadań

Działania algebraiczne na macierzach. Macierz odwrotna.

1.1. Podane są macierze

,

Wyznaczyć macierz

.

Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy

.

Kombinacja liniowa wektorów a iloczyn macierzy.

1.2. Zapisać wektory

jako wektory kolumnowe, we współrzędnych w bazie

standardowej ( zero-jedynkowej ):

, , .

Następnie przedstawić kombinację liniową wektorów

, w postaci

iloczynu odpowiednich macierzy. Sprawdzić słuszność tej równości wykonując działania
algebraiczne na wektorach oraz mnożąc tradycyjnie macierze przez siebie.

Zależność współrzędnych wektora od wyboru bazy. Zmiana bazy ( macierz odwrotna )

1.3. Znane są współrzędne wektora

w bazie

)

1

,

3

(

1



e

,

)

0

,

2

(

2



e

.

Obliczyć współrzędne wektora

w bazie

,

.

Wyznaczniki - właściwości, obliczanie.

2.1. Podać właściwości wyznacznika wykorzystywane w dowodach oraz przy obliczaniu

wartości wyznacznika. Obliczyć wyznacznik:

a )

b)

Układy równań liniowych: – istnienie i liczba rozwiązań, metody rozwiązywania.

3.1. Podać postać macierzową

układu równań

a)

b)

c)

Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelliego i określić liczbę rozwiązań układu
równań. Rozwiązać układ równań jedną z metod eliminacji kolejnych niewiadomych:
metodą wektorów ortogonalnych lub metodą eliminacji Gaussa.

Układy równań liniowych typu Cramera – metody rozwiązywania.

3.2. Podać postać macierzową układu równań

. Sprawdzić, czy jest to układ typu

Cramera. Rozwiązać układ równań metodą macierzy odwrotnej lub ze wzorów Cramera.

UKSW ALGEBRA LINIOWA
Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita

2

a)

b)

Interpretacja geometryczna układu równań liniowych

4.1. Prostą w

opisuje układ równań liniowych

Wyznaczyć równanie parametryczne prostej. Wyznaczyć wektory kierunkowe i normalne oraz
współrzędne dowolnego punktu należącego do tej prostej.

4.2. Podane jest równanie parametryczne płaszczyzny w

Wyznaczyć układ równań liniowych jaki spełniają współrzędne punktów należących do tej
płaszczyzny. Wyznaczyć wektory kierunkowe i normalne płaszczyzny oraz współrzędne
dowolnego punktu należącego do tej płaszczyzny.

Przekształcenia liniowe – macierz przekształcenia liniowego

4.3. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego

2

3

:

R

R

f



,

.

w zero-jedynkowych bazach standardowych. Korzystając z postaci macierzy przekształcenia

liniowego wyznaczyć obraz wektora

.

4.4. Macierz

przekształcenia liniowego

3

2

:

R

R

f



w bazach standardowych

)

0

,

1

(

1



e

,

)

1

,

0

(

2



e

oraz

)

1

,

0

,

1

(

'

1



e

,

)

0

,

1

,

0

(

'

2



e

,

)

1

,

0

,

2

(

'

3



e

, ma postać

Podać postać naturalną wektora

będącego obrazem wektora ,

a także jego współrzędne w bazie

.

Przekształcenia liniowe – obraz przekształcenia, jądro przekształcenia i przeciwobraz
wektora ( jednorodny i niejednorodny układ równań liniowych )

4.5. Macierz przekształcenia liniowego

2

3

:

R

R

f



w bazach standardowych:

)

0

,

0

,

1

(

1



e

,

)

0

,

1

,

0

(

2



e

,

)

1

,

0

,

0

(

3



e

oraz

)

0

,

1

(

'

1



e

,

)

1

,

0

(

'

2



e

, ma postać

Określić

f

Im

oraz

Kerf

podając wymiary oraz przykładowe bazy tych podprzestrzeni.

Znaleźć obraz wektora

. Znaleźć przeciwobraz

wektora .

Czy zbiory

oraz

są podprzestrzeniami liniowymi? Podać interpretację

geometryczną zbiorów

oraz

.