Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

1

Zarządzanie systemami
transportu drogowego

Zarządzanie systemami
transportu drogowego

Piotr Sawicki

Piotr Sawicki

Wydział Maszyn Roboczych i Transportu
pok. 748, tel. [phone]

E-mail: [e-mail]
URL: http://www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki

Wydział Maszyn Roboczych i Transportu
pok. 748, tel. [phone]

E-mail: [e-mail]
URL: http://www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki

Harmonogramowanie pracy

Zastosowanie metody przydziału

Harmonogramowanie pracy

Zastosowanie metody przydziału

33

2

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Plan prezentacji

Istota problemu przydziału pracowników do zadań

•

wprowadzenie

•

praktyczne aspekty problemu

Matematyczne sformułowanie problemu przydziału

•

zmienna decyzyjna

•

funkcja celu

•

ograniczenia

•

struktura problemu przydziału

Metoda przydziału

•

tablica przydziału

•

główne kroki metody przydziału

•

uogólniony algorytm metody przydziału

Analiza przypadku

Podsumowanie

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

2

33

3

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Wprowadzenie

Istota problemu przydziału

PROBLEM

•

rozważmy problem przydziału pracowników do obsługi kilku regionów sprzedaży

Przypadek 1

Przypadek 1

Przypadek 1

Przypadek 2

Przypadek

Przypadek

2

2

33

4

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Wprowadzenie

Istota problemu przydziału

•

Problem przydziału pracowników do obsługi kilku regionów…cd

Przypadek 3

Przypadek

Przypadek

3

3

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

3

33

5

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Wprowadzenie

Istota problemu przydziału

Problemy spotykane w praktyce charakteryzują się znacznie większym

stopniem skomplikowania

20.922.789.888.000

16

…

…

…

…

3.628.800

10

362.880

9

40.320

8

5.040

7

720

6

120

5

24

4

6

3

2

2

1

1

Liczba

Liczba

permutacji

permutacji

Liczba

Liczba

pracownik

pracownik

ó

ó

w

w

i region

i region

ó

ó

w

w

33

6

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Wprowadzenie

Istota problemu przydziału

Istnieje wiele możliwości przydziału pracowników do zadań

•

w praktyce

– porzuca się próby racjonalnego przydziału pracowników
– decyduje się na „zgadywanie” najlepszego przydziału

Człowiek jako pracownik charakteryzuje się określonymi cechami

•

efektywność pracy

•

umiejętności

•

zdolności

•

doświadczenia

•

….

Traktując pracowników jako niezróżnicowane zasoby przedsiębiorstwo traci

szansę znaczącego podniesienia produktywności

Menadżer (pracodawca) chcący dobrać ludzi do realizacji zdefiniowanych

zadań w najlepszy możliwy sposób musi

•

przewidzieć zapotrzebowanie na pracę

•

poszukiwać odpowiednich ludzi

•

dokonywać efektywnej alokacji pracowników

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

4

33

7

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Istota problemu przydziału

Problem przydziału w ogólności polega na delegowaniu

pracownik

pracownik

ó

ó

w

w

do poszczególnych prac, w taki sposób, aby

koszt

koszt

realizacji wszystkich prac był minimalny

Szersze rozumienie problemu

•

pracownik
urządzenie

•

koszt
czas, odległość, inne mierniki efektywności

Założenie dotyczące przydziału pracowników do zadań

•

tylko jeden pracownik może być przydzielony do jednego zadania

•

jedno zadanie ma przydzielone tylko jednego pracownika

33

8

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Istota problemu przydziału

Przykłady zadań jednocześnie wykonywanych przez różną liczbę

pracowników (osób)

…

kierowanie autobusem międzymiastowym
(przewóz międzynarodowy)

…

…

…

…

…

…

…

gra w piłkę nożną

…

…

…

…

…

rozładunek towaru

…

…

…

…

…

kierowanie autobusem międzymiastowym
(przewóz krajowy)

kierowanie autobusem miejskim

11

3

2

1

Ludzie

Zadania

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

5

33

9

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Istota problemu przydziału

Jeżeli tylko jeden

pracownik

pracownik

może zostać przydzielony do jednego

zadania

zadania

,

wówczas

•

z punktu widzenia matematycznego zapisu problemu zmienną decyzyjną będzie
wartość

