GEOMETRIA FIGUR PŁASKICH

1. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

1.1. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI BRYŁY MATERIALNEJ PRZESTRZENNEJ

Jeżeli sztywną bryłę materialną podzielimy myślowo na dużą liczbę n

małych cząstek w sposób regularny to każda z nich posiada określoną masę m

i

oraz ciężar P

i

.

Ciężary wszystkich cząstek stanowią układ sił równoległych, a wypadkowa

tych sił stanowi ciężar całej bryły.

Środkiem ciężkości bryły materialnej nazywamy graniczne położenie
punktu przyłożenia wypadkowej sił ciężkości wszystkich cząstek
bryły, gdy ich liczba dąży do nieskończoności.

Niech P

i

oznacza ciężar i-tej cząstki bryły, a liczby (x

i

, y

i

, z

i

) będą

współrzędnymi punktu przyłożenia tej siły.
Opierając się na definicji środka ciężkości możemy posłużyć się znanymi wzorami
statyki na położenie wypadkowej sił równoległych.

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

∞

→

=

=

∞

→

=

=

∞

→

⋅

=

⋅

=

⋅

=

n

i

i

n

i

i

i

n

o

n

i

i

n

i

i

i

n

o

n

i

i

n

i

i

i

n

o

P

z

P

z

P

y

P

y

P

x

P

x

1

1

1

1

1

1

lim

;

lim

;

lim

1.1.1. UPROSZCZENIA W WYZNACZANIU ŚRODKA CIĘŻKOŚCI

a) płaszczyzna symetrii

b) oś symetrii i punkt symetrii

Wniosek

Jeżeli bryła sztywna jest symetryczna względem płaszczyzny, osi albo punktu, to
jej środek ciężkości leży na tej płaszczyźnie, osi albo w punkcie symetrii.

Uwaga: powyższe zapisy są aktualne dla bryły jednorodnej – tzn. przyjęty stały
ciężar jednostki jej objętości w każdym punkcie.

2

1.2. ZASADA GRUPOWANIA

Jeżeli bryła ma kształt, który pozwala podzielić ją na takie części, dla

których położenie środków ciężkości jest znane lub łatwe do określenia, to
możemy rozpatrywać skończoną ilość ciężarów G

i

tych części, umieszczonych w

ich środkach ciężkości.
Wzory na współrzędne środka ciężkości:

3

2

1

3

3

2

2

1

1

3

2

1

3

3

2

2

1

1

3

2

1

3

3

2

2

1

1

G

G

G

z

G

z

G

z

G

z

G

G

G

y

G

y

G

y

G

y

G

G

G

x

G

x

G

x

G

x

o

o

o

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

1.3. ZASADA MAS UJEMNYCH

W miejscu otworu w bryle dodajemy siłę ciężkości, tak jakby otworu nie

było, tzn. bryłę traktujemy jako pełną.
Dla narysowanego przykładu możemy więc napisać:

3

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

;

;

G

G

z

G

z

G

z

G

G

y

G

y

G

y

G

G

x

G

x

G

x

o

o

o

−

+

=

−

−

=

−

−

=

1.4. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI FIGURY PŁASKIEJ

Jeżeli grubość figury jest bardzo mała w porównaniu z jej pozostałymi wymiarami,
to można przyjąć że środek ciężkości tej figury leży w jej płaszczyźnie, to znaczy
że do jego wyznaczenia wystarczy podać tylko dwie współrzędne: x

o

i y

o

.

Przez

oznaczmy powierzchnię elementu „i” a przez

i

A

Δ

γ

ciężar cząstki bryły o

powierzchni jednostkowej.

Ciężar wycinka elementarnego „i” będzie więc wynosił

i

i

A

P

Δ

⋅

=

γ

.

=

Δ

⋅

Δ

=

Δ

⋅

⋅

Δ

⋅

=

⋅

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

∞

→

=

=

∞

→

=

=

∞

→

n

i

i

n

i

i

i

n

n

i

i

n

i

i

i

n

n

i

i

n

i

i

i

n

o

A

x

A

A

x

A

P

x

P

x

1

1

1

1

1

1

lim

lim

lim

γ

γ

γ

γ

A

xdA

A

x

A

A

n

i

i

n

i

i

i

n

∫

∑

∑

=

Δ

⋅

Δ

=

=

=

∞

→

1

1

lim

4

analogicznie:

A

ydA

y

A

o

∫

=

Wyrażenie

nazywamy momentem statycznym figury

płaskiej względem osi y i oznaczamy symbolem

S

∫

∑

=

⋅

Δ

=

∞

→

A

n

i

i

i

n

xdA

x

A

1

lim

y

.

