Kolokwium nr 2 z matematyki
Wydzia l WILi´
S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012
Zad.1. [2p+3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
a) Sformu lowa´c kryterium pow´
ownawcze.
b) Zbada´c zbie˙zno´s´c szeregu
∞
P
n
=1
n
sin
3
n
tg
2
n
.
Zad.2. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Obliczy´c f
(57)
(2), je˙zeli f (x) =
4
4−x
.
Zad.3. [7p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Ca lk¸e nieelementarn¸a I =
1
R
0
arctan x
2
x
dx
przedstawi´c w postaci szeregu, a nast¸epnie obliczy´c jego sum¸e z
dok ladno´sci¸a do 0.01.
Zad.4. [2p+6p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
a) Poda´c twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbie˙zno´sci szeregu pot¸egowego.
b) Dla szeregu pot¸egowego
∞
P
n
=1
(−1)
n
(2x−3)
n
√
n
+4
wyznaczy´c promie´
n zbie˙zno´sci, przedzia l zbie˙zno´sci oraz zbada´c
zbie˙zno´s´c w prawym kra´
ncu przedzia lu zbie˙zno´sci.
Zad.5. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 5 ]
Dany jest rozk lad zmiennej losowej X
X
:
x
i
-1
0
1
p
i
0.3
0.4
0.3
Wyznaczy´c:
a) rozk lad p-stwa zmiennej losowej Y = X
2
b) dystrybuant¸e zmiennej losowej Y
c) P (Y ≥
1
2
)
d) D
2
Y