– x

ij

= 1 jeżeli i-ty pracownik jest przedzielony do wykonywania j-tej pracy

– x

ij

= 0 jeżeli i-ty pracownik nie jest przedzielony do wykonywania j-tej pracy

•

poszukujemy rozwiązania

– całkowitoliczbowego

– binarnego (0 lub 1)

•

sformułowanie i rozwiązanie problemu

– problem można sformułować w postaci zadania programowania liniowego



z ograniczeniem o binarnych charakterze zmiennych decyzyjnych

– problem można rozwiązać za pomocą znanych metod



płaszczyzn odcinających Gomory’ego



ograniczeń i rozgałęzień

– istnieje specyficzna metoda rozwiązywania problemu przydziału

METODA PRZYDZIA

METODA PRZYDZIA

Ł

Ł

U

U

33

10

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Istota problemu przydziału

Założenia metody

•

problem przydziału można potraktować jako specyficzny przypadek problemu
transportowego

•

problem przydziału można zatem rozwiązać z zastosowaniem metody transportowej

c

44

c

43

c

42

c

41

1

4

x

44

x

43

x

42

x

41

4

1

1

1

1

Popyt

x

34

x

33

x

32

x

31

1

c

34

c

33

c

32

c

31

3

x

24

x

23

x

22

x

21

1

c

24

c

23

c

22

c

21

2

x

14

x

13

x

12

x

11

1

c

14

c

13

c

12

c

11

1

4

3

2

1

Podaż

Magazyny odbiorców /

Zadania

Dostawcy/

Pracownicy

Każdy pracownik może

wykonać jedno zadanie

Każdy

pracownik

może

wykonać jedno zadanie

Każde zadanie może mieć

przedzielone jednego pracownika

Każde zadanie może mieć

przedzielone jednego pracownika

Przydział

pracownika do

zadania (0 lub 1) –

ZMIENNA BINARNA

Przydział

pracownika do

zadania (0 lub 1) –

ZMIENNA BINARNA

ZMIENNA BINARNA

Efektywność

przydziału

pracownika do

zadania

Efektywność

przydziału

pracownika do

zadania

TABLICA PRZYDZIAŁU

TABLICA PRZYDZIAŁU

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

6

33

11

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Istota problemu przydziału

Interpretacja zmiennej decyzyjnej

•

załóżmy, że pomijamy wartości c

ij

oraz np. x

23

=

1

•

co to w praktyce oznacza zmienna x

ij

?

c

44

c

43

c

42

c

41

1

4

x

44

x

43

x

42

x

41

4

1

1

1

1

Popyt

x

34

x

33

x

32

x

31

1

c

34

c

33

c

32

c

31

3

x

24

x

23

x

22

x

21

1

c

24

c

23

c

22

c

21

2

x

14

x

13

x

12

x

11

1

c

14

c

13

c

12

c

11

1

4

3

2

1

Podaż

Magazyny odbiorców

Zadania

Dostawcy

Pracownicy

1

jeżeli x

23

= 1
x

21

= x

22

= x

24

= 0

jeżeli x

23

= 1
x

21

= x

22

= x

24

= 0

również x

13

= x

33

= x

43

= 0

również x

13

= x

33

= x

43

= 0

33

12

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Model matematyczny problemu

Problem przydziału sformułowany w postaci zadania programowania

liniowego

Ogólne sformułowanie funkcji celu

minimum całkowitych kosztów

realizacji wszystkich zadań (prac)

gdzie:

c

ij

– jednostkowy koszt realizacji j-tego zadania przez i-tego pracownika,

i

= 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n

m – zbiór pracowników

n – zbiór zadań (prac)

x

ij

– zmienna decyzyjna wskazująca przydział i-tego pracownika do j-tego zadania,

x

ij

= 0 ∪ 1

min

Koszt

→

=

∑∑

=

=

m

i

n

j

ij

ij

x

c

1

1

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

7

33

13

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Model matematyczny problemu

Jednostkowy koszt realizacji

j-tego zadania przez i-tego
pracownika zależy od

•

predyspozycji i inteligencji

•

motywacji

•

kompetencji pracownika

•

wieku

•

wyposażenia stanowiska
(zaawansowania technolo-
gicznego urządzenia)