Wyrażenie

nazywamy momentem statycznym figury

płaskiej względem osi x i oznaczamy symbolem

S

∫

∑

=

⋅

Δ

=

∞

→

A

n

i

i

i

n

ydA

y

A

1

lim

x

.

Posługując się wprowadzonymi pojęciami możemy nadać wzorom na współrzędne
środka ciężkości figury płaskiej następującą postać:

A

S

y

A

S

x

x

o

y

o

=

=

1.5. MOMENT STATYCZNY FIGURY PŁASKIEJ

Momentem statycznym figury płaskiej względem pewnej osi (np. x)
nazywamy wielkość wyrażoną przez całkę iloczynu elementów pola
tej figury i ich odległości y od danej osi x, rozciągniętą na całym
polu A tej figury.

∫

=

A

x

ydA

S

Wnioski

1) Momenty statyczne obszarów leżących dalej od osi osiągają bezwzględne

wartości większe niż momenty statyczne elementów leżących bliżej osi.

5

2) Momenty statyczne mogą być liczbami dodatnimi jak i ujemnymi. Zależy to

od położenia figury w stosunku do osi.

3) Wymiarem momentu statycznego są jednostki długości do potęgi trzeciej

[cm

3

], [m

3

]

4) Wzorom

A

S

y

A

S

x

x

o

y

o

=

=

,

można nadać postać:

o

y

o

x

x

A

S

y

A

S

⋅

=

⋅

=

Jeżeli znane są współrzędne środka ciężkości figury płaskiej, to momenty
statyczne tych figur można obliczyć z tych wzorów

Wzór

oznacza, że moment statyczny figury płaskiej

względem dowolnej osi jest równy iloczynowi jej powierzchni A i
odległości jej środka ciężkości od tej osi.

o

x

y

A

S

⋅

=

o

y

o

x

x

A

S

y

A

S

⋅

=

⋅

=

Przykład

2

2

2

bh

h

b

h

A

y

S

o

x

=

⋅

⋅

=

⋅

=

5) Ze wzorów powyższych wynika, że np.

0

=

x

S

jeżeli

co oznacza, że

0

=

o

y

Moment statyczny figury względem osi przechodzącej przez jej środek
ciężkości jest równy zero.

6

6) Jeżeli do wniosku nr 4) dodamy zasadę grupowania, to możemy obliczyć

współrzędne środka ciężkości figur złożonych, np.:

3

3

2

2

1

1

;

;

A

x

S

A

x

S

A

x

S

III

y

II

y

I

y

⋅

=

⋅

=

⋅

=

III

y

II

y

I

y

y

S

S

S

S

+

+

=

3

2

1

3

3

2

2

1

1

A

A

A

A

x

A

x

A

x

A

S

x

y

o

+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

=

3

3

2

2

1

1

;

;

A

y

S

A

y

S

A

y

S

III

x

II

x

I

x

⋅

=

⋅

=

⋅

=

III

x

II

x

I

x

x

S

S

S

S

+

+

=

3

2

1

3

3

2

2

1

1

A

A

A

A

y

A

y

A

y

A

S

y

x

o

+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

=

W zapisie ogólnym przy dowolnej ilości pól prostych tworzących figurę złożoną
możemy zapisać:

7

∑

∑

=

=

⋅

=

n

i

i

n

i

i

i

o

A

A

x

x

1

1

∑

∑

=

=

⋅

=

n

i

i

n

i

i

i

o

A

A

y

y

1

1

2. MOMENT BEZWŁADNOŚCI FIGURY PŁASKIEJ

Moment bezwładności figury płaskiej względem osi jest wielkością

charakteryzującą kształt figury płaskiej rozpatrywaną w nauce wytrzymałości
materiałów.

∫

=

A

x

dA

y

J

2

Momentem bezwładności figury płaskiej względem pewnej osi np. x,
nazywamy całkę z iloczynu elementów pola tej figury i kwadratu ich
odległości od danej osi rozpatrywaną na całym polu A tej figury.

Własności:

1) Wielkość ta jest zawsze związana z wyborem osi;
2) Moment bezwładności przyjmuje wartości większe od zera

;

0

>

x

J

3)

Wymiarem (jednostką) momentu bezwładności są jednostki długości do
potęgi czwartej: [cm

4

] ; [m

4

].

