Kolokwium nr 2 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012

Zad.1. [2p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

a) Sformu lowa´c kryterium pow´

ownawcze.

b) Zbada´c zbie˙zno´s´c szeregu

∞

P

n

=1

n

sin

3

n

tg

2

n

.

Zad.2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczy´c f

(57)

(2), je˙zeli f (x) =

4

4−x

.

Zad.3. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Ca lk¸e nieelementarn¸a I =

1

R

0

arctan x

2

x

dx

przedstawi´c w postaci szeregu, a nast¸epnie obliczy´c jego sum¸e z

dok ladno´sci¸a do 0.01.

Zad.4. [2p+6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

a) Poda´c twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbie˙zno´sci szeregu pot¸egowego.

b) Dla szeregu pot¸egowego

∞

P

n

=1

(−1)

n

(2x−3)

n

√

n

+4

wyznaczy´c promie´

n zbie˙zno´sci, przedzia l zbie˙zno´sci oraz zbada´c

zbie˙zno´s´c w prawym kra´

ncu przedzia lu zbie˙zno´sci.

Zad.5. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Dany jest rozk lad zmiennej losowej X

X

:

x

i

-1

0

1

p

i

0.3

0.4

0.3

Wyznaczy´c:

a) rozk lad p-stwa zmiennej losowej Y = X

2

b) dystrybuant¸e zmiennej losowej Y

c) P (Y ≥

1
2

)

d) D

2

Y