•

częstotliwości powtarzania

•

…

•

doświadczenia i praktyki
pracownika

S

ku

m

ul

ow

a

na

li

cz

b

a

zr

ea

liz

o

w

an

yc

h

z

ad

a

ń

Czas

Liczba powtórzeń

Je

dn

os

tk

o

w

y

cz

as

r

ea

liz

ac

ji

KRZYWA UCZENIA SIĘ

33

14

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Model matematyczny problemu

Ograniczenia

•

i

-ty pracownik może być

przydzielony tylko do jednego
zadania

•

do j-tego zadania może być
przydzielony tylko jeden
pracownik

m

1,2,....,

i

; =

=

∑

=

1

1

n

j

ij

x

n

1,2,....,

j

; =

=

∑

=

1

1

m

i

ij

x

1

2

i

m

1

2

j

n

x

i1

x

i2

x

ij

x

in

1

2

i

m

1

2

j

n

x

1j

x

2j

x

ij

x

mj

Pracownicy

Zadania

Pracownicy

Zadania

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

8

33

15

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Model matematyczny problemu

Model matematyczny problemu przydziału

klasyczny przypadek

•

funkcja celu
minimalizacja kosztu wykonania wszystkich zadań

•

przy ograniczeniach

•

przyjęte ograniczenie wymusza kwadratowy wymiar tablicy m=n

– liczba pracowników równa jest liczbie zadań do wykonania

min

Koszt

→

=

∑ ∑

=

=

m

i

n

j

ij

ij

x

c

1

1

m

1,2,....,

i

; =

=

∑

=

1

1

n

j

ij

x

n

1,2,....,

j

; =

=

∑

=

1

1

m

i

ij

x

1

0 ∪

∈

ij

x

33

16

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

Zważywszy na postać zmiennej decyzyjnej tablica przydziału może przyjąć

postać uwzględniającą wyłącznie komórki kosztów

Problem

dokonaj przydziału pracowników do zadań w kategoriach czasu

realizacji zadań (minimalizacja czasu wykonania wszystkich prac)

•

pracownicy: 1, 2, 3, 4

•

zadania: 1, 2, 3, 4

c

44

c

43

c

42

c

41

1

4

4

1

1

1

1

Przydział

1

c

34

c

33

c

32

c

31

3

1

c

24

c

23

c

22

c

21

2

1

c

14

c

13

c

12

c

11

1

4

3

2

1

Przydział

Zadania

Pracownicy

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

9

33

17

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

W tablicy zamieszczono szacunkowe czasy realizacji poszczególnych zadań

przez każdego z pracowników, wyrażone w [godz.]

3

4

2

8

1

4

4

1

1

1

1

Przydział

1

8

3

5

5

3

1

7

2

6

6

2

1

5

1

3

5

1

4

3

2

1

Przydział

Zadania

Pracownicy

najkrótszy czas realizacji zadania 1

najkrótszy czas realizacji zadania 1

najkrótszy czas realizacji zadania 2

najkrótszy czas realizacji zadania 2

najkrótszy czas realizacji zadania 3

najkrótszy czas realizacji zadania 3

najkrótszy czas realizacji zadania 4

najkrótszy czas realizacji zadania 4

33

18

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

KROK 1: od każdego „czasu realizacji” w wierszu odejmij najmniejszą

wartość w tym wierszu

3

4

2

8

1

4

4

1

1

1

1

Przydział

1

8

3

5

5

3

1

7

2

6

6

2

1

5

1

3

5

1

4

3

2

1

Przydział

Zadania

Pracownicy

–1

–1

–1

–1

–2

–2

–2

–2

–3

–3

–3

–3

–2

–2

–2

–2

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

10

33

19

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

Tablica przydziału po kroku 1

KROK 2: od każdego „czasu realizacji” w kolumnie odejmij najmniejszą

wartość w tej kolumnie

1

2

0

6

1

4

4

1

1

1

1

Przydział

1

5

0

2

2

3

1

5

0

4

4

2

1

4

0

2

4

1

4

3

2

1

Przydział

Zadania

Pracownicy

–2

–2

–2

–2

–0

–0

–0

–0

–0

–0

–0

–0

–1

–1

–1

–1

33

20

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

Tablica przydziału po kroku 2

KROK 3: Narysuj minimalną liczbę linii przechodzących przez wszystkie

„zera”