8

2.1. Zależności dla osi równoległych do siebie

Zakładamy, że moment bezwładności względem osi x jest wielkością znaną.
Stawiamy sobie pytanie, jaki jest moment bezwładności względem osi x

1

, gdzie oś

jest równoległa do osi x i oddalona od niej o wartość a.

a

y

y

dA

y

J

dA

y

J

A

x

A

x

+

=

=

=

∫

∫

1

2

1

2

;

1

Czyli:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

=

=

+

+

=

+

+

=

+

=

A

A

A

A

A

A

A

A

x

dA

a

dA

y

a

dA

y

dA

a

dA

y

a

dA

y

dA

a

ay

y

dA

a

y

J

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

2

(

)

(

1

A

a

S

a

J

J

x

x

x

2

2

1

+

⋅

+

=

Jeżeli dodatkowo przyjmiemy, że oś x przechodzi przez środek ciężkości figury
płaskiej (oznaczamy ją wtedy x

0

), to moment statyczny S

x

=0 i powyższy wzór

przyjmie postać:

A

a

J

J

x

x

2

1

+

=

Wzór ten nazywamy wzorem Steinera.

Przykład
Znaleźć moment bezwładności figury płaskiej względem: a) osi przechodzącej
przez jego podstawę; b) osi przechodzącej przez środek ciężkości i równolegle do
podstawy.

9

3

3

3

0

3

0

2

0

2

2

bh

J

by

dy

y

b

bdy

y

dA

y

J

x

h

h

h

A

x

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

Według wzoru Steinera:

12

4

3

2

3

3

3

3

2

3

2

2

bh

bh

bh

bh

h

bh

A

a

J

J

A

a

J

J

x

x

x

x

o

o

=

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

→

+

=

12

3

bh

J

o

x

=

3. ODŚRODKOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI FIGURY
(MOMENT DEWIACYJNY)

Jest to wielkość uwzględniająca usytuowanie figury płaskiej względem dwóch osi
jednocześnie.

∫

=

A

xy

xydA

J

10

Uwagi:

1) Odśrodkowy moment bezwładności może być wielkością dodatnią jak

i ujemną

2) Wymiarem (jednostką) odśrodkowego momentu bezwładności są jednostki

długości do potęgi czwartej: [cm

4

] ; [m

4

].

3)

Jeżeli figura płaska ma przynajmniej jedną oś symetrii to jej moment
dewiacyjny względem tej osi jest równy zero

3.1. Zależności dla osi równoległych do siebie

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

+

=

+

+

=

′

′

=

′

′

A

A

A

A

A

A

def

y

x

dA

ab

xdA

b

ydA

a

xydA

dA

b

y

a

x

dA

y

x

J

)

)(

(

abA

bS

aS

J

J

y

x

xy

y

x

+

+

+

=

′

′

Jeżeli dodatkowo osie pierwotne xy przechodzą przez środek ciężkości figury to

i wzór przyjmie prostszą postać:

0

=

=

y

x

S

S

abA

J

J

xy

y

x

+

=

′

′

Jest to odpowiednik wzoru Steinera.

Zarówno przy liczeniu momentu bezwładności względem osi jak

i dewiacyjnych momentów obowiązuje zasada grupowania, która mówi, że jeżeli
figurę możemy podzielić na kilka prostszych elementów to moment całej figury
względem określonej osi jest sumą momentów względem tej osi dla
poszczególnych elementów składowych tej figury.

11

∑

∑

=

=

⋅

+

=

⋅

+

=

n

i

i

i

y

y

n

i

i

i

x

x

A

a

J

J

A

b

J

J

i

o

i

o

1

2

1

2

)

(

)

(

Analogicznie otrzymamy dla momentów dewiacyjnych:

∑

=

⋅

⋅

+

=

n

i

i

i

i

y

x

o

y

x

b

a

A

J

J

i

i

o

1

)

(

W tym ostatnim wzorze, jeżeli elementami składowymi rozpatrywanymi pod
znakiem sumy

są prostokąty zanika

i wzór przyjmuje postać:

∑

i

i

y

x

J

∑

=

⋅

⋅

=

n

i

i

i

i

y

x

b

a

A

J

o

o

1

.

