3U]\NáDG%HONDREFL*RQDVLáR]PLHQQ\PSRáR*HQLX
3R]LRPDEHONDSRGZLHV]RQDMHVWQDFLJDFKFLJLVZFLDQLHSLRQRZHMQDZ\VRNRFLóO
od belki. Drugi koniec
FLJyZ]DPRFRZDQ\MHVWGREHONLZRGOHJáRFLORGFLDQ\.RQLHF
EHONL RSLHUD VL R FLDQ :VSyáF]\QQLN WDUFLD EHONL R FLDQ Z\QRVL
µ
2NUHO
RGOHJáRü[VLá\3RGFLDQ\DE\EHONDSR]RVWDZDáDZUyZQRZDG]H
3RQL*HMSU]HGVWDZLRQRVFKHPDWVWDW\F]Q\RSLVDQHMNRQVWUXNFML
A
l
l/4
x=?
3
µ
=1/8
5R]ZL]DQLHPHWRGJUDILF]Q
3RVáX*P\ VL SRM FLHP VWR*ND WDUFLD 1D U\VXQNX ]DPLHV]F]RQ\P SRQL*HM ]D]QDF]RQR
SU]HNUyM VWR*ND WDUFLD XWZRU]RQHJR ] OLQLL G]LDáDQLD UHDNFML FLDQ\ G]LDáDMFHM QD EHON Z
2
SXQNFLH $ 5HDNFMD PR*H RGFK\OLü VL RG SR]LRPX FR QDMZ\*HM R NW
ϕ
, którego tangens
wynosi
µ
.
ϕ
µ
tg
=
1LHPR*HZL FZ\MüSR]DREV]DUVWR*NDSRND]DQHJRQDQL*HMSU]HGVWDZLRQ\PU\VXQNX
=GUXJLHMVWURQ\SRQLHZD*QDUR]SDWU\ZDQEHON G]LDáDMVLá\VLáDF]\QQD
P
VLáDUHDNFML
R i
VLáD Z FLJX
S
UyZQRZDJD E G]LH PR*OLZD W\ONR ZyZF]DV JG\ OLQLH G]LDáDQLD W\FK VLá
SU]HFLQDüVL E GZMHGQ\PSXQNFLH0R*HWRE\üVSHáQLRQHW\ONRZWHG\JG\OLQLDG]LDáDQLD
VLá\ 3 SU]HFLQDü E G]LH RGFLQHN &' Z\]QDF]RQ\ SU]H] OLQL G]LDáDQLD VLá\ Z FLDJX
S i
skrajne – maksymalne wychylenia reakcji R
6NUDMQH SRáR*HQLD VLá\
P, dla których
UyZQRZDJD E G]LH MHV]F]H PR*OLZD RWU]\PDP\ ] ZDUXQNX *H OLQLD G]LDáDQLD VLá\ 3
SU]HFKRG]L UD] SU]H] SXQNW & L UD] SU]H] SXQNW ' : RE\GZX SU]\SDGNDFK OLQLD G]LDáDQLD
reakcji R
RGFK\ORQDE G]LHRGQRUPDOQHMGRSRZLHU]FKQLFLDQ\RNWWDUFLD
ϕ
.
A
l
l/4
3
µ
=1/8
przekrój
przez
VWR*HN
tarcia
dopuszczalny
obszar
SRáR*HQLD
GODVLá\3
C
D
6
5
E
A
l
l/4
C
D
ϕ
G
F
:\]QDF]P\SRáR*HQLHSXQNWX&2EOLF]\P\GáXJRüRGFLQND*&
=SRGRELHVWZDWUyMNWyZ)$(L)*&Z\QLND]DOH*QRü
FA
FG
AE
GC
=
VWG
4
l
FG
l
GC
=
ZL F
GC
FG
4
1
=
.
3RQLHZD*
8
1
=
=
µ
ϕ
tg
ZL F
8
1
=
GC
AG
DVWG
GC
AG
8
1
=
.
Odcinek
GF
AG
l
AF
+
=
=
4
.