KROK 4: Oceń ile powstało linii

•

ponieważ tablica ma wymiar 4
4
minimalna liczba linii powinna wynosić 4,
wówczas przydział pojedynczych pracowników do zadań będzie optymalny

•

jeżeli warunek nie jest spełniony
poszukujemy innych możliwości
KROK 5

0

2

0

4

1

4

4

1

1

1

1

Przydział

1

4

0

2

0

3

1

4

0

4

2

2

1

3

0

2

2

1

4

3

2

1

Przydział

Zadania

Pracownicy

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

11

33

21

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

KROK 5: Znajdź najmniejszą liczbę spośród wartości, przez które nie

przechodzi żadna linia

•

odejmij od każdego „czasu realizacji” nie objętego linią

•

dodaj do każdego „czasu realizacji” objętego dwiema liniami

0

2

0

4

1

4

4

1

1

1

1

Przydział

1

4

0

2

0

3

1

4

0

4

2

2

1

3

0

2

2

1

4

3

2

1

Przydział

Zadania

Pracownicy

–2

–2

–2

–2

–2

–2

+2

+2

33

22

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

Tablica przydziału po kroku 5

KROK 6: Ponownie narysuj minimalną liczbę linii przechodzących przez

wszystkie „zera”

KROK 7: Oceń ile powstało linii

•

minimalna liczba linii wynosi 4
możliwy jest optymalny przydział pracowników do
zadań

•

powstała tablica jest tablicą finalną

0

4

0

4

1

4

4

1

1

1

1

Przydział

1

4

2

2

0

3

1

2

0

2

0

2

1

1

0

0

0

1

4

3

2

1

Przydział

Zadania

Pracownicy

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

12

33

23

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

KROK 8: Powróć do pierwotnej tablicy przydziału i dokonaj przydziału na

podstawie komórek, które w finalnej tablicy miały wartość „zero”

Czas realizacji prac (efektywność realizacji wszystkich zadań wynosi:

5×

×

×

×

(1) + 3×

×

×

×

(1) + 2×

×

×

×

(1) + 3×

×

×

×

(1) = 13 godz.

3

4

2

8

1

4

4

1

1

1

1

Przydział

1

8

3

5

5

3

1

7

2

6

6

2

1

5

1

3

5

1

4

3

2

1

Przydział

Zadania

Pracownicy

0

4

0

4

1

4

4

1

1

1

1

Przydzial

1

4

2

2

0

3

1

2

0

2

0

2

1

1

0

0

0

1

4

3

2

1

Przydzial

Z adania

Pracown icy

0

4

0

4

1

4

4

1

1

1

1

Przydzial

1

4

2

2

0

3

1

2

0

2

0

2

1

1

0

0

0

1

4

3

2

1

Przydzial

Z adania

Pracown icy

Tablica finalna

Tablica pierwotna

33

24

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

Algorytm metody przydziału

(

0

) przygotuj tablicę przydziału, zawierającą koszty przydziału (lub inny wskaźnik

efektywności) pracowników do zadań

(1)

zidentyfikuj najmniejszą wartość w każdym wierszu i odejmij ją od każdego

elementu w tym wierszu

(2)

zidentyfikuj najmniejszą wartość w każdej kolumnie i odejmij ją od każdego
elementu w tej kolumnie

(3)

narysuj minimalną liczbę linii przechodzących przez wszystkie „zera”

(4)

oceń ile linii powstało w kroku (3)

•

jeżeli liczba linii równa jest wymiarowi tablicy n, wówczas możliwy jest optymalny
przydział pracowników

•

jeżeli liczba linii jest mniejsza od n przejdź do kroku (5)

(5)

znajdź najmniejszą liczbę w tablicy, spośród wartości, przez które nie przechodzi
żadna linia

•

odejmij tę wartość od tych, przez które nie przechodzi żadna linia

•

dodaj tę wartość do wszystkich, przez które przechodzą 2 linie

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

13

33

25

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Rozwiązanie problemu przydziału pracowników do zadań

Algorytm metody przydziału …cd

(6)

na tablicy powstałej w kroku (5) zrealizuj krok (3), ponownie rysując minimalną
liczbę linii łączących wszystkie „zera”