Wynika to stąd, że dla prostokąta mamy:

0

=

i

i

y

x

J

12

4. BIEGUNOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI FIGURY
PŁASKIEJ

Wielkość ta występuje m.in. przy analizie naprężeń stycznych i odkształceń

w elementach doznających zjawiska skręcania.

∫

=

A

def

o

dA

J

2

ρ

Własności:

1) Biegunowy moment zawsze przyjmuje wartości większe od zera

;

0

>

o

J

2)

Wymiarem (jednostką) momentu biegunowego są jednostki długości do
potęgi czwartej: [cm

4

] ; [m

4

];

3)

y

x

A

A

A

A

o

J

J

dA

x

dA

y

dA

y

x

dA

J

+

=

+

=

+

=

=

∫

∫

∫

∫

2

2

2

2

2

)

(

ρ

y

x

o

J

J

J

+

=

4. ZALEŻNOŚCI DLA OSI OBRÓCONYCH

Dane są momenty bezwładności figury płaskiej względem osi x i y. Znane są

również wartości J

x

, J

y

oraz J

xy

względem tych osi.

Szukamy momentu bezwładności tej figury względem nowych osi

ξ

(ksi) i

η

(eta) obróconych względem układu xy o kąt

ϕ

.

13

ϕ

ϕ

η

ϕ

ϕ

ξ

sin

cos

sin

cos

x

y

y

x

−

=

+

=

Uwzględniając powyższe zależności obliczamy kolejno

,

i

.

ξ

J

η

J

ξη

J

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

η

ξ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin

2

sin

cos

sin

sin

cos

2

cos

)

sin

sin

cos

2

cos

(

)

sin

cos

(

y

xy

x

A

A

A

A

A

A

J

J

J

dA

x

xydA

dA

y

dA

x

xy

y

dA

x

y

dA

J

+

−

=

=

+

−

=

=

+

−

=

=

−

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

η

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos

2

sin

sin

sin

2

sin

cos

sin

sin

cos

2

cos

)

sin

sin

cos

2

cos

(

)

sin

cos

(

y

xy

x

x

xy

y

A

A

A

A

A

A

J

J

J

J

J

J

dA

y

xydA

dA

x

dA

y

xy

x

dA

y

x

dA

J

+

+

=

=

+

+

=

=

+

+

=

=

+

+

=

=

+

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

14

Wyliczmy w podobny sposób odśrodkowy moment bezwładności

:

ξη

J

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ξη

ξη

2

cos

2

sin

)

(

2

1

)

sin

(cos

cos

sin

)

(

sin

cos

sin

cos

sin

cos

)

sin

cos

)(

sin

cos

(

2

2

2

2

2

2

xy

y

x

xy

y

x

A

A

A

A

A

A

J

J

J

J

J

J

xydA

dA

y

dA

x

xydA

dA

x

y

y

x

dA

J

+

−

=

=

−

+

−

=

=

−

+

−

=

=

−

+

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Wyniki te wykorzystamy poniżej.

5. GŁÓWNE OSIE BEZWŁADNOŚCI FIGURY PŁASKIEJ

Wyprowadzone w poprzednim punkcie wzory na obliczanie momentów

bezwładności

,

,

względem osi

ξ

J

η

J

ξη

J

ξ

,

η

tworzących kąt

ϕ

z pewnymi

osiami xy o początku w punkcie O. Jeżeli będziemy brali pod uwagę szereg
różnych osi

ξη

stale o początku O, odpowiadającym różnym kątom

ϕ

, to

otrzymywać będziemy odpowiednio różne momenty bezwładności.
Możemy więc np. wielkości

,

potraktować jako funkcje kąta

ξ

J

η

J

ϕ

i zadać

pytanie, dla jakiego kąta

ω

ϕ

=

osiągną te funkcje ekstremum.

Będzie to oczywiście wtedy, gdy jej pierwsze pochodne względem

ϕ

przyjmą

wartość zero:

1)

0

=

ϕ

ξ

d

dJ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

ξ

2

cos

2

2

sin

)

(

2

2

cos

cos

sin

2

)

sin

(

cos

2

2

sin

sin

cos

2

2

xy

x

y

xy

y

x

xy

y

x

J

J

J

J

J

J

d

dJ

J

J

J

J

−

−

=

⋅

⋅

−

⋅

+

−

⋅

=

−

+

=

Następnie porównując tę pochodną do zera otrzymujemy równanie:

ϕ

ϕ

ϕ

2

cos

:

/

0

2

cos

2

2

sin

)

(

=

−

−

xy

x

y

J

J

J

(1

*

)

Ostatecznie:

15

x

y

xy

J

J

J

tg

−

=

2

2

ξ

ω

Przez kąt

ξ

ω

oznaczony został kąt

ϕ

, dla którego zachodzi ekstremum

.