3
3RGVWDZLDMFGRRVWDWQLHJRUyZQDQLDZ\]QDF]RQHZDUWRFL)*L$*RWU]\PDP\UyZQDQLH
GC
GC
l
8
1
4
1
4
+
=
VNGRVWDWHF]QLH
l
GC
3
2
=
2EOLF]P\ WHUD] GUXJLH VNUDMQH SRáR*HQLH VLá\ 3 : W\P FHOX Z\]QDF]\P\ GáXJRü RGFLQND
$+]D]QDF]RQHJRF]HUZRQDOLQLQDU\VXQNXXPLHV]F]RQ\PSRQL*HM
E
A
l
l/4
C
D
ϕ
H
F
:\NRU]\VWXMFSRGRELHVWZRWUyMNWyZ(+'L($)]DSLV]HP\SURSRUFM
4
4
1
=
=
−
l
l
HD
l
AH
.
Mamy
AH
HD
tg
AH
HD
8
1
8
1
=
⇒
=
=
=
µ
ϕ
.
:VWDZP\RVWDWQL]DOH*QRüGRSRSU]HGQLHM2WU]\PDP\
l
AH
AH
l
AH
2
4
8
1
=
⇒
=
−
.
2VWDWHF]QLHGOD]DFKRZDQLDUyZQRZDJLVLáD3PR*HE\üSU]\NáDGDQDGREHONLZRGOHJáRFLRG
FLDQ\PLHV]F]FHMVL ZSU]HG]LDOHRG
l
3
2
do l
2 .
5R]ZL]DQLHPHWRGDQDOLW\F]Q
5HDNFM FLDQ\QDEHON UR]áy*P\QDGZLHVNáDGRZH1L73U]\MPLHP\]ZURWVNáDGRZHM7Z
GyáMDNQDU\VXQNXSRQL*HM.RU]\VWDMF]UyZQDUyZQRZDJLREOLF]\P\VNáDGRZHUHDNFML
=UyZQDQLDPRPHQWyZZ]JO GHPSXQNWX(Z\]QDF]\P\ZDUWRüVLá\
T.
6LáDMHVW]DOH*QDRG
RGOHJáRFLVLá\3RGFLDQ\
∑
−
=
⇒
=
)
1
(
0
l
x
P
T
M
E
.
4
A
E
l
l/4
x=?
3
7
1
F
6NáDGRZ SURVWRSDGá 1 GR SRZLHU]FKQL FLDQ\ Z\]QDF]\P\ ] UyZQDQLD PRPHQWyZ VLá
Z]JO GHPSU]HJXEX)5yZQLH*VLáD1]DOH*\RGRGOHJáRFLVLá\3RGFLDQ\
∑
=
⇒
=
P
l
x
N
M
F
4
0
.
3R Z\]QDF]HQLX VLá 1 L 7 Z\NRU]\VWDP\ QLHUyZQRü &RXORPED RJUDQLF]DMF ZDUWRü VLá\
tarcia:
N
T
⋅
≤
µ
. Rozpatrzmy dwa przypadki:
0
≥
T
i
0
≤
T
.
Dla
0
≥
T
otrzymujemy pierwsze ograniczenie:
l
x
l
x
l
x
P
l
x
l
x
P
2
2
1
)
1
(
4
)
1
(
≤
⇒
≤
−
⇒
≤
−
µ
.
8VWDOP\ GDOHM *H VLáD WDUFLD SU]\MPLH ]ZURW SU]HFLZQ\ GR ]DáR*RQHJR QD SRSU]HGQLP
rysunku. Wówczas
0
≤
T
L]QLHUyZQRFL
Coulomba otrzymamy drugie ograniczenie:
N
T
⋅
≤
−
µ
⇒
l
x
l
x
l
x
P
l
x
l
x
P
3
2
2
1
)
1
(
4
)
1
(
≥
⇒
−
≥
−
⇒
≤
−
−
µ
.
àDWZR ]DXZD*\ü *H ]ZURW VLá\ WDUFLD ]DOH*\ RG SRáR*HQLD VLá\ 3 -H*HOL VLáD ]QDMGXMH VL SR
VWURQLHSUDZHMZ ]áD(WRVLáDWDUFLDVNLHURZDQDMHVWZGyá-H*HOLVLáD3]QDMGXMHVL SROHZHM
VWURQLH Z ]áD ( ZyZF]DV ]ZURW VLá\ WDUFLD MHVW NX JyU]H =ZURW MHVW SU]HFLZQ\ GR NLHUXQNX
UXFKXMDNLZ\NRQ\ZDáE\NRQLHFEHONLJG\E\QLHE\áRVLá\WDUFLD
1DU\VXQNDFKSRQL*HM]LOXVWURZDQRRE\GZDWHSU]\SDGNL
E
l
l/4
3
7
1
F
E
l
l/4
1
F
7
3