(7)

przejdź do kroku (4) oceniając liczbę linii

•

jeżeli minimalna liczba linii jest równa wymiarowi tablicy przydziału,

–

dokonaj przydziału pracowników do zadań na podstawie komórek, które w finalnej
tablicy przydziału mają wartości „zero”

–

oblicz wartość funkcji celu

•

jeżeli minimalna liczba linii jest mniejsza niż wymiar tablicy przydziału wróć do kroku (5)

33

26

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Analiza przypadku

Rozw iązanie

Rozw iązanie

Dokonaj analizy problemu, zgodnie z załączonym

opisem przypadku

•

przeprowadź analizę problemu

•

sformułuj model matematyczny problemu

•

rozwiąż problem z zastosowaniem metody przydziału

•

wykorzystaj Solver dla MS Excel

Istota problemu

•

przydział motorniczych do realizacji poszczególnych
zadań

– wariant 1: przydział 13 kierowców do 13 zadań

– wariant 2: przydział 14 kierowców do 14 zadań

•

jak zmieni się przydział pracowników (1-13) po
wprowadzeniu pracownika nr 14?

Opis

problemu

Opis

problemu

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

14

33

27

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Analiza przypadku / W1

Tworzenie arkuszy

roboczego w MS
Excel dla Wariantu 1

Tablica kosztów realizacji

poszczególnych zadań

Tablica kosztów realizacji

poszczególnych zadań

Tablica przydziału

pracowników do zadań

Tablica przydziału

pracowników do zadań

Funkcja celu (suma iloczynów)

Funkcja celu (suma iloczynów)

33

28

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Analiza przypadku / W1

Definiowanie

parametrów modelu
w Solverze

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

15

33

29

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Analiza przypadku / W1

Rozwiązanie problemu w wariancie 1

dobowy koszt realizacji zadań

(1-13) wynosi 307 jednostek

F

0:00 4:00 8:00 12:00 15:00

19:00 22:00 2:00

M

C

D

K

A

H

H

G

G

L

J

E

I

B

B

33

30

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Analiza przypadku / W2

Tworzenie arkuszy

roboczego w MS
Excel dla Wariantu 2

14-te (dodatkowe) zadanie

14-te (dodatkowe) zadanie

14-ty (dodatkowy) pracownik

14-ty (dodatkowy) pracownik

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

16

33

31

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Analiza przypadku / W2

Rozwiązanie problemu w wariancie 2

dobowy koszt realizacji zadań

(1-14) wynosi 329 jednostek

•

wykonanie zad. (1-14)
329 / zadania (1-13) + zad.14, prac. N
307+25=332

33

32

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Metoda przydziału

Analiza przypadku / W2

Rozwiązanie problemu w W2

zmiany w porównaniu do W1

F

C

0:00 4:00 8:00 12:00 15:00

19:00 22:00 2:00

M

C

N

D

K

A

H

H

G

G

L

J

E

I

B

B

N

Nowy pracownik

F

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

17

33

33

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Podsumowanie

Podstawowe pojęcia

•

matematyczne sformułowanie
problemu przydziału

•

zmienna binarna i jej interpretacja

•

tablica przydziału

•

istota klasycznej metody przydziału

•

algorytm metody przydziału

•

metoda przydziału a metoda
transportowa

33

34

Piotr Sawicki / Zarządzanie systemami transportu drogowego

Podsumowanie

Zalety zastosowania metody

przydziału

•

proste sformułowanie matematyczne

•

jeden pracownik do jednego zadania
choć możliwe jest zastosowanie zadań
przewidzianych do realizacji
równocześnie przez dwie osoby

•

metoda rozwiązywalna za pomocą
klasycznego narzędzia MS Excel
(max 200 zmiennych decyzyjnych)

Zarządzanie Systemami Transportu Drog.

Piotr Sawicki / WMRiT / PP

18

Zarządzanie systemami
transportu drogowego

Zarządzanie systemami
transportu drogowego

Piotr Sawicki

Piotr Sawicki

Wydział Maszyn Roboczych i Transportu
pok. 748, tel. [phone]

E-mail: [e-mail]
URL: http://www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki

Wydział Maszyn Roboczych i Transportu
pok. 748, tel. [phone]

E-mail: [e-mail]
URL: http://www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki

Harmonogramowanie pracy

Zastosowanie metody przydziału

Harmonogramowanie pracy

Zastosowanie metody przydziału