ξ

J

Ponieważ tangens kąta jest funkcją okresową o okresie 180

o

otrzymamy w

granicach od 0

o

do 360

o

dwa kąty

ξ

ω

2

różniące się o 180

o

1

2

ω

ω

ξ

=

i

o

180

2

1

+

=

ω

ω

ξ

stąd

2

1

ω

ω

ξ

=

i

o

90

2

1

+

=

ω

ω

ξ

x

y

xy

x

y

xy

J

J

J

arctg

J

J

J

arctg

−

=

⇒

−

=

2

2

1

2

2

ξ

ξ

ω

ω

Jeżeli równania (1

*

) podzielimy przez 2 to otrzymamy:

0

2

cos

2

sin

)

(

2

1

=

+

−

ϕ

ϕ

xy

y

x

J

J

J

Lewa strona tego równania jest identyczna z prawą stroną równania zapisanego w
pkt. 4 na wyrażenie

,

czyli

ξη

J

0

2

cos

2

sin

)

(

2

1

=

+

−

=

ϕ

ϕ

ξη

xy

y

x

J

J

J

J

Wynika stąd, że dla kątów

η

ξ

ω

ω

ϕ

=

=

wyznaczonych poprzednio, dla których

spełnione jest powyższe równanie, będziemy mieli

0

=

ξη

J

.

Te dwa kąty

ω

posiadające omówione własności wyznaczają tzw. główne osie

bezwładności.

Głównymi osiami bezwładności figury płaskiej związanymi z
pewnym punktem O nazywamy osie, dla których odśrodkowy moment
bezwładności figury jest równy zeru.
Moment bezwładności względem jednej z nich jest największy,
względem drugiej najmniejszy ze wszystkich możliwych momentów
bezwładności tej figury względem różnych osi przechodzących przez
punkt O.

Należy tu jeszcze zwrócić uwagę, że dla różnych punktów figury otrzymamy

inne główne osie bezwładności i momenty obliczone względem nich będą dla
każdego punktu inne.

16

Jeżeli jako punkt O obierzemy środek ciężkości figury to wtedy osie główne
nazywamy głównymi środkowymi osiami bezwładności, a momenty obliczone
względem takich osi nazywamy głównymi środkowymi momentami bezwładności

Ze wzoru Steinera wynika wniosek, że moment bezwładności względem

jednej z głównych środkowych osi bezwładności jest najmniejszym momentem
bezwładności figury w ogóle.
Względem drugiej osi moment jest największy ze wszystkich momentów
bezwładności, ale tylko względem osi przechodzących przez środek ciężkości.

Tok postępowania przy poszukiwaniu głównych środkowych
osi bezwładności i głównych środkowych momentów bezwładności

1. Założenie dowolnego układu osi xy.
2. Znalezienie współrzędnych środka ciężkości.

A

S

y

A

S

x

x

o

y

o

=

=

;

3. Przeprowadzenie przez środek ciężkości O osi x

o

y

o

(osie środkowe).

4. Obliczenie

,

oraz

.

o

x

J

o

y

J

o

o

y

x

J

5. Znalezienie położenia głównych środkowych osi bezwładności

o

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

i

J

J

J

arctg

J

J

J

arctg

J

J

J

tg

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

90

2

2

2

2

2

2

+

′

=

′′

−

=

′

−

=

⇒

−

=

ω

ω

ω

ω

ω

6. Obliczenie głównych środkowych osi bezwładności

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

2

sin

sin

cos

2

2

xy

y

x

J

J

J

J

−

+

=

17

(a)

ω

ω

ω

′

−

′

+

′

=

2

sin

sin

cos

2

2

o

o

o

o

og

y

x

y

x

x

J

J

J

J

ϕ

ϕ

ϕ

η

2

sin

cos

sin

2

2

xy

y

x

J

J

J

J

+

+

=

(b)

ω

ω

ω

′

+

′

+

′

=

2

sin

cos

sin

2

2

o

o

o

o

og

y

x

y

x

y

J

J

J

J

0

=

og

og

y

x

J

Wzory (a) i (b) są uciążliwe w stosowaniu w związku z czym z postaci
trygonometrycznej można przejść na postać algebraiczną dokonując pewnych
podstawień
Po dokonaniu formalnych przekształceń ostatecznie otrzymujemy:

(

)

(

)

2

2

2

2

4

2

1

)

(

2

1

4

2

1

)

(

2

1

o

o

o

o

o

o

og

o

o

o

o

o

o

og

y

x

x

y

y

x

y

y

x

x

y

y

x

x

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

+

−

+

=

+

−

±

+

=

m

Jeżeli

to bierzemy pod uwagę znaki górne.

o

o

y

x

J

J

>

Jeżeli

to bierzemy pod uwagę znaki dolne.

o

o

y

x

J

J

<

Koło bezwładności Mohra

Jeżeli dla pewnej figury znamy położenie głównych osi bezwładności

związanych z pewnym punktem lub głównych środkowych osi bezwładności, to
obliczanie momentów bezwładności względem jakichś innych osi xy nachylonych
w stosunku do poprzednich o pewien kąt

ϕ

możemy przeprowadzić za pomocą

poprzednio zaprezentowanych wzorów.

ϕ

ϕ

2

2

sin

cos

g

g

y

x

x

J

J

J

+

=

ϕ

ϕ

2

2

cos

sin

g

g

y

x

y

J

J

J

+

=

ϕ

2

sin

)

(

2

1

g

g

y

x

xy

J

J

J

−

=

.

Jeżeli zastosujemy tu znane wzory trygonometryczne

18

)

2

cos

1

(

2

1

cos

)

2

cos

1

(

2

1

sin

2

2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

=

−

=

to otrzymamy:

ϕ

2

cos

)

(

2

1

)

(

2

1

g

g

g

g

y

x

y

x

x

J

J

J

J

J

−

+

+

=

ϕ

2

cos

)

(

2

1

)

(

2

1

g

g

g

g

y

x

y

x

y

J

J

J

J

J

−

−

+

=

W ten sposób uzyskujemy ostatecznie trzy wzory:

ϕ

2

cos

)

(

2

1

)

(

2

1

g

g

g

g

y

x

y

x

x

J

J

J

J

J

−

+

+

=

ϕ

2

cos

)

(

2

1

)

(

2

1

g

g

g

g

y

x

y

x

y

J

J

J

J

J

−

−

+

=

ϕ

2

sin

)

(

2

1

g

g

y

x

xy

J

J

J

−

=

.

Wielkości

,

i

łatwo można wyznaczyć dla każdego kąta

x

J

y

J

xy

J

ϕ

na

podstawie koła Mohra, które buduje się następująco:
Na pewnej osi odkładamy, w przyjętej skali, wartości momentów bezwładności
danej figury względem głównych osi bezwładności. Następnie zakreślamy koło o
średnicy równej

)

(

g

g

y

x

J

J

−

i środku K na przyjętej osi.
Łatwo zauważyć, że:

)

(

2

1

g

g

y

x

J

J

OK

+

=

.

Chcąc znaleźć momenty bezwładności danej figury względem osi xy tworzących z
osiami głównymi kąt

ϕ

, to odkłądamy kąt dwa razy większy w punkcie K i

prowadzimy odpowiednią średnicę. Wyznacza ona punkty A i B na kole, a ich
rzuty na oś J

x

, J

y

określają wielkości J

x

i J

y

.

19

Na podstawie koła Mohra można wykonać także czynności odwrotną, niż
przedstawiono wyżej i wyznaczyć położenie głównych osi bezwładności i
wielkości momentów głównych względem tych osi.

6. PROMIEŃ BEZWŁADNOŚCI FIGURY PŁASKIEJ

W zagadnieniach geometrii figur płaskich obok wcześniej poznanych

wielkości występuje wielkość zwana promieniem bezwładności pola figury
względem osi.
Określa ją wzór:

A

J

i

x

x

=

gdzie:

x

i

- promień bezwładności pola względem osi x,

x

J

- moment bezwładności pola względem osi x,

A

- pole danej figury.

Jednostką promienia bezwładności jak wynika ze wzoru jest jednostka długości
[cm], [m].

x

x

J

i

A

=

⋅

2

20

Końce promieni bezwładności układają się dla dowolnych osi mających swój
początek w punkcie O w elipsę.
Jest to tzw. elipsa bezwładności.

21